1.4 Diverses applications des notions de fonction et de limite
2.1.5 Équations des droites tangentes et normales
Définition 2.4 Lanormaleà une courbeC en un pointPest la droite qui passe parP et qui est perpendiculaire à la tangente à la courbe enP.
x y
bc
P 90°
C
TP tangente enP
NP normale enP
Rappel.Si les droitesd1etd2(de pentesm1etm2) ne sont ni verticales ni horizontales, alors ces droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leur pente est égal à−1 et ces droites sont parallèles si et seulement si elles ont la même pente.
d1⊥d2 ⇐⇒ m1m2= −1 d1∥d2 ⇐⇒ m1=m2
Rappel.L’équation d’une droite de pentempassant par le point (x1;y1) est m=y−y1
x−x1 ce qui équivaut à y=y1+m(x−x1).
Si le point (x1;y1) appartient au graphe d’une fonction f, disons (a;f(a)), alors l’équation de la droite devient
m=y−f(a)
x−a ce qui équivaut à y=f(a)+m(x−a).
Dans le cas particulier où la droite est tangente à la courbe y= f(x) au point (a;f(a)), la pente est donnée par la dérivée de la fonctionf évaluée ena:m=f′(a). Et dans le cas où la droite est normale à la courbe en (a;f(a)), la pente est alorsm= −f′1(a). Ce qui conduit au théorème suivant.
Théorème 2.2 L’équation de la droite tangente à la courbey=f(x) au point (a;f(a)) est y=f(a)+f′(a)(x−a).
x y
bc bc
f′(a)(x−a)
f(a) x−a
f
T mT=f′(a)
a f(a)
x y
L’équation de la droite normale à la courbey=f(x) au point (a;f(a)) est y=f(a)− 1
f′(a)(x−a).
Exemple 2.13
Trouvez l’équation de la droite tangente à la courbey=f(x) enx=2, où f(x)=x2+6.
Solution :
On a f(2)=22+6=10 et
f′(x) = h x2+6i′
= h x2i′
+h 6i′
dérivée d’une somme
= 2x+0 f′(2) = 4
Ainsi, l’équation de la tangente enx=2 est y = f(a) + f′(a)(x−a) y = f(2) + f′(2)(x−2) y = 10 + 4(x−2).
x y
bc bc
4(x−2)
10 x−2
f
2 10
2
x
y=10+4(x−2)
Si l’on souhaite obtenir l’équation sous la formey=mx+b, il suffit de la développer:
y=10+4x−8=4x+2.
Exemple 2.14
Trouvez l’équation de la droiteTAtangente à la courbey=f(x) au pointA=(−1;2), ainsi que de la droiteTBtangente à la courbe au pointB=(2;−4), où
f(x)=x3−5x−2.
Trouvez aussi les équations des droites normales à la courbe enAetB.
Solution :
Calculons la dérivée en chacun des points:
f′(x)=3x2−5 f′(−1)= −2 f′(2)=7 Les équations des tangentes enAet enBsont
y = f(a) + f′(a)(x−a)
TA: y = 2 + (−2)(x+1) = −2x TB: y = −4 + 7(x−2) = 7x−18 Les équations des normales enAet enBsont
y = f(a) + − 1 Remarque: on peut vérifier les équations obte-nues à l’aide des commandes tangentLineet normalLinede la Nspire.
x
Les exercices de cette section portent sur la définition de la dérivée, sur son interprétation graphique et sur les règles de dérivation présentées au théorème 2.1.
2.1 En observant le graphe de la fonction f(x), déterminez lequel des trois symboles suivants est approprié:
2.2 Sur le graphe de f ci contre, indiquez les longueurs représentées par
h, f(1), f(1+h) et f(1+h)−f(1) (choisissezh>0).
De plus, tracez la droiteDdont la pente est égale
à f(1+h)−f(1)
h
Quandh tend vers 0, vers quoi tend la pente de la droiteD? (Donnez une expression et non une valeur.)
x y
1+h 1
1
2.3 En observant le graphe de la fonctionf(x), estimez les valeurs demandées.
(a) f′(−2)
(b) f′(0)
(c) f′(1)
(d) f′(2)
(e) f′(3)
x y
1 2 3
−1
−2
−3
−2
−4
−6
−8
−10 2 4
De plus, tracez une esquisse du graphe def′(x).
2.4 Vous apprenez maintenant que la fonction illustrée à l’exercice précédent est f(x)=x4
8 −x−5
(a) Calculez précisément les valeurs demandées à l’exercice précédent.
(b) Donnez l’équation de la droite tangente ày=f(x) enx= −2 et l’équation de la droite tangente ày=f(x) enx=2.
(c) Calculez le point d’intersection de la droite tangente à la courbey=f(x) enx= −2 avec celle tangente enx=2.
(d) Validez votre réponse en traçant les tangentes sur le graphique.
L’exercice suivant est extrêmement important!
2.5 Dérivez les fonctions suivantes. Donnez le résultat avec exposants positifs et dénominateur commun.
Conseil.Avant de résoudre un problème, prenez d’abord le temps de clarifier l’énoncé à l’aide d’un graphique (même si ce n’est pas explicitement demandé).Aprèsavoir résolu le problème, validez vos résultats en les comparant au graphique.
2.6 Soitf(x)=x−2+3 et soitT la droite tangente à la courbey=f(x) enx=2.
(a) Calculezf′(x).
(b) Calculezf′(2).
(c) Calculez l’ordonnée à l’origine de la droiteT.
(d) Calculez le point d’intersection de la droiteT avec la droitey=2.
N. B. La figure 2.1 illustre l’énoncé de l’exercice précédent. On y voit que la dérivéef′(2) est négative, que l’ordonnée à l’origine de la droiteT est presque 4 et que l’intersection deT avecy=2 est située entrex=6 etx=8. Est-ce que cela correspond à ce que vous avez obtenu?
x
FIGURE2.1 Clarifiez la situation à l’aide d’un graphique!
2.7 Soitf(x)=x3−24x.
(a) Calculezf′(x).
(b) Tracez le graphe def(x).
(c) Calculezf′(0) et expliquez ce que représente cette valeur dans le graphe de f.
(d) Calculez la ou les valeurs dextelles quef′(x)=0 et expliquez ce que représentent ces valeurs sur le graphe de la fonction.
(e) Trouvez les coordonnées des points de la courbe où la pente de la tangente est de 24.
2.8 Trouvez les équations des droites tangente et normale à la courbe y=p3
xenx=8. Tracez le tout dans un même plan cartésien.
Le symbole⋆ indique une question plus difficile. Celles de l’exercice suivant sont très importantes.
2.9 Voici le graphe de la fonctionf(x)= −x2+4x+2. SoitAle point de coordonnées (0; 2). La droite
(a) Trouvez les coordonnées du pointB où la normaleNArecoupe la courbey=f(x).
Ne présumezpasque NApasse par le point (8;0).
(b) ⋆ Trouvez les coordonnées du pointCde la courbe sachant que la droite normale NC passe par le point (8; 4).Ne présumez pasque NC passe par le point(1;2). Utili-sez un solveur pour résoudre les équations posées (voir figure 2.2).
(c) ⋆ Calculez les coordonnées du ou des pointsD de la courbe sachant que la tan-genteTDpasse par le point (7; 2).
FIGURE2.2 Exemples de résolution d’équations et de système d’équations avec Nspire. Pour plus de détails, regardez les vidéos 6, 7 et 8 de la chaîne VUnETSou lisez les documentsRésolution d’une équationet
Résolution d’un système d’équationssur le site La technologie TI-nspire CAS à l’ÉTS.
2.10 On désire construire un support conique pour soutenir une pièce métallique en forme de paraboloïde (antenne, réflecteur, etc.). La figure 2.3 illustre la pièce, le support ainsi qu’une coupe 2D de la pièce. L’équation de la parabole est
y=x2
7 −10 −10≤y≤0
Les points de contact entre le support et la pièce doivent être situés enx=5 etx= −5. On ne tient pas compte ici de l’épaisseur du métal.
(a) Calculez l’angle que forme le bout pointu du cône.
(b) Calculez la hauteur du cône.
a) Pièce b) Support
x y
bc bc
5 10
−5
−10
−5
−10
−15
c) Coupe 2D d) Pièce sur son support
FIGURE2.3 Illustration de l’exercice 2.10
2.11⋆ La parabole
Du point de vue géométrique, la parabole est définie comme le lieu des points qui sont équidistants d’un point, appelé foyer, et d’une droite, appelée directrice. En d’autres termes, tout point sur la parabole est à égale distance du foyer (F) et de la directrice.
(a) Nous désignerons la distance entre le foyer et la directrice par la quantité 2b. Prenantb = 1, retrouvez l’équation de la parabole utilisant le fait que les distancesd1etd2sont égales. Pour ce faire, étant donné un pointPde coordonnées (x;y) qu’on suppose sur la courbe, on écrira
(d1)2=(d2)2 et on résoudra poury.
(b) Trouvez l’expression de la pente de la normale enP. (c) Trouvez la pente du segment de droiteF M.
(d) Montrez que les anglesαetβsur la figure qui suit sont égaux àθ. (Conseil: utilisez le résultat précédent et le fait que le triangleF P Mest isocèle.)
En optique et en télécommunications, le fait qu’un rayon faisant un angleθpar rapport à la normale soit réfléchi selon le même angle est utilisé dans la conception de réflecteurs ou d’antennes. De la discussion qui précède, on déduit qu’un réflecteur (antenne) parabolique réfléchira tout rayon parallèle à l’axe de la parabole en direction du foyer (où on placera un capteur ou un émetteur).
2.12 Associez chacune des 6 fonctions f, g, h, j, k etmà sa dérivée a, b, c, d, e et z. Procédez graphiquement, sans tenter de déduire l’expression algébrique de la fonction.
Graphes des fonctionsf,g,h, j,ketm:
2.13 Associez chacune des 4 fonctions f, g, h et j à sa dérivée (6 choix de réponses). Procédez graphiquement, sans tenter de déduire l’expression algébrique de la fonction.
Graphes des fonctionsf,g,hetj:
2.14 Considérez le graphe de f suivant. Esquissez le graphe de la dérivée de la fonction f sur l’intervalle [−2;6]. Procédez graphiquement, sans tenter de déduire l’expression algébrique de la fonction.
Esquissez ensuite le graphe de la dérivée de la fonctionf′sur l’intervalle [−2;6], c’est-à-dire le graphe
de la dérivée seconde def, notéef′′.