mécanique des milieux poreux

Les milieux poreux multiphasiques sont devenus un objet d’étude d’importance croissante ces dernières années, en particulier en raison de leur rôle dans l’exploitation des ressources énergé- tiques. L’industrie pétrolière a formulé des besoins forts concernant la modélisation des réservoirs naturels et des puits de forage. Dans le cadre du développement durable, l’étude des milieux po- reux multiphasiques s’est avérée essentielle pour développer de nouvelles technologies comme la géothermie, et pour envisager la séquestration de gaz à effets de serre comme le dioxyde de car- bone ou le méthane. L’étude des effets de la température en milieu poreux non saturé est d’autre part indispensable pour comprendre les phénomènes de sécheresse, qui peuvent avoir des consé- quences dramatiques dans les zones cultivées comme dans les zones habitées. Le réchauffement climatique a des conséquences inattendues. Par exemple, en Alaska, la plaque tectonique, déchar- gée du poids de la banquise, tend à remonter, ce qui augmente la superficie des terres émergées. Celles-ci sont soumises à des conditions de chargement mécanique, hydraulique et thermique très particulières, et nécessitent une étude approfondie.

1.4 Travaux effectués et plan du manuscrit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1 Contexte et applications En modélisation mathématique, on désigne par géomécanique la théorie mathématique décrivant le comportement mécanique des sous-sols. Couplée aux données ou modèles issus de la géologie et de la géophysique, elle est indispensable dans les domaines techniques où une représentation fine des sous-sols est requise : prospection d’hydrocarbures, exploitation de l’énergie géothermique ou stockage géologique du dioxyde de carbone en sont quelques exemples. Bien que les échelles de temps et d’espace utilisées soit sans commune mesure selon l’application considérée – retracer l’évolution naturelle d’un bassin sédimen- taire implique de s’intéresser à plusieurs centaines de kilomètres carrés pendant des dizaines ou centaines de millions d’années, tandis qu’étudier l’impact d’une installation humaine comme un puits extracteur né- cessite de se focaliser sur quelques kilomètres carrés et des durées de l’ordre de quelques dizaines d’années – les modèles mathématiques rendent compte de ces diverses situations. Du point de vue de la géomé- canique, un sous-sol est un milieux poreux constitué d’une structure solide et d’un ou plusieurs fluides pouvant se déplacer plus ou moins rapidement au sein de celle-ci. Originellement et par soucis de sim- plification, les déformations mécaniques de la structure et les écoulements de fluides ont longtemps été considérés comme deux processus distincts et indépendants. Si dans certains cas cette hypothèse est sans conséquences sur la qualité du modèle obtenu, elle constitue dans d’autres une approximation trop gros- sière qui entraîne une mauvaise représentation de la réalité [ Zob07 ]. L’introduction de nouveaux modèles dits poromécaniques, d’abord par l’approche de Terzaghi [ Ter43 ] puis par celle de Biot [ Bio41 ], a permis de tenir compte du caractère couplé de ces deux problèmes et ainsi d’améliorer la qualité de la modélisation, par exemple en tenant compte de l’effet des contraintes tectoniques pour la modélisation de bassins ou l’effet de subsidence pour la modélisation de réservoirs.

21 L’étude du rôle de la porosité, de la géométrie de l’espace poreux et de la circulation des fluides dans le comportement mécanique, thermique et acoustique des milieux poreux est fondamentale pour la compréhension des phénomènes dans différents domaines (géophysique de la subsurface et des réservoirs, sismologie, génie civil, monuments, construction...). En effet la présence de la porosité entraîne une modification des propriétés élastiques et acoustiques qui peut être modélisée par des techniques d’homogénéisation. De nombreux domaines de recherches géophysiques et géologiques se trouvent presque invariablement confrontés à la nécessité de déterminer des propriétés tels que la porosité, le degré de fissuration ou de fracturation, le degré de saturation, la perméabilité, la conductivité thermique, la température et la pression de fluide dans les roches. Des études sont concentrées sur l’influence des propriétés de la roche et de fluide sur les mesures géophysiques et thermiques (Gregory 1976, Han et al. 1986, Klimentos 1991, Popov et al. 2003, Samaouali et al. 2010, Rahmouni et al. 2013). L’un des thèmes de la physique des roches est ainsi consacré à l’analyse des effets de la lithologie, de la géométrie de l’espace poreux, de la fissuration, des fluides sur la vitesse des ondes acoustiques se propageant dans la roche.

La démarche que l'on suit consiste à s'inspirer d'une part des méthodes mises en œuvre en poroélastoplasticité infinitesimale, par exemple par Dangla (1995) et Shao (1995), qui ont étab[r]

En 1941, Landau introduit une théorie d’excitation pour l’hélium superfluide qui explique le comportement de certaines propriétés comme la chaleur spécifique (Landau 1941). Cette théorie d’excitation est basée sur des analogies. En considérant l’hydrodynamique classique d’un liquide idéal, il a été montré que si, à un certain moment, le mouvement du fluide est potentiel ( ∇× = v 0 ) dans tout le volume de liquide considéré, il sera potentiel tout le reste du temps (théorème de Lagrange). Ceci trouve son analogie en hydrodynamique quantique. De plus, par analogie avec le moment angulaire en mécanique quantique, il ne peut pas exister d’état dans lequel ∇× v serait non nul mais plutôt arbitrairement petit dans tout le volume de liquide. Autrement dit, il existe une transition non continue entre l’écoulement potentiel ( ∇× = v 0 ) et l’écoulement tourbillonnaire ∇× ≠ v 0 d’un liquide quantique. De ceci on déduit le spectre d’énergie ; tout d’abord il existe un écart entre l’écoulement potentiel et l’écoulement tourbillonnaire qui se traduit par un intervalle énergétique fini entre le plus faible niveau énergétique de l’écoulement tourbillonnaire et celui de l’écoulement potentiel. Le spectre énergétique est donc la superposition de deux spectres continus : l’un correspondant à l’écoulement potentiel et l’autre à l’écoulement en vortex. Le plus faible niveau énergétique du spectre de vortex est situé au-dessus du plus faible niveau du spectre potentiel, ce dernier étant l’état normal non excité du liquide. On appelle ∆ la différence entre ces deux niveaux énergétiques.

Chapitre 1 Introduction générale Ce travail s’intéresse à l’écoulement en milieu poreux de fluides newtoniens mono et diphasique. Plus particulièrement, seront abordés les écoulements inertiels carac- térisés par des nombres de Reynolds conduisant à une relation non-linéaire entre la vitesse de filtration du fluide et la chute de pression. Ces écoulements sont impliqués dans diverses situations. A titre d’exemple, on citera les écoulements autour des puits d’injection et de production des hydrocarbures en génie pétrolier. En effet, avec la ra- réfaction des sources d’énergie fossiles, l’industrie du pétrole a recours à de nouvelles techniques afin d’augmenter le taux de récupération dans le gisement. La récupé- ration pétrolière est généralement effectuée par l’injection d’un fluide sous pression dans la roche afin de balayer le gisement et récupérer ainsi l’huile emprisonnée. Ceci conduit, dans certains cas, à des écoulements polyphasiques inertiels. Par ailleurs, ces écoulements sont aussi d’une grande importance en hydrologie (écoulements dans les aquifères), en génie gazier (stockage et déstockage du gaz en réservoir), le génie environnemental (dépollution des sols), en génie chimique (écoulements dans les co- lonnes de réacteur) et en ingénierie mécanique (écoulements dans les systèmes de refroidissement), etc.

Imagerie de Biofilm en Milieux Poreux par Micro-Tomographie X A. E. Larue a , P. Swider a , P. Duru a , M. Quintard a , Y. Davit a a Institut de Mécanique des Fluides de Toulouse (IMFT) - Université de Toulouse, CNRS-INPT-UPS ; Toulouse FRANCE Mots clés : biofilm, micro-tomographie X, agents de contraste 1. Introduction

Ce chapitre sera consacré à la présentation des résultats des études menées sur la stabilité interne par suffusion des sols non cohérents. En fait, il faut noter qu’un sol est qualifié comme érodable si sa structure est ‘internellement instable’. Cet état de l’art, non exhaustif, va nous permettre de montrer au lecteur l’apport de nos travaux par rapport aux études existantes reliées au sujet que nous avons abordé. En premier lieu, le phénomène d’instabilité interne initié par suffusion sera décrit en détail. Puis, un exposé au cours duquel une analyse critique des approches proposées dans la littérature pour l’évaluation de la susceptibilité des sols à la suffusion sera effectué. Nous enchainons ensuite par la détermination des différents facteurs et paramètres pouvant influencer l’initiation et l’évolution de ce phénomène. Une partie sera consacrée aux conséquences de la suffusion sur le comportement mécanique des sols. Ce chapitre se termine par une conclusion dans laquelle on fixe les objectifs de notre recherche et la démarche qui sera adoptée dans l’étude expérimentale.

typiquement). Ainsi, l’air chaud de l’intérieur de la halde est remplacé par l’air froid de l’atmosphère qui apporte alors de l’oxygène disponible pour la réaction d’oxydation de la pyrite. Ceci produit plus de chaleur et le cycle continue. La convection thermique est un processus similaire à la conduction thermique, avec la différence que dans le premier cas, le transfert par agitation thermique s’effectue entre les molécules situées de part et d’autre de la frontière séparant un solide et un fluide en mouvement. Il faut donc associer au problème purement physique du transfert de chaleur, une composante de mécanique des fluides (liquide ou gaz). Le flux de chaleur par convection F c C , T [W/m 2 ] est donné par (Nastev et al. 2000; Lebebvre 1994):

1.1 Motivation physique Les études sur l’élasticité ont commencé en 1678, avec la loi de Hooke, que l’on traduit aujourd’hui par la proportionnalité de la contrainte et de la déformation. Les premières études d’élasticité, auxquelles se sont intéressés notamment Mariotte, Bernoulli et Euler, portent alors naturellement sur les déformations de tiges. En 1744, on a aboutit à l’équation de l’elastica, dont les solutions décrivent le flambage d’une tige. Alors qu’au début du XXe siècle l’élasticité des plaques s’est traduite en équations grâce aux travaux de Föpple (1907) et de von Kármán (1910). Cette ap- parition tardive des corps élastiques bidimensionnels dans le champ de la mécanique s’explique par la complexité des équations de Föpple-von Kármán. Presqu’un siècle plus tard, l’élasticité des corps minces reste d’ailleurs un sujet de recherche vivace. L’élasticité intéresse aujourd’hui différentes disciplines (mathématiques, physique et mécanique) surtout qu’elle se traduit effectivement par de divers phénomènes dans notre vie quotidienne. Citons à titre d’exemple le flambage des rails de train illustré dans la Figure 1.1 sous l’effet des variations thermiques entre l’hiver et l’été. En

faciliter le réalisme de la modélisation ? Un compromis s’impose naturellement afin d’être en mesure de présenter une modélisation fiable, bien qu’incomplète par nature. Klemes (1982) rapportait à ce sujet une remarque de Kartvelishvili qui suggérait que le développement d’une théorie causale adéquate des processus hydrologiques devrait être plus exigeant que la théorie de la relativité ou la mécanique quantique. La modélisation doit donc être vue comme un outil nous servant à appréhender la dynamique du cycle de l’eau et à en comprendre les mécanismes, plutôt qu’en tant que moyen de représenter ce système exactement. Ainsi, nous devons œuvrer à modéliser ce système dans l’optique de la réalisation d’un outil d’analyse. Pour cela, il nous faut faire des choix quant aux processus à représenter. Le choix de ces processus et la combinaison qui en est faite, dépendent, d’une part, des connaissances acquises antérieurement et, d’autre part, des idées des modélisateurs quant à l’origine des phénomènes (Delattre, 1979). Nous ne pensons pas qu’un modèle puisse nous fournir des connaissances nouvelles mais, en revanche, il doit pouvoir servir de base pour étayer des conclusions, des remarques, pour vérifier des comportements. C’est ainsi que nous envisageons la modélisation d’une manière générale et l’hydrologie ne fait pas exception.

La tomographie est une technique non destructive très utilisée dans différents domaines comme l’imagerie médicale, la géophysique ou dans la mécanique des matériaux. Le mot ‘tomographie’ provient des mots grecs tomos qui veut dire « couper ou sectionner » et graphein qui veut dire « écrire ». Ce mot est utilisé aujourd’hui pour désigner toute technique qui permet d’obtenir une image en trois dimensions [88]. En 1917, Radon a été le premier à démontrer la possibilité de reconstruire une image à l’aide de la totalité de ses projections selon des droites concourantes. En 1972, G.N Hounsfield introduit le traitement informatique de l’image en radiologie X et construit la première génération des scanners X médicaux réalisant des coupes dans un seul plan axial (premier scanner médical). La tomographie à rayons X est de plus en plus utilisée dans le domaine de la pétro-physique pour déterminer la porosité des roches, visualiser des écoulements multiphasiques (gaz-eau-huile) ou pour mesurer la saturation des fluides. Grâce aux instruments de dernière génération, on réalise des acquisitions de l’ordre de quelques secondes pour des objets d’une dizaine de centimètres avec des résolutions spatiales de quelques centaines de microns [89, 90].

CHAPITRE 2 CADRE THÉORIQUE La manière traditionnelle de décrire un écoulement en mécanique des fluides est par le biais de champs scalaires ou vectoriels de variables macroscopiques (masse volumique, vitesse, pression, température, etc.). Le fluide est considéré comme un milieu continu, même si en réalité il est composé de particules élémentaires et discrètes. Qu’arriverait-il si l’on décrivait un écoulement en assignant une équation du mouvement pour chacune des particules le constituant ? Obtiendrions-nous les mêmes prédictions que celles obtenues avec l’hypothèse de milieu continu ? La plupart des applications courantes en mécaniques des fluides nécessitent de considérer au moins un nombre de particules de l’ordre du nombre d’Avogadro, c’est-à- dire NA ' 6 × 10 23 . Un système d’équations d’une telle dimension est fort contraignant à résoudre. De plus, il n’est pas pertinent de connaître avec détail l’état microscopique d’un écoulement afin de décrire son état macroscopique. On pourrait cependant tirer avantage du très grand nombre de particules afin d’utiliser des outils statistiques pour traiter leurs nombreuses interactions. C’est ainsi que la mécanique statistique tente de faire un lien entre le monde microscopique des particules élémentaires et le monde macroscopique des milieux continus. La prochaine section présente la théorie cinétique des gaz ainsi que quelques-uns de ses principaux résultats. Il s’agit d’un modèle simple permettant à la fois de mettre en contexte l’équation de Boltzmann et d’établir un lien entre les paramètres d’un écoulement et les particules qui le composent.

Comprendre la propagation ultrasonore dans une structure poreuse, hétérogène et anisotrope telle que l’os trabéculaire est un vrai défi théorique. La théorie de Biot permet d’expliquer la présence et la vitesse des deux ondes longitudinales observées expérimentalement sous certaines conditions. En revanche, ne rendant pas compte des phénomènes de diffusion multiple, elle échoue a en prédire l’atténuation. Les théories de diffusion multiple sont une alternative, mais sont dif- ficilement applicables à une structure si complexe. Des simulations numériques ont donc été menées dans des milieux constitués d’ellipsoïdes solides distribués aléatoirement dans un fluide, semblables à l’os trabéculaire, mais simplifiés et contrôlés. Cela a permis de mieux comprendre l’influence de quelques paramètres (porosité, anisotropie, . . . ) sur l’apparition des deux ondes. Nos résultats suggèrent que l’onde rapide serait guidée par les travées osseuses, tandis que l’onde lente se propagerait essentiellement dans le fluide. Par ailleurs, la théorie de Biot a pu être appli- quée pour la première fois sans aucun ajustement de paramètre. Nous avons au passage montré que le calcul semi-analytique du champ diffusé par des cylindres elliptiques de grand rapport d’aspect était très instable numériquement, mais que ce problème pouvait être atténué en effec- tuant les calculs en précision arbitraire. Expérimentalement enfin, grâce à l’impression 3D, nous avons pu répliquer un échantillon d’os trabéculaire de cheval à l’échelle. En augmentant artifi- ciellement l’anisotropie avant l’impression, pour la première fois avec un échantillon synthétique d’os trabéculaire, nous avons observé deux ondes longitudinales.

Les fondements de la mécanique des milieux continus classique, MMC, sont revus en posant le premier principe de la thermodynamique comme principe fondamental. On suppose que ce principe satisfait la loi d’inva- riance galiléenne. Des axiomes d’objectivité sont ajoutés pour le temps, la distance entre deux particules, la masse, l’énergie interne, la chaleur, toutes les forces sauf les forces fictives, la puissance des forces de contact intérieures. L’hypothèse de Cauchy précise la structure des forces de con- tact. L’analyse exclut les milieux micropolaires ou polarisés. Naturelle- ment, la conservation de la masse est utilisée. Ces éléments suffisent pour définir une formulation axiomatique de la MMC où l’on démontre les équations de la résultante dynamique et du moment dynamique.

Partant des résultats obtenus par Franck Ouaki dans [ Oua13 ], nous montrons, dans le chapitre 6 , comment intégrer cette approximation multi-échelle au sein d’une discrétisation de type[r]

5. D´ eriv´ ees mat´ erielles La notion d’objectivit´e a ´et´e ´etendue, en m´ecanique des milieux continus, aux d´eriv´ees tempo- relles. Celles-ci interviennent de mani`ere r´ecurrente en m´ecanique des mat´eriaux et sont l’objet d’une litt´erature abondante, bien que cette notion semble rarement d´efinie avec rigueur. Rap- pelons ´egalement que ces d´eriv´ees, not´ees d e p /dt dans ces notes et le plus souvent appliqu´ees ` a

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignemen[r]

To cite this version : Nisrine SEFRIOUI, Azita AHMADI-SENICHAULT, Henri BERTIN, Aziz OMARI - Mise en évidence du facteur de retard dans la cinétique de dépôt colloïdal en milieux poreux - In: Congrès Général de la Société Française de Physique, France, 2011-07-04 - Congrès général de la SFP - 2011

I NTRODUCTION Les déformations naturelles Les mouvements tectoniques naturels sont responsables des reliefs qui peuvent être observés à la surface de la Terre. La tectonique des plaques engendre des déformations et induit des contraintes locales et/ou globales dans les couches géologiques qui constituent la lithosphère terrestre. L’accumulation de contraintes peut (i) induire une fracturation a toutes les échelles, du minéral à la frontière de plaques, qui peut engendrer des tremblements de terre drama- tiques ou (ii) conduire à des déformations ductiles sans localisation de la déformation (i.e. sans fracture). Ces deux modes de déformation (fragile ou ductile) sont illustrés par la Figure 1: en (a), une faille traverse un paysage dans la baie d’Ethylos (Grèce) et en (b), le pli exhumé dans les Ardennes (France) ne présente pas de trace de fracturation à l’échelle macroscopique. La transition entre le comportement cassant (fragile) et non cassant (ductile) présente un intérêt particulier puisqu’elle pourrait améliorer la compréhension de la mécanique des failles et des tremblements de terre superficiels ( Sibson , 1982 ). L’étude du comportement mécanique des carbonates, du fragile au ductile, est l’objet de cette thèse.