Chapitre n°4: Statistiques
Objectifs.
Niveau a eca n
C4.a 1 Savoir calculer la médiane, le premier quartile, le troisième quartile, l'intervalle interquartile, l'écart interquartile.
C4.b 1 Savoir faire le diagramme en boite d'une série
statistique.
C4.c 1 Savoir calculer la variance et l'écart-type d'une série statistique.
C4.d 1 Savoir calculer un point moyen et placer un nuage de points.
C4.e 1 Savoir calculer le coefficient directeur et l'ordonnée à
l'origine de la droite d'ajustement affine.
C4.f 1 Savoir exploiter l'équation de la droite d'ajustement
affine.
Activité n°1 – Histoire de climat - Calculatrice nécessaire.
Voici le relevé des températures maximales à Londres, Stuttgart et Nantes au mois d’août 2010 (source : météociel)
Londres 23.9 23.4 23.6 20.1 22.3 21.4 21.8 24.5 25.1 19.1 Stuttgart 26.5 21.5 24.1 22.8 22 23.5 25.6 21.4 23.6 28.3
Nantes 21.7 22 21.6 18.9 20.5 22.8 21.5 21.4 22 19.9
Londres 23 20.4 18.1 18.4 22.7 25.4 21 21.3 21.7 21.7
Stuttgart 24.2 22.1 20.7 25.5 17.3 19.9 16.5 21.1 22.6 28.4 Nantes 20.9 20.2 20.3 19.3 20.5 20.1 20.5 19.9 22.7 21.8
Londres 24.3 23.1 21.4 20.5 18.2 21.3 18.5 20.6 19.3 19.2 20.5 Stuttgart 29.2 26.5 23.8 22.2 23 21.6 21.4 17.4 17 16.7 19.2
Nantes 22.5 22.2 19.6 19.9 17.9 19.4 22.9 22.8 19.1 24 24.8
On souhaite déterminer la ville dans laquelle le climat a été le plus tempéré (i.e. la ville où les différences de température ne sont pas excessives : doux en hivers, et modérément chaud en été).
On a introduit en troisième et en seconde une mesure de la dispersion :
l’étendue de la série statistique, c’est-à-dire la différence entre la plus grande et la plus petite valeur prises par la série.
Cet indicateur est-il efficace pour comparer ces trois villes ? Ou au moins deux ?Pourquoi ?
…...
...
...
...
...
...
Cours n°1
Chapitre n°4: Statistiques.
I) Caractéristiques de position d'une série statistique
Définition n°1 : Médianes
Dans une série statistique ordonnée, une médiane partage les valeurs prises par le caractère en deux groupes de …... effectif.
Définition n°2 : Moyenne
Soit x1, x2, x3,... …., xN une série statistique quantitative de N valeurs.
Si n1, n2, n3,.... …., nN sont les pondérations des valeurs x1, x2, x3,... …., xN, la moyenne
pondérée de la série, notée x, est le quotient : x =
On peut aussi utiliser les fréquences :
x= f1x1+f2x2+ f3x3+...+ fNxN
Définition n°3 : Quartiles
Le premier quartile d'une série statistique numérique est la plus petite valeur prise par le caractère telle qu'au moins ... % des valeurs lui soient inférieures ou égales.
Le troisième quartile d'une série statistiques numérique est la plus petite valeur prise par le caractère telle qu'au moins ... % des valeurs lui soient inférieures ou égales.
Remarque :
De nombreuses calculatrices considèrent les quartiles comme les médianes des deux séries obtenues après avoir partagé la série initiale par sa médiane … ce qui explique les différences constatées. Dans la pratique, ces différences ont peu d’importance vu la taille des séries.
De la même façon, on peut définir les déciles d’une série statistique.
Exemple n°1 :
Calculez la moyenne, la médiane, le premier quartile, et le troisième quartile de la série suivante :
3 ; 4 ; 5 ; 4 ; 4 ; 6 ; 9 ; 17 moyenne :
...
médiane :
...
premier quartile :
...
troisième quartile :
…...
Quelle grandeur est la plus influencée par la valeur 17, la moyenne ou la médiane ?
…...
Exemple n°2 :
Voici une série de données, réunies par classes dans un tableau.
Classe : [0;2[ [2;4[ [4;6[ [6;8[ [8;10[ [10;12[ [12;14[ [14;16[ [16;18[
Effectif : 12 54 18 86 53 95 93 42 42
Calculer la médiane de cette série.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Calculer le 1er quartile et le 3ème quartile de cette série.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
II) Caractéristiques de dispersion d'une série statistique.
Définition n°4 : intervalle interquartile
Soit Q1 et Q3 les premier et troisième quartiles d'une série statistique.
L'intervalle interquartile de cette série est l'intervalle …...
Exemple n°3
Reprenez l'exemple n°1. Quel est l'intervalle interquartile de cette série ?
…...
...
Définition n°5 : écart interquartile
Soit Q1 et Q3 les premier et troisième quartiles d'une série statistique.
L'écart interquartile de cette série est la différence …...
Exemple n°4
Reprenez l'exemple n°2. Quel est l'écart interquartile de cette série ?
…...
...
Remarque :
L’écart interquartile mesure la dispersion des valeurs autour de la médiane ; plus l’écart est petit, plus les valeurs de la série appartenant à l’intervalle interquartile sont concentrées autour de la médiane.
Contrairement à l’étendue ( notée e ) qui mesure l’écart entre la plus grande et la plus petite valeur, l’écart interquartile élimine les valeurs extrêmes qui peuvent être douteuses, cependant il ne tient compte que de 50% de l’effectif …
On peut correctement résumer une série statistique par le couple : ( médiane ; intervalle interquartile )
Définition n°6 : diagrammes en boîte
Un diagramme en boite est un rectangle délimité par le premier quartile et le troisième quartile .
Pour l’obtenir, on trace un axe horizontal ( ou vertical ) sur lequel on place les valeurs de Q1 , Q3 et Me . L’un des côtés du rectangle a pour longueur l’écart interquartile, l’autre est quelconque. On complète ce diagramme en traçant deux traits horizontaux : l’un joignant Q1 au minimun de la série et l’autre joignant Q3 au maximun de la série.
Exemple n°5
Reprenez l'exemple n°1. Faites le diagramme en boite de cette série.
…...
…...
…...
...
Exemple n°6
Reprenez l'exemple n°2. Faites le diagramme en boite de cette série.
…...
…...
…...
...
Définition n°7 : Variance et écart-type
Soit x1, x2, x3,... …., xN une série statistique quantitative de N valeurs, pondérée par les valeurs n1, n2, n3,.... …., nN.
La variance V est la moyenne des carrés des écarts des valeurs x1, x2, x3,... …., xN à la moyenne x :
V = 1
n1+n2+...+nN ( n1 (x1 – x)2 + n2 (x2 – x)2 + … … nN (xN – x )2) L'écart-type vaut la racine carrée de la variance :
=
√
V .Exemple n°7
On reprend l'exemple n°1 : 3 ; 4 ; 5 ; 4 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 calculez la variance et l'écart-type de cette série.
…...
...
...
...
Interrogation n°1 Objectifs :
C4.a_Niv1 :Savoir calculer la médiane, le premier quartile, le troisième quartile, l'intervalle interquartile, l'écart interquartile.
C4.b_Niv1 :Savoir faire le diagramme en boite d'une série statistique.
C4.c_Niv1 :Savoir calculer la variance et l'écart-type d'une série statistique.
Exercice n°1
Ex.1 et 3 p.130 Exercice n°2
Ex.7 et 8 p.130 Exercice n°3
Ex.5 et 6 p.130 Exercice n°4
Ex.21 p.132 Exercice n°5
Ex.22 p.132 Exercice n°6
Ex.24 p.132 Exercice n°7
Ex.25 p.132 Exercice n°8
Ex.30 p.133 Exercice n°9
Ex.31 p.133
Activité d'approche n°2
Activité n°2 : températures – suite
Voici la liste des températures moyennes au mois d'Août relevées dans différentes villes du monde :
Londres (latitude : 52°)
Paris (Latitude : 49°)
Madrid (Latitude : 40°)
Lisbonne (Latitude : 39°)
Rabat (Latitude : 33°)
Alger (Latitude : 37°)
Nouakchott (Latitude : 20°)
23°C 24°C 32°C 28°C 28°C 29°C 32°C
Moscou (latitude : 56°)
Varsovie (Latitude : 52°)
Kampala (Latitude : 0°)
Niamey (Latitude : 39°)
Minsk (Latitude : 53°)
Talinn (Latitude : 59°)
Reykjavik (Latitude : 64°)
21°C 23°C 26°C 28°C 22°C 20°C 13°C
Oslo (latitude : 60°)
Nuuk (Latitude : 64°)
Qaanaaq (Latitude : 77°)
Sisimiuth (Latitude : 66°)
Bromont (Latitude : 45°)
Alert (Latitude : 82°)
Longyearbyen (Latitude : 78°)
20°C 10°C 5°C 10°C 25°C 3°C 7°C
1. Construisez ci-dessous un graphique contenant la température moyenne en août en fonction de la latitude.
2. On obtient un nuage de points. Calculez la moyenne des latitudes et la
moyenne des températures. Placez le point obtenu sur le graphique : on appelle ce point le point moyen.
………
………
………
……….
3. En faisant éventuellement des calculs, tracez la droite qui semble approcher le mieux ce nuage de points. Donnez son coefficient directeur et son ordonnée à l'origine.
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
4. La méthode des moindres carrés : pour avoir une méthode plus rigoureuse, on calcule, pour chaque point du tableau de valeur, l'écart de l'ordonnée de ce point avec l'ordonnée du point de même abscisse de la droite. On additionne ensuite les carrés des valeurs obtenues. Et on cherche à minimiser ces valeurs.
La calculatrice permet d'utiliser ce principe automatiquement, pour trouver la
« meilleure » droite possible.
Utiliser le mode d'emploi p.129 pour déterminer le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de la meilleure droite possible.
Coefficient directeur a : ………
Ordonnée à l'origine b : ………
5. Pour tracer la droite : il suffit de connaître deux points A et B. Si un point est sur la droite, son ordonnée se calcule avec la relation :
ordonnée = a × abscisse + b.
Prenons un point A d'abscisse 0. Calculer son ordonnée :
……….
Compléter : A(….. ;……)
Prenons un point B d'abscisse 90. Calculer son ordonnée :
……….
Compléter : B(….. ;……)
Placer les points A et B sur le graphique.
Tracer la droite (AB).
6. En utilisant le graphique : quelle serait la température moyenne en Août pour une ville située à 5° de latitude Nord ?
………..
7. En utilisant la relation ordonnée = a × abscisse + b, quelle serait la température moyenne en Août pour une ville située à 5° de latitude Nord ? Calcul : ………..
8. En utilisant le graphique : quelle serait la latitude atteinte pour une température en Août de 22°C ?
………..
9. En utilisant la relation ordonnée = a × abscisse + b, quelle serait la latitude atteinte pour une température en Août de 22°C ? (Attention : il faut résoudre une équation)
………
………
………
………
………
……….
10. Cette droite est-elle valable pour une latitude négative ?
Cours n°2
III) Série statistique à deux variables
Définition n°8 : série à deux variables
Sur une population donnée, on peut étudier plusieurs caractéristiques.
Une série statistique à deux variables est une liste de deux caractéristiques de cette population.
On peut reporter ces deux séries dans un graphique, l'une des caractéristiques étant en abscisse, l'autre en ordonnée. On obtient ainsi un nuage de points.
On appelle point moyen le point ayant pour coordonnées les moyennes des deux caractéristiques.
Exemple n°8 :
En France, le coût horaire de la main d’œuvre, en euros, était de 24,4 € en 2000, 28,7 € en 2004, 32,2€ en 2008, et 35,3 € en 2012. On note x le rang de l'année, sachant que l'année 2000 sera de rang 0.
1. Donnez le rang de l'année 2012 : ...
2. Dressez le tableau de la série à deux variables : x le rang de l'année et y le coût horaire correspondant :
…...
...
...
...
...
3. Construire un graphique avec le nuage de points correspondant à cette série à deux variables :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
40 35 30 25 20 15 10 5
y
x
4. Calculez et placez le point moyen de cette série statistique.
...
...
...
...…
Interrogation n°2 Objectifs :
C4.d_Niv1:Savoir calculer un point moyen et placer un nuage de points.
Exercice n°10 Ex.35 p.134 Exercice n°11
Ex.36 p.134
Cours n°3
IV) Rappel : équation de droite.
Définition n°9 :
(d) est une droite non verticale d'un plan, dans un repère orthonormé. Son équation est alors …...
Exemple n°9 :
1. Construire les droites (d1) et (d2) d'équations respectives y=2x-6 et y = -2x+6.
Calculs effectués :
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
2. Le point A appartient à la droite (d1) et a pour abscisse -1. Quelle est son ordonnée ?
…...
3. Le point B appartient à la droite (d1) et a pour ordonnée -1. Quelle est son abscisse ? ...
...
...
...
4. Une entreprise calcule le prix d'un lot de marchandises en fonction du nombre x d'objets que contient ce lot : Prix du lot=2x-6. Lire graphiquement le nombre d'objets nécessaires pour obtenir un prix de 10 € (on fera des pointillés pour faire comprendre comment s'effectue la lecture) : …...
V) Ajustement affine d'un nuage de point
Définition n°10 : ajustement affine
La droite qui passe au plus près des points d'un nuage de points est appelée ajustement affine.
Propriété n°1 : utilisation de la calculatrice Cf p.129
Exemple n°10
a. Reprenez l'exemple n°8 et calculez, à l'aide de la calculatrice, le
coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de la droite d'ajustement du coût horaire de la main d’œuvre.
…...
...
...
...
...………...
b. Calculez le coût horaire que l'on peut prévoir en 2020.
...
...
...………..
Interrogation n°3 Objectifs :
C4.e_Niv1 :Savoir calculer le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de la droite d'ajustement affine.
C4.f_Niv1 :Savoir exploiter l'équation de la droite d'ajustement affine.
Exercice n°12
Construire la droite d'équation y=1,5x-3,6 dans un repère.
Exercice n°13*
Ex.47 p.136 Exercice n°14*
Ex.48 p.136
Exercice n°15**
Ex.60 p.141 Exercice n°16**
Ex.61 p.141
Exercice n°17** (préparation au bac) Sujet B p.144
Exercice n°18** (préparation au bac) Sujet C p.144
Exercice n°19** (préparation au bac) Sujet D p.145
Exercice n°20*** (préparation au bac) Sujet F p.146
Indices ou résultats permettant de savoir si on a juste ou faux.
Ex.1 : ex1:a.Q1=5;Me=17;Q3=38 b. Q1=24;Me=55;Q3=62 ex3: 105÷2=...
Ex.2 : cf calculatrice (résultats donnés dans l'exercice)
Ex.3 : ex5. 1. Q1=7;Me=11;Q3=12 2. Q3 – Q1=5 3. 25 % ex6.
Ex.4 : 1. Q1=3;Me=6;Q3=7 2. 3. Oui.
Ex.5 : 1.
Pression
artérielle 12 13 13,5 14 14,5 15 16 17 18
Effectifs 2 4 2 7 6 5 1 1 2
Effectifs
cumulés 2 6 8 15 21 26 27 28 30
2. Q1=13,5;Me=14,25;Q3=15 3.
Ex.6 : 1. Oui 2. La promotion 2012 a un niveau plus hétérogène que la promotion 2013.
Ex.7 : 1. environ 50 % 2. Non 3. probablement issus d'un élevage.
Ex.8 : 1. x=3,3 2. n=1,9
Ex.9 : 1. Dans K1 : =MOYENNE(A1:H2) 2. Dans K2 : =ECARTYPEP(A1:H2) Ex.10 :
Ex.11 : 1.
2. G(15;53,8)
Ex.13 : y=2,04x – 10,51 Ex.14 : y=0,5x + 8
Ex.15 : 1. y= -3,25x + 344,5 3. a. r'(x)= - 6,5x + 344,5 b.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9x
12 13 14 15 16 17 18x
x 35 53 70
Signe de r' + 0 -
r
8076,25
9129,25
8190 Ex.16 : 1. y= -0,14x + 599,2 2.a. B(x)= - 0,14x² + 599,20x – 50000 b. B'(x)= - 0,28x + 599,20
x 0 2140 4000
Signe de B' + 0 -
B
-50000
591144
106800 Ex.17 : (correction non donnée : DM)
Ex.18 : (correction non donnée : DM) Ex.19 : (correction non donnée : DM) Ex.20 : (correction non donnée : DM)
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Date : …...
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…...
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