1. Préordre 2. Ordres partiels
3. Homomorphismes d’ordres partiels 4. Dcpo et co-dcpo
5. Complétion 6. Sous-structures
Les préordres, les ordres partiels, et toutes les notions corrélées de ce chapitre se retrouvent dans la littérature de la théorie des domaines. Cependant, certains sujets sont développés de façon autonome (notamment la co-finalité et co-initialité), certains résultats, utilisés par la suite, sont prouvés formellement, et l’ensemble des notions et des énoncés est abordées par le métalangage algébrique défini dans le chapitre précédent.
2.1. Préordres
Les préordres sont des algèbres constituées d’un seul domaine, donc des struc-tures. Avec le domaine D, un semi-prédicat binaire ≤: 1D×D, appelé relation de préordre, caractérise complètement la structure. Nous verrons que l’algèbre est aussi peuplée par d’autre opérations telles que les propriétés dirigé,idéal oufiltre. Nous utiliserons le plus souvent la notation infixe x≤ypour signifier≤(x; y) =•, au-trement dit pour signifier(x; y)∈dom(≤). Nous noterons souvent, avec un abus de notation, la relation binaire dom(≤), qui est de type}D×D, toujours par le symbole
≤, ce qui nous autorisera l’écriture (x; y) ∈≤. La meilleure approche, selon nous, est celle de considérer l’opération ≤ comme une propriété, ayant le type officiel, pour ainsi dire, de semi-prédicat≤:1D×D, mais pouvant être considérée en l’occur-rence comme une relation≤:}D×D (d’où le nomrelation de préordre et la notation (x; y)∈≤), ou encore, comme un prédicat ≤:2D×D (d’où la notation x≤y).
2.1.1. Préordres. Soit < une relation sur un domaine D. Si les conditions suivantes sont vérifiées :
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(a) ∀x∈D:(x; x)∈<
(b) ∀x; y; z∈D:(x; y)∈< ^ (y; z)∈< ) (x; z)∈<
nous disons que le couple (D;<) est un préordre. Nous traduisons la condition (a) en disant que < est réflexive sur D, et la (b) en disant que < est transitive sur D. Ledual du préordre (D;<)est le couple (D;<⊥) où<⊥ , f(y; x)∈ D× D j(x; y)∈<gest la relationduale de<. Si la relation est notée par un symbole asymétrique (par exemple ≤), l’image spéculaire du symbole (dans l’exemple ≥) pourra dénoter, aussi bien que≤⊥, la relation duale. Larelation stricteassociée à
< est la relation < n(D×D). Toute relation de préordre contient, par définition, l’égalité sur le domaine. Quand le symbole utilisé fera référence implicite à l’égalité contenue (comme ≤, v ou ), le symbole empêchant cette réminiscence (dans l’exemple <,@ou≺) dénotera la relation stricte associée.
2.1.2. Symétrie et anti-symétrie. Deux propriétés additionnelles, la symé-trie et l’anti-symétrie (qui ne sont pas, malgré leur nom, en opposition logique) peuvent caractériser une structure de préordre.
2.1.2.1. Équivalences. Lorsqu’un préordre(D;<)vérifie aussi la condition sui-vante :
(c’) ∀x; y∈D:(x; y)∈< ) (y; x)∈<
nous disons que < est une relation d’équivalence sur D. En particulier, nous traduisons la condition (c’) en disant que< estsymétrique surD.
Étant donné une équivalence (D;≈), la classe (d’équivalence) de x est l’en-semble[x]≈,fy∈D jx≈yg. Tout élément d’une classe est un représentantde la classe (par le biais de l’application[:]≈ :D!}D). Les propriétés des équivalences (réflexive, transitive et symétrique) impliquent que la relation x≈y soit logique-ment équivalente à l’égalité des classes [x]≈ = [y]≈. Le quotient de D modulo ≈ est l’ensemble des classes d’équivalences : D≈ ,fffl ∈ }D jffl= [x]≈; x∈ Dg. Le quotient modulo une relation d’équivalence est une partition de l’ensemble D, i.e.
une famille de partiesfffligi∈IdeDétanches (ffli∩fflj=∅) et dont l’union reconstitue D (i.e.S
i∈Iffli=D).
2.1.2.2. Ordres partiels. Un préordre (D;<) est unordre partiel s’il vérifie la condition suivante, appelée propriétéanti-symétrique :
(c) ∀x; y∈D:(x; y)∈< ^ (y; x)∈< ) x=y
2.1.2.3. Préordres propres. Nous dirons qu’un préordre est propre lorsqu’il ne vérifie ni la propriété symétrique ni l’anti-symétrique, en d’autres termes, lorsque il ne s’agit ni d’une équivalence ni d’un ordre partiel.
Tout préordre(D;≤)définit implicitement une relation d’équivalence par l’in-tersection de la relation de préordre et de sa duale :
≈,≤ ∩ ≥= f(x; y)∈D×Djx≤y ^y≤xg
Nous dirons que l’équivalence ≈ est engendrée par le préordre. La relation qui résulte de cette construction est une relation originale d’un véritable intérêt ma-thématique, seulement lorsque le préordre est propre. Sinon, dans le cas d’une équivalence, l’équivalence engendrée coïncide avec son germe : (≈) = (≤), tandis
2.1. PRÉORDRES 47
que dans le cas d’un ordre partiel, l’équivalence engendrée coïncide avec l’égalité sur le domaine :(≈) = (=). Dans les deux cas, elle existe déjà.
La relation de préordre≤peut être étendue aux classes de l’ensemble quotient D≈ :
ffl1≤ffl2 ()4 ffl1= [x] ^ ffl2= [y] ^ x≤y
On montre que la définition ne dépend pas des représentantsxetychoisis, et que la nouvelle relation est, elle aussi, un préordre. De plus, elle vérifie la propriété anti-symétrique : ffl1≤ffl2 ^ ffl1 ≥ffl2 ) ffl1= ffl2, ce qui confère au couple(D≈;≤) la structure d’ordre partiel. Nous dirons, de ce dernier aussi, qu’il s’agit de l’ordre partiel engendré.
Ainsi, un préordre propre(D;≤)définit implicitement, d’une part, une struc-turesymétrique, l’équivalence(D;≈)et, d’autre part, une structureanti-symétrique, l’ordre partiel (D≈;≤).
2.1.3. Parties singulières d’un préordre. Étant donné un préordre ` = (D;<), les parties X ∈ }D du domaine peuvent être classées selon des critères portant sur la relation<.
2.1.3.1. Dirigés, co-dirigés. Nous disons qu’un sous-ensemble X∈ }D, est un dirigé (oufiltrant) de` si : ∀x; y ∈ X: ∃z ∈ X : (x; z) ∈ < ^ (y; z) ∈ <. Nous noterons ´(`) l’ensemble des dirigés du préordre. Si D ∈´(`) nous disons que le préordre` est, lui-même, un dirigé. De façon duale, nous disons queX∈}D est un co-dirigé de` si : ∀x; y∈X:∃z∈X : (z; x)∈< ^(z; y)∈<. Nous notons∇(`) l’ensemble des co-dirigés du préordre et si D ∈∇(`) nous disons que le préordre
` est, lui-même, un co-dirigé. Nous remarquerons que l’ensemble vide ∅ est, par définition, à la fois un dirigé et un co-dirigé de tout préordre `. Nous noterons respectivement ´+ et ∇+ les propriétésdirigé non vide ´(`)n f∅get co-dirigé non vide ∇(`)n f∅g.1
2.1.3.2. Majorants, minorants. Un élément x∈D est unmajorant d’un sous-ensembleX∈}D, si∀x0∈X: x0<x. La propriétéêtre un majorant de (upper bound of) est définie par : ub`(x; X)()4 ∀x0 ∈X: x0<x. L’ensemble de tous les majorants (upper bounds) deX∈}D est : ubs`(X),fy∈D jub`(y; X)g. De façon duale, un élément x∈D est unminorant deX∈}D, si∀x0∈X: x<x0. La propriété être un minorant de (lower bound) est définie par lb`(x; X)()4 ∀x0∈X: x<x0. L’ensemble lbs`(X),fy∈Dj lb`(y; X)gest l’ensemble de tous les minorants (lower bounds) deX. Nous considérerons les deux propriétés ub` et lb`, comme des semi-prédicats, donc de type 1D×}D. Les deux opérations ubs` et lbs` seront, en revanche, des fonctions de type}D!}D. On remarquera que, par définition,∀x∈D:ub`(x;∅)^
lb`(x;∅), donc ubs`(∅) =lbs`(∅) =D.
1Certains auteurs excluent directement l’ensemble vide∅des définitions de dirigé et co-dirigé. Ce choix n’est pas sans conséquences pour les notions, définies successivement, d’ordre partielcomplet par dirigésouco-dirigéset sur celle de fonctioncontinue.
2.1.3.3. Maximaux, minimaux. Un élémentmaximald’un sous-ensemble donné X∈}D non videX6=∅, est un élémentx∈Xtel que ∀x0∈X: x0<x. D’autre part, un élémentminimald’un sous-ensembleX∈2Dnon videX6=∅, est un élémentx∈ Xtel que∀x0∈X: x<x0. Nous noterons respectivement max`Xet min`Xl’ensemble des éléments maximaux et celui des éléments minimaux du sous-ensembleXdans le préordre` = (D;<). Il s’agit de deux fonctions partielles max`;min` :}D−◦!}D (qui ne sont pas définies sur l’ensemble vide :∅∈=dom(min)et ∅∈=dom(max)).
2.1.3.4. Clôtures vers le bas, vers le haut. Nous disons qu’un sous-ensemble L ∈2D est clos vers le bas2 (resp.U ∈2D est clos vers le haut3) dans ` si :∀x∈ L:∀y∈D:(y; x)∈< ) y∈ L(resp.∀x∈ U:∀y∈D:(x; y)∈< ) y∈ U). Nous noteronsL(`)etU(`)l’ensemble des parties du préordre closes, respectivement, vers le bas et vers le haut. La fermeture vers le haut est l’opération"` (:) : }D !}D définie par "` (X) =fy∈D j∃x∈ X: x<yg. De façon duale, la fermeture vers le bas est l’opération#` (:) :}D !}D définie par#` (X) =fy∈D j∃x∈X: y<xg.
Par définition L(`) =fX ∈ }D j #` (X) = Xg, U(`) =fX ∈ }D j "` (X) = Xg, ubs`(X) ⊆"` (X) et lbs`(X) ⊆#` (X). Nous utiliserons les notations allégées "` x et #` x, ou"xet #x(lorsque la structure` sera implicite dans le contexte), pour signifier respectivement "` fxget #` fxg. Tout sous-ensemble de la forme #` x sera appelécône (de x).
2.1.3.5. Idéaux et filtres. Les idéaux et les filtres sont des propriétés dérivées (par intersection). Nous disons qu’un sous-ensemble I ∈ }D est un idéal si il est à la fois dirigé et clos vers le bas. Nous noterons I(`) l’ensemble des idéaux du préordre : I(`),´(`)∩ L(`). En particulier, les ensembles# xseront les idéaux principaux. La notion duale est celle de filtre : un sous-ensemble F ∈ }D est un filtresi il est à la fois co-dirigé et clos vers le haut. L’ensemble des filtres du préordre est ainsi défini parF(`),∇(`)∩ U(`). En particulier, lesfiltres principaux seront les ensembles de la forme "x.
2.1.4. Extension aux fonctions à valeurs dans le préordre. Étant donné un préordre (D;≤:1D×D)et un domaine de base X∈ B, le préordreextensionnel entre fonctions de typeX!D est le semi-prédicat≤eX défini par :
f≤eX g ()4 ∀x∈X: f(x)≤g(x)
On vérifie facilement que la nouvelle propriété ≤eX est, comme son germe ≤, sy-métrique et transitive. Donc, la structure(X!D;≤eX)est, elle aussi, un préordre.
Le choix d’un domaine de base reflète l’intention de neutraliser la traduction des valeurs pour toute interprétation du préordre A = (D;≤: 1D×D) dans une autre algèbre B. Les valeurs du domaine de base X seront forcément traduites par la fonction identité dans le même ensemble X.
Nous remarquerons que le type du préordre extensionnel dépend de l’ensemble de base donné. Il s’agit donc d’une construction polymorphe :
≤e: ∀¸:base: 1(¸!D)×(¸!D)
2lower setoudown set
3upper set
2.1. PRÉORDRES 49
Non seulement≤eest une construction polymorphe, mais les objets mathématiques résultants sont d’ordre supérieur. En effet, étant donnéX∈ B, le type de≤eX, c’est-à-dire1(X!D)×(X!D) = ((X!D)×(X!D))−◦!1, n’est pas un type du premier ordre.
2.1.5. Extension aux classes co-finales et co-initiales. Étant donné un préordre (D;≤: 1D×D), la co-finalité entre parties de D est le semi-prédicat ≤[: 1(}D)×(}D) défini par :
X≤[Y ()4 ∀x∈X: ∃y∈Y: x≤y
Si X≤[ Y on dit que Y est co-final deX. Vice versa, laco-initialité entre parties deD est la relation≤]:1(}D)×(}D)définie par :
X≤]Y ()4 ∀y∈Y: ∃x∈X: x≤y
Si X ≤] Y on dit que X est co-initial de Y. Les deux semi-prédicats ≤[ et ≤] apparaissent en littérature (par exemple dans [Taylor, 1999]), le premier sous le nom de lower order. Ce nom s’explique en observant que la condition X ≤[ Y est équivalente à l’inclusion des respectives clôtures vers le bas#X⊆#Y. De façon symétrique, la conditionX≤]Yest équivalente à l’inclusion"X⊇"Y. Cependant, le nom delower order est à notre avis captieux : il évoque le bas alors que, étant donné deux ensemblesX etY, leur partie initiale est ignorée : l’intérêt est tout pour leur avant-garde (pour toutx∈Xil existe uny∈Yplus grand quex), d’où le nom de co-finalité. La notation musicale, nous apprend encore [Taylor, 1999], a été proposée par Carl Gunter. Les deux relations sont de toute évidenceréflexivesettransitives: l’ensemble des parties }D, équipé d’une de ces deux relations, constitue toujours un préordre. Et elles sont apparentées : la co-finalité construite sur le préordre dual coïncide avec la co-initialité construite sur le préordre de départ : (≤⊥)[ =≤], et vice versa : (≤⊥)] =≤[. Puisque ces nouvelles relations ne sont pas la duale l’une de l’autre : ≤[6= (≤])⊥, nous avons (≤⊥)[ =≤]6= (≤[)⊥, et (≤⊥)] =≤[6= (≤])⊥. Ainsi, la notation des symboles renversés,≥[et≥], pose un problème d’ambiguïté sur l’ordre de la construction mathématique opérée : dualité puis co-finalité (resp.
co-initialité) ou co-finalité (resp. co-initialité) puis dualité. Ainsi, il est nécessaire de préciser que le symbole≥[dénotera la relation duale de la co-finalité(≤[)⊥ (et non pas la co-finalité de la duale(≤⊥)[=≤]), et que le symbole≥]dénotera la relation duale de la co-initialité (≤])⊥ (et non pas la co-initialité de la duale(≤⊥)] =≤[).
La conjonction logique des deux relations apparaît elle aussi en littérature (par exemple dans [Abramsky & Jung, 1994]) sous le nom d’ordre d’Egli-Milner :
X≤\Y ()4 X≤[Y ^X≤]Y.
Ainsi, un couple de partiesXet Y est dans l’ordre d’Egli-Milner si et seulement si Y est co-final deXetXest co-initial de Y.
2.1.5.1. Équivalences engendrées. Si le préordre de départ≤ n’est pas trivia-lement contenu dans la diagonale de D×D (i.e. il existex; y ∈D; x 6=y tel que x ≤ y), alors les préordres de co-finalité et co-initialité sont propres. Dans cette hypothèse, les contre-exemples de la propriété anti-symétrique sont, pour le pré-ordre ≤[, les partiesfx; yget fyg, et pour le préordre≤], les parties fx; yg et fxg. Les équivalences engendrées par ces préordres, notées respectivement≈[et≈], sont
Tab. 1. Signature complète d’un préordre
( D , domaine
≤ : 1D×D; , relation de préordre
´(D;≤) : 1(}D) , dirigés (filtrants)
∇(D;≤) : 1(}D) , co-dirigés
lb(D;≤) : 1D×}D , minorant (lower bound)
ub(D;≤) : 1D×}D , majorant (upper bound)
lbs(D;≤) : }D!}D , minorants
ubs(D;≤) : }D!}D , majorants
min(D;≤) : }D−◦!}D , minimaux
max(D;≤) : }D−◦!}D , maximaux
#(D;≤) : }D!}D , fermeture vers le bas
"(D;≤) : }D!}D , fermeture vers le haut
L(D;≤) : 1(}D) , lower sets
U(D;≤) : 1(}D) , upper sets
I(D;≤) : 1(}D) , idéaux
F(D;≤) : 1(}D) , filtres
≤e : ∀¸:base: 1(¸!D)×(¸!D) , préordre extensionnel
≤[;≤] : 1(}D)×(}D) , préordres de co-finalité et co-initialité
≈[;≈] : 1(}D)×(}D) ) équivalences de co-finalité et co-initialité donc des équivalences non triviales, strictement plus abstraites (moins fines) que
l’égalité sur les parties deD.
≈[:1(}D)×(}D) X≈[Y ()4 X≤[Y ^ Y≥[X
≈]:1(}D)×(}D) X≈]Y ()4 X≤]Y ^ Y≥]X
Les deux équivalences ne coïncident pas puisque les préordres≤[et≤]ne sont pas le dual l’un de l’autre :≤[6=≥] et≤]6=≥[. Nous utiliserons les mêmes symboles≤[ et≤]pour dénoter les relations de co-finalité et co-initialité étendues aux classes de l’équivalence respective. La structure(}D≈[;≤[:1}D≈[×}D≈[), qui est un ordre partiel (2.1.2.3), sera l’extension aux classes co-finales du préordre (D;≤: 1D×D). Vice versa, l’ordre partiel(}D≈];≤]:1}D≈]×}D≈])sera sonextension aux classes co-initiales.
Notation 2.1.1. Pour alléger la notation des fonctions [:]≈[ : }D ! }D≈[ et [:]≈] :}D!}D≈], nous les écrirons respectivement[:][et [:]].
2.1.6. Signatures d’un préordre. Une façon de résumer la définition d’une algèbre est celle d’en présenter la signature. Pour les préordres la signature que nous dirons essentielle est(D;≤:1D×D), notée le plus souvent (D;≤). En revanche, la signaturecomplète, faisant référence à toutes les opérations définies précédemment, est représentée dans la table 1.
2.2. Ordres Partiels
La principale conséquence de la propriété anti-symétrique des ordres partiels est qu’elle garantit, lorsque ils existent, l’unicité des éléments minimaux et maximaux.
En d’autre termes, dans le contexte d’un ordre partiel, le max`et le min`deviennent
2.2. ORDRES PARTIELS 51
des fonctions partielles de type}D−◦!D, au lieu que de type}D−◦!}D pour les préordres génériques.
2.2.1. Bornes inférieure et supérieure. Soit` = (D;<)un ordre partiel.
Si max`(X) = x (resp. min`(X) = x) nous disons que x est le maximum (resp.
minimum) deX. Nous disons que l’ordre partiel` estpointé (vers le bas) si∃ ⊥= min` D. Réciproquement, nous disons qu’il estpointé vers le hautsi∃ >=max`D.
La borne supérieure de X ∈}D est, si elle existe, le minimum de ses majorants : sup`X ~ = min`(ubs`X). Vice versa, laborne inférieure de X∈}D est, si elle existe, le maximum de ses minorants : inf` X ~ = max(lbs`X). Les fonctions partielles sup et inf sont souvent notées respectivement lub, de l’anglais least upper bound, et glb, de greatest lower bound. Quand le domaine D sera implicitement défini par le contexte, nous écrirons que le symbole de relation ≤ en indice des propriétés lb et ub, des fonctions ubs, lbs, et des fonctions partielles max, min, sup et inf.
Ou vice versa, nous omettrons la relation en précisant seulement le domaineD. Et lorsque les deux seront implicites nous éliminerons tout indice. En particulier, dans ce dernier cas, les fonctions partielles supAet infApourrons être notées de façon alternative, respectivement, parW
AetVA. La composition de la fonction sup avec la propriétédirigé non vide´+(cf. section 1.1.6), est lesup-dirigé(ousup-filtrant) : t,sup´+ =f(X;sup`(X))jX∈´(`); X6=∅g. D’autre part, la composition de la fonction inf avec la propriétéco-dirigé non vide∇+, est leinf-co-dirigé:u,inf∇+. La co-finalité réciproque est une condition logique plus forte que l’égalité des bornes supérieures. De façon duale la co-initialité réciproque est plus forte que l’égalité de bornes inférieures.
Lemma 2.2.1. Soit (D;≤)un ordre partiel. Alors, l’équivalence de co-finalité (resp. co-initialité) implique l’égalité, si elles existent, des bornes supérieures (resp.
inférieures). D’une part nous avons l’implication suivante :
Hp 8<
:
(D;≤)ordre partiel X; Y∈}D
X≈[Y
TsfsupX=v , supY =v et, d’autre part, nous avons l’implication duale :
Hp 8<
:
(D;≤)ordre partiel X; Y∈}D
X≈]Y
TsfinfX=v , infY=v
Démonstration. Nous démontrons uniquement la première impli-cation, la seconde étant duale. Soit X ≈[ Y. Il suffit de montrer que X etYpartagent le même ensemble de majorants. En particulier nous avonsX≤[Y. SoitM ∈ubs(D;≤)Y, donc∀y∈Y: y≤M. Soitx∈ X.
PuisqueY est co-final deX, il existe y∈Ytel quex≤y. Doncx≤M, autrement dit M ∈ ubs(D;≤)X. En utilisant la co-finalité dans l’autre sens (Y≤[ X), on déduit queubs(D;≤)X =ubs(D;≤)Y, donc forcément sup(D;≤)X=sup(D;≤)Ysi l’un ou l’autre existe. ˜
Ainsi, aux classes de co-finalité (resp. co-initialité) on associe la borne supérieure (resp. inférieure), lorsqu’elle existe, partagée par tous leurs représentants. En d’autres termes, les fonctions partielles sup(:) et inf(:) peuvent être étendues, respective-ment, aux classes de co-finalité et co-initialité : sup: (}D⊕}D≈[)−◦!D, supffl=supX siffl= [X][, et inf : (}D⊕}D≈])−◦!D, infffl=infXsiffl= [X]]. Dans les deux cas la définition est indépendante du représentantXchoisi pour la classe ffl.
2.2.2. Complétude. Par définition, l’existence de la borne supérieure (ou inférieure) d’un sous-ensemble D0 ⊆ D est un souci double : d’une part il faut qu’il existe des majorants (resp. des minorants) de D0, puis il est nécessaire qu’ils admettent un minimum (resp. un maximum). L’existence des bornes supérieures (ou inférieures) pour certaines familles de sous-ensembles du domaineDcaractérise et distingue les ordres partiels. Si un ordre partiel` = (D;<)vérifie :
(d) ∀x; y∈D:fx; yg∈dom(sup`)
nous disons que ` est unsup-demi-treillis.De façon duale, si : (d’) ∀x; y∈D:fx; yg∈dom(inf`)
nous disons que` est uninf-demi-treillis.Si l’ordre partiel vérifie simultanément les deux conditions (d) et (d’), nous disons que`est untreillis.Il s’agit d’une notion de complétude par sous-ensembles binaires fx; yg. Si l’ordre partiel vérifie :
(e) ´(`)⊆dom(sup`)
nous disons que (D;<) est un dcpo, ou que l’ordre partiel est complet par dirigés.De façon duale, si :
(e’) ∇(`)⊆dom(inf`)
nous disons que ` est un co-dcpo, ou que l’ordre partiel est complet par co-dirigés. Si l’ordre partiel vérifie simultanément les deux conditions (e) et (e’), nous disons que` est unbi-dcpo. Si l’ordre partiel vérifie :
(f) dom(sup`) =}D
nous disons que ` est unsup-demi-treillis complet.De façon duale, si : (f’) dom(inf`) =}D
nous disons que` est uninf-demi-treillis complet.Si l’ordre partiel vérifie simul-tanément les deux conditions (f) et (f’), nous disons que ` est untreillis complet.
Les implications logiques entre les différentes notions de complétude ne sont pas, au premier abord, toutes évidentes : la taxinomie de la table 2 s’efforce de mettre un peu d’ordre dans les ordres.
Plus généralement, étant donné une famille de partiesF :}(}D), nous disons que l’ordre partiel (D;≤) est complet vers le haut (resp.vers le bas) par rapport à F ou sup-complet (resp. inf-complet) dans F, si et seulement si ∀X ∈ F: X ∈ dom(sup`)(resp. ∀X ∈ F: X ∈dom(inf`X)). En d’autre termes, un ordre partiel est complet vers le haut (resp. bas) pour une famille F de parties, si la fonction partielle sup (resp. inf) restreinte à F se révèle totale : supjF : F ! D (resp.
infjF :F!D).
2.3. HOMOMORPHISMES D’ORDRES PARTIELS 53
Tab. 2. Taxinomie des notions de complétude (D;<)
préordre ordre partiel
dirigé co-dirigé
sup-demi-treillis inf-demi-treillis
treillis
dcpo co-dcpo
bi-dcpo
sup-demi-treillis complet inf-demi-treillis complet
treillis complet
(a),(b)
(c)
(e) (e’)
(d) (d’)
(f)
(d’)
(f’) (d)
(f),(f’)
(f),(f’)
(e’) (e)
(f) (f’)
(f’) (f)
2.3. Homomorphismes d’ordres partiels
2.3.1. Monotonie (croissance). Étant donné deux structures d’ordres par-tiels(D;≤)et (D0;≤0), la composante (interprétation des noms) de tout homo-morphisme ( ; ’) : (D;≤) 7−H! (D0;≤0) est forcément la fonction (D) = D0 et (≤) =≤0. Nous pourrons donc toujours la considérer implicite et noter’: (D;≤ )7−H!(D0;≤0). Dans le contexte des ordres partiels, les homomorphismes ou, plus précisément, leur interprétation des valeurs ’ : D ! D0, sont appelés fonctions monotones(oucroissantes). La spécificité de telles structures permet de réécrire la condition d’homomorphisme (cf. section 1.3.4.4), c’est-à-dire de monotonie, de la façon suivante :
∀x; y∈D: x≤y ) ’(x)≤0’(y)
Comme tout homomorphisme, la fonction transpose les élément de D en élé-ment de D0 en respectant la relation d’ordre : ce qui est plus petit au départ le demeure à l’arrivée. D’une façon analogue, la notion de décroissancecoïncide avec celle d’homomorphisme entre (D;≤)et l’ordre partiel dual(D0;≤0)⊥= (D0;≥0).
2.3.1.1. Points fixes. Dans le cas spécial où la fonction monotone projette dans le même ordre partiel, c’est-à-dire dans le cas où(D;≤)et(D0;≤0)coïncident (fest donc un endomorphisme), nous appellerons point fixe def tout élémentx∈Dtel quef(x) =x. Nous appellerons fix: (D!D)!1Dl’application qui associe à toute fonction f : D ! D le semi-prédicat représentant l’ensemble de ses points fixes :
Tab. 3. Signature complète d’un ordre partiel (D;≤; ´;∇;lb;ub;lbs;ubs;#;";
L;U;I;F;≤e;≤[;≤];≈[;≈];
min(D;≤) : }D−◦!D , minimum
max(D;≤) : }D−◦!D , maximum
⊥ : −◦!D , bottom
> : −◦!D , top
inf(D;≤) : }D−◦!D , borne inférieure sup(D;≤) : }D−◦!D , borne supérieure
u : }D−◦!D , inf-co-dirigé t : }D−◦!D , sup-dirigé fix : (D!D)!1D , points fixes
—(D;≤) : (D!D)−◦!D , plus petit point fixe (D;≤) : (D!D)−◦!D ) plus grand point fixe
dom(fix(f)) =fx∈Djf(x) =xg. Nous utiliserons, comme d’habitude, la notation allégée fix(f) aussi bien pour le semi-prédicat que pour son domaine (l’ensemble des points fixes). Nous définissons leplus petit point fixe—(f) ~ = min(D;≤) fix(f), et le plus grand point fixe (f) ~ = max(D;≤) fix(f). Les fonctions partielles —et de type (D!D)−◦!D, que nous noterons aussi—(D;≤) et(D;≤), sont appeléesopérateurs de point fixe. Pour certaines familles d’ordres partiels et restreintes à certaines classes de fonctions, les opérateurs de point fixe deviennent des fonctions totales.
Theorem 2.3.1. (Tarski’s fixpoint) Si (D;≤) est un treillis complet et f: (D;≤)7−H!(D;≤)est une fonction monotone (endomorphisme), alors l’ensemble des points fixes fix(f)équipé de la relation≤est, lui-même, un treillis complet. Par
conséquent : ∃—(f) et∃(f). ˜
2.3.1.2. Opérateurs de clôture. Étant donné un ordre partiel(D;≤), un opéra-teur de clôture (vers le haut) est une fonction monotone : (D;≤) 7−H! (D;≤) (endomorphisme) telle que ∀x ∈ D: ((x)) = (x) (idempotente) et telle que
∀x∈D: x≤(x)(extensive). La notion duale, d’opérateur de clôture vers le basest obtenue en remplaçant la propriété extensive par la duale, qu’on appellera contrac-tion (ou réductive), i.e. ∀x ∈ D: (x) ≤ x. La propriété d’idempotence implique dans les deux cas (vers le bas ou vers le haut) que l’ensemble des points fixes d’un opérateur de clôture coïncide avec son image : fix() =ImD.
2.3.2. Signature d’un ordre partiel. La signaturecomplèted’un ordre par-tiel, illustrée par la table 3, diffère de celle des préordres par le type plus précis des opérations min et max, et par la présence des nouvelles opérations sup, inf,t,uet
2.3.2. Signature d’un ordre partiel. La signaturecomplèted’un ordre par-tiel, illustrée par la table 3, diffère de celle des préordres par le type plus précis des opérations min et max, et par la présence des nouvelles opérations sup, inf,t,uet