Maths - X-ENS PSI 2019

Maths - X-ENS PSI 2019

Avertissement : Ce problème est très mal construit et très mal rédigé, pas toujours dans l'esprit du programme de spé mais pourrait faire un sujet intéressant avec un peu de travail pour reprendre l'énoncé.

Notations

SoitN ≥2 un entier. On munit l'espaceR^N du produit scalaire canonique

hx, yi=

N

X

i=1

xiyi

et de la norme associéekxk=hx, xi^1/2.

On note MN(R)l'espace vectoriel réel des matrices carrée d'ordreN à coecients réels,SN(R)⊂ MN(R) le sous-espace vectoriel réel des matrices symétriques et S_N⁺(R) l'ensemble (des matrices symétriques dénies positives) déni de la façon suivante :

S_N⁺(R) =

A∈ SN(R)| hAx, xi>0pour toutx∈R^N, x6= 0 .

Pour tout polynômeP(X) =ckX^k+ck−1X^k−1+· · ·+c0∈R[X]et toute matriceM dansMN(R), on note P(M)la matrice

P(M) =ckM^k+ck−1M^k−1+· · ·+c0IN ∈ MN(R) oùIN ∈ MN(R)est la matrice identité.

Pour toute matrice M ∈ MN(R), on noteM^T sa transposée.

On rappelle le théorème spectral : toute matrice A ∈ SN(R) admet une base orthonormale de vecteurs propres. En particulier, si l'on note λ1 < · · · < λd les d valeurs propres de A (distinctes deux à deux), et F1, . . . , Fd les sous-espaces propres associés, R^N est somme directe orthogonales des Fi, c'est-à-dire que tout x∈R^N s'écrit de façon unique

x=

d

X

i=1

x_i oùpF_i est la projection orthogonale de R^N surFi.

Ce problème porte sur la résolution eective du problème Ax = b, où A ∈ S_N⁺(R), plus précisément sur la construction et l'étude, à partir d'un vecteur initial x₀ arbitraire, d'une suite x₀, x₁, . . . , x_k, . . . de R^N, qui s'identie à la solutionx˜ du système précédent au-delà d'un certain rang, et telle que x_k se rapproche dans un certain sens dex˜ en deça de ce rang.

Problème Partie I

1. Soit A∈ SN(R). Montrer queA∈ S_N⁺(R) si et seulement si les valeurs propres deA sont toutes réelles strictement positives.

2. Pour toute matrice B∈ MN(R), on pose9B9= sup

kxk=1

kBxk.

Après avoir justié l'existence de 9B9, montrer queB 7→9B9 est une norme surMN(R)vériant

∀x∈R^N kBxk ≤9B9kxk.

3. SoitA∈ SN(R)une matrice de valeurs propres (non nécessairement distinctes)λ1, . . . , λN. Montrer que 9A9= max

1≤i≤N|λi|.

1

4. SoitA∈ S_N⁺(R). Pour toutx∈R^N, on posekxk_A=hx, Axi^1/2. a) Montrer que l'applicationx7→ kxk_A est une norme surR^N.

b) Montrer qu'il existe des constantes C₁ et C₂ strictement positives, que l'on exprimera en fonction des valeurs propres de A, telles que

∀x∈R^N C1kxk ≤ kxk_A≤C2kxk.

5. SoitA∈ SN(R)et soitP ∈R[X]un polynôme. Montrer queP(A)∈ SN(R)et préciser les valeurs propres et vecteurs propres deP(A)en fonction de ceux deA.

6. Soit A ∈ S_N⁺(R). On note 0 < λ₁ <· · · < λ_d lesd valeurs propres de A (distinctes deux à deux) et et F₁, . . . , F_dles sous-espaces propres associés. On considère l'application linéaire deR^N dansR^N :

x7→

d

X

i=1

λ^1/2_i pFi(x),

oùpFi est la projection orthogonale (pour le produit scalaire canonique) surFi. On noteA^1/2la matrice associée à cette application linéaire dans la base canonique.

a) On écritA=U DU^T, oùD∈ MN(R)est la matrice diagonale qui contient les valeurs propres deA dans l'ordre croissant, avec leurs ordres de multiplicité, etU une matrice orthogonale. On noteD^1/2 la matrice diagonale dont les coecients diagonaux sont les racines carrées de ceux de D. Montrer queA^1/2=U D^1/2U^T.

b) Montrer queA^1/2∈ S_N⁺(R), queA^1/2A^1/2=A, et que A^1/2 commute avecA. c) Montrer que, pour toutx∈R^N,kxk_A=

A^1/2x

, oùkxk_A est la norme dénie à la question 4.

Partie II

SoitA∈ S_N⁺(R). On supposera dans toute la suite du problème que la matrice An'est pas proportionnelle à l'identité.

On se donne b ∈ R^N et l'on note x˜ ∈ R^N l'unique vecteur qui vérie A˜x = b. On se donne un vecteur x₀∈R^N, diérent dex˜, et l'on noter₀=b−Ax₀. On poseH₀={0}et pourk≥1,

Hk ={P(A)r0|P ∈R[X],deg(P)≤k−1}, oùdeg(P)∈Ndésigne le degré du polynômeP.

7. Montrer que lesH_k forment une suite de sous-espaces vecgtoriels deR^N, et montrer queH_k⊂H_k+1 pour tout k∈N.

a) Montrer qu'il existe nécessairementk tel queHk+1=Hk. On note alorsmle plus petit entierktel queHk+1=Hk.

b) Montrer quedim(H_k) =m pour toutk≥m, et quedim(H_k) =kpour k≤m. 8. On note dle nombre de valeurs propres distinctes de A.

a) Dans le cas particulier où r0 est un vecteur propre de A, montrer que l'entier m de la question précédente est égal à1.

b) Dans le cas général, montrer quem est inférieur ou égal àd.

c) Pour tout entiernentre1et d, construire unx0tel que l'entiermde la question 7 soit égal àn. d) Montrer que l'ensemble desx0 pour lesquels la dimensionmest exactement égale àdest le complé-

mentaire d'une union nie d'ensembles de la formex˜+E, oùE est un espace vectoriel de dimension inférieure ou égale àN−1.

9. Montrer qu'il existe un polynôme Qde degrém(entier déni dans la question 7) tel queQ(A)e₀= 0, où e₀=x₀−x˜.

10. Montrer que le polynômeQde la question précédente vérieQ(0)6= 0.

11. On dénit x₀+H_k comme le sous-ensemble des points de R^N de la forme x₀+x où xdécrit l'espace vectorielH_k.

2

a) Montrer quex˜∈x0+Hm.

b) Montrer que, pour toutk∈ {0, . . . , m−1}, on ax /˜∈x0+Hk.

Partie III

On garde dans cette partie les notations de la partie II. On introduit l'application J:R^N →R

x7→ 1

2hx, Axi − hb, xi.

12. Pour toutx∈R^N, exprimer kx−˜xk²_A=hx−x, A(x˜ −x)i˜ en fonction de J(˜x)et deJ(x)et en déduire quex˜ est l'unique minimiseur deJ surR^N, c'est-à-dire queJ(˜x)≤J(x)pour toutx∈R^N, et quex˜ est le seul point qui vérie cette propriété.

13. Montrer queJadmet un minimiseur unique sur le sous-ensemblex₀+H_k (déni à la question 11), quelque soit k∈N.

14. On notexkle minimiseur de la question précédente. Montrer quexks'identie à la projection surx0+Hk

pour la normek·k_A associée à la matriceA(dénie dans la question 4), c'est-à-dire que kxk−xk˜ _A= min

x∈x0+Hk

kx−xk˜ _A. On notera r_k=b−Ax_k ete_k=x_k−x˜. On remarquera quer_k=−Aek. 15. Montrer quee_k 6= 0pourk∈ {0, . . . , m−1}, et que e_k= 0pour k≥m. 16. On rappelle queI_N est la matrice identité d'ordreN. Montrer que

kekk_A= min{k(IN +AQ(A))e0k_A|Q∈R[X],deg(Q)≤k−1}. 17. Montrer que

kekk_A≤ ke0k_Amin{9IN+AQ(A)9|Q∈R[X],deg(Q)≤k−1}, où9·9est la norme matricielle dénie dans la question 2.

(On pourra utiliser les propriétés surA^1/2démontrées dans la question 6.)

18. On noteλ1 (respectivementλN) la plus petite (respectivement la plus grande) valeur propre deA, et l'on dénit

Λ_k ={Q∈R[X]|deg(Q)≤k, Q(0) = 1}. Montrer que

ke_kk_A≤ ke₀k_A min

Q∈Λ_k max

t∈[λ1,λN]

|Q(t)|.

Les questions qui suivent (de 19 à 23) portent sur la construction explicite d'un polynôme permettant de préciser la majoration précédente.

Soitkun entier positif ou nul.

On dénit la fonctionf_k de l'intervalle[−1,1]dans lui-même parf_k(x) = cos(karccosx). 19. a) Développer l'expressionfk+1(x) +f_k−1(x), et en déduire la relation

∀x∈[−1,1] fk+1(x) = 2xfk(x)−f_k−1(x).

b) En déduire quefk s'identie sur[−1,1]à un polynômeTk, de degrék, de même parité quek. 20. On notearcoshla fonction réciproque du cosinus hyperbolique¹, dénie de[1,+∞[dans[0,+∞[. Montrer

que

∀x∈]−∞,−1] Tk(x) = (−1)^kcosh(karcosh(−x)).

1On n'utilisera de cette notion hors programme que le fait quearcosh(1) = 0, etcosh(arcosh(−x)) =−xpourx∈]−∞,−1].

3

21. On rappelle queA, par hypothèse énoncée au début de la partie II, n'est pas proportionnelle à l'identité.

On poseωk = 1 T_kÄ

−^λ_λ^N+λ1

N−λ1

ä. Montrer queωk est bien déni, que le polynôme Qk(X) =ωkTk

Å2X−λ1−λN

λ_N−λ₁ ã

est élément de Λk (ensemble déni à la question 18), et que le maximum de|Q(t)|sur[λ1, λN]est|ωk|. 22. On poseθ= arcosh

ÅλN +λ1

λ_N −λ₁ ã

>0et α=e^−θ. Montrer queαest une racine du polynôme X²−2λN +λ1

λ_N −λ₁X+ 1 et en déduire l'expression deαen fonction de la quantitéβ= λ_N +λ₁

λN −λ1

. 23. On noteκ=λ_N/λ₁. Montrer que le réelαde la question précédente vautα=

√κ−1

√κ+ 1 et en déduire que

ke_kk_A=kx−xk˜ _A≤2ke₀k_A Å√

κ−1

√κ+ 1 ã^k

.

Partie IV

On garde les notations des parties précédentes. En particulier, on note toujours x_k le minimiseur deJ sur x₀+H_k (voir question 13).

24. Montrer qu'il existe une famille(p0, . . . , p_m−1)de vecteurs deR^N telle que (i) Pour toutk∈ {1, . . . , m}, la famille (p0, . . . , p_k−1)est une base deHk.

(ii) La famille est orthogonale pour le produit scalaire associé àA, c'est-à-dire que

∀i, j∈ {0, . . . , m−1} i6=j⇒ hApi, pji= 0.

25. On suppose connue une famille(p0, . . . , p_m−1)de vecteurs vériant les propriétés de la question précédente.

Montrer quexk+1−xk est alors colinéaire àpk pour tout entierk∈ {0, . . . , m−1}.

26. On se donnex0∈R^N. On considère les suites réelles nies(αk)et(βk), ainsi que les suites nies(˜xk),(˜rk) et(˜pk)d'éléments deR^N, construites selon les relations de récurrences suivantes, pourk∈ {0, . . . , m−1},

αk = k˜rkk² hAp˜_k,p˜_ki,

˜

x_k+1= ˜x_k+α_kp˜_k,

˜

rk+1= ˜rk−αkA˜pk, βk =k˜r_k+1k²

k˜r_kk² ,

˜

p_k+1= ˜r_k+1+β_kp˜_k, avecx˜0=x0,˜r0=b−Ax0et p˜0= ˜r0.

Montrer que les propriétés suivantes sont vériées :

(i) Pour toutk∈ {0, . . . , m−1}, pour touti∈ {0, . . . , k−1}, on a h˜r_i,˜r_ki= 0,h˜p_i,r˜_ki= 0,h˜p_i, A˜p_ki= 0.

(ii) Pour toutk∈ {0, . . . , m},x˜_k s'identie àx_k, le minimiseur deJ surx₀+H_k déni dans la question 13.

(iii) Pour toutk∈ {0, . . . , m},r˜_k s'identie à r_k=A−bx_k.

(iv) La famille (˜p₀, . . . ,p˜_k)est une base deH_k+1, pour toutk∈ {0, . . . , m−1}.

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