BAC BLANC 2009

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BAC BLANC 2009

Durée de l’épreuve : 4 heures

Calculatrices électroniques de poche autorisées

La qualité et la précision de la rédaction seront prises en compte dans l’appréciation des copies

— Les élèves n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité traiteront les exercices 1, 2, 3, 4 et 5.

— Les élèves ayant suivi l’enseignement de spécialité traiteront les exercices 1, 2, 3 et 4 bis

Exercice 1

Commun à tous les candidats (3 points)

PARTIE A

On considère la fonctionf définie sur l’intervalle]0 ; +∞[par :f(x) = x e^x−1. Restitution organisée de connaissances :

On rappelle que la fonction exponentielle est l’unique fonctiong dérivable surRvérifiant : g^′(x) = g(x) pour toutx∈R.

g(0) = 1 1/ Démontrer que lim

h→0

e^h−1 h = 1.

2/ Déterminer la limite de la fonctionf en0.

PARTIE B

Soit(uⁿ)la suite définie pournentier supérieur ou égal à 1 par :uⁿ= 1 n

1 +eⁿ¹ +e²ⁿ+· · ·+eⁿ⁻ⁿ¹ 1/ Démontrer que1 +eⁿ¹ +eⁿ² +· · ·+eⁿ⁻ⁿ¹ = 1−e

1−e¹ⁿ puis en déduire que uⁿ= (e−1)f 1

n

. 2/ En déduire, en utilisant aussi laPARTIE A, que la suite(uⁿ)converge et donner sa limite.

Exercice 2

Commun à tous les candidats (5 points) Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal

O, −→ u , −→

v .

1/ On considère les pointsA, B etC d’affixes respectiveszA= 2 + 2i, zB= 2i etzC = 2ainsi que le cercleΓde centreA et de rayon 2.

La droite(OA)coupe le cercleΓ en deux pointsH etK tels queOH < OK. On notez_H etz_K les affixes respectives des pointsHetK,

1. 1. Faire une figure en prenant 1 cm comme unité graphique.

1. 2. Calculer la longueurOA. En déduire les longueursOKetOH.

1. 3. Justifier, à l’aide des notions de module et d’argument d’un nombre complexe, que z_K =

2√ 2 + 2

eⁱ^π⁴ z_H = 2√

2−2 eⁱ^π⁴.

Dans toute la suite, on considère l’application f du plan qui à tout point M d’affixe z = 0 associe le point M^′ d’affixez^′ telle que :z^′= −4

z .

2/ 2. 1. Déterminer et placer les points images deB etC parf.

2. 2. On dit qu’un point est invariant par f s’il est confondu avec son image.

Déterminer les points invariants parf.

1

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2. 3. Montrer que pour tout point M distinct deO, on a :OM×OM^′= 4.

2. 4. Déterminer arg(z^′)en fonction de arg(z).

3/ SoientK^′ etH^′ les images respectives deK etHparf. 3. 1. CalculerOK^′ etOH^′.

3. 2. Démontrer quezK^′ = 2√

2−2 eⁱ^3π⁴ etzH^′ = 2√

2 + 2 eⁱ^3π⁴ .

3. 3. Expliquer comment construire les pointsK^′ etH^′en utilisant uniquement la règle et le compas à partir des points K etH. Réaliser la construction.

Exercice 3

Commun à tous les candidats (6 points) Soitf la fonction définie surRpar :f(x) =x+ 2− 4e^x

e^x+ 3.

On désigne parC sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal O, −→

ı , −→



d’unité graphique 2 cm.

1/ 1. 1. Déterminer la limite def en−∞.

1. 2. Démontrer que la droiteD¹ d’équationy=x+ 2est asymptote à la courbeC. 1. 3. Étudier la position de Cpar rapport àD¹.

1. 4. On notef^′ la fonction dérivée def. Calculerf^′(x)et montrer que, pour tout réel x, on a :f^′(x) =

e^x−3 e^x+ 3

2

1. 5. Étudier les variations def surRet dresser le tableau de variations de la fonctionf. 1. 6. Que peut-on dire de la tangenteD²à la courbeC au point I d’abscisseln 3?

1. 7. En utilisant les variations de la fonctionf, étudier la position de la courbeC par rapport àD². 1. 8. Montrer que la tangenteD³ à la courbeC au point d’abscisse0a pour équation :y= 1

4x+ 1.

1. 9. Étudier la position de la courbeCpar rapport à la tangente D³ sur l’intervalle]− ∞; ln 3].

On pourra utiliser la dérivée seconde def notéef^′′ définie pour toutxdeRpar :f”(x) = 12e^x(e^x−3) (e^x+ 3)³ . 2/ On admet que le point I est centre de symétrie de la courbeC.

Tracer la courbeC, les tangentesD², D³et les asymptotes à la courbeC. On rappelle que l’unité graphique choisie est 2 cm.

Exercice 4

Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité (3,5 points) On définit :

— la suite(un)par :u0= 13et, pour tout entier natureln, un+1= 1 5un+4

5.

— la suite(Sⁿ)par : pour tout entier natureln, Sn= n

k=0

uk =u0+u1+u2+· · ·+un.

1/ Montrer par récurrence que, pour tout entier natureln, un = 1 +12 5ⁿ. En déduire la limite de la suite(uⁿ).

2/ 2. 1. Déterminer le sens de variation de la suite(Sn).

2. 2. CalculerSn en fonction den.

2. 3. Déterminer la limite de la suite(Sn).

2

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Exercice 5

Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité (2,5 points) Cet exercice est un QCM. Pour chaque question, une ou deux propositions au maximum sont justes.

Il est demandé de ne rien écrire sur le sujet, mais d’écrire sur la copie le numéro de la question suivie de la référence (a, b, c ou d) de la ou des proposition(s) que vous pensez juste(s).

Aucun justificatif n’est demandé.

Attention ! Toute mauvaise réponse est pénalisée de 0,25 point.

Chaque bonne réponse rapporte 0,25 point ou 0,5 point selon le cas.

Si le total de l’exercice est négatif, la note pour cet exercice est ramenée à 0.

1. On désigne parkune constante réelle.

L’équation suivanteln (x−1) = ln

k²+ 1 −ln (2)d’inconnuex, admet pour ensemble de solutions : a. S =

k² b. S=

k²+ 3 2

c. S=∅lorsquek= 0 d. S={−1}lorsquek= 0 2. Les entiers naturelsntels que

2 3

ⁿ

<10⁻⁵⁰sont tous les entiers naturels vérifiant : a. n < −50 ln (10)

ln₂

3

b. n <284 c. n≥284 d. n > 50 ln (10)

ln (3)−ln (2)

3. On considère la fonctionf définie sur]0; +∞[par :f(x) =xln (x) + ln

1 +e¹⁻^x . On note f^′ sa fonction dérivée sur]0; +∞[.

a. f^′(x) = ln (x) + 1 + e¹⁻^x 1 +e¹⁻^x b. f^′(x) = 1 + 1

1 +e¹⁻^x c. f^′(x) = ln (x) + 1− e¹⁻^x

1 +e¹⁻^x

d. La courbe def admet au point d’abscisse1une tangente d’équationy=x+ 2 ln (2)−1 2 4. L’inéquation suivanteln (3x−1)>−1d’inconnuex, admet pour ensemble de solutions :

a. S=

0;1 +e⁻¹ 3

b. S= 1

3; +∞

c. S= ]0,456; +∞[ d. S=

1 3+ 1

3e; +∞

3

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Exercice 4bis

Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité (5,5 points) Les parties A, B, et C sont largement indépendantes.

Partie A : Question de cours

Enoncer le théorème de Bezout et le théorème de Gauss Partie B

On considère l’équation (E) :11x−26y= 1, oùxety désignent deux nombres entiers relatifs.

1/ Vérifier que le couple(−7 ; −3)est solution de (E).

2/ Résoudre alors l’équation (E).

3/ En déduire le couple d’entiers relatifs(u; v)solution de (E) tel que0u25.

Partie C

On assimile chaque lettre de l’alphabet à un nombre entier comme l’indique le tableau ci-dessous :

A B C D E F G H I J K L M

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

N O P Q R S T U V W X Y Z

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

On "code" tout nombre entierxcompris entre 0 et 25 de la façon suivante :

— on calcule11x+ 8

— on calcule le reste de la division euclidienne de11x+ 8par 26, que l’on appelley.

xest alors "codé" pary.

Ainsi, par exemple, la lettre L est assimilée au nombre 11 ;11×11 + 8 = 129or 129≡25(modulo26); 25 est le reste de la division euclidienne de 129 par 26. Au nombre 25 correspond la lettre Z.

La lettre L est donc codée par la lettre Z.

1/ Coder la lettreW.

2/ Le but de cette question est de déterminer la fonction de décodage.

2. 1. Montrer que pour tous nombres entiers relatifsxetj, on a :

11x≡j (modulo26)équivaut àx≡19j(modulo26).

2. 2. En déduire un procédé de décodage.

2. 3. Décoder la lettre W.

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