l’Olympiade math´ ematique du Canada 1998
1. D´eterminer le nombre de solutions r´eelles a de l’´equation
·1 2 a
¸ +
·1 3 a
¸ +
·1 5 a
¸
=a .
Ici, si x est un nombre r´eel quelconque, on a d´enot´e par [x] le plus grand entier plus petit ou ´egal `ax.
2. Trouver tous les nombres r´eels x tels que
x= µ
x− 1 x
¶1/2 +
µ 1− 1
x
¶1/2 .
3. Soit n un nombre naturel tel que n ≥2. Montrer que 1
n+ 1 µ
1 + 1
3 +· · ·+ 1 2n−1
¶
> 1 n
µ1 2+ 1
4+· · ·+ 1 2n
¶ .
4. Soit ABC un triangle donn´e dont ∠BAC = 40◦ et ∠ABC = 60◦. Soit maintenant D et E les points sur les cˆot´es AC et AB, respectivement, tels que ∠CBD = 40◦ et
∠BCE = 70◦. Soit de plus F le point d’intersection des droites BD et CE. Montrer alors que la droite AF est perpendiculaire `a la droite BC.
5. Soit m un entier positif. Nous d´efinissons une suite a0, a1, a2, . . . en posant a0 = 0, a1 =m, et plus g´en´eralement par an+1 =m2an−an−1 pour n = 1,2,3, . . . . Montrer qu’un couple ordonn´e (a, b) d’entiers non n´egatifs, avec a ≤ b, constitue une solution de l’´equation
a2+b2 ab+ 1 =m2
si et seulement si (a, b) est de la forme (an, an+1) pour une valeur n≥0 quelconque.
