Rayonnement Solaire dans la Ville de
4.5. Échelle de la rue : simulation du rayonnement solaire
4.5.1. Stratégie de maillage
Maillage élément fini et maillage secondaire
Le maillage sur lequel sont calculés les apports solaires correspond à la peau du maillage volumique utilisé pour les simulations thermiques en éléments finis (Figure 4.15). Dans ce modèle une quantité importante de carreaux sont exposés aux rayonnement (76 980 carreaux). Comme pour le modèle du quartier de Cordoue étudié dans les sections précédentes, cette quantité de carreaux implique des tailles de matrices des facteurs de vue conséquentes, et donc l’utilisation d’une mémoire importante et des temps de calcul longs pour la résolution du système des irradiances.
La même stratégie que pour le modèle du quartier est utilisée ici afin de pallier ces problèmes de mémoire et de temps de calcul. Le maillage fin est considéré comme un maillage fictif de capteur à l’intérieur d’un maillage secondaire plus grossier composé de 12 010 carreaux (Figure 4.15). Une étude est effectuée pour montrer l’intérêt d’avoir recours à cette stratégie. La précision, les temps de calcul et la mémoire utilisée avec et sans cette méthode de maillage fictif sont comparés.
Peau du maillage FEM Maillage secondaire
Figure 4.15 : À gauche, coupe du maillage de la rue, provenant du maillage volumique pour les simulations
thermiques en éléments finis, composé de 76 980 carreaux avec une aire moyenne de 0,057m2 (0.23*0.23). À droite, coupe du maillage secondaire de la rue composé de 12 010 carreaux avec une aire moyenne de 0,367m2 (0,6*0,6m).
4.5.2. Temps de calcul, mémoire utilisée, et densité des facteurs de vue
étendus
Temps de calcul
Pour le calcul de la matrice des facteurs de vue étendus, avec 100 000 rayons par carreaux, les temps de calcul sont proches pour les deux méthodes. 4 minutes 10 secondes sont nécessaires sans l’utilisation du second maillage, et 4 minutes 51 secondes avec. Le temps de calcul est plus long avec l’utilisation du second maillage car les facteurs de vue étendus doivent être calculés à partir des carreaux des deux maillages.
Concernant la résolution du système, il est impossible de l’effectuer par inversion sans le second maillage. Le temps de calcul que cela impliquerait est beaucoup trop long. Une résolution par itération de Jacobi est alors effectuée en prenant en compte 12 réflexions pour la comparaison entre les deux méthodes. 1 heure et 18 minutes, sans le second maillage, et 36 secondes, avec le second maillage, sont nécessaires pour résoudre le système par itération. Avec l’utilisation du second maillage, il est possible de résoudre le système par inversion en 12 secondes. Au total, l’utilisation du second maillage permet de passer d’un calcul de 1 heure et 22 minutes à un calcul d’environ 5 minutes.
Taille et densité des matrices des facteurs de vue étendue
Sans l’utilisation du maillage secondaire, la matrice des facteurs de vue étendus (Figure 4.16) est uniquement composée de : ext
cc
F , les facteurs de vue entre les carreaux du maillage fin ; ext ck
F les facteurs de vue depuis les carreaux du maillage fin vers les tuiles de ciel. L’ensemble a une densité de 6.1 % et une taille totale de 7 636 Mo.
Avec l’utilisation du maillage secondaire, la matrice des facteurs de vue étendus (Figure 4.16) est composée de : ext
cc
F , les facteurs de vue entre les carreaux du maillage secondaire ; ext ck
F les facteurs de vue depuis les carreaux du maillage secondaire vers les tuiles de ciel ; Fscext les facteurs de vue depuis les carreaux du maillage fin vers les carreaux du maillage secondaire ; et ext
sk
F les facteurs de vue depuis les carreaux du maillage fin vers les tuiles de ciel. L’ensemble a une densité de 8 % et une taille totale de 1 943 Mo soit quatre fois plus petite que sans l’utilisation du maillage secondaire.
Sans maillage secondaire Avec maillage secondaire
Figure 4.16 : Dimensions des matrices des facteurs de vue étendus avec et sans maillage secondaire. La
Précision
Les irradiances calculées sans et avec l’utilisation du maillage secondaire au midi solaire le 26 septembre sont présentées dans la Figure 4.17. Cet instant a été choisi car c’est avec un ciel clair et une composante directe du ciel importante que les plus grands écarts entre les deux méthodes sont obtenus. Comme expliqué plus haut, il est très difficile de résoudre le système des irradiances par inversion sans l’utilisation du maillage secondaire. La comparaison est donc faite avec une résolution par itération (12 réflexions) dans les deux cas.
Les résultats obtenus avec le maillage secondaire sont très proches de ceux obtenus sans le maillage secondaire. Un écart absolu de plus d’1 W.m-2 est obtenu seulement sur 6% des carreaux de la scène. La Figure 4.18 montre les différences d’irradiances et les différences relatives entre les irradiances sans et avec le maillage secondaire. Les plus grands écarts d’irradiances sont obtenus à proximité des encadrements de fenêtres et les plus grandes erreurs relatives sont obtenues dans les intérieurs où les niveaux d’irradiance sont les plus faibles. L’écart relatif entre les flux totaux reçus sur toute la scène est de 0.26 %. Durant l’année, cet écart est relativement constant et les plus grandes différences sont perçues dans les conditions de ciel dégagé. Si l’on compare le rayonnement solaire annuel reçu sur toute la scène entre les deux méthodes, l’écart relatif est de 0.16%.
Sans maillage secondaire Avec maillage secondaire
Irradiance [W.m-2]
Figure 4.17 : Irradiances calculées avec les deux maillages A (gauche) et B (droite) le 26 septembre à 11h.
Différence d’irradiance [W.m-2] Différence relative [%]
Figure 4.18 : Différence d’irradiance et différence relative entre les irradiances calculées avec les deux maillages (le maillage A est pris pour référence).
4.5.3. Nombre de réflexions
Le but de cette section est de mettre en avant l’intérêt de calculer rapidement l’infinité des réflexions diffuses. Limiter le nombre de réflexions lors du calcul radiatif peut produire des erreurs sur les indicateurs thermiques et d’éclairage et donne une analyse faussée des conditions réelles. Plus précisément, limiter le nombre de réflexions à une certaine limite produit une sous-estimation du rayonnement perçue par les surfaces et les capteurs. Il est alors nécessaire de fixer cette limite à une valeur suffisamment haute pour ne pas produire des erreurs trop grandes. Pour cette étude, nous nous plaçons dans la variante claire de la rue où les échanges par inter-réflexions sont les plus importants.
Convergence des résultats en fonction du nombre de réflexion
Dans un premier temps la convergence des irradiances en fonction du nombre de réflexion est étudiée. La Figure 4.19 représente le nombre de réflexions nécessaires pour parvenir à une erreur d’irradiance inférieure à 5% par carreau. La partie où le nombre de réflexions nécessaire est le moins élevé est la partie de la façade sud exposée au rayonnement direct du soleil. Pour ces surfaces, après deux réflexions l’erreur relative est inférieure à 5%. Sur les surfaces extérieures de la rue ce nombre monte jusqu’à cinq en partie inférieure de la façade sud.
Dans les espaces intérieurs le besoin en nombre de réflexions sur les surfaces exposées au rayonnement direct à travers les vitrages est entre deux et trois réflexions. En revanche, ce nombre peut atteindre douze réflexions dans les espaces intérieurs les moins bien éclairés comme au rez-de-chaussée. Même si ces espaces reçoivent une quantité de rayonnement très faible, produire des erreurs de plus de 5 % sur le rayonnement engendre des biais conséquents sur le calcul des indicateurs de lumière naturelle.
Nb. de réflexions
Figure 4.19 : Nombre de réflexions nécessaires pour obtenir une erreur relative des irradiances inférieure
à 5% par carreau dans la rue claire le 26 septembre à midi (solaire). Effet sur les températures et les éclairements
Les erreurs engendrées sur les températures et les éclairements avec trois réflexions sont présentées. D’après la Figure 4.20, avec ce nombre de réflexion, les erreurs relatives d’irradiance
La Figure 4.21 compare les températures et les éclairements obtenus avec l’infinité des réflexions et en considérant trois réflexions. Cette approximation engendre des erreurs sur les températures de surface de -0.6 °C (point D) et de température d’air intérieur de -1.3 °C dans la pièce exposé au Sud au 1er étage. Concernant les éclairements, cette approximation provoque également de fortes erreurs. Les niveaux d’éclairement perçus dans la pièce du rez-de-chaussée face au sud sont généralement inférieurs à 100 lux avec 3 réflexions. Or, ces niveaux sont en réalité largement au-dessus de ce seuil partout dans la pièce grâce aux inter-réflexions.
Erreur absolue [W.m-2] Erreur relative [%]
Figure 4.20 : Erreurs absolues (gauche) et erreurs relatives (droite) sur les irradiances en ne considérant que 3 réflexions diffuses dans la rue claire le 26 septembre à midi (solaire).
Infinité des réflexions 3 réflexions
Température [°C] Températures [°C] C 40.6 D 34.9 C 40.1 D 34.3 Éclairement [lux]
Figure 4.21 : Températures et éclairements calculées dans la rue claire le 26 septembre à midi (solaire)