Singularités des séries de Dirichlet associées à des polynômes de plusieurs variables et applications à la théorie analytique des nombres

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Singularités des séries de Dirichlet associées à des

polynômes de plusieurs variables et applications à la

théorie analytique des nombres

Driss Essouabri

To cite this version:

Driss Essouabri. Singularités des séries de Dirichlet associées à des polynômes de plusieurs variables et applications à la théorie analytique des nombres. Mathématiques générales [math.GM]. Université Henri Poincaré - Nancy 1, 1995. Français. �NNT : 1995NAN10354�. �tel-01747945�

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(7)

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(12)

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Les propriétés analytiques de s t---7 Z(P;s), dans le cas elliptique, ont suscité plusieurs travaux. Par exemple, Pierrette Cassou-Noguès calcule les valeurs aux entiers négatifs et les résidus aux pôles de Z(P;s) [4] et en donne des applications arithmétiques [4] et [5].

82 ans après l'article de Mellin, Pierrette Cassou-Noguès [6] a précisé son résultat dans le cas

d'un polynôme à deux variables (n

=

2) et àcoefficients de parties réelles strictement positives. Elle

donne une description plus complète de l'ensemble des pôles, ainsi que de leurs ordres et de leurs rési-dus.

Quelques années plus tard, Patrick Sargos [19] a généralisé ce travail au cas des polynômes Pde plusieurs variables (n ~2) non dégénérés par rapport à leur polyèdre de Newton à l'infini, c'est-à-dire ceux qui vérifient ReP(x)::::: P*(x) sur [l, + 00 ['.' Cette classe de polynômes contient évidemment

celle des polynômes à coefficients de parties réelles strictement positives.

Patrick Sargos a démontré que, si PE

qx

_{l , ... , XII ]} est un polynôme non dégénéré par rapport à son polyèdre de Newton à l'infini, alors s t---7 Z(P;s) existe et est holomorphe dans un demi-plan {sEiC1Res > (J'o}, possède un prolongement méromorphe à iC avec des pôles d'ordres au plus n et contenus dans une progression arithmétique de la forme ((J'o -

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N

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*

ne dé-pendent que du polynôme P, et il a donné dans [19] une description de l'ensemble des candidats-pôles et de leurs orpres, ainsi que de (J'o etN,en fonction de la géométrie du polyèdre de Newton.

Peu après, Ben Lichtin obtient le même résultat (à l'exceptio'n de la description en termes de po-lyèdre de Newton à l'infini) dans le cadre des polynômes de plusieurs variables dits hypoelliptiques, c'est-à- dire vérifiant qu'il existe une constante BE ]0,1 [telle que,

(i) ReP(x)~+oo quandllxll~+oo, XE [B,+oo("

et

(ii) quel que soit le multi-indice aENil,

Re aap(x)

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Re x)

Ils ont tous deux obtenu l'application arithmétique concernant Np(t), chacun dans le cadre de son hypothèse. Aucune de ces deux hypothèses n'implique l'autre et le lien entre les deux est un peu obscur.

Le but de notre travail est d'obtenir les mêmes résultats pour une classe de polynômes plus géné-rale et qui contient comme cas particulier toutes les classes précédentes.

(13)

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(14)

INTRODUCTION GÉNÉRALE

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De plus, il est évident que, pourBE ]0, 1[,

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+

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donc (i) a bien lieu.

En conclusion, un polynôme P non dégénéré par rapport à son polyèdre de Newton à l'infini vérifieHoS.

Ainsi, la classe des polynômes vérifiantHoS contient celle des polynômes hypoelliptiques et celle des polynômes non dégénérés par rapportà leurs polyèdres de Newton à l'infini. Mais elle en contient aussi d'autres. Pour s'en convaincre, il suffit de se placer dans le casn

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2 et de considérer

On fixe BE ]0, 1[. On fait varierXI etx₂ dans [B,

+

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Si x2 ~2x" alors

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De plus, un calcul facile montre que, sur [B,+

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(15)

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(26)

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24-30, rue Llonnols B.P.3069 54013 Nancy cedex

(95)

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