avec une caméra. Ce détail du relief n'a pas été modélisé, car le volet du traitement d'image n'est pas abordé dans le cadre du projet. On suppose toutefois que la surface est parsemée de
points de repère reconnaissables dont les coordonnées sont connues dans le référentiel S grâce à une phase de précaractérisation.
2.3 Modèle du champ gravitationnel de l'astéroïde
Le champ gravitationnel irrégulier est l'une des caractéristiques fondamentales de l'environnement dynamique des astéroïdes. Un satellite en orbite autour d'un tel astre devra faire face à des accélérations gravitationnelles qui varient et qui sont souvent difficiles à prévoir. Une attention particulière doit donc être portée à la modélisation de ces perturbations.
Les différentes méthodes disponibles pour modéliser le champ gravitationnel d'un astéroïde
sont résumées au Tableau 2.2, de la plus simple à la plus complexe. À la lumière de l'analyse
des avantages et des inconvénients de chacune, la méthode d'expansion d'harmoniques sphériques a été retenue en raison de sa simplicité et de son adéquation avec l'ellipsoïde triaxial. L'objectif étant simplement de modéliser un champ gravitationnel irrégulier, il n'est pas nécessaire de modéliser avec exactitude la gravité d'un astéroïde réel. Il est alors possible de s'accommoder de la zone de divergence à l'intérieur de la sphère qui circonscrit l'astéroïde et ainsi éviter l'usage de modèles plus élaborés.
Pour implémenter le modèle de l'expansion d'harmoniques sphériques, il faut d'abord développer l'équation du potentiel gravitationnel U à l'ordre désiré. L'équation (2.4) montre le résultat obtenu pour l'ordre 4 dans le repère de l'astéroïde (German et Friedlander, 1991):
U =Ma
I + I^
rjU^
— C20(3sin2 0-l)+3C22 cos2 f??&2?
-C40(35sin4^-30sin2(Z> + 3)
O-\
C42 cos2 f\?'sin2 f-\)???,2?
+ 105C44 cos4 ^cos 4Ä
+
??
(2.4)
avec µ? le paramètre gravitationnel de l'astéroïde, a le rayon nominal et (r, f, ?) le rayon, la latitude et la longitude. Par convention, le rayon nominal est l'axe semi-majeur de l'astéroïde.
Les coefficients des harmoniques C¡m et S¡m peuvent être calculés directement à partir des dimensions des demi-axes de l'ellipsoïde en considérant une densité constante (German et Friedlander, 1991). Pour l'astéroïde (433) Eros visité en 2000 par la sonde NEAR-Shoemaker, les coefficients mesurés lors de la mission sont aussi disponibles dans la littérature (Miller et al., 2000).
On calcule ensuite le gradient de (2.4) pour obtenir l'accélération gravitationnelle. (German et Friedlander, 1991) ont effectué ce développement et le résultat obtenu est reproduit ici pour le
référentiel de l'astéroïde :
-^*
+
!- - I^ C20 (l - 5 sin 2C))+ 3C22 (2 -5 cos 2A cos 2ç»)]
%C40(3-42sin2 í¡7 + 63sin4 f)
+ % C42 ((2 - 7 cos 2? cos2 f)- 7 sin 2 f(? - 9 cos 2? cos2 f))
+ 105C44 (4(l - 2cos 2/l)cos2 f + 9cos 4/lcos4 f)
(2.5) A asy =
r3 y
^v
\rj!-f-) [?C20(1-5sin2^)- 3C22(2 +5cos2^cos2C))]
% C40 (3 - 42 sin 2 f + 63 sin* f)
- % C42 ((2 + 7 cos 2?cos2 f)- 1 sin 2 f(2 + 9 cos 2/1cos 2 ^))
+ 105C44 (4(l + 2 cos 22)cos2 ^) + 9cos4Acos4 ç?)
(2.6)
flí-=-
^+ V
!-f-] feC20(3 -5sin2C))-15C22 cos2Acos2ç)]
X C40 (l 5 - 70 sin 2 ç) + 63 sin 4 ç))
-31KC42 (l -3 sin2 ç))cos2lcos2 ^7 + 945C44 cos 4icos4 ç?
(2.7)
Pour des modèles d'ordre supérieur à 4, la dérivation analytique devient de plus en plus complexe et il est suggéré d'avoir recours au calcul numérique. Puisque le modèle d'ordre 4 présente un champ gravitationnel suffisamment irrégulier pour les besoins de l'analyse, il n'a pas été jugé nécessaire de développer les équations pour un ordre supérieur.
Tableau 2.2 Résumé des méthodes de modélisation de la gravité Description Avantages/Inconvénients C O ? IA co
On utilise un nombre fini de points de masse pour lesquels le champ gravitationnel est bien connu. Par le principe de superposition, on additionne
vectoriellement la contribution de chacun des
points pour obtenir le champ gravitationnel total.
(Werner et Scheeres, 1997) (Werner, 1997)
? Facile à mettre en œuvre
? Flexibilité avec le nombre de points
utilisés
— Modèle inexact pour un nombre de points insuffisant m ? 3 s "?
¡s
si
? C O a>Le potentiel gravitationnel est modélisé par l'équation ci-dessous qui fait appel aux polynômes de Legendre (Pi1n), aux coordonnées sphériques (r, f, ?) du point d'intérêt et aux propriétés de l'astéroïde (µ?, a). Les coefficients C/,„ et S¡m sont propres à chaque astéroïde. (Shuang et al., 2005)
(Scheeres et al., 2000) (Miller et al, 2002) (German et Friedlander, 1991) Q. .2 V) IO C (0 Q. X UJ r
-^--i-'flV
1 + SS - 'UsiM/U)
\rjet f{X) = C,m cos mÄ + Slm sin mÄ
? Modèle largement utilisé et documenté pour le vol de satellites
? Facilité de mise en œuvre pour une
densité de masse constante et uniforme
? Coefficients Ch„ et Sh„ faciles à estimer
lors d'une mission. Ils peuvent aussi être calculés à partir des dimensions
de l'astéroïde.
F Un nombre fini de coefficients suffit
pour obtenir un modèle valable — Modèle inexact à l'intérieur de la plus
petite sphère pouvant circonscrire
l'astéroïde (0 _ 0) V) C 3 0) .2.5"« * fc.2- ¦s
(Dechambre et Scheeres, 2002) ont développé des
équations pour passer des harmoniques sphériques aux harmoniques ellipsoïdales en faisant appel aux équations de Lamé. L'objectif était de réduire la zone de divergence des équations. Veuillez consulter l'article de référence pour le détail des équations.
® Zone de divergence diminuée par rapport aux harmoniques sphériques — Charge de calcul élevée
— Coefficients de l'expansion difficile à
estimer/calculer.
— Technique encore peu documentée
¦s ,o >> O Q. ?- a Q.
On discrétise la forme de l'astéroïde en un nombre
fini de polyèdres auxquels on assigne une densité de masse. Le potentiel gravitationnel d'un polyèdre est connu sous sa forme analytique et ne souffre pas de divergence. Par le principe de superposition, on
additionne vectoriellement la contribution de
chacun des polyèdres pour obtenir le potentiel gravitationnel total. (Werner, 1997) (Scheeres et al.,
2000)
? Résultats valides partout dans l'espace NOTE : l'exactitude dépend de la précision de la forme
® Possibilité d'inclure les petits détails
de la surface de l'astéroïde
— Charge de calcul élevée
.2 a>
CO O
Le champ gravitationnel est calculé numériquement à partir du modèle de la forme de l'astéroïde qu'on intègre sur le volume. (Werner, 1997)
Résultats exacts partout dans l'espace
Équations complexes et charge de
2.4 Modèle des perturbations solaires
Le soleil affecte l'orbite d'un satellite autour d'un astéroïde par sa radiation d'une part, ainsi que par son attraction gravitationnelle d'autre part. Pour les orbites autour d'une planète, ces perturbations sont généralement négligeables, car l'attraction gravitationnelle du corps principal est largement prédominante. Toutefois, dans le cas des astéroïdes, le champ gravitationnel est beaucoup plus faible et les effets du soleil doivent être considérés.
(a) : (b)
Figure 2.2 Représentation schématique des perturbations solaires Pression de radiation solaire (a) et marée solaire (b)
La pression de radiation solaire (SRP) est une pression exercée par le rayonnement solaire qui provoque une accélération fs du satellite. Elle affecte la stabilité des orbites en décalant son centre en plus de perturber la trajectoire. Une analyse complète est présentée dans (Scheeres,