Sur un schéma de l'électron

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Sur un schéma de l’électron

Jésus M. Tharrats Vidal

To cite this version:

283.

SUR UN

SCHÉMA

DE

L’ÉLECTRON

Par JÉSUS M. THARRATS

VIDAL,

Séminaire

de

_Physique

_{Mathématique}

à l’Université de Barcelone,

Espagne.

Sommaire. 2014 Le problème de l’énergie infinie de

l’électron

ponctuel a détruit la confiance en l’Élec-trodynamique classique. Celle-ci, d’autre part, a voulu _s’imposer avec l’électron sphérique, mais sans

résoudre, d’une manière satisfaisante, l’origine de la _{mystérieuse pression} de Poincaré.

On _{peut toujours} résoudre ce _problème en faisant appel aux _{autres électrodynamiques [par exemple} en introduisant une _{électrodynamique} non linéaire _{(1)], lesquelles} résolvent la question indirectement. La fonction de Dirac ne donne pas plus que ce _que l’on s’était _{proposé :} faire en sorte _qu’une

inté-grale d’un domaine ponctuel ne _{soit pas}

nulle;

et donc elle ne _{peut pas résoudre ni le problème} de

l’énergie infinie, ni le _problème du rayon de l’électron. ,

Nous allons donner un modèle d’électron avec les _{caractéristiques} suivantes :

I. C’est un modèle _ponctuel, donc il a un caractère topologique conforme aux théories

microsco-piques qui n’acceptent plus les modèles _métriques. II. Bien _qu’il soit _ponctuel, il a une _{énergie finie.}

III. Il vient d’une distribution continue de densité _électrique et il a une _charge non nulle bien _qu’il

se réduise à un _point.

IV. On obtient directement le rayon classique de l’électron au _{moyen d’un}

_voisinage

_spécial de l’électron.

V. La fonction de distribution de densité _{électrique ayant} une _{dissymétrie,} on obtient deux états

d’un _{même électron que l’on peut} identifier avec les deux états de l’électron dus aux deux valeurs du _spin.

VI.

On obtient aussi deux états de charge de _{l’électron, qui correspondent} à l’existence des

électrons _positif et

_négatif.

VII. Finalement, il existe un _rapport entre ce schéma et les théories _quantiques.

JOURNAL PHYSIQUE ET LE _RADIUM..TOME

_13,

_i952,

D’après

une idée de Darwin

_qui

a

_pris

de

l’impor-tance

_{dans la}

théorie de la lumière de de

_Broglie

_[2],

le

_{champ électromagnétique}

a un caractère

_complexe.

Il

_semble,

à

_première

vue,

_que

les

champs

ne seraient

pas ainsi

observables,

mais la difficulté a. fort bien été _{résolue par} Louis de

_Broglie.

,

D’autre

_part,

comme la densité

_{électrique p est}

liée

aux

_champs

par

_exemple

_p =

411t

div E dans la théorie de

Maxwell-Lorentz.).

on _{doit penser}

que

p (xl,

xZ’ x3) ainsi que vi = xi, et Xi sont des

nombres

_complexes.

Ceci

_exige

un _espace

_E6

à six dimensions

(trois

axes

imaginaires)

dans

_lequel

se

produisent

les

phéno-mènes

_{électromagnétiques. (Ceci}

aussi est conforme

au «

_principe

de relativité étendu » de Proca

[3]

où la

_charge

est introduite d’une manière

dissymé-trique

dans l’invariant

_ds2).

L’électron étant

_ponctuel

dans notre

_théorie,

et

pour ne _pas

_trop

compliquer

la

question,

nous nous

bornerons à étudier une distribution de

_charges

uni-dimensionnelle.

.

Ainsi,

dans la

_présente

théorie,

on doit concevoir

,1e champ

comme formé par une distribution de

charges,

donnée au _{moyen d’une}

correspondance

entre

les

_points

du

_{plan complexe}

et la densité

_électrique

complexe.

L’axe x

_(z

= x ₊

_iy)

est l’axe obser-vable. Pour trouver les électrons d’une manière naturelle à

_partir

de cette distribution continue de

charges,

nous allons faire deux conventions : 1. Pour avoir la

_charge

totale dans un domaine

V,

on

_formait,

_jusqu’à

_{présent, l’intégrale}

.

et dans une distribution de

charges

unidimension-nelle :

Maintenant,

dans le

_plan

_complexe

cette forme n’a pas de sens _parce

_qu’elle

donnerait un nombre

complexe

pour la

charge

observable d’un domaine D.

D’ailleurs,

si l’on tient

_compte

_{du fait que la}

distribution de

_charges

est donnée au _{moyen d’une}

284

fonction

_complexe,

_{l’intégration}

dans l’axe x

cause-rait une

_dissymétrie

et

_parfois

_Q

serait un nombre

complexe,

parce que p

(x)

n’est pas

toujours

une

fonction réelle.

Donc, la

façon

la

_plus

naturelle de

_{généraliser [1],}

c’est de substituer à des

_{intégrales simples,}

des

inté-grales

curvilignes fermées.

2. Sauf aux

_{points occupés}

_{par les}

électrons,

la

_{correspondance z’}

=

p

(z)

est

analytique

et les

élec-trons sont des

_{points singuliers}

de la

_fonction

_p

_(z).

Cette

_façon

de définir les électrons donne immé-diatement un nouveau schéma de l’électron : en

effet,

si zo est un

_{point singulier}

essentiel,

selon le

théorème de

_Picard,

il existe une

_{correspondance}

entre un domaine

_qui

entoure un

_{point singulier}

essentiel et tout le

_{plan z’}

_(sauf

en trois

_points

de

z’)

quelque petit

que soit ce domaine. Si _zo est un

_pôle,

il existe une

_{correspondance}

entre les

_points

du

contour d’un domaine

_qui

entoure _zo et les

_points

du contour d’un domaine dont les _rayons vecteurs

sont aussi

_grands

_{que l’on}

veut,

quelque

petit

que

soit ce domaine. De

ceci,

on déduit : l’électron est un

infiniment petit potentiel,

mais non actuel.

_Donc,

si zo est un

_{point singulier}

essentiel,

nous dirons de

l’électron,

bien

_qu’il

soit

_ponctuel,

_qu’il

a une

densité de volume de

_charge;

_par

contre,

si zo est

un

_pôle

nous dirons

_qu’il

a une densité

_{superficielle.}

L’une ou l’autre forme de l’électron

_dépend,

ce _que nous allons

_voir,

de la

_façon

dont on choisit la loi

d’attraction entre deux électrons.

Afin d’avoir les mêmes

_{caractéristiques}

_pour tous

les

_électrons,

nous allons former p

(z)

comme il suit :

en

_développant

_p en série de Laurent autour d’un

point singulier,

on a, en

_{général :}

Soit k électrons aux

_points

_{zo, zl, ...,} zk_,, on

_prend,

.

en

_(2),

les coefficients

Ai

de telle

_façon

_{que l’on}

_ait,

pour le rayon extérieur de convergence de la

série

_{(2) :}

représente

la distribution de la densité de

_charge

formée par les électrons.

De tout ce _que nous avons

_exposé,

on déduit :

a. Pour la

_charge

totale d’un domaine

_qui

ne

contient aucun électron :

b. Pour la

_charge

d’un électron :

c. Pour la

_charge

de k électrons :

d. Calculons le

_{champ produit}

_{par la}

_charge

d’un

domaine

D,

sur un

_point

zr.

Selon notre

_théorie,

on doit substituer

Dans le cas _{où D n’a pas de}

_{points singuliers}

(élec-trons),

il

semble,

à

_première

vue, _{que ceci}

constitue un défaut de la

_{théorie; néanmoins,}

cette

difficulté

_peut

_disparaître

facilement : en

_effet,

ou bien hors de D il n’existe _{pas de}

_champ

et _{donc p}

n’est pas continue au contour de D

_{(c’est-à-dire}

non

analytique),

ou _{bien p n’a pas de}

_{points singuliers}

dans tout le

_plan;

d’où,

selon le théorème de

Liou-ville,

Le

_champ

est donc

_produit

_{par les électrons} et

non _{par la}

_charge

seule.

Pour avoir le

_champ

de Coulomb dans l’axe x

observable,

il suffit que p

(z)

ait la forme

pour un électron au

_{point zo}

et

285

En

_effet,

₍₆₎

_donne,

_{pour la valeur du}

_champ

au

point

zr

régulier,

cette

_expression

se réduit à

_{l’intégration}

autour des

voisinages

de Zo et zr. La

_première

donne

et la deuxième

Le

_{champ n’agit}

_{donc pas sur le} vide. Par

_conséquent,

il faut chercher le

_champ

_{qui agit}

sur un autre élec-tron.

_{Si z1 représente}

un

électron,

₍₇₎

donne

La

_{première intégrale}

est

_nulle,

la deuxième a le

point

singulier zo

et la troisième a le

_point

singu-lier Zl.

Donc,

en

_intégrant

dans les

voisinages

res-pectifs,

on a

Ce

_qui

_correspond

au

_champ

pour

chaque

électron.

Dans l’axe observable x, on a

selon la loi de Coulomb.

Les mêmes résultats s’obtiennent _pour le

_potentiel

Ces résultats sont très

_{importants :}

ils

_prouvent

que les conventions que nous avons faites sont

exactes,

au moins du

_point

de vue formel. ,

Comme p a la forme

_(6),

on déduit _{que dans}

l’élec-trodynamique

qui

a comme loi

f ondamentale la

loi

(8),

les électrons ont une densité

_{super ficielle}

de

_charge.

3.

_Énergie

_{propre de l’électron.} -

Supposons

l’électron à

_l’origine

des

coordonnées,

l’énergie

totale du

_champ

_{créé par} cet électron est

En divisant

_l’espace

en éléments de

_volume,

de

charges

qi, qk, on déduit de

₍₃₎

et

₍₄₎

_{que qi} est

_nul,

sauf dans un domaine

_qui

contient l’électron

et,

donc,

on

_peut

écrire

D’autre

_part,

les

_charges

_{formées par les domaines} de z’ sont nulles aussi. _{Mais pour} z - o,

(9)

a la

valeur suivante :

c’est-à-dire une

_énergie

_propre

_finie.

Les coefficients

_{A o,}

A-i

sont donnés au _moyen

des constantes

_physiques,

_posons

_[4]

et nous aurons

286

4.

_Rayon

de l’électron. -

Bien que l’électron soit

_ponctuel

dans notre

théorie,

on

_peut

l’envi-sager par

rapport

au schéma

_classique.

La

_{représentation}

conforme

_{(10) change}

les cercles

C,

de rayon

R,

avec les cercles C’ de la

figure

1 a.

On a les relations suivantes :

5.

_Spin

de l’électron. - La densité

électrique

p

est

_répandue

d’une

_façon

_{dissymétrique}

dans l’élec-tron. La

_figure

2 montre la

_répartition

de densité

sur la surface

_classique

de l’électron

Supposons

donc que l’on a un _espace

_{complexe z}

(fig.

2), l’espace

réel ne

_peut

_{rien donner pour fixer}

la direction des

_{y’ positifs,}

ce

_qui

ne _{serait pas} une

difficulté pour une

_{répartition symétrique}

de

_charges;

par

contre,

il est nécessaire de connaître cette direc-tion pour se

_représenter

l’électron dans notre théorie. Pour tourner la

difficulté,

il suffit _{de supposer}

_qu’il

existe deux états el et _{e2 de l’électron. Ces deux}

d’où

En dehors de ce _{rayon ro, il n’existe}

_plus

_de

den-sités

_réelles,

donc

_observables,

ce

_qui

_équivaut,

au

_point

de vue de

_{l’électrodynamique classique,}

à la

_{région occupée}

_par l’électron. _ro est donc le

rayon

classique

de

l’électron.

états sont indiscernables au

_point

de vue du

_champ

électrique.

Mais le mouvement de l’électron suffit pour donner un sens à l’axe réel et donc pour fixer

le sens

_{des y’ positifs.}

Pourtant, ces deux états

de l’électron sont discernables au _{moyen de}

_champs

qui

aient une action sur l’électron en

_mouvement,

c’est-à-dire au _{moyen du}

_champ

magnétique.

Ces deux

états,

nous les identifions donc avec les

deux états de l’électron à deux

spins

différents. 6. L’électron

_positif.

- On _a obtenu deux états

de l’électron en

changeant z’

en z’l

= z’

= x’ -

287

si maintenant nous

_{posons Z’2}

_{=_- r’}

-

iy’, .

c’est-à-dire,

si nous

_changeons

le sens des deux axes, nous

obtiendrons une nouvelle distribution de

_charges.

Cette distribution est discernable de la distribution initiale non seulement au _{moyen des}

_champs

magné-tiques,

mais

aussi

au _{moyen des}

_champs

_{électriques,}

parce que l’on a

_changé

aussi le sens de l’axe réel. On a

On obtient donc deux distributions de

_{charges :}

On obtient

_p+

en

_posant

₊

e au lieu de - _e

dans p-; ces deux états ne différent donc que du

signe

de la

_charge,

notre schéma donne aussi

l’élec-tron

_positif.

Dans notre

_théorie,

il existe une difficulté

_quand

nous nous

_plaçons

au

point

de vue

_{classique :}

en

effet,

aux _rayons vecteurs observables

_{correspondent}

des

_charges

non observables.

On,voit immédiatement

que cette difficulté est

levée

facilement au _moyen

d’un

_principe

d’indéterminisme,

principe qui

jouera

seulement

_quand

nous voulons nous efforcer d’obtenir une

_image

_classique

de l’électron.

Pour avoir ce

_principe

d’indéterminisme au _moyen

d’une relation

d’incertitude,

nous allons faire la

convention suivante : les

magnitudes

observables

F",,

correspondent

à des

magnitudes complexes

F telles que

mais si nous _{voulons que les}

_magnitudes

Fi

=

iy

soient non observables

_{(et non Fi,( h}

=

o)

et de même donner un sens aux différents vecteurs

_qui

ont la même

_projection

sur l’axe x, nous admettons _{que la}

magnitude

F ob

(11)

est douée d’une erreur

_égale

à k

_tg

_cp =

k §

(k,

c’est une constante

_qui

a les dimensions de

_Foh).

Un

_principe

d’incertitude

_exige

_{que les variables}

conjuguées

aient les erreurs de telle

_façon

_que se

correspondent

les

_(0,00)

et

_(00,0);

mais si nous

voulons attacher un _{rayon bien déterminé à}

l’élec-tron, on doit avoir un _{rayon z} = -

r 0

(sans

erreur)

288

et r = -

ro. Cette

singularité

est donnée _par notre

formule

_(10).

Mettons

₍₁₀₎

sous la forme

d’où l’on déduit que les

charges

réelles s’obtiennent

par les

points

du

_{plan z}

_{tels que}

c’est-à-dire _{par les}

_points

du cercle

c’est donc dans les

_points

de ce cercle

_[sauf

pour

(-

ro,

o)]

que l’on doit avoir

Posons

_{4r == kr;[ ’r;}

la fonction la

_{plus simple}

T,

qui

donne 4r ==oo dans le

_{cercle (12),}

est

donc

En

_posant

_krkp

=

k,

_{nous avons} la relation

d’incer-titude entre la coordonnée r et la

_charge

_{p, dans la}

distribution de

_charges

due à l’électron

àr

_{àp m}

k.

Nous tenons à

_exprimer,

ici,

nos vifs remerciements

à M. le Professeur L. de

_Broglie

_{pour l’intérêt}

_qu’il

a

_apporté

à ce

_travail,

et les conseils dont il nous a

fait bénéficier.

Nos remerciements vont aussi à M. le Dr C. Sanchez

del Rio pour l’aide que .ses discussions nous ont

apportée.

Manuscrit reçu le 18 février I 9 5 2.

BIBLIOGRAPHIE.

[1] BORN M. - Proc.

Roy. Soc., I934, 144, 425-43I;

Actua-lités _{scientifiques} n° _{341, p. I5-2I (Paris, Hermann,}

I934).

[2] BROGLIE L. DE. - Une nouvelle théorie de la lumière

(Paris, Hermann, I940-I942).

[3] PROCA A. - J.

Physique Rad., I939, 10, 2I0. [4] BIRGE R. T. - Rev. Mod.