triangular diagonal

I ^{. Matrices} triangular ^{- us , synth ques}

trans position ^{et trace}

1- ^- Matei ^ce triangularis ^, diag ^{- ale}

• A Even ^UR ) ^est triangular ^{- re}

Superieure ^{si les Elements}

an lessons ele ^be oliocganole

s ^- t runes i

i > j ^{⇒ ai} j ^{= 0}

• A est triangular ^{'re inference}

i ₂ j ^⇒ aij ^=o

• A ^est diagonal ^si

i f j ^⇒ _aij ^{= o}

2 ^. Transposition

A Even _{, p} ^{( IR} )

La meat _{nice trans} paste ^{do A}

motel AT ^{E ul}

p ^{, n} ( ^IR ) ^{et ses}

coefficients ^{a - t les aji}

The ^: Proprieties

• ( ^At B) ^{T= AT} TBT

• &A) ^{T = y At}

. La'T ^{- - A}

• a-b) ^{te Bt .AT}

• So A est irreversible aloes

LAYi^{- -- LAT}) ^{- it}

3. . Trace

A ^C- veneer ) ^{be trace de A}

notte _{to CA} ) ^{est lo s - aces}

eternals diagouaun

re

to _LA ) ^{= I} eeii

i ^eh

Th

-

i

• te I ^At B) ^{= tr LA ) . the} (B)

• tr I ^{a A} ) ^=L KCA ₎

• tr l ^At ) ^{= tr ( A} )

. tr ( ^AB ) ^{= te LBA} )

4 ^{. Matrices} sgnnetrriques ^et

autiscgnrehriques

• A ^C- Mucin ) ^est seigneur _que

si A ⁼ AT

d- ^c _ai j ⁼ aji

• A Even ( ^ca ) ^{est are} tisyrnetiique

so A ^{= -} AT

d- ^a _cee

j ^{= - Oji}

Les Element diagon ^{awn s - t}

curls ^.

Es paces vector ^. els et

applications ^{linear - us}

I . Espace ^wectaiee

IK designee ^{est we caps . Dans}

les examples ^{an aura 1K = IN}

lee pleepart ^{du tarps}

t . Definition

Def ^{1 : Un 1K -} _espace ^{nectar - ee}

( ^{IK - eco} ) ^{est we ensemble n -}

wide ^E _ruairi

• d ^' une bei de c- position

in tune

Et ^{E → E}

C ^u _, o ) ^{→ at o}

• d ^{' une} lai de c- position

extreme

IK ^{x E → E}

( ^{x , u} ) ^{→ x. u}

qui ueiifceut ^les proprieties ^;

t ^. Uto ^{= v tu} tf _u

, ^✓ C- E

2 ^. let Lot ^or )=@^to ) ^too Fair , ur EE

3 _. ie exist ^{e un e- Event newbie}

OE ^E E tf ^{OE t le = Ce the EE}

u ^. tout Element ee EE admit

we scgnietrique ^{u ' toe Utu ' -0€}

Gu ^{le note - u}

5 . A . U = u tf u C- E

G ^. X ^. Go ^. a) ^{= Kp ) u V-t.pe/K et}

u EE

7- ^. X

. I ^{u to} ) ^{= 1. u t Xo ft C- IK}

et _u

, o E E

8 ^. X^t p ) ^{. u = X. u t} p.^U ft

, p C- IK

eh u C- E

2 . Terminologies ^{et notations}

• Les Elements de ^{E s -} t

app ^{e lets ueeteeus}

. Les Elements ^de IK ^{s -} t

appears ^scolaire

• L ^' Element mentee _OE ^de E

est Ee erect ^{een meee .}

• le seigneur que ^{- a d}

'

um

beaten ^{s '} appelle ^& oppose

• La loi de ^c- position

int ^une est appelle ^addition

et _{u tu} est be ^{s -} des

creatures ^{u et} o

• Lee loi de ^c- position

extreme est ceppeleie

multiplication par ^un scolaire

Somme ^{de u} weuteurs

Lee somme de ⁿ rectums ^se

definite ^par

reverence

oh tret ^- t on ⁼ Zvi

i ^er

3 ^. Examples ^{ol ' er paces oectuiels}

• IRN est IR ^{- er}

• FUR _, ^IR ) ^{ensemble des}

factions ^{de IR → IR est}

um IR ^{- ear}

• L' ensemble ^des suites

ie elles est we IR ^{- ev}

• In

, p ( ^IR ) ^{est um IR - er}

• L' e- see ble ^des polymerases

de alegre ^{re n' est} _pas ^un

ear

4 ^. Reigle ^{de gold} Prop ⁱ

• l ^' Element mentee _OE ^est

unique

• u C- E le sqnietrique ^{de u}

est unique

• OE ^{. U =} OE

• X ^- OE ^{= O} E

• f ^e ) ^{. u = - u}

• X . he ₌ O E ⇐ ^{X = 0 oee ee =} OE

L ^' operation ^{( u , o ) → ut C - o )}

s

' appelle ^{sous traction et}

u _t C ^{- on} ) ^{est vote a - o}

. Sans es

paces wectuiels

Ie ^est Sarti ^{dieusc de} verifier

les 8 oscines qui ^{f - t d}

' un

ensemble ^{un er .} Ie ya ^un

meager plus rapide ^{de statue}

qui ^{s ' app wie seen lo notion de}

sous espace ^oectaiec

1 ^. Definition ^{other sous} _espace

rectorial

Dad

• O E C- F

• u to C- F Fee

, ^v E F

• X. ^a C- F It ^C- If et ^UEF

Ever pees

• Fr ⁼ 4 ^{( a ,} g) ^{Girl I mtg = o} }

est ^{ur Seo de} 122

• Fz ⁼ { ₍ ^{a ,} _g) ^{EIRZ I nty = 2} }

n' est pas ^{um secr de IRZ}

• CCIR ) ^{ensemble des S - otros}

continues est seo de FUR _, ^IR)

• A Even _,

p ( ^IR ) ^{l ' ensemble}

des solutions dee systems

homage ^{'ve At = o est een}

Seo de IRP

?

. Um _secr est we er

Th : Sait ^E un IK ^{- er et} F

un seer de E ^{aloes F est} lui

undue _cur IK ^- er pour les loins

in duikers

par ^E

Examples

• Neuser ^{ble des} factions

poises ^{de IR - s IR est un}

IR ^{- er}

• L ^' ens - ble des matrices

synituigues ^{ntn est un}

IR ^{- eco}

3 ^. Caracterisati ^{- d ' in} sev

Def ^{i C-bimai.rs - linear 're}

on _, ^- _, on rectums de e' er E

aloes taut creature de ^lee f ^-

Xi _We ^t Xzcrz ^{t - t X mom}

avec Xp _, ^- _, ^{X - C- IK} estoppel

can binais ^- limousine des

rectums _or

, ^- you

Th ^{, E est um} Ikea et F une partie

rear wide ^de E

, F ^est we Dev

de E ssi

fu _, ^o

EF

Tut gu ^{v C- F}

3 . Intersection de dense _seer

Prep ^{s Fet G clean sew ol ' we}

IK ^- w E

, Fn G ^{est we} secrete

E

> _en

• OE ^C- Fnb ^car OE ^{E F} et

OE ^C- G ^can F ^et Ce des ^Secr

de E

• u

, o C- Fn G

U to C- F car F ^est _um secrete E

u tv GG ^ear test _we secrete ^E

dance ^u _to E Fn _G

• 1 ^E IK

, u E Fn _be

X ^{u C-} F can F est un Secr de E

Xu ^{C- G car G} est un seo de E

d- c Xu ^C- Fn G

Fn ^G est been we ^{se v} de ^E

Exempla

F -

- 4 ( ^{m ,} y , g) ^{EIR ' I nt3y} ₊₃₌₀ }

G ^- f ^{( m , y , g) G IRS I n - y +23--0} }

-

FN G est ^um Secr de _IR ^}

Remarque ^{: lee reunion de dense}

Seo n' est pees ^en general ^um

Seo ^.

a

F =/ ^{I uses ) C- IRZI} not

f

G ⁼ flu ^{is )ElR21 y -0 }}

^ y

> s

G

(^o 1)^{, EF}

( ¹ _, ^o ) ^{C- G}

mais ( ^{o , e} ) ^{t ( a , o} ) ^{= Hit )} ¢ ^FOG

u ^. Same ^de dense _sew

Def ^{: F et G dense sew I ' un}

Ik ^{- eu} E ^. Ll ensemble ^des

e- cements ^u _to avec UG Fet

✓ C- G est be s - des _Secr

Fett . Gu be ^note _Ft G

Ft ^{G =} 4 ^{u to 1 WE Fet} off }

a

Ft ^G

F

Prop ^{: Fet G denn seu die IK - ar}

E aloes _i

• Ft ^G est we sew de E

• Ft ^G _est le plus petit ^seo

centreman t ^ai be fois ^{F et G .}

Den

-

i

• Ft G _se - i evident

• Ft G cant ⁱ - t ^{F et G :}

rant Element de F ^{s ' e-} wit

u t ^{o avec u} E F et ^o C- G

( ^{car G est un seo de E} ) ^due

u E FTG ^. De undue

pain taut

e- _G- net ^{de G}

si It ^{est um seer} centreman t

Fer G in - trans

que ^{Ft G EH .}

Cl _est

assey ^{Evident : si u E F}

alas u C- It ( ^{car HDF} ) _, ^{de niece}

so OEG alas GE _{It .} C- It

est um Seo utoG It ^.