Epreuve 8

(1)

L.S.Marsa Elriadh

Epreuve 8

^{M : Zribi}

4 ^èmeEco Révision

2008/2009

Exercice 1

On considère un groupe de 2000 lecteurs, tous abonnés à une des revues : la Drosera, l'Iguane ou le Nénuphar. Chacun d'eux n'est abonné qu'à une revue et ne lit que celle-là.

Parmi ces abonnés

• 400 abonnés lisent la Drosera, et 20% des abonnés à la Drosera sont des femmes ;

• 700 abonnés lisent l'Iguane et 30% des abonnés à l'Iguane sont des femmes ;

• les autres abonnés lisent le Nénuphar et 60% des abonnés au Nénuphar sont des femmes.

On choisit un lecteur au hasard parmi ces abonnés. On note par D, I, N, F et H les événements suivants D : « l'abonné lit la Drosera » ;

I : « l'abonné lit l'Iguane » ; N : « l'abonné lit le Nénuphar » ; F : « l'abonné est une femme » ; H : « l'abonné est un homme ».

1. Traduire les données de l'exercice à l'aide d'un arbre de probabilité.

2. a. Calculer la probabilité que l'abonné soit une femme lisant la Drosera.

b. Calculer la probabilité que l'abonné soit une femme lisant l'Iguane.

c. Démontrer que la probabilité que l'abonné soit une femme est égale à 0,415.

3. Sachant que l'abonné choisi est une femme, calculer la probabilité qu'il soit lecteur de la Drosera (le résultat sera donné sous forme décimale, arrondi au millième).

4. On interroge au hasard et de façon indépendante trois abonnés.

Quelle est la probabilité qu'aucun des abonnés ne soit une femme lectrice du Nénuphar (le résultat sera donné sous forme décimale, arrondi au millième) ?

Exercice 2

Le tableau ci-dessous donne le nombre de retraités en France métropolitaine entre 1975 et 2005 :

Année 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005

Rang de l’année xi

0 i 6 0 1 2 3 4 5 6

Nombre de retraités (en millions) yi

0 i 6 4,1 5,0 5,9 7,4 8,3 9,7 10,7

Source : INSEE / Caisse Nationale d’Assurance Vieillesse 2007

1. Sur une feuille de papier millimétré, représenter le nuage de points M x y , i



i^; i



0 i 6, associé à la série statistique dans un repère orthogonal d’unités graphiques 2 cm en abscisse (pour les rangs d’année) et 1 cm en ordonnée (pour 1 million de retraités).

2. a. Calculer les coordonnées du point moyen G de cette série statistique.

b. Donner, à l’aide de la calculatrice, l’équation réduite de la droite d d’ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés (on arrondira les coefficients au dixième).

c. Placer le point G et tracer la droite d dans le repère construit à la première question.

3. En utilisant l’ajustement trouvé à la question 2, déterminer par un calcul une estimation du nombre de retraités en 2010.

(2)

Exercice 3

Une agence de voyages organise différentes excursions dans une région du monde et propose la visite de sites incontournables, nommés A, B, C, D, E et F.

Ces excursions sont résumées sur le graphe ci-dessous dont les sommets désignent les sites, les arêtes représentent les routes pouvant être empruntées pour relier deux sites et le poids des arêtes désigne le temps de transport (en heures) entre chaque site.

1. Justifier que ce graphe est connexe.

2. Un touriste désire aller du site A au site F en limitant au maximum les temps de transport.

a. En utilisant un algorithme, déterminer la plus courte chaîne reliant le sommet A au sommet F.

b. En déduire le temps de transport minimal pour aller du site A au site F.

3. Un touriste désirant apprécier un maximum de paysages souhaite suivre un parcours empruntant toutes les routes proposées une et une seule fois. Si ce parcours existe, le décrire sans justifier ; dans le cas contraire justifier qu’un tel parcours n’existe pas.

Exercice 4

Le plan est muni d’un repère orthonormal



^{O; ,}^{i j .}



1. On considère la fonction g définie sur l’intervalle



^0;^



^par^{g x}^{( )}^^ln^x^²^x²^³^.

Le tableau de variation de la fonction g est donné ci-dessous :

x 0  ^{+ ∞}

g

− ∞

+ ∞

En utilisant une calculatrice on a obtenu 1,19.

Dresser le tableau donnant le signe de la fonction g sur l’intervalle



^0;^



2. On considère la fonction f définie sur l’intervalle



^0;^



^par ^{f x}^{( )} ² ^ln^x ²^x ⁵

x x

    . On note Cf la courbe représentative de la fonction f dans le repère



^{O; ,}^{i j .}



a) Déterminer la limite de la fonction f en 0.

b) Déterminer la limite de la fonction f en + ∞.

3. On note f ' la fonction dérivée de la fonction f .

a) Calculer f x'( ) et montrer que pour tout réel x de l’intervalle



^0;



^{, on a :}

2

'( ) g x( ) f x  x

b) En déduire le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle



^0;^



et dresser son tableau de variations.

A

B C

D

E F

F 7

15

4

5

2

14 16

3 2

0

(3)

c) Déterminer le signe de f x pour tout réel x supérieur ou égal à e. ( )

Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.

4. Soit h la fonction définie sur l’intervalle



^0;^



^par^{h x}^{( )}^

^{ }

^ln^x ²^.

a) Calculer la dérivéeh' de h.

b) En remarquant que pour tout x de l’intervalle



^0;^



, on a : 2 1

( ) '( ) 2 5

f x 2h x x

 x   , trouver une primitive F de la fonction f sur l’intervalle



^0;^



^.

c) Déterminer l’aire en unités d’aire de la partie du plan délimité par la courbe Cf , l’axe des abscisses et les droites d’équation xe et xe²(On donnera la valeur exacte, puis une valeur décimale arrondie au dixième).