Cours de mathématiques – Terminale Technologique Enseignement Commun

Cours de mathématiques – Terminale Technologique Enseignement Commun

Table des matières

Chapitre 1 – Statistiques à deux variables...3

I – Série statistique à deux variables...3

a) Définition...3

b) Nuage de points...3

c) Point moyen...4

II – Droite de régression par la méthode des moindres carrés...5

Chapitre 2 – Suites numériques...7

I – Généralités sur les suites...7

II – Suites arithmétiques...7

a) Définition...7

b) Moyenne arithmétique...8

c) Terme général...8

d) Somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique...9

III – Suites géométriques...9

a) Définition...9

b) Moyenne géométrique de deux nombres positifs...9

c) Terme général...10

d) Somme des termes consécutifs d'une suite géométrique...10

Chapitre 3 – Fonction inverse...11

I – Comportement de la fonction inverse aux bornes de son domaine de définition...11

II – Dérivée et sens de variation de la fonction inverse...12

a) Rappels sur la dérivation et le calcul des dérivées...12

b) Rappel sur le lien entre dérivée et variations...13

c) Dérivée de la fonction inverse...14

Chapitre 4 – Probabilités conditionnelles...15

I – Évènements et probabilités...15

a) Définitions...15

b) Probabilité d'un évènement...15

c) Opérations sur les évènements...15

d) Formules...16

II – Probabilité conditionnelle...16

a) Définition d'une probabilité conditionnelle...17

b) Utilisation d'un arbre...17

c) Probabilité totale dans une partition...18

d) Indépendance...18

Chapitre 5 – Fonctions exponentielles de base a...19

I – Définition...19

a) Définition...19

b) Sens de variation...20

II – Propriétés algébriques...21

III – Application au taux d’évolution moyen...22 Cours de mathématiques – Terminale Technologique Enseignement Commun : 1/30

a) Taux global...22

b) Taux moyen...22

Chapitre 6 – Fonction logarithme décimal...23

I – Rappels sur la fonction exponentielle de base 10...23

II – Fonction logarithme décimal...24

a) Définition de la fonction logarithme décimal...24

b) Variations et signe...24

c) Courbe représentative de la fonction logarithme décimal...25

III – Propriétés algébriques du logarithme décimal...25

a) Propriété fondamentale et conséquences...25

b) Application à la résolution d’équations et inéquations...26

Chapitre 7 – Variables aléatoires discrètes...27

I – Rappels sur les variables aléatoires...27

a) Variable aléatoire...27

b) Espérance d’une variable aléatoire...27

II – Loi de Bernoulli...28

III – Loi binomiale...28

a) Schéma de Bernoulli...28

b) Coefficients binomiaux...29

c) Le triangle de Pascal...29

d) Loi binomiale...30

Cours de mathématiques – Terminale Technologique Enseignement Commun : 2/30

Chapitre 1 – Statistiques à deux va- riables

I – Série statistique à deux variables

a) Définition

Définition : Une série statistique à deux variables est une série statistique étudiant simultané- ment deux caractères sur un même échantillon de n individus extraits d’une population.

On peut résumer ceci dans un tableau :

Valeurs du premier caractère ^xi x₁ x₂ … x_n

Valeurs du second caractère ^yi y₁ y₂ … y_n

Exemple : Le tableau ci-dessous présente les données de 1996 à 2006 du nombre de personnes vi- vant avec le VIH au Sénégal.

Année 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

Rang de l'année ^xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Estimation du nombre de personnes vivant avec le VIH (en mil-

liers) ^yi

9 11 13 16 20 24 29 35 41 49 57

Source : UNAIDS (Joint United Nations program on HIV/AIDS) Les caractères étudiés ici sont le rang de l’année ( x) et l’estimation du nombre de personnes vi- vant avec le VIH en milliers ( y).

b) Nuage de points

Définition : On étudie deux caractères (notés x et y ) sur un échantillon de taille n. Le nuage de points sera l'ensemble des points de coordonnées (x₁; y₁) , …, (x_n;y_n).

Exemple : Avec l’exemple précédent, le nuage de points est donc constitué des points de coordon- nées (0 ; 9), (1 ; 11), (2 ; 13), …, (10,57).

Chapitre 1 – Statistiques à deux variables : 3/30

c ) Point moyen

Définition : Le point moyen G d'un nuage de points est le point dont l'abscisse est la moyenne des abscisses, et l'ordonnée la moyenne des ordonnées.

Ses coordonnées (x;y) vérifient donc x=x₁+x₂+…+x_n

n et y=y₁+y₂+…+y_n

n .

Exemple : Avec notre exemple précédent, on a x=0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

11 =5 et

y=9+11+13+16+20+24+29+35+41+49+57

11 =304

11 . Le point moyen G a pour coordonnées

(

^5;30411

)

^.

Chapitre 1 – Statistiques à deux variables : 4/30

II – Droite de régression par la méthode des moindres carrés

Exemple : Lorsque les points du nuage semblent à-peu-près alignés, on peut chercher l'équation d'une droite passant « au-plus-près » des points...

On a tracé une droite arbitraire qui semble passer près des points :

Les longueurs ^l0, ^l1, …, ^l10 correspondent aux distances entre les points et leurs projections ver- ticales sur la droite.

Définition : On considère un nuage de n points. Pour une droite donnée, on s'intéresse aux distances verticales ^l1 , …, ^ln.

La droite de régression par la méthode des moindres carrés pour un nuage de n points est la droite pour laquelle la quantité l₁²+l₂²+l₃²+…+l_n² est la plus petite possible.

L'équation de cette droite nous sera donnée par la calculatrice, en utilisant la régression li- néaire du menu statistiques : la droite ayant une équation du type y=a x+b, la calculatrice nous fournira les coefficients a et b .

Chapitre 1 – Statistiques à deux variables : 5/30

Exemple : La calculatrice nous donne comme équation pour la droite de régression par la méthode des moindres carrés y=4,75 x+3,86 (en arrondissant au centième).

Théorème : Le point moyen G appartient toujours à la droite de régression par la méthode des moindres carrés.

Remarque : La droite de régression permet de faire des estimations.

Exemple : On cherche à estimer le nombre de personnes atteintes du VIH au Sénégal en 2013.

2013 correspond à x=17 . On cherche la valeur y correspondante :

Comme la droite à pour équation y=4,75 x+3,86 , on a 4,75×17+3,86=84,61.

On peut estimer à 85 milliers environ le nombre de personnes atteintes du VIH en 2013 au Sénégal.

Chapitre 1 – Statistiques à deux variables : 6/30

Chapitre 2 – Suites numériques

I – Généralités sur les suites

Une suite est une liste infinie de nombres partant d'un premier terme.

Le nombre ^un (aussi noté u(n)) où n∈ℕ est le terme général de rang n de la suite u – cette suite peut aussi se noter (u_n).

• ^un−1 est le terme qui précède ^un, puisque n−1 est l'indice précédent n ;

• de même, ^un+1 est le terme qui suit ^un, puisque n+1 est l'indice suivant n.

Rang 0 1 … ^{n−1 n n+1}

Terme u₀ u₁ … u_n−1 u_n u_n+1

Exemple : On considère la suite (u_n) définie pour tout entier naturel n⩾3 par u_n=3 n²+4. Le premier terme est donc u3=3×3²+4=31 – c'est le terme d'indice 3.

Le deuxième terme est donc u₄=3×4²+4=52 – c'est le terme d'indice 4.

Pour n⩾3, le terme d'indice n+1 est u_n+1=3(n+1)²+4=3(n²+2 n+1)+4=3 n²+6 n+7 .

II – Suites arithmétiques

a) Définition

Une suite (u_n) est arithmétique si et seulement si, pour passer d'un terme au suivant, on ajoute toujours la même constante r – c'est-à-dire, si pour tout n∈ ℕ, ^un+1=u_n+r avec

r∈ ℝ. La constante r est la raison de la suite arithmétique.

Exemples :

• Considérons une suite u telle que ^u0=3 ; ^u1=5 et ^u2=8 . ^u1−u₀=2 et ^u2−u₁=3 donc la suite n'est pas arithmétique vu que l'on n'ajoute pas la même quantité pour passer de ^u0

à ^u1 et de ^u1 à ^u2 .

• Soit u la suite définie pour tout n∈ℕ par ^un=5 n+6 .

Pour tout n∈ℕ, un+1−u_n=5(n+1)+6−(5 n+6)=5 n+5+6−5 n−6=5 donc u est arith- métique de raison 5.

Chapitre 2 – Suites numériques : 7/30

b) Moyenne arithmétique

Définition : La moyenne arithmétique de deux nombres a et b est le nombre ^a+b 2 .

Exemple : La moyenne arithmétique de 12 et 15 est ¹²⁺¹⁵

2 =13,5.

Propriété : Trois nombres a, b et c sont, dans cet ordre, trois termes consécutifs d’une suite arithmétique si et seulement si le nombre du milieu b est la moyenne arithmétique des deux autres a et c .

c) Terme général

Illustration : Soit (u_n) une suite arithmétique de raison r et de premier terme ^u0. On a donc :

• u₁=u₀+r.

• u₂=u₁+r=u₀+r+r=u₀+2r.

• u₃=u₂+r=u₀+2r+r=u₀+3r.

• …

• u_n=u₀+n r.

Théorème : Soit (u_n) une suite arithmétique de raison r et de premier terme ^u0. On a alors, pour tout n∈ ℕ, ^un=u₀+n r .

On a également, pour n⩾1, u_n=u₁+(n−1)r .

Remarque : Plus généralement, si u est arithmétique de raison r, pour tous entiers n et p avec p⩽n , on a u_n=u_p+(n−p)r .

Exemple : Soit (u_n) une suite arithmétique de raison 3 telle que ^u0=5.

On alors, pour tout n∈ℕ, ^un=u₀+n×3=5+3 n. Par exemple, ^u7=5+3×7=26 et u₂₀=5+3×20=65 – on pouvait aussi remarquer que ^u20=u₇+13×3=26+13×3=65.

Chapitre 2 – Suites numériques : 8/30

d) Somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique

Théorème : Si (un) est une suite arithmétique, alors, pour tout n∈ ℕ,

∑

k=0 n

u_k=u₀+u₁+ …+u_n=(n+1)

(

^u0+2^un

)

^.

Moyen mnémotechnique : Somme=(nombre de termes)×premier terme+dernier terme

2 .

Exemple : (u_n) est arithmétique de raison 3 et u₀=2. Soit S=u₁₀+u₁₁+…+u₁₀₀. S=(100−10+1)×u₁₀+u₁₀₀

2 =91×u₀+10×3+u₀+100×3

2 =91×2+30+2+300

2 =15 197 .

III – Suites géométriques

a) Définition

Une suite (un) est géométrique si et seulement si, pour passer d'un terme au suivant, on mul- tiplie toujours par la même constante q – c'est-à-dire, si pour tout n∈ ℕ, u_n+1=u_n×q avec

q∈ℝ. La constante q est la raison de la suite géométrique.

Exemples :

• Considérons une suite u telle que ^u0=6 ; ^u1=3 et ^u2=1. ^u1 u₀=1

2 et ^u2 u₁=1

3 donc la suite n'est pas géométrique vu que l'on ne multiplie pas par la même quantité pour passer de ^u0 à ^u1 et de ^u1 à ^u2 .

• Soit u la suite définie pour tout n∈ℕ par u_n=5×3ⁿ. Pour tout n∈ℕ, ^un+1

u_n =5×3ⁿ⁺¹ 5×3ⁿ =3ⁿ⁺¹

3ⁿ =3 donc u est géométrique de raison 3.

b) Moyenne géométrique de deux nombres positifs

Définition : La moyenne géométrique de deux nombres positifs a et b est le nombre

√

^{a b.}

Exemple : La moyenne géométrique de 4 et 9 est

√

^4×9=6.

Propriété : Trois nombres positifs a , b et c sont, dans cet ordre, trois termes consécutifs d’une suite géométrique si et seulement si le nombre du milieu b est la moyenne géométrique des deux autres a et c .

Chapitre 2 – Suites numériques : 9/30

c ) Terme général

Illustration : Soit (u_n) une suite géométrique de raison q et de premier terme ^u0. On a donc :

• u₁=u₀×q.

• _{u2=u1×q=u0×q×q=u0×q}².

• …

• _un=u0×qⁿ.

Théorème : Soit (u_n) une suite géométrique de raison q et de premier terme ^u0 . On a alors, pour tout n∈ ℕ, un=u0×qⁿ.

On a également, pour n⩾1, u_n=u₁×qⁿ⁻¹.

Remarque : Plus généralement, si u est géométrique de raison q, pour tous entiers n et p avec p⩽n , on a u_n=u_p×q^n−p.

Exemple : Soit (u_n) une suite géométrique de raison 2 telle que ^u0=1.

On alors, pour tout n∈ℕ, u_n=u₀×2ⁿ=1×2ⁿ=2ⁿ. Par exemple, u₇=2⁷=128 et

u₂₀=2²⁰=1 048 576 – on pouvait aussi remarquer que u₂₀=u₇×2¹³=128×2¹³=1 048 576. d) Somme des termes consécutifs d'une suite géométrique

Théorème : Soit (u_n)_n∈ℕ une suite géométrique de raison q≠1. Alors, pour tout n∈ ℕ,

∑

k=0 n

u_k=u₀+u₁+ …+u_n=u₀1– qⁿ⁺¹ 1– q .

Moyen mnémotechnique : Somme=(premier terme)1−(raison)(nombrede termes)

1−(raison) . Exemple : (u_n)_n∈ℕ est géométrique de raison 3 et u₀=2.

Soit S=u₈+u₉+…+u₁₇ . On a donc : S=u₈ 1−3¹⁷⁻⁸⁺¹

1−3 =u₀×3⁸×1−3¹⁰

−2 =2×3⁸×1−3¹⁰

−2 =3¹⁸−3⁸=387 413 928.

Chapitre 2 – Suites numériques : 10/30

Chapitre 3 – Fonction inverse

Rappel : La fonction inverse est la fonction f définie sur ]−∞;0[∪]0 ;+∞ [ par ^f(x)=1_x .

I – Comportement de la fonction inverse aux bornes de son domaine de définition

Propriétés :

• Soit x>0. On peut rendre ¹

x aussi proche de 0 que l’on veut à condition de prendre x suffisamment grand. On note alors : lim

x→+ ∞

1

x=0 (Illustration A).

• Soit x<0. On peut rendre ¹

x aussi proche de 0 que l’on veut à condition de prendre x suffisamment petit. On note alors : lim

x→−∞

1

x=0 (Illustration B).

Interprétation graphique : en ^+∞ et ^−∞, l’hyperbole représentant la fonction inverse se rapproche de l’axe des abscisses (sans le couper).

On dit alors que l’axe des abscisses est asymptote horizontale à l’hyperbole en ^−∞ et ^+∞.

Chapitre 3 – Fonction inverse : 11/30

Propriétés :

• On peut rendre ¹

x aussi grand que l’on veut à condition de prendre x suffisamment proche de 0 en restant positif. On note alors : lim

x→0 x>0

1

x=+∞ (Illustration C).

• On peut rendre ¹

x aussi petit que l’on veut à condition de prendre x suffisamment proche de 0 en restant négatif. On note alors : lim

x→0 x<0

1

x=−∞ (Illustration D).

Interprétation graphique : Lorsque x se rapproche de 0, l’hyperbole représentant la fonction in- verse se rapproche de l’axe des ordonnées (sans le couper).

On dit alors que l’axe des ordonnées est asymptote verticale à l’hyperbole.

II – Dérivée et sens de variation de la fonction inverse

a) Rappels sur l a dérivation et le calcul des dérivées

Définition : Une fonction f est dérivable sur un intervalle I si, pour tout x∈I , la courbe de la fonction f admet au point d’abscisse x une tangente non verticale. Le coefficient direc- teur de cette tangente est le nombre dérivé de f en x, et se note f '(x).

Exemple : La fonction f ci-contre est dérivable en x=4 puisque en A , la courbe de la fonction f ad- met une tangente non verticale.

Cette tangente a pour coefficient directeur 2. Le nombre dérivé de la fonction f en x=4 est donc 2, ce qui se note f '(4)=2.

Chapitre 3 – Fonction inverse : 12/30

Théorèmes : Les fonctions suivantes, définies sur ^ℝ sont dérivables sur ^ℝ .

Fonction Fonction dérivée

f(x)=k (fonctions constantes) f '(x)=0

f(x)=x (fonction identité) f '(x)=1

f(x)=x² (fonction carré) f '(x)=2x

f(x)=x³ (fonction cube) f '(x)=3x²

Théorème : u et v sont deux fonctions dérivables sur un même intervalle I .

Fonction Dérivée

Somme u+v u '+v '

Produit k×u avec k∈ℝ k×u'

Exemple : La fonction f définie sur ^ℝ par f (x)=5 x³−2 x²+4 x−8 est dérivable sur ^ℝ et on a f '(x)=5×3²−2×2 x+4×1−0=15 x²−4 x+4 .

b) Rappel sur le lien entre dérivée et variations

Théorème : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I .

• Si pour tout x∈I f '(x) >0, alors f est strictement croissante sur I .

• Si pour tout x∈I f '(x) <0, alors f est strictement décroissante sur I .

Exemple : Soit f la fonction définie sur ℝ par f x=x²2 x−1. Étudions ses variations.

f est dérivable sur ℝ par f 'x=2 x2.

On dresse le tableau de variations en utilisant le signe de la dérivée. Le signe de la dérivée est fa- cile à obtenir ici : c'est une fonction affine, qui s'annule en x=−1 et qui est strictement croissante puisque son coefficient directeur est supérieur strictement à 0.

x – ∞ –1 + ∞

f'(x) – 0 +

f

–2

On a en effet f −1=−1²2×−1−1=−2.

Chapitre 3 – Fonction inverse : 13/30

c) Dérivée de la fonction inverse

Théorème : La fonction inverse définie sur ]−∞;0[ ∪]0 ;+ ∞ [ par ^f(x)=1

x est dérivable sur ]−∞;0[ ∪]0 ;+ ∞ [ et on a f '(x)=− 1

x² .

Conséquence : Pour tout x≠0, ^{− 1}

x²<0 donc la fonction inverse est strictement décroissante sur ]−∞;0[ ainsi que sur ]0 ;+∞[.

On en déduit le tableau de variation complet de la fonction inverse :

x – ∞ 0 + ∞

f '(x) – –

f(x) 0

– ∞

+∞

0

Chapitre 3 – Fonction inverse : 14/30

Chapitre 4 – Probabilités condition- nelles

I – Évènements et probabilités

On considère une expérience aléatoire, par exemple le lancé d'un dé équilibré.

a) Définitions

• Une issue est un résultat possible de l'expérience.

Ici, 1 est une issue, 2 aussi. 7 n’en est pas une...

• L'univers Ω est l'ensemble de toutes les issues possibles.

Ici, Ω={1;2;3;4;5;6}.

• Un évènement est une partie de l'univers.

Ici, si on considère l'évènement A « Le résultat est un nombre pair », alors A={2;4;6}.

• La probabilité d'une issue est un nombre réel appartenant à l'intervalle ^{[0 ;1]} associé à l'is- sue. Plus celui-ci est grand, plus l'issue a de chances de se réaliser.

Ici, comme le dé est équilibré, chaque issue a pour probabilité ¹₆ .

b) Probabilité d'un évènem ent

• La probabilité d'un évènement est la somme des probabilités des issues qui le composent ; Ici, P(A)=1

6+1 6+1

6=3 6=1

2 .

• Lorsque toutes les issues de Ω ont la même probabilité, on dit que l'on est dans une situa- tion d'équiprobabilité.

c) Opérations sur les évènements

On considère toujours comme exemple le lancé d'un dé équilibré.

Soient A l'évènement « le résultat est un nombre pair » et B « Le résultat est inférieur ou égal à 2 ». On a donc A={2; 4 ;6} et B={1 ;2}.

Chapitre 4 – Probabilités conditionnelles : 15/30

• L'évènement contraire à A est l'évènement constitué de toutes les issues qui ne réalisent pas A . Il est noté A .

Ici, A={1;3;5} ; c'est l'évènement « Le résultat n'est pas un nombre pair ».

• L'intersection des évènements A et B est l'évènement formé des issues qui réalisent à la fois A et B . Il est noté A∩B.

Ici, A∩B={2} ; c'est l'évènement « Le résultat est pair et inférieur ou égal à 2 ».

• L'union des évènements A et B est l'évènement formé des issues qui réalisent au moins l'un des évènements A ou B. Il est noté A∪B.

Ici, A∪B={1;2;4;6} ; c'est l'évènement « Le résultat est pair ou inférieur ou égal à 2 ».

d) Formules

• P(Ω)=1 et P(∅)=0.

• Pour tout évènement A , 0⩽P(A)⩽1 .

• Dans une situation d'équiprobabilité, pour tout évènement A , P(A)=nombre d'issues de A

nombre total d'issues de Ω .

• P(A)=1−P(A).

• P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B).

• A∪B=A∩B et A∩B=A∪B.

II – Probabilité conditionnelle

Illustration : Lors d'une vente promotionnelle dans une boutique, une étude sur 200 clients montre que 120 clients achètent un pull et, parmi eux, 24 ont en plus acheté un pantalon.

De plus, parmi les 80 clients qui n'achètent pas de pull, 40 achètent un pantalon.

On choisit au hasard un client.

Soient A l'évènement « Le client achète un pull » et B l'évènement « Le client achète un panta- lon ». On a P(A)=120

200=0,6 , ^{P(A)=1−0,6=0,4} , P(A∩B)= 24

200=0,12 , P( ̄A∩B)= 40

200=0,2, ^P(A∩B)=₂₀₀^{96 =0,48} et ^P(A∩B)=₂₀₀^{40 =0,2}.

Parmi les clients ayant acheté un pull, la part de ceux ayant acheté un pantalon est 24

120=0,2 . Comme l'évènement A est réalisé, on dit que la probabilité de l'évènement B sachant A est 0,2.

On remarque que ^P(A∩B) P(A) =0,12

0,6 =0,2.

Chapitre 4 – Probabilités conditionnelles : 16/30

a) Définition d'une probabilité conditionnelle

On considère deux évènements A et B tels que P(A)≠0 .

La probabilité de l'évènement B, sachant que A est réalisé, se note P_A(B) . On a P_A(B)=P(A∩B)

P(A) .

On en déduit donc que P(A∩B)=P(A)×P_A(B). Exemple : Avec l’illustration précédente, P_A(B)=0,2 . On a également P_A(B)=P(A∩B)

P(A) =0,48

0,6 =0,8, ^P_A^(B)=P(A∩B) P(A) ⁼

0,2

0,4=0,5 et P_A(B)=P(A∩B)

P(A) ⁼ 0,2 0,4=0,5 . b) Utilisation d'un arbre

On peut construire un arbre pour illustrer la situation :

Le chemin A∩B est le chemin qui part de Ω, passe par A et arrive en B . On a en utilisant les formules, P(A∩B)=P(A)×P_A(B).

La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent.

Comme P(A) +P(A)=1, la somme des probabilités qui partent d'un nœud est égale à 1.

Chapitre 4 – Probabilités conditionnelles : 17/30

Exemple : On a ici comme arbre :

c) Probabilité totale dans une partition

Les évènements A et A forment une partition de l'univers Ω, c'est-à-dire que toute issue appar- tient soit à A , soit à A .

Une issue réalisant B réalise donc soit B∩A, soit B∩A. On a donc P(B)=P(B∩A)+P(B∩A).

Exemple : On a donc ici P(B)=P(B∩A)+P(B∩A)=0,12+0,2=0,32 . La probabilité qu'un client ait acheté un pantalon est 0,32.

d) Indépendance

Définition intuitive : Deux évènements non impossibles A et B sont indépendants si la réalisation de l’un n’influe pas sur la réalisation de l’autre, c’est-à-dire si PA(B)=P(B) et PB(A)=P(A).

Remarque : Supposons A et B indépendants. Leurs probabilités sont alors non nulles.

Comme P_A(B)=P(A∩B)

P(A) , on a ^P(A∩B)

P(A) =P(B) ⇔P(A∩B)=P(A)×P(B). De même comme P_B(A)=P(B∩A)

P(B) , on a ^P(B∩A)

P(B) =P(A)⇔P(B∩A)=P(B)×P(A).

Définition : Soient A et B deux évènements non impossibles. A et B sont indépendants si et seulement si P(A∩B)=P(A)×P(B).

Chapitre 4 – Probabilités conditionnelles : 18/30

Chapitre 5 – Fonctions exponentielles de base a

I – Définition

a) Définition

Rappel : On considère une suite géométrique (un) de raison a>0 telle que ^u0=1. On a donc, pour tout n∈ℕ u_n=aⁿ.

Cette suite est donc définie pour tout entier naturel n ; en prolongeant son ensemble de définition pour tout réel strictement positif, on définit la fonction exponentielle de base a.

Définition : La fonction ^f(x)=ax définie sur ^ℝ avec a>0 s’appelle la fonction exponen- tielle de base a.

Exemple : Si a=1,3, les termes de la suite géométrique de raison 1,3 et de premier terme ^u0=1 sont représentés par les points d’abscisse entière naturelle, qui appartiennent à la courbe d’équa- tion y=1,3^x.

Chapitre 5 – Fonctions exponentielles de base a : 19/30

Remarques :

• Si a=1, f(x)=1^x=1 est une fonction constante.

• Comme a>0, pour tout réel x, f(x)>0.

• a⁰=1 et a¹=a : les courbes des fonctions exponentielles de base ^a passent par ^{J(0 ;1)} et K(1 ;a).

b) Sens de variation

La fonction exponentielle de base a avec a>0 ayant le même sens de variation que la suite géo- métrique u_n=aⁿ, on en déduit la propriété suivante :

Propriété: Soit f la fonction exponentielle de base a avec a>0.

• Si 0<a<1, la fonction f est strictement décroissante sur ^ℝ .

• Si a>1, la fonction f est strictement croissante sur ^ℝ.

• Si a=1, la fonction f est constante sur ^ℝ .

Exemple : La fonction ^f(x)=0,9x est strictement décroissante sur ^ℝ, la fonction ^g(x)=1,1x est strictement croissante sur ^ℝ.

Comme la multiplication d’une fonction par un réel strictement positif ne change pas son sens de variation, et comme la multiplication d’une fonction par un réel strictement négatif inverse son sens de variation, on en déduit la propriété suivante :

Propriété : Soient k∈ℝ et a>0. La fonction f(x)=k a^x a pour sens de variation :

k>0 k<0

0<a<1 strictement décroissante strictement croissante a>1 strictement décroissante strictement décroissante Exemple : La fonction f(x)=−5(0,3)^x est strictement croissante sur ^ℝ car k=−5<0 et

a=0,3∈]0;1[ .

Chapitre 5 – Fonctions exponentielles de base a : 20/30

II – Propriétés algébriques

Propriété des puissances : Soient a>0, x un réel et n un entier relatif, alors (a^x)ⁿ=a^{n x}. Exemple : (7^0,5)²=7^0,5×2=7¹=7 .

De manière générale, on en déduit que pour tout a>0,

√

a=a^0,5 .

Propriété fondamentale : Pour tous réels x et y et a>0, a^x×a^y=a^x+y. Exemples :

• ₆^1,3_×6^0,7₌₆^1,3+0,7₌₆²₌₃₆

•

√

^27,4×

√

^20,6=

√

^27,4+0,6=

√

^{28=(20,5)8=20,5×8=24=16}

On en déduit les propriétés suivantes :

Propriétés : Pour tous réels x et y et a>0, on a :

• a^−x= 1 a^x

• a^x−y=a^x a^y

Exemples :

• ^6,2

3,2

6,2^0,2=6,2^3,2−0,2=6,2³=238,328

• _(1,8⁴₎^−1,1_×1,8^4,2_=1,84×(−1,1)+4,2

=1,8^−0,2

Chapitre 5 – Fonctions exponentielles de base a : 21/30

III – Application au taux d’évolution moyen

a) Taux global

Propriété : Si une quantité subit n évolutions de taux respectifs ^t1, ^t2, …, ^tn, alors le taux global T vérifie ^T=(1+t1) (1+ t₂) …(1+ t_n)−1.

Exemple : Une quantité subit une augmentation de 10 %, une diminution de 20 %, une augmenta- tion de 50 %.

Le taux global T est donc ^T=

(

^{1+ 10010}

)(

^1−10020

)(

^{1+ 10050}

)

^{−1=1,1×0,8×1,5−1=0,32=32 %.}

L'évolution globale est une augmentation de 32 %.

Une augmentation de 10 %, suivie d'une diminution de 20 %, suivie d'une augmentation de 50 % équivalent à une seule augmentation de 32 %.

b

) Taux moyen

Illustration : Une quantité a subi 9 évolutions successives. Le taux global d'évolution est de 15 %.

On cherche le taux d'évolution moyen, c'est-à-dire le taux ^tM tel que 9 évolutions successives cha- cune de taux ^TM correspond à une seule évolution de taux 15 %.

Remarque : Si T est le taux d'évolution global pour une quantité ayant subi n évolutions succes- sives, et si ^tM est son taux d'évolution moyen, on a alors (1+t_M)ⁿ=1+T , donc _1+t

M=(1+T)

1 n .

Propriété : Si une quantité subit n évolutions dont le taux global est T, alors le taux moyen t_M vérifie ^tM=(1+T)

1 n−1.

Exemple : Une quantité augmente deux fois de 20 % puis diminue une fois de 30 %.

Le taux global T vérifie donc ^T=

(

¹⁺100²⁰

)(

¹⁺100²⁰

)(

¹⁻100³⁰

)

−1=0,008=0,8 % . Comme il y a trois évolutions, le taux moyen ^tM vérifie donc

t_M=(1+0,008)

1

3−1≈0,0027=0,27 %.

Deux augmentations de 20 % suivies d'une diminution de 30 % équivalent à trois augmentations de 0,27 % environ.

Chapitre 5 – Fonctions exponentielles de base a : 22/30

Chapitre 6 – Fonction logarithme déci- mal

I – Rappels sur la fonction exponentielle de base 10

Définition : La fonction exponentielle de base 10 est définie sur ^ℝ par f(x)=10^x . Propriétés (rappels) :

• Comme 10>1, la fonction exponentielle de base 10 est strictement croissante sur ^ℝ.

• La fonction exponentielle de base 10 est positive sur ^ℝ.

• ₁₀⁰₌₁ ; 10¹=10.

• Pour tous réels a et b, ₁₀^a_×10^b₌₁₀^a+b ; ¹⁰

a

10^b=10^a−b. Représentation graphique :

Chapitre 6 – Fonction logarithme décimal : 23/30

II – Fonction logarithme décimal

On peut admettre que toute valeur strictement positive admet un unique antécédent par la fonction exponentielle de base 10 : Pour tout b>0 , il existe un unique a∈ℝ tel que 10^a=b.

La fonction logarithme décimal permettra de déterminer cet antécédent.

a) Définition de la fonction logarithme décimal

Définition : La fonction logarithme décimal (notée log) est la réciproque de l’exponentielle de base 10. Autrement dit, si b>0, log(b) est l’unique réel x tel que ₁₀^x=b.

Par conséquent, la fonction log est donc définie sur ^]0;+∞ [ . Relation fondamentale : Pour tout b>0, 10^log(b)=b.

Exemples : 10⁻¹=0,1⇔log(0,1)=−1 ;10⁰=1⇔log(1)=0 ; 10⁵=10 000⇔log(10 000)=5. b

) Variations et signe Propriétés :

• La fonction log est strictement croissante sur ^]0;+∞ [ .

• La fonction log est strictement négative sur ]0;1[ et strictement positive sur ^{]1 ;+ ∞ [} .

x 0 1 +∞

log(x)

–∞ 0 +∞

log(x) – 0 +

Preuve : Soient a et b deux réels strictement positifs. D’après la relation fondamentale, on peut écrire a<b⇔10^log(a)<10^log(b)⇔log(a)<log(b) puisque la fonction exponentielle de base 10 est strictement croissante. La fonction log est donc strictement croissante sur ^]0 ;+∞[ .

Comme log(1)=0, le signe s’en déduit.

Chapitre 6 – Fonction logarithme décimal : 24/30

c ) Courbe représentative de la fonction logarithme décimal

Comme les fonctions exponentielle de base 10 et logarithme décimal sont réciproques l’une de l’autre, leurs courbes dans un repère orthonormal sont symétriques par rapport à la droite y=x.

La symétrie illustre le fait que comme la courbe de la fonction exponentielle de base 10 passe par les points de coordonnées (0 ;1), (−1 ;0,1), (1;10), (2 ;100), la courbe de la fonction loga- rithme décimal passe par les points de coordonnées (1; 0), (0,1 ;−1), (10;1) ; (100 ;2).

III – Propriétés algébriques du logarithme décimal

a) Propriété fondamentale et conséquences

Propriété : Pour tous réels a>0 et b>0, on a log(a×b)=log(a)+log(b).

Remarque : Les fonctions exponentielles transformant les sommes en produit, la fonction loga- rithme décimal transforme les produits en somme (on a 10^a+b=10^a×10^b).

Ainsi, d’autres propriétés en découlent :

Chapitre 6 – Fonction logarithme décimal : 25/30

Propriétés : Pour tous réels a>0, b>0 et x, on a :

• log

(

¹a

)

^=−log(a)

• log

(

^ab

)

^{=log(a)−log(b)}

• _log(a^x_)=xlog(a)

Exemples :

• log(35)=log(7×5)=log(7)+log(5)

• log

(

¹2

)

^=−log(2)

• log

(

¹¹3

)

^{=log(11)−log(3)}

• log(1024)=log(2¹⁰)=10 log(2)

b) Application à la résolution d’équations et inéquations

Pour résoudre des équations ou inéquations faisant intervenir une exponentielle, on applique la fonction logarithme décimal aux deux membres, et on utilise les propriétés algébriques.

Exemple : On résout l’équation ^5x=3 sur ^ℝ. L’équation équivaut à log(5^x)=log(3) ⇔x log(5)=log(3)⇔x=log(3)

log(5) . ^S=

{

^loglog(3(5))

}

^.

Exemple : On résout l’inéquation 0,3^x>14 sur ^ℝ. L’inéquation équivaut à

log(0,3^x)>log(14)⇔x log(0,3)>log(14). On divise les deux membres par log(0,3), mais comme 0,3<1, log(0,3)<0 donc on change le sens de l’inéquation : x< log(14)

log(0,3) . ^S=

]

^{−∞;loglog((0,314))}

[

^.

Exemple : On résout sur ^ℝ l’inéquation x^0,8>5. L’inéquation équivaut à log(x^0,8)>log(5)⇔0,8 log(x)>log(5) ⇔log(x)>log(5)

0,8 . On applique la fonction exponentielle de base 10 aux deux membres. Comme elle est croissante, on ne change pas le sens de l’inéquation :

10^log(x)>10

log(5)

0,8 ⇔x>10

log(5)

0,8 . S=

]

^{10log(50,8);+∞}

[

^.

Chapitre 6 – Fonction logarithme décimal : 26/30

Chapitre 7 – Variables aléatoires dis- crètes

I – Rappels sur les variables aléatoires

a) Variable aléatoire

Définition : On considère une expérience aléatoire dont l’univers (ensemble des issues) est no- té Ω. Définir une variable aléatoire X sur Ω, c’est associer à toute issue de Ω un nombre réel. L’évènement « X prendre la valeur x » se note (X=x) ou {X=x} .

Exemple : On lance deux fois de suite une pièce de monnaie. On note les côtés apparus. On a donc Ω={PP;PF;FP;FF}. Pour chacune de ces issues, on associe le nombre X de fois où pile ap- paraît. Cette variable prend les valeurs 0, 1 ou 2. On a {X=0}={FF}, {X=1}={PF;FP},

{X=2}={PP}. D

éfinition : Définir la loi de probabilité d’une variable aléatoire X , c’est associer à chaque va- leur x prise par X la probabilité de l’évènement (X=x).

Exemple : Pour X variable aléatoire égale au nombre de fois où pile apparaît pour deux lancés consécutifs d'une pièce de monnaie, on a : P(X=0)=1

4 , P(X=1)=1

2 et P(X=2)=1 4 . La loi peut être représentée à l’aide d’un tableau :

x_i 0 1 2

P(X=x_i) 0,25 0,5 0,25

b) Espérance d’une variable aléatoire

Définition : L'espérance notée E(X) d'une variable aléatoire X correspond à la moyenne d'une série statistique, les probabilités jouant le rôle des fréquences.

Si la loi de X est résumée par le tableau suivant, on a E(X)=p₁x₁+p₂x₂+…+p_nx_n.

x_i x₁ x₂ ... x_n

P(X=x_i) p₁ p₂ ... p_n

Exemple : Pour X variable aléatoire égale au nombre de fois où pile apparaît pour deux lancers consécutifs d'une pièce de monnaie, on a : E(X)=1

4×0+1 2×1+1

4×2=1 .

Chapitre 7 – Variables aléatoires discrètes : 27/30

II – Loi de Bernoulli

Définition : Soit p∈[0 ;1]. On considère une expérience aléatoire à deux issues :

– S (appelée succès) avec une probabilité p,

– S (appelée échec) avec donc une probabilité 1−p. Cette situation constitue une épreuve de Bernoulli.

Soit X la variable aléatoire prenant la valeur 1 si S est réalisé et 0 sinon.

La loi de probabilité de X est appelée loi de Bernoulli.

x 0 1

P(X=x) 1−p p

Exemple : Dans une usine, la probabilité qu'un article fabriqué présente un défaut est 0,02.

Soit X la variable aléatoire qui vaut 1 si l'article présente un défaut et 0 sinon.

X suit une loi de Bernoulli de paramètre p=0,02.

Propriété : Soit X une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre p∈[0 ;1]. Alors E(X)=p.

Preuve : E(X)=(1−p)×0+ p×1=p.

Exemple : En reprenant l'exemple ci-dessus on a E(X)=0,02.

III – Loi binomiale

a) Schéma de Bernoulli

Définition : Lorsqu'on répète une même épreuve de Bernoulli n fois de façons indé- pendantes, on dit que l'on est en présence d'un schéma de Bernoulli.

Chapitre 7 – Variables aléatoires discrètes : 28/30

b) Coefficients binomiaux

Définition : Soient n et k deux entiers naturels tels que 0⩽k⩽n.

(

^nk

)

est appelé coefficient binomial, et se lit « combinaison de k parmi n ».

(

^nk

)

donne le nombre de chemins de l'arbre correspondant à k succès parmi les n répéti- tions d'une épreuve de Bernoulli.

Remarques : Pour tout n∈ℕ,

•

(

ⁿⁿ

)

⁼¹, car un seul chemin représente n succès lors des n répétitions (c'est le chemin su- périeur dans l'arbre).

•

(

ⁿ⁰

)

⁼¹, car un seul chemin représente ⁿ échecs lors des ⁿ répétitions (c'est le chemin in- férieur dans l'arbre).

•

(

ⁿ¹

)

^{=n, car n} chemins représentent 1 succès lors des ⁿ répétitions : en effet, cet unique succès peut se produire à la première épreuve, ou à la deuxième, …, ou à la dernière épreuve.

•

(

n−1ⁿ

)

^{=n, car n} chemins représentent n−1 succès lors des ⁿ répétitions : en effet, s’il y a n−1 succès, il y a 1 échec et cet unique échec peut se produire à la première épreuve, ou à la deuxième, …, ou à la dernière épreuve.

Propriétés : Si 0⩽k⩽n, on a

(

^nk

)

⁼

(

^n−nk

)

^{et si 0⩽k⩽n−1, on a}

(

^nk

)

⁺

(

^k+n1

)

⁼

(

^{n+k+ 11}

)

^.

c) Le triangle de Pascal

Le triangle de Pascal est un tableau qui donne les valeurs des coefficients binomiaux

(

^kn

)

^.

Comme 0⩽k⩽n, il a la forme d'un triangle. Il peut bien sûr être prolongé…

k=0 k=1 k=2 k=3

n=0

(

⁰⁰

)

n=1

(

¹⁰

) (

¹¹

)

n=2

(

²⁰

) (

²¹

) (

²²

)

n=3

(

³⁰

) (

³¹

) (

³²

) (

³³

)

Chapitre 7 – Variables aléatoires discrètes : 29/30

Les remarques et propriétés précédentes permettent de calculer les coefficients :

• Pour n∈ℕ ,

(

ⁿ⁰

)

⁼¹ donc dans la colonne « k=0 » toutes les valeurs valent 1.

• Pour n∈ℕ ,

(

ⁿⁿ

)

⁼¹ donc dans la diagonale

(

⁰⁰

)

^,

(

¹¹

)

, … toutes les valeurs valent 1.

• Pour 0⩽k⩽n−1,

(

^kn

)

⁺

(

^k+n1

)

⁼

(

^n+k+11

)

donc la valeur de la case

(

^kn++11

)

s'obtient en ajoutant la case du dessus

(

^k+n1

)

avec la case à côté de cette dernière

(

^kn

)

^.

On obtient donc :

k=0 k=1 k=2 k=3

n=0 1

n=1 1 1

n=2 1 2 1

n=3 1 3 3 1

Remarque : La calculatrice permet de calculer n'importe quel coefficient binomial.

d) Loi binomiale

Définition : On répète une même épreuve de Bernoulli de paramètre p∈[0 ;1] n fois de fa- çons indépendantes (schéma de Bernoulli). Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de succès (c'est-à-dire le nombre de « 1 ») parmi les n expériences.

Alors, on dit que X suit la loi binomiale de paramètres n et p. On note X∼B(n; p). Exemple : Si on joue sept fois à un jeu dont la probabilité de gagner à chaque fois est 0,4, la va- riable aléatoire X représentant le nombre de fois où l'on gagne suit une loi binomiale ^B(7;0,4). Théorème (loi de probabilité d'une loi binomiale) : Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n∈ ℕ et p∈[0 ;1] ( X∼B(n;p)).

Alors, pour k∈⟦0 ;n⟧, P(X=k)=

(

^nk

)

^{pk(1−p)n−k.}

Propriétés : Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n et p. Alors E(X)=n p.

Exemple : Si ^X∼B

(

^4;13

)

^{on a P(X=3)=}

(

⁴³

) (

¹³

)

³

(

¹⁻¹³

)

⁴⁻³⁼⁴

(

¹³

)

³

(

²³

)

^{1=4×271 ×23=818 et}

E(X)=4×1 3=4

3 .

Chapitre 7 – Variables aléatoires discrètes : 30/30