<span class="mathjax-formula">$\mathrm {B}_{\mathrm {dR}}$</span>-représentations dans le cas relatif

Texte intégral

(1)ISSN 0012-9593. ASENAH. quatrième série - tome 43. fascicule 2. mars-avril 2010. �NNALES SCIEN�IFIQUES d� L ÉCOLE �ORMALE SUPÉRIEU�E Fabrizio ANDREATTA & Olivier BRINON. BdR-représentations dans le cas relatif. SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE.

(2) Ann. Scient. Éc. Norm. Sup.. 4 e série, t. 43, 2010, p. 279 à 339. BdR -REPRÉSENTATIONS DANS LE CAS RELATIF. ��ʀ F�ʙʀɪ�ɪ� ANDREATTA �� Oʟɪ�ɪ�ʀ BRINON. R��. – Dans ce travail nous développons un analogue relatif de la théorie de Sen pour les BdR -représentations. On donne des applications à la théorie des représentations p-adiques, en la reliant à la théorie des (ϕ, Γ)-modules relatifs, et à celle des modules de Higgs p-adiques développée par G. Faltings. Aʙ��ʀ��. – In this work, we develop a relative analogue of Sen’s theory for BdR -representations. We give applications to the theory of p-adic representations, linking it to the theory of relative (ϕ, Γ)-modules and to the theory of p-adic Higgs modules, developed by G. Faltings.. 1. Introduction Soit K un corps de valuation discrète complet, de caractéristique 0, de corps résiduel k parfait de caractéristique p > 0. On note K une clôture algébrique de K et GK le groupe de Galois Gal(K /K). Dans [19], S. Sen a classifié les CK -représentations de GK (i.e. les CK -espaces vectoriels de dimension finie munis d’une action semi-linéaire et continue de GK , cf. définition 2.1), où CK est le complété de K pour la valuation. À la suite de Sen, J.-M. Fontaine a classifié dans [14] les BdR ( OK )-représentations de GK , où BdR ( OK ) est le corps des périodes p-adiques associé à K par Fontaine. Soit K∞ ⊆ K l’extension de K obtenue en adjoignant les racines pn -ièmes de l’unité pour n ∈ N. Posons HK := Gal(K /K∞ ) et ΓK := Gal(K∞ /K). Soient B l’un des corps CK ou BdR ( OK ) et RepB (GK ) la catégorie des B-représentations de GK (cf. définition 2.1). Sen et Fontaine montrent tout d’abord que cette catégorie est équivalente à la catégorie RepB HK (ΓK ) des B HK -représentations de ΓK . Ensuite ils prouvent un résultat de décomplétion. Plus précisément, ils montrent que la catégorie RepB HK (ΓK ) est équivalente à celle des espaces vectoriels de dimension finie sur un sous-corps dense de B HK (qui est K∞ dans le cas de Sen et K∞ ((t)) dans le cas de Fontaine, avec t = log([ε]) l’élément habituel). La troisième étape consiste à passer de l’action de ΓK , qui est un sous-groupe ouvert de Z× p , à son action infinitésimale. Cela fournit un opérateur différentiel. La principale application est la suivante : si V est une représentation 0012-9593/02/© 2010 Société Mathématique de France. Tous droits réservés ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE.

(3) 280. F. ANDREATTA ET O. BRINON. p-adique de GK , on obtient, en appliquant les résultats qui précèdent à V ⊗Qp BdR ( OK ), un K∞ ((t))-espace vectoriel Ddif (V ) muni d’un opérateur différentiel. Ce dernier contient d’importantes informations arithmétiques (par exemple, il est trivial si et seulement si la représentation V est de de Rham). En utilisant les travaux de Fontaine et de Cherbonnier-Colmez, on peut relier le (ϕ, ΓK )-module surconvergent associé à V à Ddif (V ). Ce lien est fondamental pour les lois de réciprocité explicites de Colmez ([10]). C’est aussi un ingrédient crucial dans les travaux de Berger ([5]) où il montre que la conjecture de Fontaine qui affirme qu’une représentation de de Rham est potentiellement semi-stable résulte de la conjecture de monodromie p-adique. Dans cet article, on étudie la situation lorsque K est remplacé par une base plus générale � � (cf. partie 2). Soient d un entier, T1 , . . . , Td des indéterminées et R0 = OK T1±1 , . . . , Td±1 le � ±1 � séparé complété de OK T1 , . . . , Td±1 pour la topologie p-adique. On se donne un anneau � obtenu à partir de R0 en itérant un nombre fini de fois les opérations suivantes : R (ét) complétion p-adique d’une extension étale ; (loc) complétion p-adique d’une localisation ; (comp) complétion par rapport à un idéal contenant p.. � On fixe On suppose en outre que le théorème de pureté de Faltings s’applique à R. � une extension finie et normale R ⊆ R, qui est étale quand on inverse p et telle que R est intègre (cf. remarque 2.3). Dans ce cas, l’anneau OK est remplacé par le normalisé R de R dans l’extension maximale non ramifiée de R[p−1 ]. De même, on remplace K∞ par l’anneau R∞ [p−1 ] obtenu à partir de R[p−1 ] en adjoignant les racines pn -ièmes de l’unité � � et des variables T1 , . . . , Td pour tout n ∈ N. On pose G R := Gal R[p−1 ]/R[p−1 ] , � � � � H = Gal R[p−1 ], R [p−1 ] et Γ = G / H = Gal R [p−1 ]/R[p−1 ] . Notons R� le R. ∞. R. R. R. ∞. � −1 ]. La théorie de Sen des séparé complété de R pour la topologie p-adique et C = R[p C-représentations libres de rang fini de G R a été développée dans [2, §2 & 3] (cf. aussi [12, §3]). Comme dans le cas classique, on dispose des anneaux de périodes B+ dR ⊆ BdR = −1 B+ [t ] (cf. partie 2.7). Cet anneau permet de définir la notion de représentation p-adique dR � � GR de de Rham de G R : si V ∈ RepQp ( G R ), on pose DdR (V ) = BdR ⊗Qp V , c’est un R[p−1 ]-module projectif de rang fini muni d’une filtration et d’une connexion intégrable. On dit que V est de de Rham lorsque l’application naturelle BdR ⊗R[p−1 ] DdR (V ) → BdR ⊗Qp V est un isomorphisme (cf. [8]). Le premier objectif de ce travail est de donner, comme dans le cas classique, un critère différentiel pour qu’une représentation soit de de Rham. Pour ce faire, on étudie la catégorie des BdR -représentations « régulières » (cf. définition 3.9). C’est l’objet de la partie 3, où on développe la théorie de Sen pour les B+ dR -représentations libres de rang fini de G R . On prouve que cette catégorie est équivalente à celle des modules « potentiellement libres » de rang fini sur le sous-anneau R∞ [p−1 ][[u1 , . . . , ud , t]] de B+ dR , munis de l’action résiduelle de ΓR (cf. théorème 3.23). Les techniques employées sont proches de celles de [14] : une descente « presque étale » (qui utilise le théorème de pureté de Faltings), suivie d’une décomplétion. Remarquons toutefois que cette dernière est beaucoup plus subtile dans le cas relatif, parce que le groupe de Lie p-adique ΓR est de dimension d+1 : on doit utiliser les traces normalisées de Tate généralisées construites dans [2, §2 & 3] (cf. proposition 3.17 en particulier). 4 e SÉRIE – TOME 43 – 2010 – No 2.

(4) BdR -REPRÉSENTATIONS DANS LE CAS RELATIF. 281. Étant donné un module Y potentiellement libre de rang fini sur R∞ [p−1 ][[u1 , . . . , ud , t]] muni d’une action de ΓR , on étudie dans la partie 4 l’action infinitésimale de ΓR , qui fournit ‹Y : Y → Y d t ⊕d Y d ui (proposition une connexion (non nécessairement intégrable) ∇ i=1 t t 4.6). Dans le paragraphe 5 on étudie les objets ainsi obtenus (invariants sous ΓR , sections horizontales), en particulier, on montre que la B+ dR -représentation de départ est triviale ‹ si et seulement si le module à connexion (Y, ∇Y ) est trivial (théorème 5.17). Tout ce qui précède s’étend aux BdR -représentations qui sont déduites d’une B+ dR -représentation libre en inversant t. Finalement, dans la partie 7, on applique ces résultats aux représentations p-adiques. Une telle représentation V étant donnée, on dispose de la BdR -représentation BdR ⊗Qp V . Elle est régulière : ce qui précède permet de lui associer un module différentiel Ddif (V ). On montre (proposition 7.1) que V est de de Rham si et seulement si Ddif (V ) est trivial, i.e. admet une base de sections horizontales. Par ailleurs, la surconvergence des représentations p-adiques, démontrée par Cherbonnier et Colmez dans le cas classique (cf. [9]), a été étendue au cas relatif dans [2] : une représentation p-adique V ∈ RepQp ( G R ) est entièrement déterminée par son (ϕ, ΓR )-module surconvergent D† (V ) (cf. [2, Théorème 4.35] ; mentionnons à ce propos que nous avons inclus en appendice un erratum à l’article [2]). En général, pour des raisons de convergence, il n’est pas possible de définir l’action de l’algèbre de Lie du groupe de Lie p-adique ΓR directement sur D† (V ). L’autre objectif de ce travail est de relier le (ϕ, ΓR )-module D† (V ) au module différentiel Ddif (V ) (théorème 7.5) où l’action de l’algèbre de Lie est donnée par la connexion. Dans le cas relatif, il y a un nouvel aspect : nous développons dans la partie 6 une va� � riante géométrique de la théorie de Sen en utilisant les groupes GR = Gal R[p−1 ]/RK , � � � � � R = Gal R∞ K /RK . On étudie en particulier les HR = Gal R[p−1 ]/R∞ K et Γ � + � représentations continues GR → GLn BdR ( OK ) (où B+ dR ( OK ) est l’anneau des entiers de BdR ( OK )). Soit RdR l’adhérence (en un sens convenable) de R∞ · B+ dR ( OK ) + dans BdR . À toute BdR ( OK )-représentation V de GR , on associe un module Y sur le sous-anneau RdR [[u1 , . . . , ud ]] de B+ dR , muni d’une connexion logarithmique intégrable ‹Y : Y → ⊕d Y d ui . Dans ce contexte, Faltings associe (cf. [12]) un module de Higgs à la ∇ i=1 t CK -représentation résiduelle V /tV de GR . Il s’agit d’un module M projectif de rang fini sur ‘ de RK , muni d’une application (une extension finie étale de) la complétion p-adique RK ‘ -linéaire θ : M → M “ RK ⊗R Ω1R/OK (−1) telle que θ ∧ θ = 0, appelée le champ de Higgs. associé. Étant donnée une B+ dR ( OK )-représentation V de GR , on montre que le module de Higgs associé à V /tV est la réduction modulo t de Y et que le champ de Higgs associé est le ‹Y (remarque 4.12). En particulier, on montre que ce champ de résidu en t de la connexion ∇ Higgs est nul si et seulement si Y est trivial, si et seulement si V est une représentation de de Rham géométrique (corollaire 6.6). 2. Notations et rappels D��ɪɴɪ�ɪ�ɴ 2.1. – Soient G un groupe profini et B une Qp -algèbre topologique munie d’une action continue de G. Une B-représentation de G est un B module de type fini W muni d’une action semi-linéaire continue de G i.e. telle que ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE.

(5) 282. F. ANDREATTA ET O. BRINON. (1) g(w1 + w2 ) = g(w1 ) + g(w2 ) pour w1 , w2 ∈ W et g ∈ G ; (2) g(bw) = g(b)g(w) pour w ∈ W , b ∈ B et g ∈ G.. On dit que W est libre (resp. projective) de rang n si elle l’est en tant que B-module. Soient W1 , W2 deux B-représentations de G. On munit le B-module W1 ⊗B W2 de la structure de B-représentation de G donnée par g(w1 ⊗ w2 ) = g(w1 ) ⊗ g(w2 ). De même, on munit le B-module HomB (W1 , W2 ) de la structure de B-représentation donnée par g(f )(w) = g(f (g −1 w)) pour tout f ∈ HomB (W1 , W2 ) et w ∈ W1 . Un morphisme de W1 dans W2 est une application B-linéaire f : W1 → W2 qui est G-équivariante. On note � �G HomG (W1 , W2 ) = HomB (W1 , W2 ) le groupe des morphismes de W1 dans W2 . On dispose d’un objet unité : c’est B muni de l’action G.. On définit ainsi une catégorie qu’on note RepB (G). On note ReplB (G) (resp. Reppr B (G)) la sous-catégorie pleine constituée des B-représentations qui sont libres (resp. projectives) de rang fini. R��ʀ�� 2.2. – Soient W une B-représentation libre de rang n et B = (e1 , . . . , en ) une base de W sur B. Pour g ∈ G, notons Ug la matrice dont le j-ième vecteur colonne est donné par les coordonnées de g(ej ) dans la base B. Alors Ug ∈ GLn (B) et U : G → GLn (B) est un cocycle continu. Réciproquement, la donnée d’un cocycle continu U : G → GLn (B) munit naturellement B n d’une structure de B représentation de G. Ainsi, après le choix d’une base, la donnée d’un cocycle continu U : G → GLn (B) est équivalente à celle d’une structure de B-représentation de G. Par ailleurs, si on change de base, le cocycle obtenu est cohomologue au premier (le cobord étant donné par la matrice de changement de base de B à B� ). Nous allons travailler avec les anneaux considérés dans [1], [2], [8]. Soit K un corps de valuation discrète complet, de caractéristique 0, à corps résiduel k parfait de caractéristique p > 0. On note v la valuation normalisée par v(p) = 1 et K une clôture algébrique de K. Soit � � d un entier, T1 , . . . , Td des indéterminées et R0 = OK T1±1 , . . . , Td±1 le séparé complété de � � OK T1±1 , . . . , Td±1 pour la topologie p-adique. On se donne un anneau R� obtenu à partir de R0 en itérant un nombre fini de fois les opérations suivantes : (ét) complétion p-adique d’une extension étale ; (loc) complétion p-adique d’une localisation ; (comp) complétion par rapport à un idéal contenant p. � � � est à fibres géométriquement réguOn suppose en outre que OK T1±1 , . . . , Td±1 → R � est de dimension de Krull inférieure à 2, et que k → R � ⊗V k est géométriquelières ou que R � ment intègre. Il en résulte que T1 , . . . , Td est une p-base de R ⊗ OK k. Dans ces conditions, le théorème de pureté de Faltings (cf. [11]) s’applique. � qui contient K . On note I l’ensemble des sousSoit E une clôture algébrique de Frac(R) � � −1 ] ⊆ S[p−1 ] est étale. Soit R ∈ I tel que R-algèbres finies normales S de E telles que R[p K est algébriquement clos dans R[p−1 ] (on peut toujours se ramener à ce cas en remplaçant K par sa clôture algébrique dans R[p−1 ]). 4 e SÉRIE – TOME 43 – 2010 – No 2.

(6) BdR -REPRÉSENTATIONS DANS LE CAS RELATIF. 283. R��ʀ�� 2.3. – Un schéma formel p-adique à bonne réduction sur OK peut être recouvert par des spectres formels de tels anneaux. De même, l’anneau local complété en un point d’un tel schéma formel (par exemple W(k)[[T ]]) est un anneau de ce type. Cette classe d’anneaux permet aussi de considérer des cas de réduction semi-stable : p+1 � = W(k)[[X]] et R = R[Z]/(Z � posons R −XZ +p). L’anneau R est local, d’idéal maximal p m = (X, Z). Si Y = X −Z , on a R � W(k)[[X]][Y, Z]/(Z p +Y −X, Y Z −p). La suite (Y, Z) est régulière : l’anneau R est régulier donc normal. Soit δ l’image de (p + 1)Z p − X dans R. On a Zδ = (p + 1)Z p+1 − XZ = pZ p+1 − p = p(Z p+1 − 1), de sorte que R[p−1 ]/δR[p−1 ] = p+1 � R[Z]/(Z − 1, p + 1 − XZ) = 0 vu que p + 1 − XZ divise X p+1 − (p + 1)p+1 (dans R) � Cela implique que R[p−1 ] est étale sur R[p � −1 ]. Enfin, et ce dernier est inversible dans R. l’anneau R est complet pour la topologie (X, p)-adique, donc pour la topologie m-adique : on a R � W(k)[[Y, Z]]/(Y Z − p). On pose R=. �. S∈I. S. � = lim R/pn R R ←− n. � −1 ]. C = R[p. Ces anneaux sont munis d’une action continue (pour la topologie p-adique) de � � � � G R := Gal R[p−1 ]/R[p−1 ] = π1 Spec(R[p−1 ]), Spec(E) . Soient :. • ε = (ε(n) )n∈N ∈ R N telle que ε(0) = 1, ε(1) �= 1 et (ε(n+1) )p = ε(n) pour tout n ∈ N. (n) (0) (n+1) p (n) • T�i = (Ti )n∈N ∈ R N telle que Ti = Ti et (Ti ) = Ti pour tout n ∈ N. î ó (n) (n) Si S ∈ I et n ∈ N, on note Sn le normalisé de S ε(n) , T1 , . . . , Td dans R. On pose � � � � � −1 −1 S∞ = Sn , H S = Gal R[p ], S∞ [p ] et ΓS/R = G R / H S = Gal S∞ [p−1 ]/R[p−1 ] . n. Lorsque S = R, on note ΓR au lieu de ΓR/R . On a la suite exacte � R → ΓR → ΓK → 1 1→Γ. � R s’identifie à un sous-groupe d’indice fini de où Γ défini par. (n) γi (Tj ). =. d �. i=1. � (n) ε(n) Ti (n) Tj. Zp γi où γi ∈ Gal(R∞ [p−1 ]/RK∞ ) est si j = i si j �= i.. � R , on a gγg −1 = γ χ(g) , de sorte que ΓR n’est pas commutatif. Dans la suite, Si g ∈ ΓR et γ ∈ Γ Ä î (∞) óä (∞) on fixe γ0 ∈ Gal R∞ [p−1 ]/R T1 , . . . , Td , p−1 tel que χ(γ0 )Zp soit un sous-groupe ouvert de Z× p. On dispose des versions géométriques de ces groupes. Pour S ∈ I , on pose : � � • GR = Gal R[p−1 ]/RK ; � � • HS = Gal R[p−1 ]/S∞ K ; � � � S/R = Gal S∞ K /RK . • Γ Dans ce cadre, la théorie de Sen se généralise de la façon suivante : ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE.

(7) 284. F. ANDREATTA ET O. BRINON. Tʜ��ʀ�� 2.4 (cf. [2, Théorème 3.1 & Corollaire 3.14]). – L’application naturelle lim H1 (ΓS/R , GLn (S∞ [p−1 ])) → H1 ( G R , GLn (C)) −→ S. (où la limite inductive est prise sur les S ∈ I tels que S∞ [p−1 ]/R[p−1 ] est galoisienne) est bijective. Le foncteur l Reppl R∞ [p−1 ] (ΓR ) → RepC ( G R ). Y �→ C ⊗R∞ [p−1 ] Y. est une équivalence de catégories (où Reppl R∞ [p−1 ] (ΓR ) désigne la sous-catégorie des −1 R∞ [p ]-représentations Y de ΓR qui sont potentiellement libres, c’est-à-dire telles qu’il existe S ∈ I avec S∞ [p−1 ] ⊗R∞ [p−1 ] Y libre sur S∞ [p−1 ]). La version géométrique de l’énoncé précédent nous sera aussi utile. ’ L�� 2.5. – Pour tout S ∈ I , on a H0 (GS , C) = S OK [p−1 ] (complété pour la topologie p-adique). Démonstration. – C’est [3, Proposition 7.7] pour la représentation triviale. On raisonne alors comme dans [2, Corollaire 3.13] en utilisant [3, Lemma 7.9.3]. −1 ÷ Dans la suite, si S ∈ I et n ∈ N, on pose Sn,K = H0 (GSn , C) = S ], et n OK [p ∞ � S∞,K = Sn,K . m=0. Tʜ��ʀ�� 2.6. – L’application naturelle. 1 � S/R , GLn (S lim H1 (Γ ∞,K )) → H (GR , GLn (C)) −→ S. (où la limite inductive est prise sur les S ∈ I tels que S∞ [p−1 ]/R[p−1 ] est galoisienne) est bijective. Le foncteur Reppl R. ∞,K. � R ) → ReplC (GR ) (Γ Y �→ C ⊗R∞,K Y. est une équivalence de catégories (où Reppl R. ∞,K. � R ) désigne la sous-catégorie des (Γ. � R qui sont potentiellement libres, c’est-à-dire telles qu’il existe R∞,K -représentations Y de Γ S ∈ I avec S∞,K ⊗R∞,K Y libre sur S∞,K ). Démonstration. – La preuve est analogue à celle du théorème 2.4, à cela près que [2, Corollaire 2.3] est appliqué à HR au lieu de H R , et la décomplétion se fait par rapport aux variables T1 , . . . , Td , de sorte qu’on n’utilise que d familles de traces normalisées de Tate (cf. [3, §7.9]). 4 e SÉRIE – TOME 43 – 2010 – No 2.

(8) BdR -REPRÉSENTATIONS DANS LE CAS RELATIF. 285. 2.7. Rappels sur l’anneau BdR (cf. [8]) Soit R = lim R/pR (les morphismes de transition sont donnés par le Frobenius). C’est ←− n un anneau de caractéristique p muni d’une action de G R . Par l’argument habituel, on a ß ™ N � (n) (n+1) p (n) R � (x )n∈N ∈ R , (∀n ∈ N) (x ) =x. de sorte que les suites ε et T�i (pour i ∈ {1, . . . , d}) choisies plus haut définissent des éléments de R. On dispose de l’homomorphisme de W(k)-algèbres � θ : W(R) → R. (a0 , a1 , . . . ) �→. ∞ �. pn a(n) n .. n=0. Il est surjectif, de noyau principal. Il induit un homomorphisme de R-algèbres � θ : R ⊗ W(R) → R. R. D��ɪɴɪ�ɪ�ɴ 2.8. –. • Ainf. Z. B∇+ dR. := lim W(R)[p−1 ]/ Ker(θ)m ; ←− � m �m � −1 := lim(R ⊗Z W(R))/θR pR ; ←− •. m. • B+ lim Ainf [p−1 ]/ Ker(θR )m . dR := ← − m. Ce sont des anneaux munis d’une action de G R . Dans B+ dR , on dispose de l’élément t = log([ε]) =. ∞ � (−1)m−1 ([ε] − 1)m . m m=1. −1 Pour g ∈ G R , on a g(t) = χ(g)t. On pose BdR = B+ ]. Pour i ∈ {1, . . . , d}, on note ui dR [t + + r � l’image de Ti ⊗ 1 − 1 ⊗ [Ti ] dans BdR . On filtre BdR en posant Filr (B+ dR ) = (Ker(θR ) ). r + + + On munit BdR = lim BdR / Fil BdR de la topologie de la limite projective, où chaque ←− r. r + B+ dR / Fil BdR est muni de la topologie de Banach p-adique. On appelle topologie naturelle + de BdR la topologie ainsi définie. Dans ce qui suit, tous ses sous-anneaux sont munis de la topologie induite, et les ensembles de cohomologie qu’on considère dans la suite sont des ensembles de cohomologie continue pour cette topologie. Dans la suite, les propriétés suivantes de B+ dR et BdR nous seront utiles. ∇+ Pʀ��ɪ�ɪ�ɴ 2.9. – (1) On a B+ dR � BdR [[u1 , . . . , ud ]] ; G −1 (2) B+ ]-algèbre, et BdRR = R[p−1 ] ; dR est une R[p + (3) le gradué de BdR est C[t, u1 , . . . , ud ].. Pour S ∈ I , posons. −1 l+ ][[t, u1 , . . . , ud ]]. dR (S) = S∞ [p. + +HS −1 Il est clair que l+ ]. dR (S) ⊆ BdR . On pose ldR (S) = ldR (S)[t On dispose aussi de versions géométriques de ces anneaux. Pour n ∈ N, on note Sn + l’adhérence, pour la topologie naturelle, de Sn B+ dR ( OK ) dans BdR et S∞ := ∪n Sn . On note + S au lieu de S0 . On note alors SdR l’adhérence de S∞ dans BdR pour la topologie t-adique. ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE.

(9) 286. F. ANDREATTA ET O. BRINON. (pas pour la topologie naturelle). Lorsque S = R, on note ces anneaux Rn , R et RdR . On pose l+ dR (S) = SdR [[u1 , . . . , ud ]]. + +HS −1 On a l+ ]. dR (S) ⊆ BdR . On pose ldR (S) = ldR (S)[t. Ä ä GR D��ɪɴɪ�ɪ�ɴ 2.10. – Si V ∈ RepQp ( G R ), on pose DdR (V ) = BdR ⊗Qp V . C’est un R[p−1 ]-module, dont on peut montrer qu’il est projectif de rang fini ≤ dimQp (V ) (cf. [8, Proposition 8.3.1]), et l’homomorphisme αdR (V ) : BdR ⊗R[p−1 ] DdR (V ) → BdR ⊗Qp V est toujours injectif (cf. [8, Proposition 8.2.4]). On dit que V est de de Rham lorsque c’est un isomorphisme. Cela définit une sous-catégorie RepdR ( G R ) de la catégorie RepQp ( G R ). On a un concept analogue dans le cas géométrique. L�� 2.11. – On a H0 (GS , B+ dR ) = S. d � S = pm0 � Zp γi . On a Démonstration. – Quitte à changer S, on peut supposer que Γ i=1. r + S bien sûr une inclusion S → B+G dR . Montrons que c’est un isomorphisme modulo Fil BdR pour tout r ∈ N>0 . On procède par récurrence, le cas r = 1 n’étant autre que le lemme r+1 + 2.5. Supposons r > 1 et soit y ∈ B+ BdR fixe sous GS . Comme y est fixe sous GS dR / Fil r + modulo Fil BdR , il existe y0 ∈ S tel que z = y − y0 ∈ Filr B+ dR . Notons z l’image de y − y0 dans � Grr B+ Ctr−|n| un dR = n∈Nd |n|≤r. où un =. d �. i=1. uni i pour tout n = (n1 , . . . , nd ) ∈ Nd . Écrivons z =. z est invariant sous HS , on a zn ∈ C HS pour tout n.. �. zn tr−|n| un . Comme d. n∈N |n|≤r. Soient s ∈ {1, . . . , r} tel que |n| > s ⇒ zn = 0 et n ∈ Nd tel que |n| = s. Montrons que zn = 0. Comme s > 0, il existe i ∈ {1, . . . , d} tel que ni > 0. Posons λ = pm0 , de � S . Comme γ λ (ui ) = Ti − [ε]λ [T�i ] = ui + (1 − exp(λt))[T�i ] ≡ ui − λtTi sorte que γiλ ∈ Γ i 2 + mod Fil BdR , on a � n γiλ (tr−|n| un ) = tr−|n| (ui − λtTi )ni uj j j�=i. ni Ç å � ni = (−λTj )j tr−|n|+j un−jei j j=0. dans Grr B+ dR (où ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0), le 1 étant à la i-ième coordonnée), d’où ni Ç å � � λ � r−|n| n ni γi − 1 (t u )= (−λTj )j tr−|n|+j un−jei . j j=1 4 e SÉRIE – TOME 43 – 2010 – No 2.

(10) 287. BdR -REPRÉSENTATIONS DANS LE CAS RELATIF. Si m ∈ Nd , le coefficient de tr−|m| um de � � λ � � � � � γi − 1 (z) = γiλ (zn ) γiλ − 1 (tr−|n| un ) + γiλ − 1 (zn )tr−|n| un n∈Nd |n|≤r. est donc �. γiλ. �. − 1 (zm ) +. s−|m| Ç. � j=1. å mi + j (−λTi )j γiλ (zm+jei ) j. (la somme s’arrête à j = s − |m| car j > s − |m| ⇒ |m + jei | > s ⇒ zm+jei = 0). Mais comme z est invariant sous GS , ce coefficient est nul. � � � �γ λ =1 Pour m = n, on tire γiλ − 1 (zn ) = 0 i.e. zn ∈ C HS i . Pour m = n − ei , on tire � λ � γi − 1 (zn−ei ) − ni λTi γiλ (zn ) = 0 et donc zn =. � � �� 1 � λ γi − 1 (zn−ei ) ∈ γiλ − 1 C HS . ni λTi. � �γ λ =1 � �� Mais C HS = C HS i ⊕ γiλ − 1 C HS d’après [2, Proposition 3.11] : on a donc zn = 0, ce qu’on voulait. Par récurrence, on a donc zn = 0 dès que n �= 0 : on a z = z0 tr , avec ’ z0 ∈ C G S = S OK [p−1 ] (cf. lemme 2.5) et on a fini. � �G Si V ∈ RepBdR ( OK ) (GR ) on pose DdR (V ) = BdR ⊗BdR ( OK ) V R . C’est un R[t−1 ]-module. Comme BdR est muni d’une filtration et d’une connexion intégrable d � R qui commute à l’action de G (où Ω � R = � R[p−1 ] d Ti est le BdR → BdR ⊗R[p−1 ] Ω R i=1. module des différentielles continues de R[p−1 ]), le R[t−1 ]-module DdR (V ) hérite d’une � R . On dispose d’un filtration et d’une connexion intégrable DdR (V ) → DdR (V ) ⊗R[p−1 ] Ω homomorphisme αdR (V ) : BdR ⊗R[t−1 ] DdR (V ) → BdR ⊗BdR ( OK ) V.. On dit que V est de de Rham géométrique lorsque c’est un isomorphisme. Cela définit une sous-catégorie Repgeom dR (GR ) de la catégorie RepBdR ( OK ) (GR ). Ä äGR + Lorsque V ∈ RepB+ ( OK ) (GR ) on pose D+ . C’est un dR (V ) = BdR ⊗B+ ( OK ) V dR. dR. + R-module muni d’une filtration et d’une connexion intégrable D+ dR (V ) → DdR (V ) ⊗R[p−1 ] + � R . Comme t est invariant sous GR , on a DdR (V [t−1 ]) = D (V )[t−1 ]. Ω dR. 3. Théorie de Sen des B+ dR -représentations Dans cette section, on généralise [14, §3], qu’on suit assez fidèlement. ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE.

(11) 288. F. ANDREATTA ET O. BRINON. 3.1. Étude des B+ dR -représentations libres de H R et de HR Si S ∈ I , on pose. � � 0 L+ H S , B+ dR dR (S) = H � � + 0 L+ dR (S) = H HS , BdR. Remarquons qu’on a alors. et et. � � LdR (S) = H0 H S , BdR , � � LdR (S) = H0 HS , BdR .. −1 l+ ][[u1 , . . . , ud , t]] ⊆ L+ dR (S) := S∞ [p dR (S),. ldR (S) := S∞ [p−1 ][[u1 , . . . , ud , t]][t−1 ] ⊆ LdR (S),. + l+ dR (S) := SdR [[u1 , . . . , ud ]] ⊆ LdR (S),. ldR (S) := SdR [[u1 , . . . , ud ]][t−1 ] ⊆ LdR (S). + + Pour alléger les notations, on notera parfois L+ dR , LdR , ldR et ldR au lieu de LdR (R), + LdR (R), ldR (R) et ldR (R). Idem avec les anneaux « géométriques ». � � Rappelons (cf. [8, §5.2]) que l’anneau BdR est muni d’une filtration Filr BdR r∈Z décroissante séparée et exhaustive. Elle induit une filtration décroissante séparée et exhaustive sur + + les sous-anneaux l+ dR (S) ⊆ LdR (S) ⊆ BdR .. L�� 3.2. – Pour tout r ∈ N, on a des isomorphismes naturels � � SymrS∞ [p−1 ] S∞ [p−1 ]u1 ⊕ · · � · ⊕ S∞ [p−1 ]ud ⊕ S∞ [p−1 ]t � SymrS�. −1 ] ∞ [p. et. �. � � S�∞ [p−1 ]u1 ⊕ · · · ⊕ S�∞ [p−1 ]ud ⊕ S�∞ [p−1 ]t ��. � � � SymrC Cu1 ⊕ · · · ⊕ C[p−1 ]ud ⊕ Ct. SymrS. ∞,K. SymrS�. ∞,K. ∼. �. S∞,K u1 ⊕ · · · ⊕ S∞,K ud ⊕ S∞,K t ��. �. � � S�∞,K u1 ⊕ · · · ⊕ S�∞,K ud ⊕ S�∞,K t ��. � � � SymrC Cu1 ⊕ · · · ⊕ C[p−1 ]ud ⊕ Ct. �. ∼. ∼. ∼. ∼. ∼. � Grr l+ (S) dR �� Grr L+ (S) dR �� Grr B+ dR. � Grr l+ (S) dR �� Grr L+ (S) dR �� Grr B+ . dR. En outre, les extensions. r + r + + r + r + + + l+ dR (S)/ Fil ldR (S) → LdR (S)/ Fil LdR (S) et ldR (S)/ Fil ldR (S) → LdR (S)/ Fil LdR (S). sont fidèlement plates. 4 e SÉRIE – TOME 43 – 2010 – No 2.

(12) 289. BdR -REPRÉSENTATIONS DANS LE CAS RELATIF. + Démonstration. – La filtration sur l+ dR (S) (resp. sur ldR (S)) n’est autre que la filtration (u1 , . . . , ud , t)-adique : la flèche du haut est un isomorphisme. Par ailleurs, celle du bas en est un d’après [8, Proposition 5.2.5]. Montrons que c’est aussi le cas de celle du milieu. De la suite exacte. on tire la suite exacte. r + r + 0 → Filr+1 B+ dR → Fil BdR → Gr BdR → 0. � � � � r + 0 1 0 → Filr+1 L+ H S , Grr B+ H S , Filr B+ dR → H dR . dR (S) → Fil LdR (S) → H � � � � � � s + 1 Mais H1 H S , Filr B+ = {0} et H1 HS , Filr B+ dR dR = {0} parce que H H S , Gr BdR = {0} � � et H1 HS , Grs B+ [3, Prop 7.4 & 7.9.2] pour tout s ≥ r et parce que dR = {0} � r + � Fil LdR (S)/ Fils L+ (S) a la propriété de Mittag-Leffler (cf. [20, Proposition 2.2]). dR s>r On a donc � � ∼ 0 Grr L+ H S , Grr B+ dR . dR (S) → H. L’action de H S et de HS étant triviale sur u1 , . . . , ud et t, on a fini. La dernière assertion résulte de la fidèle platitude des extensions S∞ [p−1 ] → S�∞ [p−1 ] et S∞,K [p−1 ] → S�∞,K [p−1 ], et de [17, Theorem 22.3]. Pʀ��ɪ�ɪ�ɴ 3.3. – Les extensions. + l+ dR (R) ⊆ ldR (S),. ldR (R) ⊆ ldR (S),. L+ dR (R). ⊆. L+ dR (S),. LdR (R) ⊆ LdR (S),. + l+ dR (R) ⊆ ldR (S). ldR (R) ⊆ ldR (S). + L+ dR (R) ⊆ LdR (S). LdR (R) ⊆ LdR (S). sont finies étales. Elles sont galoisiennes de groupe Gal(S∞ [p−1 ]/R∞ [p−1 ]) (resp. Gal(S∞,K /R∞,K )) si S∞ [p−1 ]/R∞ [p−1 ] (resp. S∞,K /R∞,K ) est galoisienne. Démonstration. – Soit r ∈ N. On a. S�∞ [p−1 ] ⊗R �. −1 ] ∞ [p. ∼. r + Grr L+ dR (R) → Gr LdR (S),. ∼ r + r + S�∞,K ⊗R �∞,K Gr LdR (R) → Gr LdR (S). �∞ et de même d’après le lemme 3.2. Mais on a S�∞ [p−1 ] � S∞ [p−1 ] ⊗R∞ R � S�∞,K � S∞,K ⊗R∞,K R ∞,K (cf. [1, Corollary 3.11]). On en déduit les isomorphismes ∼. r + S∞ [p−1 ] ⊗R∞ [p−1 ] Grr L+ dR (R) → Gr LdR (S),. ∼. r + S∞,K ⊗R∞,K Grr L+ dR (R) → Gr LdR (S).. Étant des isomorphismes sur les gradués, les morphismes d’anneaux + S∞ [p−1 ] ⊗R∞ [p−1 ] L+ dR (R∞ ) → LdR (S),. + S∞,K ⊗R∞,K L+ dR (R∞ ) → LdR (S). sont des isomorphismes. Il en est évidemment de même des morphismes + S∞ [p−1 ] ⊗R∞ [p−1 ] l+ dR (R) → ldR (S),. + S∞,K ⊗R∞,K l+ dR (R) → ldR (S).. + + + Les extensions l+ L+ l+ et dR (R) ⊆ ldR (S), dR (R) ⊆ ldR (S) dR (R) ⊆ LdR (S), + + −1 LdR (R) ⊆ LdR (S) sont donc étales par changement de base, galoisiennes si S∞ [p ]/R∞ [p−1 ] (resp. S∞,K /R∞,K ) l’est, de même groupe de Galois. Les énoncés analogues pour les extensions ldR (R) ⊆ ldR (S), LdR (R) ⊆ LdR (S), ldR (R) ⊆ ldR (S) et LdR (R) ⊆ LdR (S) s’en déduisent par localisation.. ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE.

(13) 290. F. ANDREATTA ET O. BRINON. Pʀ��ɪ�ɪ�ɴ 3.4. – On a � � ∼ 1� � lim H1 Gal(S∞ [p−1 ]/R∞ [p−1 ]), GLn (L+ H R , GLn (B+ dR ) dR (S)) → H −→ S∞ � � ∼ 1� � + et lim H1 Gal(S∞,K /R∞,K ), GLn (L+ dR (S)) → H HR , GLn (BdR ) . −→ S∞,K. Démonstration. – Comme ce sont des limites inductives d’applications d’inflation, elles sont injectives. Soit g �→ Ug un cocycle continu H R → GLn (B+ dR ). L’application g �→ θ(Ug ) est alors un cocycle continu H R → GLn (C). D’après [2, Proposition 3.6], il existe une sousR-algèbre finie S de R telle que S[p−1 ]/R[p−1 ] est étale galoisienne, et telle que le cocycle (θ ◦ U )| H S a une classe de cohomologie triviale. Il existe donc B0 ∈ GLn (B+ dR ) tel que si U0 + −1 est le cocycle H R → GLn (BdR ) défini par U0,g = B0 Ug g(B0 ), on a θ(U0,g ) = In pour tout g ∈ H S. Soit M ∈ N>0 . Supposons construites des suites (Bm )0≤m<M et (Um )0≤m<M où (1) Bm ∈ In + Mn (Ker(θ)m ) et Um est un cocycle continu à valeurs dans GLn (B+ dR ) pour 0≤m<M; −1 (2) Um,g = Bm Um−1,g g(Bm ) pour tout g ∈ H S et 1 ≤ m < M ; (3) Um,g ∈ In + Mn (Ker(θ)m+1 ) pour 0 ≤ m < M pour tout g ∈ H S . � Notons VM,g l’image de UM −1,g −In dans Mn (Ker(θ)M ) Mn (Ker(θ)M +1 ). Pour g, h ∈ H S , on a UM −1,gh − In = UM −1,g g(UM −1,h ) − In � � � � = UM −1,g − In g(UM −1,h ) + g UM −1,h − In � � � � ≡ UM −1,g − In + g UM −1,h − In mod Mn (Ker(θ)M +1 ). vu que UM −1,g , UM −1,h ≡ In mod Mn (Ker(θ)M ) et M > 0. On a donc � � VM,gh = VM,g + g(VM,h ) et g �→ VM,g est un cocycle continu H S → Mn GrM B+ . dR � 1 + � M + M Comme Gr BdR = SymC Gr BdR est un C module libre de rang fini, et comme � � H1 H S , C = {0} ([8, Proposition 3.1.1]), le cocycle VM a une classe de cohomologie triviale : il existe BM ∈ In + Mn (Ker(θ)M ) telle que si UM est le cocycle H R → GLn (B+ dR ) −1 M +1 défini par UM,g = BM UM −1,g g(BM ), on a UM,g ∈ In + Mn (Ker(θ) ) pour tout g ∈ H S. Les suites (Bm )m∈N et (Um )m∈N étant construites, on pose B = B0 B1 B2 · · · . Le produit infini converge dans GLn (B+ dR ) grâce à la propriété (1). Par ailleurs, on a B −1 Ug g(B) = In pour tout g ∈ H S en vertu des propriétés (2) et (3). Ainsi U a une � � image triviale dans H1 H S , GLn (B+ dR ) . Comme on a la suite exacte d’inflation-restriction � � � � � � + + 1 1 {1} → H1 Gal(S∞ [p−1 ]/R∞ [p−1 ]), GLn (L+ dR (S)) → H H R , GLn (BdR ) → H H S , GLn (BdR ) , � � cela implique que U provient d’un élément de H1 Gal(S∞ [p−1 ]/R∞ [p−1 ]), GLn (L+ dR (S)) par inflation. Ceci prouve la surjectivité de la première application. Dans le cas géométrique, on procède de la même manière. L’analogue de [2, Proposition 3.6] est déduit de façon formelle de la théorie de Tate-Sen géométrique pour C (cf. [2, Cor. 2.3]). Le fait que les conditions de Tate-Sen sont satisfaites dans ce cas est montré dans [3, � � §7]. Le fait que H1 HS , C = {0} est prouvé dans [3, Prop. 7.4]. 4 e SÉRIE – TOME 43 – 2010 – No 2.

(14) BdR -REPRÉSENTATIONS DANS LE CAS RELATIF. 291. C�ʀ�ʟʟ�ɪʀ� 3.5. – Si W est une B+ dR -représentation libre de rang n de H R (resp. HR ), alors W H R (resp. W HR ) est un L+ -module (resp. un L+ dR -module) projectif de rang n, et dR on a ∼. HR →W B+ dR ⊗L+ W. ∼. HR B+ →W) dR ⊗L+ W. (resp.. dR. dR. en tant que B+ dR -représentations de H R (resp. de HR ). Démonstration. – D’après la proposition 3.4, il existe une sous-R-algèbre finie S de R telle que S[p−1 ]/R[p−1 ] (resp. SK /RK ) est étale galoisienne, et une base B de W sur B+ dR fixe + H S (resp. W HS ) sous l’action de H S (resp. HS ). Le L+ (S)-module (resp. L (S)-module) W dR dR ∼ + HS → HS ∼ + est donc libre et B+ W W (resp. B ⊗ → W ) en tant que H S dR ⊗L+ dR (S) LdR (S) W dR modules (resp. HS -modules). On conclut alors par descente galoisienne, vu que l’extension + + + L+ dR ⊆ LdR (S) (resp. LdR ⊆ LdR (S)) est finie étale galoisienne en vertu de la proposition 3.3. C�ʀ�ʟʟ�ɪʀ� 3.6. – Soient W1 , W2 deux B+ dR -représentations libres de rang fini de H R (resp. de HR ), alors HomRep. + ( B dR. (W1H R , W2H R ) H R ) (W1 , W2 ) = HomL+ dR. (resp. HomRep. + (HR ) B dR. et. Ext1Rep + ( H R ) (W1 , W2 ) B dR. (W1 , W2 ) = HomL+ (W1HR , W2HR )). = {0} (resp.. dR. Ext1Rep + (HR ) (W1 , W2 ) B dR. = {0}).. Démonstration. – Traitons le cas des B+ H R , celui des dR -représentations de même manière. D’après le corollaire 3.5, a donc. B+ dR -représentations de HR se traitant de la on a Wj = B+ WjH R pour j ∈ {1, 2}. On dR ⊗L+ dR. HR HomB+ (W1 , W2 ) = HomB+ (B+ , BdR ⊗LdR W2H R ) dR ⊗L+ W1 dR. dR. =. B+ dR. dR. ⊗L+ HomLdR (W1H R , W2H R ) dR. en tant que H R -modules. En prenant les invariants sous H R , on a bien HomRep. + ( B dR. (W1 , W2 ) H R = HomL+ (W1H R , W2H R ). H R ) (W1 , W2 ) = HomB+ dR dR. Par ailleurs, on a Ext1Rep. + ( B dR. 1. +. (W1 , W2 )) H R ) (W1 , W2 ) � ExtRepB+ ( H R ) (BdR , HomB+ dR dR � � � H1 H R , HomB+ (W1 , W2 ) dR. HR (cf. [14, §2.1]). On a HomB+ (W1 , W2 ) � B+ , W2H R ) en tant que dR ⊗L+ HomL+ (W1 dR. dR. dR. H R -modules, et le L+ (W1H R , W2H R ) est projectif de type fini. Comme dR -module HomL+ dR� � � � H1 H R , B + = {0} (car H1 H R , C = {0}, cf. [8, Proposition 3.1.1]), on a bien dR Ext1Rep. + ( B dR. H R ) (W1 , W2 ) = {0}.. ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE.

(15) 292. F. ANDREATTA ET O. BRINON. D��ɪɴɪ�ɪ�ɴ 3.7. – Notons Modpl (LdR ) (resp. Modpl (L+ dR )) la catégorie des LdR -modules (resp. L+ -modules) potentiellement libres, c’est-à-dire des modules M tels dR qu’il existe une sous-R-algèbre finie S de R telle que S[p−1 ]/R[p−1 ] est étale galoisienne et + M ⊗LdR LdR (S) (resp. M ⊗L+ L+ dR (S)) est libre de rang fini sur LdR (S) (resp. LdR (S)). On dR. définit de la même façon les notions de ldR -modules, de l+ dR -modules, de LdR -modules, de + L+ -modules, de l -modules et de l -modules potentiellement libres, ainsi que les catédR dR dR + + gories Modpl (ldR ), Modpl (l+ ), Mod (L ) Mod (L ), Mod pl dR pl pl (ldR ) et Modpl (ldR ) dR dR correspondantes. On. Reppl LdR (ΓR ) = RepLdR (ΓR ) ∩ Modpl (LdR ). pose. et. Reppl (ΓR ) = L+ dR. pl � � RepL+ (ΓR ) ∩ Modpl (L+ dR ). On pose RepLdR (ΓR ) = RepLdR (ΓR ) ∩ Modpl (LdR ) et dR pl + � R ) = Rep + (Γ � R ) ∩ Modpl (L ), et on définit de façon analogue les catégories Rep + (Γ LdR Reppl ldR (ΓR ). et. LdR pl Repl+ (ΓR ) dR. (resp.. dR pl � RepldR (ΓR ). � R )). et Reppl (Γ l+ dR. C�ʀ�ʟʟ�ɪʀ� 3.8. – Les foncteurs ReplB+ ( H R ) → Modpl (L+ dR ),. resp.. ReplB+ (HR ) → Modpl (L+ dR ). ReplB+ ( G R ) → Reppl (ΓR ), L+. resp.. �R ) ReplB+ (GR ) → Reppl (Γ L+. dR. dR. dR. W �→ W H R ,. dR. dR. dR. resp. W �→ W HR. sont des équivalences de catégories.. D��ɪɴɪ�ɪ�ɴ 3.9. – (1) Si M est un BdR -module (resp. un LdR -module, resp. un ldR -module) libre de rang fini, un réseau de M est un sous-B+ dR -module (resp. un + sous-L+ -module, resp. un sous-l -module) de M engendré par une base de M . dR dR reg l (2) On note Repreg ( H ) (resp. Rep ( G )) la catégorie Rep ( H R ) (resp. R BdR BdR R B+ dR. ReplB+ ( G R )) à isogénies près, c’est-à-dire la catégorie dont les objets, appelés redR présentations régulières, sont les BdR -modules libres de rang fini, munis d’une action de H R (resp. G R ), qui contiennent un réseau stable par H R (resp. G R ), de sorte que la restriction de l’action de H R (resp. G R ) à ce réseau définit un objet de RepB+ ( H R ) dR. pl (resp. RepB+ ( G R )). De même, on note Repreg,pl LdR (ΓR ) la catégorie RepL+ (ΓR ) à dR. dR. isogénies près. (3) On note Modreg,pl (LdR ) la sous-catégorie pleine de Modpl (LdR ) constituée des LdR -modules M qui contiennent un sous-L+ dR -module M tel qu’il existe une sous-R-algèbre finie S de R telle que S[p−1 ]/R[p−1 ] est étale galoisienne et M ⊗L+ L+ dR (S) est un réseau de M ⊗LdR LdR (S). dR. (4) On définit de façon analogue les catégories Modreg,pl (ldR ), Repreg,pl ldR (ΓR ), � R ), Modreg,pl (ldR ) et Repreg,pl (Γ � R ). Modreg,pl (LdR ), Repreg,pl ( Γ LdR ldR 4 e SÉRIE – TOME 43 – 2010 – No 2.

(16) BdR -REPRÉSENTATIONS DANS LE CAS RELATIF. 293. C�ʀ�ʟʟ�ɪʀ� 3.10. – Les foncteurs Repreg BdR ( H R ) → Modreg,pl (LdR ), reg,pl Repreg BdR ( G R ) → RepLdR (ΓR ),. resp. resp.. W �→ W H R ,. Repreg BdR (HR ) → Modreg,pl (LdR ) reg,pl � Repreg BdR (GR ) → RepLdR (ΓR ). resp. W �→ W HR. sont des équivalences de catégories. 3.11. Étude des L+ dR -représentations libres de ΓS/R Dans cette partie, on fixe S une sous-R-algèbre finie de R telle que S[p−1 ]/R[p−1 ] est étale galoisienne. On veut montrer qu’on peut « décompléter » les L+ dR -représentations libres de ΓS/R (cf. proposition 3.19). La stratégie naturelle serait d’appliquer le formalisme de Tater + Sen (cf. [2, §2]) aux anneaux B+ dR / Fil BdR pour r ∈ N>0 . Cela nécessiterait de construire r + une pseudo-valuation sur chacun des anneaux B+ dR / Fil BdR , qui définit la topologie nar + r + + turelle, ainsi que des familles de projecteurs L+ dR / Fil LdR → ldR / Fil ldR et de vérifier les axiomes (TS1), (TS2) et (TS3) de loc. cit. Ici, on préfère, comme le fait Fontaine (cf. [14, §3.3]), procéder par dévissage, en utilisant simplement la théorie de Sen pour l’anneau C, développée dans [2, §3]. D��ɪɴɪ�ɪ�ɴ 3.12. – Soit X une L+ dR (S)-représentation de ΓS . (1) Supposons qu’il existe r ∈ N tel que X est tué par Filr+1 L+ dR (S) ; on note Xf la −1 réunion des sous-S[p ]-modules de type fini de X qui sont stables par ΓS . � � (2) Dans le cas général, posons Xf = lim X/ Filr L+ dR (S)X f . ←−. L’ensemble Xf est de façon naturelle un. r∈N>0 l+ dR (S)-module. muni d’une action de ΓS .. L�� 3.13. – Soit E ⊆ S�∞ [p−1 ] un sous-S[p−1 ]-module de type fini qui est stable sous l’action de ΓS . Alors E ⊆ S∞ [p−1 ]. Démonstration. – D’après [1, Cor. 3.10], il existe N ∈ N tel que l’application naturelle � SN ⊗R �N R∞ → S∞ est injective, de conoyau tué par p. �� α0 � (n) �α1 � (n) �αd � Posons B = ε(n) T1 · · · Td . Quitte à remplacer S par SN , n≥N 0≤αi <pn−N. on peut donc supposer qu’on a les inclusions � � Sb ⊆ S∞ ⊆ p−1 Sb b∈B. b∈B. �. et donc l’inclusion S�∞ [p−1 ] ⊆ S[p−1 ]b. Pour prouver le lemme, il s’agit de montrer que b∈B � E⊆ S[p−1 ]b. Soient p ⊆ S un idéal premier au-dessus de p, et O K le complété p-adique b∈B. du localisé Sp . C’est un anneau de valuation discrète complet, de caractéristique (0, p), de corps résiduel admettant la réduction de (T1 , . . . , Td ) comme p-base. Soit K son corps des � � � fractions et K ∞ = K ε(n) , T1(n) , · · · , Td(n) . Par hypothèse, K ⊗S E est un sous- K n∈N. espace vectoriel de dimension finie du complété “ K ∞ , stable sous l’action de ΓS � Γ K . ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE.

(17) 294. F. ANDREATTA ET O. BRINON. D’après [7, Propositions 1 & 3], on a K ⊗S E ⊆ K ∞ =. �. K b. Comme l’application. b∈B. naturelle S[p−1 ] → K est injective (vu que S est intègre), on a bien E ⊆. �. S[p−1 ]b.. b∈B. Pʀ��ɪ�ɪ�ɴ 3.14. – Soit X une S�∞ [p−1 ]-représentation de ΓS libre de rang n. Alors Xf est une S∞ [p−1 ]-représentation de ΓS libre de rang n et l’application S�∞ [p−1 ] ⊗S∞ [p−1 ] Xf → X. est un isomorphisme de S�∞ [p−1 ]-représentations de ΓS .. Démonstration. – Après le choix d’une base B = (x1 , . . . , xn ) de X sur S�∞ [p−1 ], l’action de ΓS sur X est donnée par un cocycle U : ΓS → GLn (S�∞ [p−1 ]). Mais d’après [2, §3], l’application naturelle � � � � H1 ΓS , GLn (S∞ [p−1 ]) → H1 ΓS , GLn (S�∞ [p−1 ]). est bijective : quitte à changer de base, on peut supposer que U est à valeurs dans GLn (S∞ [p−1 ]). Par continuité de U et compacité de ΓS , il existe m ∈ N tel que U est en fait à valeurs n � dans GLn (Sm [p−1 ]). Cela implique que Sm [p−1 ]xj est stable par ΓS , et donc que x1 , . . . , xn ∈ Xf . Il en résulte que réciproque.. n �. j=1. j=1. S∞ [p−1 ]xj ⊆ Xf . Il s’agit de montrer l’inclusion. Soient λ1 , . . . , λn ∈ S�∞ [p−1 ] tels que x =. n �. j=1. λj xj ∈ Xf . Soit E le sous-Sm [p−1 ]-module. de S�∞ [p−1 ] engendré par les coordonnées dans B des g(x) pour g ∈ ΓS . Par hypothèse (x ∈ Xf ), le S[p−1 ]-module E est de type fini. Soit λ le vecteur colonne dont les composantes sont λ1 , . . . , λn . Si g ∈ ΓS , les coordonnées de g(x) dans B sont les coefficients du vecteur colonne Ug g(λ) : ce sont des combinaisons Sm [p−1 ]-linéaires de g(λ1 ), . . . , g(λn ). Si maintenant h ∈ ΓS , on a Uhg (hg(λ)) = Uh h(Ug g(λ)), de sorte que h(Ug g(λ)) = Uh−1 Uhg (hg(λ)), et les images par h des coordonnées de g(x) sont des combinaisons Sm [p−1 ]-linéaires de celles de hg(x) : elles appartiennent à E, qui est donc stable par ΓS . D’après le lemme 3.13, cela implique que E ⊆ S∞ [p−1 ]. En particulier, λ1 , . . . , λn ∈ S∞ [p−1 ], ce qui achève la preuve. L�� 3.15. – Soient X1 , X2 deux S�∞ [p−1 ]-représentations libres de rang fini de ΓS , alors les applications HomS∞ [p−1 ] (X1,f , X2,f ) → HomS�. −1 ] ∞ [p. HomRepS Ext1RepS. ∞ [p−1 ]. ∞ [p−1 ]. (ΓS ) (X1,f , X2,f ). → HomRep. (ΓS ) (X1,f , X2,f ). → Ext1Rep. S∞ [p. −1. ]-modules. X1,f. et. 4 e SÉRIE – TOME 43 – 2010 – No 2. X2,f. (ΓS ) (X1 , X2 ). (ΓS ) (X1 , X2 ). (X1 , X2 ). D’après la proposition 3.14, les libres et X1 = S�∞ [p−1 ] ⊗S∞ [p−1 ] X1,f et. −1 ] ∞ [p. sont. �∞ [p−1 ] S. �∞ [p−1 ] S. sont bijectives. Démonstration. – Posons X = HomS�. (X1 , X2 )f.

(18) 295. BdR -REPRÉSENTATIONS DANS LE CAS RELATIF. X2 = S�∞ [p−1 ] ⊗S∞ [p−1 ] X2,f . Il en résulte qu’en tant que S�∞ [p−1 ] représentations de ΓS , on a ∼ S�∞ [p−1 ] ⊗S∞ [p−1 ] HomS∞ [p−1 ] (X1,f , X2,f ) → X. En choisissant des bases de X1,f et de X2,f sur S∞ [p−1 ] et en raisonnant comme dans la preuve de la proposition 3.14, on en déduit ∼. HomS∞ [p−1 ] (X1,f , X2,f ) → Xf en tant que S∞ [p−1 ]-représentations de ΓS , i.e. la bijectivité de la première application. En prenant les invariants sous ΓS , on a bien la bijectivité de HomRepS. (ΓS ) ∞ [p−1 ]. (X1,f , X2,f ) → HomRep. On a le diagramme Ext1RepS. ∞ [p−1 ]. (ΓS ) (X1,f , X2,f ). H1 (ΓS , Xf ). �. S∞ [p−1 ]. � Ext1Rep. �. (ΓS ) (X1 , X2 ).. S∞ [p−1 ]. (ΓS ) (X1 , X2 ). � H1 (ΓS , X);. il s’agit donc de prouver la bijectivité de la flèche du bas. Soit n le rang du S∞ [p−1 ]-module libre Xf . Après le choix d’une base B, l’action de ΓS sur Xf (et donc sur X = S�∞ [p−1 ] ⊗S∞ [p−1 ] Xf ), est décrite par un cocycle U : ΓS → GLn (Sm [p−1 ]) (pour m ∈ N convenable).. Soit c : ΓS → Xf un cocycle dont l’image est nulle dans H1 (ΓS , X). Cela signifie qu’il existe x ∈ X tel que cg = g(x) − x pour tout g ∈ ΓS . Notons ug (resp. v) le vecteur colonne dont les coefficients sont les coordonnées de cg (resp. x) dans la base B : on a alors ug = Ug g(v) − v et donc g(v) = Ug−1 (ug + v) pour tout g ∈ ΓS . Quitte à augmenter m, on peut supposer que ug est à coefficients dans Sm [p−1 ] pour tout g ∈ ΓS . Soit E le sous-Sm [p−1 ]-module de S�∞ [p−1 ] engendré par 1 et les coefficients de v. Il est de type fini sur S[p−1 ] et stable par ΓS : on a E ⊆ S∞ [p−1 ] en vertu du lemme 3.13, donc x ∈ Xf et g �→ cg est d’image nulle dans H1 (ΓS , Xf ), ce qui prouve l’injectivité. ‹ de S�∞ [p−1 ] Prouvons la surjectivité. Soit c : ΓS → X un cocycle. Il définit une extension X ‹ = X ⊕ S�∞ [p−1 ], l’action de ΓS étant donnée par X : en tant que S�∞ [p−1 ]-modules, on a X par g(x, λ) = (g(x) + g(λ)cg , g(λ)). Mais d’après la proposition 3.14, le S∞ [p−1 ]-module ‹f est libre de rang n + 1 et X ‹ = S�∞ [p−1 ] ⊗S [p−1 ] X ‹f . Cela implique qu’il existe x ∈ X tel X ∞ −1 ‹f = Xf ⊕ S∞ [p ](x, 1), ce qui implique que le cocycle g �→ cg + g(x) − x est à valeurs que X dans Xf et on a fini. R��ʀ�� 3.16. – Extensions dans ReplS� [p−1 ] (ΓS ) : le point de vue cocyclique. Sup∞ posons qu’on a une suite exacte de S�∞ [p−1 ]-représentations libres de ΓS 0 → X � → X → X �� → 0.. ��. Soient B� une base de X � et B�� une famille de X qui relève une base B de X �� . La famille B = B� ∪ B�� est une base de X. Notons g �→ Ug� (resp. g �→ Ug�� ) le cocycle qui décrit l’action ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE.

(19) 296. F. ANDREATTA ET O. BRINON ��. de ΓS dans la base B� (resp. B ). Le cocycle U qui décrit l’action de ΓS dans la base B est de la forme � � ‹g Ug� U Ug = 0 Ug�� ‹g ∈ Mn� ,n�� S�∞ [p−1 ] (où n� (resp. n�� ) désigne le rang de X � (resp. X �� )). Le fait que avec U U est un cocycle se traduit par l’égalité ‹gh = Ug� g(U ‹h ) + U ‹g g(Uh�� ) U. pour tout g, h ∈ ΓS . �� Le choix d’un autre relèvement de la base B est équivalent à la donnée d’une matrice de passage de la forme � � In� N B= 0 In�� où N ∈ Mn� ,n�� S�∞ [p−1 ] . Le cocycle dans la nouvelle base est alors � � ‹g Ug� V −1 g �→ Vg = B Ug g(B) = 0 Ug�� avec. ‹g = U ‹g + Ug� g(N ) − N Ug�� . V. Supposons maintenant que U � et U �� sont à valeurs dans GLn� (S∞ [p−1 ]) et GLn�� (S∞ [p−1 ]) � � ‹g respectivement. Le lemme 3.15 implique alors qu’il existe N ∈ Mn� ,n�� S�∞ [p−1 ] tel que V −1 est à valeurs dans Mn� ,n�� (S∞ [p ]). r+1 + Pʀ��ɪ�ɪ�ɴ 3.17. – Soient r ∈ N et X une L+ LdR (S)-représentation libre dR (S)/ Fil + r+1 + de rang n de ΓS . Alors Xf est libre de rang n sur ldR (S)/ Fil ldR (S) et l’application naturelle. L+ dR (S) ⊗l+. dR. (S). Xf → X. est un isomorphisme de L+ dR (S)-représentations de ΓS . Démonstration. – On procède par récurrence sur r, le cas r = 0 résultant de la propo� � sition 3.14. Supposons r > 0. Posons X � = Filr L+ (S) X, c’est une S�∞ [p−1 ]-reprédR � � −1 � sentation libre de rang n d+r de ΓS (car Grr L+ ]-module dR (S) est naturellement un S∞ [p r �d+r� r + + �� libre de rang r ). Posons X = X/X , c’est une LdR (S)/ Fil LdR (S)-représentation libre � � de rang n de ΓS . Par hypothèse de récurrence, les modules Xf� et Xf�� sont libres de rang n d+r r r + sur S∞ [p−1 ] et n sur l+ dR (S)/ Fil ldR (S) respectivement, et on a X � = S�∞ [p−1 ] ⊗S∞ [p−1 ] Xf� � � r + X �� = L+ dR (S)/ Fil LdR (S) ⊗l+. dR. (S). Xf�� .. r + En particulier, il existe une base B�� de X �� sur L+ L (S) telle que le cocycle U �� dR (S)/ Fil � + dR � �� décrivant l’action de ΓS sur B est à valeurs dans GLn ldR (S)/ Filr l+ dR (S) . Soit B une base de X qui relève B�� . Le cocycle U qui décrit l’action de ΓS sur X dans la base B est � � r + alors à valeurs dans GLn pr−1 (l+ dR (S)/ Fil ldR (S)) où r+1 + r + pr : L+ LdR (S) → L+ dR (S)/ Fil dR (S)/ Fil LdR (S). 4 e SÉRIE – TOME 43 – 2010 – No 2.

(20) 297. BdR -REPRÉSENTATIONS DANS LE CAS RELATIF. est la projection. Mais on a r + + r+1 + pr−1 (l+ ldR (S) + Grr (L+ dR (S)/ Fil ldR (S)) = ldR (S)/ Fil dR (S)). = S∞ [p−1 ]<r [u1 , . . . , ud , t] ⊕ S r où S∞ [p−1 ]<r [u1 , . . . , ud , t] est le module des polynômes de degré < r en u1 , . . . , ud , t à coefficients dans S∞ [p−1 ] et � � S r = SymrS�∞ [p−1 ] S�∞ [p−1 ]u1 ⊕ · · · ⊕ S�∞ [p−1 ]ud ⊕ S�∞ [p−1 ]t . � � “g�� + U ‹g avec U “g�� ∈ GLn S∞ [p−1 ]<r [u1 , . . . , ud , t] et Pour tout g ∈ ΓS , on a Ug = U � � ‹g ∈ Mn S . U r. Rappelons (cf. [2, §3]) qu’il existe mS ∈ N tel que pour tout i ∈ {0, . . . , d} et tout (i) (i) m ≥ mS , on dispose d’une application τm : S�∞ [p−1 ] → Λm (« trace normalisée de (i) Tate »), où Λm est une sous-Sm [p−1 ]-algèbre de S�∞ [p−1 ] (définie dans loc. cit.). Elle jouit des propriétés suivantes : (i). (a) τm est un projecteur Sm [p−1 ]-linéaire ; (i) (j) (b) τm commute à l’action des τm� .. Rappelons en outre que. d �. i=0 −1. (i). (0). (1). (d). Λm = Sm [p−1 ] et que τm := τm ◦τm ◦· · ·◦τm est un projecteur. Sm [p−1 ]-linéaire S�∞ [p ] → Sm [p−1 ] qui commute à l’action de ΓS . On prolonge τm à S r en posant τm (t) = t et τm (ui ) = ui pour i ∈ {1, . . . , d}.. Comme ΓS est topologiquement engendré par un nombre fini d’éléments et U �� est à coefficients dans r + −1 l+ ]<r [u1 , . . . , ud , t], dR (S)/ Fil ldR (S) � S∞ [p. “�� est à coefficients dans Sm [p−1 ]<r [u1 , . . . , ud , t]. Posons alors il existe m ≥ mS tel que U “�� + τm (U ‹g ). Ug(m) = U. Cela définit une application ΓS → GLn (Sm [p−1 ]<r+1 [u1 , . . . , ud , t]). Montrons qu’elle � � r+1 + définit un cocycle U (m) : ΓS → GLn l+ ldR (S) . dR (S)/ Fil Comme U est un cocycle, on a Ugh = Ug g(Uh ) pour tout g, h ∈ ΓS . On a donc � �� “�� + U ‹gh = U “ +U ‹g g U “ +U ‹h U gh g h � �� “g�� g U “h + U “g�� g U ‹h + U ‹g g U “ =U h � � ‹g g U ‹h est nul modulo Filr+1 L+ (S)). En appliquant τ (m) , il vient (le produit U dR � � � �� “ + τm U ‹gh = U “ g U “ +U “�� τm g U ‹h + τm U ‹g g U “ U gh g h g h � � � � �� “ “ “ ‹ ‹ “ = Ug g Uh + Ug g τm Uh + τm Ug g Uh�� “ + τm U ‹g g U “ + τm U ‹h = U g h (m). de sorte que Ugh. (m). (m). (m). = Ug g(Uh ). Pour g ∈ ΓS , écrivons Ug = Ug ‹g(m) ∈ Mn (Grr L+ (S)). construction, on a U dR. ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE. ‹g(m) . Par +U.

(21) 298. F. ANDREATTA ET O. BRINON. Pour g, h ∈ ΓS , on a : � � � � ‹(m) g U (m) + U ‹(m) Ugh = Ug g(Uh ) = Ug(m) + U g h h � (m) � � � � (m) � � (m) � ‹g(m) g U (m) + Ug(m) g U ‹ ‹g(m) g U ‹ = Ug(m) g Uh +U +U h h h � � � � � � (m) (m) (m) (m) (m) (m) ‹ ‹ = Ug g Uh + Ug g Uh + Ug g Uh � � ‹g(m) g U ‹(m) est nul modulo Filr+1 L+ (S). On a donc vu que le produit U h dR � (m) � � (m) � (m) (m) ‹ ‹ ‹ Ugh = Ug g Uh + Ug g U . h. ‹g(m) définit une extension de X �� par X � (de D’après la remarque 3.16, cela signifie que g �→ U f � � f −1 S∞ [p ]-représentations), et cela implique qu’il existe N ∈ Mn Grr L+ dR (S) telle que ‹g + Ug g(N ) − N Ug U. � � + est à valeurs dans Mn l+ dR (S) . Si B = In +N ∈ GLn (LdR (S)), on a alors � � ‹g(m) (In +g(N )) B −1 Ug g(B) = (In −N ) Ug(m) + U ‹g + Ug(m) g(N ) − N Ug(m) = Ug(m) + U. � � ‹g + Ug g(N ) − N Ug ∈ GLn l+ (S) . = Ug(m) + U dR. Il en résulte que, quitte à changer de base B au moyen de la matrice B, on peut sup� � poser que U est à valeurs dans GLn l+ dR (S) . On en déduit que Xf est libre de rang n sur r+1 + r+1 + r+1 + l+ ldR (S) par fidèle platitude de L+ LdR (S) sur l+ ldR (S) dR (S)/ Fil dR (S)/ Fil dR (S)/ Fil −1 −1 (qui résulte de la fidèle platitude de S�∞ [p ] sur S∞ [p ]). R��ʀ�� 3.18. – La méthode employée ici est la même que celle de Fontaine (cf. [14, Théorème 3.6]), sauf qu’on n’a pas introduit le sous-ensemble Ext1f (X �� , X � ) de loc. cit. parce S∞ [p−1 ] n’étant pas un corps en général, il n’est pas clair a priori que ce soit un sous-groupe ‹ n’est autre que celle qu’il de Ext1 (X �� , X � ). Remarquons toutefois que la représentation X appelle X0 et que, dans la preuve qui précède, on a considéré la « différence » des classes de X et de X0 dans Ext1L+ (X �� , X � ), que Fontaine utilise pour se ramener au cas d’une extension dR scindée. Pʀ��ɪ�ɪ�ɴ 3.19. – Soit X une L+ dR (S)-représentation libre de rang n de ΓS . Alors Xf est libre de rang n sur l+ (S) et l’application naturelle dR L+ dR (S) ⊗l+. dR. (S). Xf → X. est un isomorphisme de L+ dR (S)-représentations de ΓS . En outre, Xf est la réunion des + sous-ldR (S)-modules de type fini de X qui sont stables par ΓS . Démonstration. – Pour r ∈ N, posons � � r+1 + X r = L+ LdR (S) ⊗L+ dR (S)/ Fil. dR. (S). X.. r+1 + C’est une L+ LdR (S)-représentation libre de rang n, et d’après la proposition dR (S)/ Fil + r+1 + 3.17, le ldR (S)/ Fil ldR (S)-module Xr,f est libre de rang n et Xr = L+ dR (S) ⊗l+ (S) dR Xr,f . Comme l’application Xr+1 → Xr est surjective, il en est a fortiori de même de r+1 + r+1 + Xr+1,f → Xr,f par fidèle platitude de L+ LdR (S) sur l+ ldR (S) (cf. dR (S)/ Fil dR (S)/ Fil. 4 e SÉRIE – TOME 43 – 2010 – No 2.

(22) 299. BdR -REPRÉSENTATIONS DANS LE CAS RELATIF. r+1 + lemme 3.2) : toute base Br de Xr,f sur l+ ldR (S) peut se relever en une base dR (S)/ Fil + r+2 + de Xr+1,f sur ldR (S)/ Fil ldR (S). En procédant par récurrence, on peut donc construire une suite cohérente de bases (Br )r∈N . Elle définit alors une base B de Xf = lim Xr,f sur ←− r∈N. l+ dR (S), ce qui prouve que Xf est libre de rang n. Par ailleurs, Br est aussi une base de Xr sur r+1 + L+ LdR (S) pour tout r ∈ N, de sorte que B est aussi une base de X sur L+ dR (S)/ Fil dR (S), et l’application naturelle L+ dR (S) ⊗l+. dR. (S). Xf → X. est bien un isomorphisme de L+ dR (S)-représentations de ΓS . Si Xf� est la réunion des sous-l+ dR (S)-modules de type fini de X stables par ΓS , on a déjà Xf ⊆ Xf� vu que Xf est un l+ (S)-module de type fini. Par définition de Xf , l’inclusion dR r+1 + réciproque se vérifie modulo Fil LdR (S) pour tout r ∈ N : soit Y un sous-l+ dR (S)module de type fini de Xr . Choisissons y1 , . . . , ys une famille génératrice de Y . Comme ΓS est topologiquement engendré par un nombre fini d’éléments g0 , . . . , gδ , il existe m ∈ N et s � (cj,a,k )1≤j,k≤s des éléments de Sm [p−1 ]≤r [u1 , . . . , ud , t] tels que ga (yj ) = cj,a,k yk pour k=1. 0≤a≤δ. 0 ≤ a ≤ δ et 1 ≤ j ≤ s. Il en résulte que pour tout m� ≥ m, le sous-S[p−1 ]-module s � Ym� = Sm [p−1 ]≤r [u1 , . . . , ud , t]yj ⊆ Y est stable par ΓS . Comme Ym� est de type fini sur j=1. S[p−1 ], il est donc inclus dans Xr,f . Comme Y est la réunion des Ym� , on a bien Y ⊆ Xr,f et on a fini. Soit X une L+ dR (S)-représentation de ΓS/R . Comme ΓS + ldR (S)-module Xf .. ΓS/R , on dispose du. ⊆. L�� 3.20. – Le l+ dR (S)-module Xf est stable par ΓS/R . Démonstration. – Si r ∈ N, on pose Xr = X/(Filr+1 L+ dR (S))X. Soient Y ⊆ Xr un sous-S[p−1 ]-module de type fini stable par ΓS et g ∈ ΓS/R . Pour tout γ ∈ ΓS , on a γ(gY ) = g(g −1 γg)Y . Mais comme ΓS est distingué dans ΓS/R , on a g −1 γg ∈ ΓS et donc (g −1 γg)Y ⊆ Y , soit γ(gY ) ⊆ gY , de sorte que gY est stable par ΓS . Comme il est de type fini sur S[p−1 ], on a g(Y ) ⊆ Xr,f . Ainsi Xr,f est stable par ΓS/R : en passant à la limite projective, il en est de même de Xf . Pour alléger les notations, on pose GS/R = Gal(S∞ [p−1 ]/R∞ [p−1 ]). C�ʀ�ʟʟ�ɪʀ� 3.21. – Soit X une L+ dR (S)-représentation libre de rang n de GS/R . Alors. GS/R. Xf. est une l+ dR -représentation projective de rang n de ΓR , et l’application naturelle GS/R. L+ dR (S) ⊗l+ Xf dR. →X GS/R. est un isomorphisme de L+ dR (S)-représentations de ΓS/R . En outre, Xf + sous-ldR -modules de type fini de X GS/R qui sont stables par ΓR . ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE. est la réunion des.

(23) 300. F. ANDREATTA ET O. BRINON. + Démonstration. – D’après la proposition 3.3, l’extension l+ dR ⊆ ldR (S) est finie étale de GS/R + groupe GS/R . Par descente étale, le ldR -module Xf est projectif de rang n et l’application naturelle GS/R l+ → Xf dR (S) ⊗l+ Xf dR. est un isomorphisme de l+ dR (S)-représentations. On conclut en étendant les scalaires à L+ (S) et en appliquant la proposition 3.19. La dernière assertion est évidente. dR Donnons maintenant la version cohomologique de la proposition 3.19. Pʀ��ɪ�ɪ�ɴ 3.22. – Les applications naturelles � � � � + 1 H1 ΓS , GLn (l+ dR (S)) → H ΓS , GLn (LdR (S)) � � � � + 1 H1 ΓS/R , GLn (l+ dR (S)) → H ΓS/R , GLn (LdR (S)). sont bijectives.. Démonstration. – Montrons l’injectivité de la première application. Soient U, V : ΓS → GLn (l+ dR (S)) deux cocycles qui sont cohomologues vus comme cocycles à + valeurs dans GLn (L+ dR (S)) : il existe B ∈ GLn (LdR (S)) telle que pour tout g ∈ ΓS , on a ‹r + B “r avec Vg = B −1 Ug g(B) i.e. g(B) = Ug−1 BVg . Soit r ∈ N. Supposons que B = B −1 −1 ‹r ∈ Mn (S∞ [p ]<r [u1 , . . . , ud , t]) (où S∞ [p ]<r [u1 , . . . , ud , t] désigne l’ensemble des poB “r ∈ Mn (Filr L+ (S)). lynômes en u1 , . . . , ud , t à coefficients dans S∞ [p−1 ] de degré < r) et B dR On a alors � � “r ) = Ug−1 B “r Vg + Ug−1 B ‹r Vg − g(B ‹r ) . g(B � “� ∈ Mn (Grr L+ (S)) l’image de B “r dans Mn (Filr L+ (S)) Mn (Filr+1 L+ (S)). Notons B r dR dR dR L’égalité précédente implique � � “r� ) = Ug−1 B “r� Vg + Ug−1 B ‹r Vg − g(B ‹r ) mod Mn (Filr+1 L+ (S)). (∗) g(B dR C’est une égalité de matrices à coefficients dans � �∼ S r = SymrS�∞ [p−1 ] S�∞ [p−1 ]u1 ⊕ · · · ⊕ S�∞ [p−1 ]ud ⊕ S�∞ [p−1 ]t → Grr L+ dR (S).. Soit alors Er le sous-S[p−1 ]-module de S�∞ [p− 1] engendré par les coefficients des polynômes “r� et ceux ce B ‹r . Il est de type fini par construction, et stable que sont les coefficients de B sous l’action de ΓS en vertu de l’égalité (∗). Mais d’après le lemme 3.13, cela implique que ‹r+1 = B ‹r + B “r� et B “r+1 = B − B ‹r+1 : on a B ‹r+1 ∈ Er ⊆ S∞ [p−1 ]. Posons alors B r+1 + −1 “ Mn (S∞ [p ]<r+1 [u1 , . . . , ud , t]) et Br+1 ∈ Mn (Fil LdR (S)). Par récurrence, on a donc B ∈ Mn (S∞ [p−1 ]<r [u1 , . . . , ud , t]) + Mn (Filr L+ (S)) pour tout r ∈ N. On a donc B ∈ dR + + Mn (ldR (S)) et donc B ∈ GLn (ldR (S)) : les cocycles U et V sont cohomologues. Pour prouver l’injectivité de la deuxième application, on considère le diagramme commutatif � � res � � � H1 ΓS , GLn (l+ (S)) H1 ΓS/R , GLn (l+ dR (S)) dR � � � H1 ΓS/R , GLn (L+ dR (S)) 4 e SÉRIE – TOME 43 – 2010 – No 2. res. � � � � H1 ΓS , GLn (L+ (S)) . dR.