[ CA/PLP externe 2005 \

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[ CA/PLP externe 2005 \

Ce sujet comprend trois exercices et un problème.

Le premier exercice porte sur diverses notions d’analyse.

Le deuxième exercice est un QCM.

Le troisième exercice traite du calcul de l’intégrale de Gauss en utilisant les intégrales de Wallis.

Le problème a pour but l’étude d’une configuration par les nombres complexes.

La clarté et la précision des raisonnements, la qualité de la rédaction, interviendront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

L’usage des calculatrices de poche est autorisé (conformément aux directives de la cir- culaire n° 99-186 du 16 novembre 1999).

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EXERCICE1

1. Pour chacune des trois implications suivantes : Préciser d’abord si elle est vraie ou fausse, et ensuite :

– si elle est vraie, la démontrer ;

– si elle est fausse, donner un contre exemple.

a. Soientxetydes nombres réels donnés : _{(x y}_>_{0 et}_x_<_y_⇒¹

x>1 y.

b. Soitf une fonction définie sur un intervalle I de l’ensemble des nombres réels :

_si_f est continue sur I, alorsf est dérivable sur I.

c. Soitf une fonction définie et dérivable sur l’ensemble des nombres réels : si la fonctionf est paire alors la fonction dérivéef^′est impaire.

2. Démontrer que, pour tout entier natureln: _si_n²est un nombre pair, alorsnest pair.

3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturelnnon nul : ₁₊₃₊₅_{+ ··· +}_(2n₋₁₎₌_n²_.

EXERCICE2

Les questions suivantes offrent quatre réponses possibles repérées par les lettresa., b.,c.etd..

Une réponse et une seule est correcte. Préciser laquelle sans justifier votre réponse.

1. Soit la suite (un) définie par

½ u0 = 3

un+1 = f(un) pour tout entiern>_0, avecf(x)=4x−1

x pour tout nombre réelxnon nul.

a.La suite (un) converge vers 4. b.la suite (un) tend vers+∞quand ntend vers+∞

c.La suite (un) est croissante. d.La suite (un) converge vers1 4. 2. Le plan est muni d’un repère orthonormal.

Soita∈[0 ;π]. On désigne par (E) l’ensemble des points de coordonnées (x;y) tels que :

a6_x6π et 06_y6_sin_x.

L’aire de (E) est égale à1 2pour : a.a=2π

3 b.impossible

c.a=5π

6 d.a=π

2

3. Deux joueurs A et B lancent l’un après l’autre et une seule fois un dé à six faces numérotées de 1 à 6, non pipé. Le joueur A gagne si l’écart entre les deux résultats est 0, 1 ou 2. Sinon c’est le joueur B qui gagne.

La probabilité que le joueur A gagne est égale à : a.2

3 b.1

2 c.3

4 d.autre valeur

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4. SoientA,BetCtrois points distincts du plan affine euclidien. On appelleIle milieu du segment [AB]. Soit (E) l’ensemble des pointsMdu plan vérifiant :

°

−−−→M A+−−−→

MB +2−−−→

MC°

°

°=

°

−−−→M A+−−−→

MB −2−−−→

MC°

°

°. a. (E) est réduit au pointC.

b. (E) est l’ensemble vide.

c. (E) est une droite passant par le pointIet orthogonale à la droite (AB).

d. (E) est un cercle de centreJmilieu du segment [IC].

EXERCICE3

Le but de cet exercice est le calcul de Z_+∞

0 e⁻^t²dtpar les intégrales de Wallis.

Partie A : Intégrales de Wallis

Pour tout entier natureln, on noteInl’intégrale suivante, dite intégrale de Wallis : In=

Z^π₂

0 cosⁿtdt.

1. CalculerI0etI1.

2. Établir, pour tout entier natureln, la relation : (n+2)In+2=(n+1)In.

3. Montrer que la suite de terme généralun=(n+1)In+1Inest constante.

4. En déduire, pour tout entier natureln, la relation (n+1)In×In+1=π 2. 5. Montrer que la suite de terme généralIn est strictement positive et décrois-

sante.

6. En déduire que, pour tout entier natureln, n+1 n+2 6^Iⁿ⁺¹

In

61, puis calculer la limite deIn+1

In

.

7. Démontrer que la suite¡p n×In¢

n∈Nest convergente et calculer sa limite.

Partie B : Calcul de Z_+∞

0 e⁻^t²dt

On considère la fonctionf définie sur l’intervalle ]−1 ;+∞[ par : f(x)=x−ln(1+x).

1. Étudier les variations de la fonctionf et montrer que pour tout nombre réelx appartenant à l’intervalle ]−1 ;+∞[,

ln(1+x)6_x.

2. En déduire que, pour tout nombre réeluet pour tout entier naturelnnon nul : u>_−n_⇒^³₁₊^u

n

´n

6_e^u_. 3. Montrer que, pour tout entier natureln>_{1, on a :}

∀t∈£ 0 ;p

n¤ ,

µ 1−t²

n

¶ⁿ

6_e⁻^t²6 ¹ µ

1+t² n

¶ⁿ.

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4. Pour tout entier natureln, on pose :

Jn= Z^pn

0 e^−t²dt.

On cherche à déduire de la question3.un encadrement deJnà l’aide den,I2n+1

etI2n−2.

a. À l’aide du changement de variable :t=p

nsinu, établir une minoration deJn.

b. À l’aide du changement de variable :t=p

ntanu, établir une majoration deJn.

5. En déduire la valeur de l’intégraleJn= Z_+∞

0 e⁻^t²dt.

Problème

Le but de ce problème est l’étude d’une configuration

On considère :

• deux cercles C et C^′ de même rayonR, de centres distinctsOet O^′, sécants enΩetΩ^′.

• la rotationrde centreΩqui trans- forme le pointOenO^′.

Pour tout pointMdu cercleC, on note M ? son image par la rotationr.

C C^′

Ω

O O^′

∆M

Ω^′

M^′

b

b bb

b b

On se propose de démontrer, à l’aide des nombres complexes, que les pointsM,M^′ etΩ^′sont alignés, puis d’étudier une réciproque.

Notations

Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct³ O,−→

u,−→ v´

. Étant donné une application f de P dans P qui au pointM d’affixe z fait corres- pondre le pointM^′d’affixez^′(M^′=f(M)), on notez^′=f(z).

Étant donné un vecteur−→

w du plan P on noteZ−→

w son affixe.

Lorsque l’applicationf est une bijection on notef⁻¹la bijection réciproque.

On note i le nombre complexe de module 1 et d’argumentπ 2. Partie A : Étude d’un cas particulier

Dans le plan complexe P on se donne :

• le pointO^′de l’axe réel d’affixe 2 ;

• le pointΩde P d’affixe 1+i.

1. Démontrer queΩO^′=ΩO.

2. On considère la rotationrde centreΩqui envoieOsurO^′. Quel est l’angle de cette rotationr?

3. Les cerclesC de centreOpassant parΩetC^′de centreO^′passant parΩse recoupent en un pointΩ^′. Quelle est l’affixeω^′deΩ^′?

4. Démontrer que pour tout nombre complexez :r(z)=iz+2.

5. On considère un pointMsitué sur le cercleCet on appellezson affixe.

a. Démontrer que le pointM^′est sur le cercleC′.

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b. Démontrer que les pointsM,M^′etΩ^′sont alignés.

Partie B : Étude du cas général Dans le plan complexe P on se donne :

• un pointO^′de l’axe réel d’affixea^′non nulle ;

• un pointΩde P, différent du pointO, d’affixeωet tel que :ΩO=ΩO^′.

• la rotationrde centreΩqui transformeOenO^′. 1. Montrer quer(z)=

µ 1−a^′

ω

¶ z+a^′.

2. Caractériser la rotationrdans le cas où le pointΩest situé sur l’axe des réels.

3. On considère le cercleC de centreOpassant parΩet le cercleC^′de centreO^′ passant parΩ.

a. Dans quel cas ces deux cercles sont-ils tangents ? b. Dans quel cas ces deux cercles sont-ils sécants ?

4. Lorsque les deux cerclesC etC^′sont sécants on appelleΩ^′le second point d’intersection de ces deux cercles ; dans le cas où ils sont tangents on pose : Ω^′=Ω.

On considère un pointMd’affixezsitué sur le cercleC, et on note :M^′=r(M).

a. Calculer l’affixeZ−−−→

Ω^′M du vecteur−−−→

Ω^′M. b. Calculer l’affixeZ−−−−→

Ω^′M^′ du vecteur−−−−→

Ω^′M^′. c. 1^ercas :M6=Ω’

i. Justifier le fait que le pointM^′appartient au cercleC^′. ii. Démontrer quezz=ωωet que¡

z^′−a^′¢ ¡ z^′−a^′¢

=ωω. iii. Démontrer queZ−−−−→

Ω^′M^′

Z−−−→

Ω^′M

est un nombre réel.

iv. Déduire des résultats précédents que les points M, M^′etΩ’ sont alignés.

d. 2^ecas :M=Ω^′

Montrer que la droite (M M^′) est tangente au cercleC au pointΩ^′.

Partie C : Étude d’une réciproque

1. SoientC etC^′deux cercles de même rayon, sé- cants en deux points distinctsΩetΩ^′, et∆une droite passant parΩ^′.

On suppose que∆recoupeC en un pointMet C^′en un pointM^′.

Montrer queM^′est l’image deMdans une rota- tion qui transformeC enC′.

2. Application :

Dans la figure ci-contreΩA=ΩA^′.

On considère la rotationrde centreΩqui trans- forme le pointAenA^′.

a. Reproduire la figure aux dimensions exactes.

b. Construire, en utilisant le résultat de la question1., l’image du pointB par la rotationr. Les traits de construction doivent être visibles.

A

A^′ Ω

B

b b

b