État de l’art

X = ¹ N i=N X i=1 X_i (2.10) S² = ¹ n − 1 N X i=1 (X_i− ¯X)² (2.11)

Bien que S2 soit un estimateur sans biais de σ2, S n’est pas un estimateur non biaisé de

σ. Il existe un biais qui peut être quand même négligé dans le cas d’un nombre

d’échan-tillons N élevé [25].

Il peut arriver qu’un paramètre θ d’une variable aléatoire ait plusieurs estimateurs

non biaisés ˆΘ_i. Dans ce cas, l’estimateur le plus efficace est celui à plus faible variance

[26].

2.3 Modélisation probabiliste de la production et de

la consommation d’électricité

2.3.1 État de l’art

Les modèles probabilistes de consommation et de production d’électricité dans la lit-térature sont historiquement basés sur une approximation de la distribution de puissance active par une loi de probabilité qui est généralement de type normale pour la consom-mation, Weibull pour la production éolienne et bêta pour la production photovoltaïque [27]. La partie qui suit présente une description des différentes variantes de ces modèles probabilistes de production et de consommation d’électricité trouvées dans la littérature.

Modélisation de la production

Alors que la puissance active des générateurs conventionnels est généralement modéli-sée par une distribution de Bernoulli [28], on retrouve plus de diversités dans les modèles

probabilistes de production d’électricité d’origine renouvelable. Les modèles probabilistes des unités de production d’électricité sont de plus en plus utilisés avec l’avènement de la production renouvelable intermittente. C’est dans que ce cadre que les travaux décrits dans [29] ont développé un modèle stochastique de la production photovoltaïque en sup-posant que la puissance PV produite à chaque instant suit une loi bêta.

Au lieu de considérer la puissance de sortie comme paramètre aléatoire, les travaux dé-crits dans [30] proposent un modèle qui calcule de la puissance photovoltaïque produite

P en fonction de l’irradiance r, de la surface des panneaux A, du rendement η et d’une

erreur sur la prévision de la température ∆T pondéré par une constante de température

k fournie par le constructeur (cf équation 2.12).

P = rAη(1 − k∆T ) (2.12)

L’aspect aléatoire est ici caractérisé par l’irradiance r, modélisée par une loi bêta et l’er-reur sur la prévision de température modélisée par une loi normale centrée. La loi de probabilité de la puissance P est alors obtenue par le produit de la loi de probabilité de l’irradiance et de celle de l’erreur sur la température, avec l’hypothèse que ces deux va-riables sont indépendantes. Même si cette approche considère plus de paramètres dans le modèle, elle omet la nébulosité qui est un facteur aussi déterminant dans la production du panneau PV. Les auteurs dans [27] proposent une densité de probabilité de la puissance de PV produite en fonction de la densité de probabilité du rapport entre l’irradiance mesurée au sol et l’irradiance solaire maximale théorique.

Ces modèles nécessitent l’acquisition de données météorologiques (irradiance, tem-pérature, nébulosité...) sur le site d’étude. En l’absence de données, les travaux de [31] permettent néanmoins une modélisation stochastique de la production basée sur une re-présentation des passages de nuages. Il s’agit d’un modèle de variation spatio-temporelle de la couverture nuageuse qui ne nécessite pas de données d’historique d’irradiance. Il est basé sur une génération de profils aléatoires d’ombre nuageuse déterminés à partir d’informations de distribution de taille de nuages. Toujours dans ce cadre, les travaux

dans [32] ont proposé un modèle d’ombre de nuages au sol à l’aide de fractales et de l’algorithme "midpoint deplacement".

En outre, les travaux dans [33] ont proposé un modèle de génération d’ombres nua-geuses au sol calibré grâce à des données de production mesurées. Une ombre nuageuse est modélisée par 2 ou 5 cercles concentriques selon que l’étude porte sur des petites installations PV domestiques ou bien des installations de grande taille de plusieurs cen-taines de kW à quelques MW. La puissance de PV produite est considérée égale à sa puissance théorique en ciel clair si l’ensemble du panneau se trouve en dehors du cercle d’extrémité. Sinon, la puissance produite est un pourcentage de la puissance théorique maximale installée, pourcentage qui varie de 80% à 30% au fur et à mesure que la position du panneau est proche du centre de l’ombre nuageuse. Les diamètres des cercles modéli-sant les nuages, le taux de couverture nuageuse de la zone et la densité de l’ombre sont calibrés en comparant la production simulée à celle mesurée sur des sites de production réels.

Les travaux dans [34] proposent un modèle stochastique de la puissance produite par les panneaux PV en fonction des conditions météorologiques, en distinguant trois situa-tions : journée avec ciel clair, journée avec ciel nuageux et journée pluvieuse. Il propose une méthode de calcul pour chaque type de jour mais ne propose pas une méthode pour déterminer la probabilité d’occurrence d’un type de jour donné.

Modélisation de la consommation

Les travaux dans [35] et [27] proposent une modélisation de la puissance consommée par une loi normale estimée à partir de distribution de mesures de consommation. La corrélation entre les puissances consommées pour chaque pas de temps peut être prise en compte en utilisant des distributions normales jointes ou un modèle d’auto régression (AR) comme le montre les travaux dans [36].

Les auteurs dans [37] trouvent que l’utilisation d’une loi normale pour modéliser les comportements probabilistes de la consommation est très simplificatrice. En effet, la distribution des valeurs de puissances consommées à une heure donnée ne suit pas toujours

dite distribuée suivant une loi χ2 à k degrés de liberté si elle est la somme des carrés de

k variables aléatoires indépendantes distribuées suivant une loi normale centrée réduite.

La forme de cette distribution dépend de la valeur de k. Plus k est grand, plus elle tend vers une loi normale. En ajustant la valeur de k, il est ainsi possible de mieux approximer une distribution de puissance consommée à une heure donnée [37].

Dans [38], un modèle probabiliste de charge basé sur le clustering est proposé. Des données de consommations journalières à l’horizon d’une année sont réparties en quatre saisons, chaque saison étant représentée par 2 clusters (jour ouvré et week-end). Chacun des huit clusters est ainsi représenté par un profil type de consommation défini par le centre du cluster. La différence entre le profil type d’un cluster et les autres profils de ce cluster est calculée puis approximée par une densité de probabilité de Weibull. Ainsi, chaque cluster est défini par un profil type (centres) et la densité de probabilité de l’erreur autour de ce profil type.