Cours de Physique 3: Vibrations, Ondes et Optique
K.Demmouche
CUAT, 2013-2014
K.Demmouche R´evision Physique 3 SM
Contenu
1 Formalisme de Lagrange
2 Vibrations
Oscillations `a 1 DDL Oscillations `a 2 DDL
K.Demmouche R´evision Physique 3 SM
Le formalisme de Lagrange se base sur la d´etermination des foncations scalaires en fonction descoordonn´ees g´en´eralis´ees et leurs d´eriv´ees:
1 L´energie cin´etique: T
2 L´energie potentielle: V
3 (Eventuellement) La fonction de DissipationD Le LagrangienL est:
L(qi,q˙i;t)≡L=T −V
`a 1DDLLob´eit `a l´equations diff´erentielle de Lagrange:
d dt
∂L
∂x˙
−∂L
∂x +∂D
∂x˙ =Fext , en cas de translation, d
dt ∂L
∂θ˙
−∂L
∂θ +∂D
∂θ˙ =M/∆(Fext) , en cas de rotation,
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Energie cin´ etique
L´energie cin´etique de translation d´un corps de massem et de vitesse (absolue) v est
Ttrans = 1
2mv2 ; v2 = ˙x2+ ˙y2+ ˙z2. L´energie cin´etique de rotation d´un corps de moment d´inertie I/∆par rapport l´axe de rotation ∆ et de vitesse angulaire ˙θ est
Trot = 1 2I/∆θ˙2.
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Energie potentielle
L´energie potentielle gravitationelle d´une masse mest Up=±mgh;
o`u h est la hauteur entre le centre de masse dem et l´horizontale (la r´ef´erence) des potentielles nulles. Le signe est pris selon le corps qu´il soit au dessous (-) ou au dessus (+) de cette horizontale.
L´energie potentielle ´elastique d´un ressort de raideur k et d´une ´elongation (ou compression) ∆x est
Uk = 1
2k(∆x)2.
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Oscillations libre non-amorti: D = 0, F
ext= 0
Mouvement Harmonique Simple MHS . L´´equation de Lagrange:
d dt
∂L
∂q˙
−∂L
∂q = 0.
L´´equation diff´erentielle du mouvement:
¨
q+ω02q = 0;
ω0: la pulsation propre.
La solution q(t) est:
q(t) =Asin (ω0t+φ) ;
o`u A etφ sont des constantes d´etermin´ees par les conditions initiales.
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Oscillations libres amortis: D 6= 0, F
ext= 0
Le syst`eme est soumis `a une force de frottement f =−αv,
repr´esent´ee souvent en m´ecanique par un amortisseur
α le cofficient de frottement.
v la vitesse relative des deux bras de l´amortisseur.
La fonction de dissipationD associ´ee est D= 1
2αv2 ; en Translation: v = ˙x. En rotationv =lθ.˙
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L´´equation de Lagrange:
d dt
∂L
∂q˙
−∂L
∂q +∂D
∂q˙ = 0.
L´´equation diff´erentielle du mouvement:
¨
q+ 2γq˙+ω20q= 0;
ω0: la pulsation propre,γ : le coefficient d´amortissement.
Q = ω2γ0 : le facteur de qualit´e.
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Les types d´amortissement
Amortissement fort: (pas d´oscillations) γ2−ω20 >0 ;ou Q <0.5 Amortissement critique: (pas d´oscillations)
γ2−ω20 = 0 ;ou Q = 0.5 Amortissement faible: (il y aoscillations)
γ2−ω20 <0 ;ou Q >0.5
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Amortissement faible
Solution de l´´equation de mouvement
q(t) =Ae−γtcos (ωat+φ)
o`u Aet φsont des constantes d´etermin´ees par lesconditions initiales.
ωa= q
ω02−γ2 : La pseudo-pulsation D´ecr´ement Logarithmique: δ =γTa
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Oscillations Forc´ ees amortis: D 6= 0, F
ext6= 0
Force excitatriceF(t) −→entretenir les oscillations
d dt
∂L
∂x˙
−∂L
∂x +∂D
∂x˙ = Fext , translation, d
dt ∂L
∂θ˙
−∂L
∂θ +∂D
∂θ˙ = M/∆(Fext) , rotation.
L´´equation diff´erentielle de mouvement
¨
q+ 2γq˙+ω20q = F(t)
a , aest une constante.
g´en´eralement pour entretenir les oscillations, F(t) =F0cosΩt.
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Formalisme de Lagrange Vibrations
Oscillations `a 1 DDL Oscillations `a 2 DDL
R´esolution de l´´equation de mouvement q(t) = qh
|{z}
r´egime transitoire
+ qp
|{z}
r´egime permanent
La solutionpermanente est de la forme q(t) =Acos (Ωt+φ).
Aet φsont des fonctions de la pulsation excitatriceΩ.
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R´esolution de l´´equation de mouvement q(t) = qh
|{z}
r´egime transitoire
+ qp
|{z}
r´egime permanent
La solutionpermanente est de la forme q(t) =Acos (Ωt+φ). ATTENTION !
Aet φsont des fonctions de la pulsation excitatriceΩ.
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Pour retrouverAet φon utilise la repr´esentation complexe
F0cosΩt −→ F0eiΩt
q(t) −→ ¯q=Aei(Ωt+φ)= ¯AeiΩt et on remplace dans l´´equation diff´erentielle du mouvement,
A= F0/a q
(ω20−Ω2)2+ 4γ2Ω2
et tanφ=− 2γΩ (ω20−Ω2).
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Formalisme de Lagrange Vibrations
Oscillations `a 1 DDL Oscillations `a 2 DDL
R´ esonance
R´esonance de l´amplitude Aest maximale⇐⇒ ∂A
∂Ω = 0 ; Ωr = q
ω20−2γ2,
Amax = F0/a q
4γ2(ω20−2γ2)2+ 4γ4 .
Pour qu´il est r´esonance il faut que : Q > √1
2 (amortissement faible).
R´esonance de la phase: L´amplitude de la vitesse est maximale Ω =ω0.
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Formalisme de Lagrange Vibrations
Oscillations `a 1 DDL Oscillations `a 2 DDL
R´ esonance
R´esonance de l´amplitude Aest maximale⇐⇒ ∂A
∂Ω = 0 ; Ωr = q
ω20−2γ2, pour cette pulsation l´amplitude est
Amax = F0/a q
4γ2(ω20−2γ2)2+ 4γ4 .
2
faible).
R´esonance de la phase: L´amplitude de la vitesse est maximale Ω =ω0.
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R´ esonance
R´esonance de l´amplitude Aest maximale⇐⇒ ∂A
∂Ω = 0 ; Ωr = q
ω20−2γ2, pour cette pulsation l´amplitude est
Amax = F0/a q
4γ2(ω20−2γ2)2+ 4γ4 .
Pour qu´il est r´esonance il faut que : Q > √1
2 (amortissement faible).
R´esonance de la phase: L´amplitude de la vitesse est maximale Ω =ω0.
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Analogie ´ electro-m´ ecanique
Syst`eme m´ecanique Syst`eme ´electrique
x q
v= ˙x i = ˙q
F E
k 1/C
m L
α R
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L´imp´ edance m´ ecanique d´entr´ ee
Z¯E = F¯
¯ v
Syst`eme m´ecanique Imp´edance m´ecanique Imp´edance ´electrique
Amortisseurα Z¯α=α Z¯R =R
massem Z¯m =imΩ Z¯L=iLΩ
ressortk Z¯k = ikΩ Z¯C = iC1Ω
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Oscillations libres ` a 2DDL
d dt
∂L
∂x˙1
−∂x∂L
1 = 0,
d dt
∂L
∂x˙2
−∂x∂L
2 = 0.
On cherche les modes propres, on remplace dans le syst`eme d´´equations la solution
x1=A1cos(ωt+φ1) −→ ¯x1 = ¯A1eiωt x2=A2cos(ωt+φ2) −→ ¯x2 = ¯A2eiωt R´esoudre l´´equation caract´eristique.
D´eterminer les deux solutions r´eelles appel´ees: pulsations propres ω1 et ω2 (ω1 < ω2).
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ω =ω1 ( mode fondamental ): vibration enphase.
ω =ω2 ( mode harmonique ): vibration enopposition de phase.
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Oscillations Forc´ ees ` a 2DDL
d dt
∂L
∂x˙1
−∂x∂L
1+ ∂D∂x˙
1 =F,
d dt
∂L
∂x˙2
−∂x∂L
2+ ∂D∂x˙
2 = 0.
En regime permanent la solution est
x1=A1cos(Ωt+φ1) −→ ¯x1 = ¯A1eiΩt x2=A2cos(Ωt+φ2) −→ ¯x2 = ¯A2eiΩt
En rempla¸cant dans le syst`eme d´´equations on obtient ¯A1 et ¯A2 avec
A1 = |A¯1| A2 = |A¯2|
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D = 0, Forc´ ee non-amorti
A1 =A2 =∞ pour les pulsations de r´esonance:
Ω = ΩR1,ΩR2.
A1 = 0 pour la pulsation d´antir´esonanceΩ = Ωa.
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D 6= 0, Forc´ ee amorti
L´imp´edance d´entr´ee: ¯ZE = v¯F¯
1
L´imp´edance de transfert: ¯ZT = vF¯¯
2
1 Pour d´eterminer ces imp´edances on re´ecrit le syst`eme d´´equations diff´erentielles en fonction de ¯v1 et ¯v2.
2 Ensuite on peut tracer le circuit ´electrique ´equivalent.
VOIR le details de calcul dans le COURS !
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Conseilles pour l´examen
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1 Essayer pour quelque minutes de vous rappler du programme (chapitres) du module, r´ediger ce programme !
2 Travailler en groupe (l´´echange)
3 R´eviser bien le cours et faites-vous un recceuil des lois et de notions importantes.
4 Approfondir vos connaissances: Books, internet, ...
5 Rattraper vos lacunes.
6 Revoir les exercices et les m´ethodes de r´esolution.
7 Pendant l´examen: Lire attentivent l´´enonc´e et souligner les points importants. Soyer concentr´e !
8 Lire bien les questions: comprendre la question est la moiti´ee de la bonne r´eponse !
9 Adapter vos connaissances aux donn´ees de l´exercice.
10 R´ediger votre r´eponse convenablement et lisiblement, soyez organis´e !
11 Revoir votre r´eponse une derni`ere fois.
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Bon Courage, Merci !
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