Évolution de la modélisation

Fenêtre glissante

Sans connaissance a priori, nous avons évalué différentes signatures par mesure de l’entro-pie de Shannon. Cette signature est considérée comme une chaîne de Markov cachée du 1^er ordre. L’entropie de Shannon nous a permis d’évaluer la pertinence des observations. Nous avons trouvé dans cette étude un maximum d’entropie pour des données simulées issues de deux distributions différentes. La première valeur maximale est de 88 symboles pour la dis-tribution uniforme et 152 symboles pour la disdis-tribution normale. Les résultats Figure 4.2, p. 93 montrent aussi une valeur asymptotique de l’entropie. Cela laisse supposer qu’à partir d’un certain nombre d’échantillons observés, l’apport d’information par les symboles sui-vant devient très faible voire nulle. Le modèle ainsi établi avec un nombre fini de symboles, pourrait être remis à jour en fonction des nouvelles activités de maintenance. Pour une maintenance prédictive, nous pourrions ainsi établir une « fenêtre glissante » contenant au moins ce nombre de symboles trouvé précédemment. Nous constatons également de manière empirique que les deux courbes ont un écart constant au delà de 200 symboles.

Le processus d’évaluation de l’entropie utilise les spécifications suivantes (voir Figure 4.3, p. 94) :

– 1000 2-uplets (Symb_U, Etat_U), pour la distribution uniforme (Figure 3.8(a)), – 1000 2-uplets (Symb_N, Etat_N), pour la distribution normale (Figure 3.8(b)).

Le modèle de synthèse génère 1000 2-uplets (Symboles, Etats) en utilisant la distribution uniforme ou normale ((Symb_U, Etat_U) ou (Symb_N, Etat_N)). 12 séquences de 1000 2-uplets sont ainsi générées. Les 2-uplets sont utilisés dans le processus d’évaluation afin de déterminer le nombre minimal de données de modélisation, en utilisant l’entropie de Shannon. Chaque séquence se termine par un arrêt du processus (symbole DEP).

Évolution de l’entropie pour le modèle de synthèse

L’évolution de l’entropie de Shannon à partir des données issues du modèle de synthèse nous donne les résultats présentés sur la Figure 4.2, p. 93. Nous observons un maximum d’entropie pour 152 symboles avec la distribution normale et 88 symboles avec la distribution uniforme. Nous voyons également que la courbe est asymptotique au-delà de 200 symboles.

Algorithmes d’apprentissage

La courbe en noire, Figure 4.4, p. 94, correspond à l’évolution de l’entropie de Shannon sur le modèle de synthèse en utilisant la topologie 2. Nous avons trouvé les mêmes genres de courbes pour les topologies 1 et 3. Les courbes continues sont obtenues à partir des données issues de la loi normale et celles en pointillés, à partir de la loi uniforme.

Nombre de symboles

Evolution de l'entropie

0 100 200 300 400 500

0.00.20.40.60.8

MMC, distribution gaussienne MMC, distribution uniforme max pour 88 symboles

max pour 152 symboles

Fig 4.2 – Nombre minimal de données par entropie de Shannon. Les données sont issues du modèle de synthèse.

Les courbes rouges décrivent l’évolution de l’entropie de Shannon du modèle de synthèse, après implémentation dans l’algorithme d’apprentissage Baum-Welch décodé par Variables Forward.

Les courbes bleues décrivent l’évolution de l’entropie de Shannon du modèle de synthèse par l’algorithme d’apprentissage Segmental K-means décodé par Viterbi.

Nous observons ainsi que l’algorithme d’apprentissage Baum-Welch décodé par Variables Forward est plus efficace que celui de Segmental K-means décodé par Viterbi car son entropie est supérieure.

Analyse sur une fenêtre glissante

Le but de cette partie était de trouver une quantité minimale de données pour estimer correctement un modèle. En d’autres termes : existe-t-il une valeur limite (L) de l’entropie vers laquelle celle-ci converge ? Une telle convergence nous permettra de conclure qu’un nombre fini de symboles permettra une modélisation optimale. Cette limite est définie par la limite de la fonction d’entropie H lorsque S tend vers +∞ :

S→+∞lim H(S) =L, (4.3)

Modèle de synthèse Modèle de Markov Caché

(Référence)

Modèle de synthèse

11 séquences de 1000 2-uplets avec la loi

uniforme:

(Symb_U,Etat_U)

Modèle de synthèse

11 séquences de 1000 2-uplets avec la loi

gaussienne:

(Symb_N,Etat_N)

Évaluation de l’entropie : (Symb_U,Etat_U)

Évaluation de l’entropie : (Symb_N,Etat_N)

Évaluation du nombre minimal de données

Fig 4.3 – Évaluation du nombre minimal de données.

Nombre de symboles

Evolutiondel’entropie

0 200 400 600 800 1000

0.00.20.40.60.81.0

MMC2_Normale BW2_Normale SK2_Normale

MMC2_Uniforme BW2_Uniforme SK2_Uniforme

Fig 4.4 – Nombre minimal de données par entropie de Shannon en utilisant les 2 algorithmes d’apprentissage.

S est le nombre de symboles de la séquence étudiée.

Le processus d’évaluation du nombre minimal de données est donné Figure 4.5, p. 95.

Modèle de d’apprentis-sage et de décodage appli-qués aux 3 topologies→ (Symb_U,Etat_U1BW), d’apprentis-sage et de décodage appli-qués aux 3 topologies→ (Symb_N,Etat_N1BW),

Évaluation du nombre minimal de données.

Fig 4.5 – Évaluation du nombre minimal de données pour une utilisation optimale des algo-rithmes d’apprentissage.

Ce nombre optimal de symboles ou d’observations permettra à l’expert en maintenance de réajuster périodiquement ses modèles, voir Figure 4.6, p. 96. Par exemple : avec un échantillonnage à la journée, nous pouvons supposer que la mise à jour du modèle existant, à partir des nouveaux évènements, pourrait se faire mensuellement ou bi-mensuellement (30 à 60 nouveaux évènements). Ce délai pourrait être réajusté lors d’un changement de recette de fabrication sollicitant de manière différente le processus.

Essais avec une fenêtre glissante normée

Pour tenter de valider la fenêtre normée précédemment trouvée, nous avons injecté des séquences de 200 symboles dans notre modèle. Nous avons ensuite réévalué ces symboles en utilisant l’algorithme Baum-Welch avec un décodage variable Forward. Nous étudions ainsi de nouveau l’entropie, en utilisant cette quantité minimale de symboles pour les données issues du modèle de synthèse :

SP DEP RAS AU OBS RM SEC TEP VEP SP RM RAS RAS ? ? SP