ÉTUDE DE L’ANNEXE 3 : ACTIVITÉ DE REPRODUCTION Remarque préliminaire :

Les questions de cette partie font référence aux modèles notés B et C de l’annexe 3.

Or sur l’annexe 3, les trois modèles présentés ne sont pas référencés. Cette situation nous a conduit à proposer un corrigé de ces questions pour chacune des trois figures.

Question 1

Deux procédures expertes pour reproduire exactement chacun des modèles Remarques :

1. Il s’agit de reproduire exactement (dimensions comprises) en utilisant seulement une règle, une équerre et un compas. Comme aucun instrument de mesure de longueur n’est disponible (une règle n’est a priori pas graduée), il faudra utiliser le compas pour reporter certaines longueurs et respecter les dimensions lors de la reproduction.

2. Les procédures ci-dessous ont un préalable : la vérification instrumentale du fait que les modèles sont respectivement un carré, un rectangle et un triangle rectangle inscrits dans un cercle.

3. Pour chacun des modèles, on numérote les procédures afin de clarifier le texte lorsqu’on s’y réfèrera dans la question suivante.

Carré inscrit dans un cercle :

o Procédures commençant par le tracé du cercle :

• Variante 1 :

On repère le centre et le rayon du cercle en traçant sur le modèle les diagonales du carré : le centre est à l’intersection de celles-ci ; on peut alors utiliser le compas pour reporter le rayon et tracer le cercle.

On trace deux diamètres perpendiculaires du cercle ; les sommets du carré sont les extrémités de ces diamètres. (procédure C1)

• Variante 2 :

On reporte avec le compas le diamètre du cercle (diagonale du carré) ; on construit le milieu de ce diamètre à la règle et au compas (tracé de la médiatrice du diamètre) et on trace le cercle.

On trace ensuite un deuxième diamètre du cercle perpendiculaire à celui du début ; les sommets du carré sont les extrémités de ces deux diamètres. (procédure C2)

o Procédure commençant par le tracé du carré :

À partir du modèle, on reporte la longueur d’un côté, puis on trace des droites

On trace le cercle passant par les sommets du carré ; son centre est l’intersection des diagonales du carré. (procédure C3)

Rectangle inscrit dans un cercle :

o Procédures commençant par le tracé du cercle :

• Variante 1 :

On repère le centre et le rayon du cercle en traçant sur le modèle les diagonales du rectangle : le centre est à l’intersection de celles-ci ; on peut alors utiliser le compas pour reporter le rayon et tracer le cercle.

On place à l’aide du compas sur le cercle deux points A et B, extrémités d’un segment dont la longueur est celle d’un côté du rectangle.

On trace les diamètres du cercle passant respectivement par les points A et B ; les extrémités de ces diamètres fournissent les deux autres sommets D et C du rectangle. (procédure R1)

• Variante 2 :

On reporte avec le compas le diamètre du cercle (diagonale du rectangle) ; on construit le milieu de ce diamètre à la règle et au compas (tracé de la médiatrice du diamètre) et on trace le cercle.

On reporte la longueur d’un côté du rectangle depuis le modèle, ce qui permet de tracer un arc de cercle centré à une extrémité du diamètre tracé et ayant pour rayon la longueur d’un côté du rectangle ; une des deux intersections avec le cercle fournit un troisième sommet du rectangle ; on obtient le quatrième en traçant le diamètre passant par ce point. (procédure R2)

o Procédure commençant par le tracé du rectangle

À partir du modèle, on reporte la longueur d’un côté du rectangle, puis on trace des droites perpendiculaires au segment tracé passant par les extrémités A et B de celui-ci ; sur chacune on reporte dans le même demi-plan de frontière la droite (AB), la longueur du côté du deuxième côté du rectangle ; on obtient ainsi les deux autres sommets C et D du rectangle.

On trace le cercle passant par les sommets du rectangle ; son centre est l’intersection des diagonales du rectangle. (procédure R3)

Triangle rectangle inscrit dans un cercle :

o Procédure commençant par le tracé du cercle :

On reporte avec le compas le diamètre du cercle (hypoténuse du triangle rectangle) ; on construit le milieu de ce diamètre à la règle et au compas (tracé de la médiatrice du diamètre) et on trace le cercle.

On reporte la longueur d’un côté de l’angle droit du triangle depuis le modèle, ce qui permet de tracer un arc de cercle centré à une extrémité du diamètre tracé et ayant pour rayon la longueur d’un côté de l’angle droit du triangle ; une des deux

• Variante 2 :

Avec l’équerre, on trace un angle droit, puis on reporte les longueurs des côtés de l’angle droit ; on peut alors tracer l’hypoténuse. On construit alors le milieu O de celle-ci et on trace le cercle circonscrit dont le centre est ce point O. (procédure T3)

• Variante 3 :

On trace d’abord un rectangle comme dans la procédure R3 dont les longueurs des côtés sont celles des côtés de l’angle droit du triangle de la figure modèle ; on obtient le triangle en traçant une diagonale (hypoténuse du triangle) et on continue ensuite comme dans T2 et T3. (procédure T4)

Propriétés des figures utilisées Carré :

Pour C1 et C2 : la caractérisation du carré comme quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires, de même longueur et se coupent en leur milieu.

Pour C3 : la caractérisation du carré par ses angles droits et ses côtés de même longueurs pour le tracé du carré ; puis des propriétés des diagonales d’un rectangle (elles ont même longueur et se coupent en leur milieu) pour le tracé du cercle.

Rectangle :

Pour R1 et R2 : la caractérisation du rectangle comme quadrilatère dont les diagonales sont de même longueur et se coupent en leur milieu.

Pour R3 : la caractérisation du rectangle par ses angles droits et ses côtés opposés de même longueur pour le tracé du rectangle ; puis des propriétés des diagonales d’un rectangle (elles ont même longueur et se coupent en leur milieu) pour le tracé du cercle.

Triangle :

Pour T1 : caractérisation du triangle rectangle comme triangle inscrit dans un demi-cercle, l’un de ses côtés (l’hypoténuse) étant un diamètre du cercle.

Pour T2 et T3 : tout triangle rectangle est inscrit dans un cercle dont un diamètre est son hypoténuse.

Pour T4 : la caractérisation du rectangle par ses angles droits et ses côtés opposés de même longueur pour le tracé du rectangle, puis du triangle rectangle ; puis la même propriété que pour T2 et T3, lors du tracé du cercle.

Question 2

Difficultés des procédures proposées pour un élève de CM2 Toutes les procédures impliquent pour l’élève qui les met en œuvre :

• Une analyse de la figure et l’identification perceptive ou à l’aide des instruments de ses différents éléments et de leurs propriétés :

Pour le carré et le rectangle, les angles droits seront facilement identifiés de façon perceptive, alors que l’identification du diamètre du cercle non

L’absence de la règle graduée parmi les instruments utilisés dans les différentes procédures augmente la difficulté pour un élève de CM2, en particulier pour identifier le centre des cercles.

• Une bonne utilisation des instruments :

Dans les procédures proposées, la difficulté sera principalement l’utilisation du compas pour le report de longueurs ; mais cet usage du compas relève bien du programme du cycle 3.

La procédure C1 (comme la procédure R1) est envisageable pour un élève de CM2 ; mais c’est une procédure difficile car elle nécessite :

• Le tracé des diagonales sur le modèle ;

• L’utilisation implicite de la caractérisation des quadrilatères par leurs diagonales, dont la justification théorique n’est évidemment pas envisageable pour les élèves de CM2 ;

• Pour C1, le repérage de la perpendicularité des diagonales.

La procédure C2 (comme les procédures R2 et T1) est difficile pour un élève de CM2, car elle nécessite l’utilisation du compas pour trouver le milieu d’un segment.

D’après les programmes, cette compétence relève du collège. Une autre difficulté prévisible pour cette procédure est la construction d’un point comme intersection de deux cercles.

La procédure C3 (comme la procédure R3) est envisageable pour un élève de CM2 ; elle nécessite l’utilisation de l’équerre pour tracer des angles droits, du compas pour reporter des longueurs et tracer un cercle. La seule difficulté peut résider dans l’identification du centre du cercle comme intersection des deux diagonales du carré (ou du rectangle).

La procédure T2 relève du collège et non du cycle 3 ; en effet, la construction d’un triangle à l’aide du compas n’est pas exigible à la fin du cycle 3.

La procédure T3 repose essentiellement sur l’utilisation de l’équerre, le report de longueur à l’aide du compas et le tracé d’un cercle ; la seule difficulté est la détermination du milieu d’un segment sans règle graduée ; si on autorise cet instrument de mesure ou le recours au pliage, cette procédure est sans doute la plus envisageable au CM2 ;

La principale difficulté de la procédure T4 réside dans la nécessité d’inclure la figure modèle dans une sur-figure, difficulté qui sera atténuée si le modèle avec le rectangle est présenté simultanément aux élèves. Une fois cette difficulté surmontée, cette procédure est possible au CM2, car elle met uniquement en jeu (comme R3)

ÉTUDE DES ANNEXES 3, 4 ET 5