1SIO 26 novembre 2020 Contrˆole 1 de math´ematiques approfondies
Exercice 1
On s’int´eresse dans cet exercice `a deux statistiques. L’une sur la part du PIB (Produit Int´erieur Brut) consacr´ee par chaque pays aux d´epenses de sant´e, l’autre sur l’´evolution du secteur de l’optique en France.
1. Le chiffre d’affaire ainsi que le nombre de magasins d’optique sont en forte progression en France.
Le tableau ci-dessous (calcul´e `a partir de donn´ees de l’INSEE) donne l’indice du nombre moyen de salari´es par magasin en France de 2003 `a 2011.
L’indice 100 ´etantfix´e pour l’ann´ee 2003.
Ann´ee Rang de l’ann´ee (xi) Nombre moyen de salari´es par magasin (yi)
2003 1 100
2004 2 99
2005 3 101
2006 4 98
2007 5 100
2008 6 99
2009 7 98
2010 8 96
2011 9 95
(a) Repr´esenter sur l’annexe 2 le nuage de points associ´e `a la s´erie (xi,yi)i=1,...,9 dans un rep`ere orthogonal. On prendra comme unit´e pour l’axe des abscisses 1 cm pour une ann´ee et pour l’axe des ordonn´ees 1 cm pour 1 point d’indice, la graduation de cet axe commen¸cant `a 90.
(b) Calculer le coefficient de corr´elation lin´eaire de la s´erie statistique (xi,yi)i=1,...,9 (arrondir `a 10−3 pr`es). Un ajustement affine est-il appropri´e ?
(c) D´eterminer une ´equation de la droite d’ajustement affine de y en x par la m´ethode des moindres carr´es (arrondir les coefficients `a 10−3 pr`es).
(d) D´eterminer les coordonn´ees du point moyenGde la s´erie et placer ce point sur le graphique de l’annexe 2.
(e) On admet pour la suite qu’une ´equation de la droite d’ajustement a pour
´equationy=−0,6x+ 101,4.
i. Tracer cette droite avec pr´ecision sur l’annexe 2.
ii. En d´eduire une pr´evision pour l’ann´ee 2016. Quel pourcentage d’´evolution cela repr´esenterait-il par rapport `a 2011 ?
iii. En utilisant l’ajustement pr´ec´edent, d´eterminer en quelle ann´ee le nombre moyen de salari´es par magasin devrait avoir baiss´e de 10% par rapport `a l’ann´ee 2003.
Quel niveau de confiance peut-on accorder `a cette estimation ?
2. Le tableau ci-dessous (source INSEE) donne la d´epense totale de sant´e dans 24 pays de l’OCDE en 2011, en pourcentages du PIB.
Pays D´epense totale de sant´exi Pays D´epense totale de sant´exi
Etats-Unis´ 17,7 Espagne 9,3
Pays-Bas 11,9 Italie 9,2
France 11,6 Gr`ece 9,1
Allemagne 11,3 Finlande 9
Suisse 11 Irlande 8,9
Danemark 10,9 Slov´enie 8,9
Autriche 10,8 Slovaquie 7,9
Belgique 10,5 Hongrie 7,9
Portugal 10,2 R´ep. tch`eque 7,5
Su`ede 9,5 Pologne 6,9
Royaume-Uni 9,4 Luxembourg 6,6
Norv`ege 9,3 Estonie 5,9
(a) Donner la d´epense m´ediane ainsi que les premier et troisi`eme quartiles.
(b) Repr´esenter ces informations `a l’aide d’un diagramme en boˆıte �`a mous- taches�.
(c) D´eterminer la d´epense moyenne et l’´ecart-type de cette s´erie statistique.
Exercice 2
R´esoudre dans R les ´equations et in´equations suivantes. Toute m´ethode sera accept´ee `a condition d’ˆetre explicit´ee (calcul, sch´ema, recopie rapide de l’´ecran de calculatrice. . .).
1. 3x+ 7>0 2. x2 >5 3. 1
x �−3
4. x2−4x+ 4 = 0 5. x2−2x+ 3>0 6. −x2+ 8x−15�0 Exercice 3
Un artisan fabrique des vases qu’il met en vente. On suppose que tous les vases fabriqu´es sont vendus.
L’artisan veut faire une ´etude sur la production d’un nombre de vases compris entre 0 et 60. Il estime que le coˆut de production (en euros) de xvases fabriqu´es est mod´elis´e par la fonctionC dont l’expression est
C(x) =x2−10x+ 500 o`u x appartient `a l’intervalle [0 ; 60].
Chaque vase est vendu 50 euros. Sur le graphique donn´e en annexe 1, on a trac´e la courbe repr´esentative de la fonctionC et la droite d’´equation :y= 50x.
1. D´eterminer `a l’aide du graphique, en laissant les traits de constructions apparents sur l’annexe 1 :
(a) le coˆut de production de 40 vases fabriqu´es.
(b) la production, `a une unit´e pr`es, qui correspond `a un coˆut total de 1 300 euros.
2. On note R(x) la recette, en euros, correspondant `a la vente de x vases fabriqu´es.
(a) Exprimer R(x) en fonction dex.
(b) D´eterminer graphiquement le nombre de vases que l’artisan doit fabriquer pour r´ealiser un b´en´efice. (On laissera apparents les traits de construction)
3. (a) Montrer que le b´en´efice, en euros, r´ealis´e par la fabrication et la vente de x vases, est donn´e par la fonctionB dont l’expression est
B(x) =−x2+ 60x−500, o`ux appartient `a l’intervalle [0 ; 60].
(b) Donner dans un tableau le signe deB(x) sur l’intervalle [0 ; 60].
(c) Calculer le nombre de vases `a fabriquer et `a vendre pour r´ealiser un b´en´efice proche de 200 euros.
(d) Dresser le tableau de variation de la fonctionB sur l’intervalle [0 ; 60].
(e) En d´eduire le nombre de vases `a fabriquer et `a vendre pour r´ealiser un b´en´efice maximal.
(f) Tracer la courbe repr´esentative de la fonctionB sur le graphique de l’annexe 1.
Annexe 1. ` A rendre avec la copie.
60 50
40 30
20 10
−500 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500
Annexe 2. ` A rendre avec la copie.
1SIO 26 novembre 2020 Corrig´e du contrˆole 1 de math´ematiques approfondies
Exercice 1
1. (a) Nuage de points associ´e `a la s´erie .
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105
Nombremoyendesalari´esparmagasinyi
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Rang de l’ann´ee xi G
(b) Le coefficient de corr´elation lin´eaire de la s´erie statistique est r� −0,798
Il est proche de -1, donc un ajustement affine est appropri´e.
(c) Une ´equation de la droite d’ajustement affine de y en x par la m´ethode des moindres carr´es est environ
y=−0,567x+ 101,278
(d) Le point moyenGa pour coordonn´ees (x;y) : G(5 ; 98,4) i. Trac´e de la droite : on place deux points.
— Pourx= 1, on calculey=−0,6×1 + 101,4 = 100,8 et on place le point de coordonn´ees (1 ; 101,8).
— Pourx = 9, on calcule y =−0,6×9 + 101,4 = 96 et on place le point de coordonn´ees (1 ; 96).
ii. Une pr´evision pour l’ann´ee 2016 (x = 14), en utilisant l’ajustement affine est
y=−0,6×14 + 101,4 = 93
Le pourcentage d’augmentation cela repr´esenterait-il par rapport `a 2011 est donc−2,1%.
93−95
95 ×100� −2,1
iii. En utilisant l’ajustement pr´ec´edent, d´eterminons en quelle ann´ee le nombre moyen de salari´es par magasin devrait avoir baiss´e de 10% par rapport `a l’ann´ee 2003, c’est-`a-dire quand l’indice sera 90 :
−0,6x+ 101,4<90
´equivaut `a
−0,6x <90−101,4 x > 90−101,4
−0,6 = 19
le nombre moyen de salari´es par magasin devrait avoir baiss´e de 10% en 2021.
Mais sur 20 ans, cette estimation n’est sans doute pas tr`esfiable.
2. (a) La d´epense m´ediane est Me = 9,3 .
Les premier et troisi`eme quartiles sont Q1= 8,4 et Q3 = 10,85 . (on accepte aussiQ1 = 7,9 et Q3= 10,8)
(b) Diagramme en boˆıte
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
(c) La d´epense moyenne est x�9,63 .
L’´ecart-type de cette s´erie statistique est σ �2,29 Exercice 2
1. 3x+ 7>0 ´equivaut `a
3x >−7 (en ajoutant -7 aux deux membres)
x >−7 3
(en divisant les deux membres par 3) La solution est
�
−7 3 ; +∞
�
2. x2 >5 a pour solution ]− ∞ ; −√
5[∪]√
5 ; +∞[ .
5
−√
5 √
0 5 1
1
3. 1
x �−3 a pour solution
�
−∞ ; −1 3
�
∪]0 ; +∞[
-3
−13
0 1
1
4. x2−4x+ 4 = 0 est une ´equation de du second degr´e du typeax2+bx+c= 0. Son discriminantΔ= (−4)2−4×1×4 = 0. L’´equation a une seule solution− b
2a = 2 . 5. x2−2x+ 3>0
Le polynˆome 1x2−2x+ 3 est du signe de 1 sauf entre ses racines ´eventuelles. On calculeΔ=−8<0. Il n’y a pas de racines donc la solution est R (tous les nombres r´eels sont solutions de l’in´equation).
La solution est 6. −x2+ 8x−15�0
Le polynˆome −1x2+ 8x−15 est du signe de -1 sauf entre ses racines 3 et 5 (on calcule Δ= 4,x1= 3 etx2= 5). La solution est donc [3; 5] .
Exercice 3
1. (a) On lit :C(40) = 1 700 AC.
(b) On lit un peu moins de 34.
2. (a) R(x) = 50x.
(b) Pour r´ealiser un b´en´efice, il faut que la droite repr´esentant les recettes soit situ´ee au dessus de la courbe de coˆut.
On voit que les deux courbes ont en commun les points (10 ; 500) et (50 ; 2 500).
Pour r´ealiser un b´en´efice, il faut produire entre 10 et 50 vases.
3. (a) Le b´en´efice est la diff´erence entre la recette et le coˆut de production des pi`eces vendues soit :
B(x) =R(x)−C(x) = 50x−�
x2−10x+ 500�
=−x2+ 60x−500.
(b) Signe deB(x)
−1x2+ 60x−500 est du signe de -1 sauf entre ses racines 10 et 50 :
x B(x)
0 10 50 60
− 0 + 0 −
(c) R´esolvonsB(x) = 200. Cela s’´ecrit :
−x2+ 60x−500 = 200
−x2+ 60x−700 = 0 Le discriminant est Δ= 800. Les deux solutions sont
x1= −60−√ 800
−2 �44,1 et−60 +√ 800
−2 �15,9
Pour r´ealiser un b´en´efice d’environ 200 euros, il faut fabriquer et vendre 16 ou 44 vases.
(d) Le tableau de variations de B est ainsi : x
B(x)
0 30 60
−500
−500
400 400
−500
−500
(e) Le tableau montre que la production (et la vente) de 30 vases permet de r´ealiser un b´en´efice maximal de 400 AC.
(f) Trac´e de la courbe repr´esentative deB.
60 50
40 30
20 10
−500 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500
34 40 1700
1300
R C
B
