MODULE 3 – LA DEMONSTRATION
La démonstration est un raisonnement mathématiques rigoureux.
Une fois un résultat « démontré », on est alors sûr que ce résultat est vrai. Il devient « incontestable ».
Au collège, c’est un des points les plus importants de la géométrie… Mais la démonstration est omniprésente dans toutes les mathématiques !
Des résultats en apparence très simples sont parfois très très très compliqués à démontrer. En voici un exemple à votre portée :
Propriété : « Le nombre 𝜋 ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction. » On vous l’a surement déjà dit et peut être répété, mais comment peut-on être sûr qu’aucune fraction n’est égale à 𝜋 ?
La réponse ne sera pas donnée ici, et si vous vous décidez à faire des études de mathématiques, il faudra attendre deux années après le bac pour le démontrer rigoureusement. (la première preuve fut donnée en 1761 par Lambert)
Revenons à des notions de 5è…
Activité 1 : Pourquoi la démonstration ?
On considère la figure ci-contre.
1. En observant la figure, que peut-on supposer concernant les droites (𝐶𝐼) 𝑒𝑡 (𝐴𝐵) ?
En mathématiques, un résultat que l’on suppose vrai s’appelle une conjecture.
2. Peut-on dire que ce résultat est vrai juste en observant la figure ?
3. Peut-on affirmer ce résultat en mesurant à l’aide d’un instrument de géométrie (règle, équerre, rapporteur, compas…) ?
Expliquer pourquoi.
La principale « difficulté » lors d’une démonstration est de trouver le lien entre l’énoncé (ou la figure) et ce que l’on veut démontrer. Ce lien peut être une propriété du cours, ou alors plusieurs propriétés du cours ainsi que certaines définitions que l’on met bout à bout…
C’est à ce moment que « connaître sa leçon sur le bout des doigts » est très important.
Il faudra aussi présenter le raisonnement de la façon la plus claire possible !
4. D’après toi, quelles sont les notions que l’on va utiliser pour justifier que (𝐶𝐼) ⊥ (𝐴𝐵) ?
Activité 2 : Les erreurs à éviter lorsqu’on rédige une démonstration.
Il n’existe pas beaucoup de rédactions différentes pour BIEN rédiger une démonstration ! À vrai dire, il n’y en a qu’une seule…
Faire une démonstration, c’est un peu comme raconter une histoire à quelqu’un. Une histoire assez simple, où l’on souhaite que l’autre comprenne bien tout.
Imaginons : Vous avez lu un livre et vous voulez raconter l’histoire à un·e camarade, de façon courte et précise (on dit aussi de façon synthétique).
Voici trois versions différentes. Lis-les, puis réponds aux questions.
Version A : La princesse et le prince vécurent heureux et eurent beaucoup d’enfants. Parce qu’en fait, le prince a sauvé la princesse de la grotte du dragon. Parce que le prince il a terrassé le dragon. Parce que la princesse elle avait été enlevée par le dragon. Alors qu’au début, elle était tranquillement dans son château.
Version B : Il était une fois une princesse qui vivait tranquillement dans un château, mais qui s’était fait enlever par un dragon.
Le prince terrassa le dragon et sauva la princesse.
La princesse et le prince vécurent heureux et eurent beaucoup d’enfants.
Version C : Il était une fois une princesse. Elle s’appelait Juliane… heu... non Albane… enfin je crois, je ne sais plus trop, ça fait longtemps que j’ai lu le livre, c’était un truc en « ane ». Elle vivait tranquillement dans son château... Enfin… tranquillement c’était le cas de le dire, car il n’y avait pas grand-chose à faire dans son château. Et puis c’était mal décoré, et puis il devait y faire froid… Et puis un dragon vient et l’enlève. D’ailleurs, le dragon, il n’était pas si impressionnant que ça. Je pense que moi, à la place de la princesse, je lui aurais mis un grand coup de sac entre les deux yeux et hop, plus de dragon. Mais bon… Là, il y a un prince qui arrive, mais genre le vrai prince quoi : armure, heaume, épée, cheval… La classe quoi. Des princes comme on n’en fait plus. Alors le prince, il arrive, et hop, il sort son épée, il donne un coup, puis deux, puis encore plein d’autres et hop, il terrasse le dragon. Et là… je te laisse deviner la fin quoi !
1. Quelle est la version qui te semble la plus appropriée pour raconter l’histoire de façon synthétique.
2. Explique, en quelques lignes, ce qui ne va pas dans les deux autres versions.
Activité 3 : Structure de la démonstration
Vous l’aurez compris, pour faire une bonne démonstration, il faut raconter « dans l’ordre » en ne gardant que le « strict nécessaire ».
En mathématiques, il a été décidé de couper en trois parties la démonstration. Voici les différents noms qu’on leur donne selon les professeurs et les livres
Partie 1 : Je sais que – On sait que – Énoncé – Données – Informations – Hypothèses … Partie 2 : Propriété – Or – D’après le cours …
Partie 3 : Conclusion – Donc …
La partie 1, que nous appellerons « DONNÉES » correspond à la liste des informations dont nous allons nous servir pour la démonstration. Il s’agit donc de recopier les informations qui vont nous être utiles.
La partie 2, que nous appellerons « PROPRIÉTÉ » correspond à… une propriété du cours. Il s’agit d’une propriété générale, qui peut s’appliquer à plusieurs exercices
Elle est très souvent exprimée en deux parties : SI ………. ALORS ……….
La partie 3, que nous appellerons « CONCLUSION » correspond à… la conclusion. C’est la partie la plus simple car il s’agit ni plus ni moins de répondre à la question posée !
Voici un exemple, que vous avez déjà pratiqué plusieurs fois en classe, en 6è, puis en 5è.
On considère la figure ci-contre. Montrer que les droites (d1) et (d2) sont parallèles.
1. Que faut-il démontrer dans cet exercice ?
2. Quelle sera donc la conclusion de la démonstration ?
3. Pour arriver à cette conclusion, que doit-on avoir dans la propriété après le ALORS … ?
4. Combien de propriété(s) sur les droites connait-on se finissant par
« alors ces droites sont parallèles ? »
5. Cite alors la propriété qui convient et explique ton choix.
6. Rédige la démonstration le plus proprement du monde en utilisant
« Données – Propriété – Conclusion »
A RETENIR :
• Très souvent, dans notre tête, quand on nous pose une question, on a envie de donner immédiatement la réponse… MAIS il ne faut pas oublier de raconter l’histoire dans l’ordre, en commençant par le début !
• N’oubliez pas que la « Conclusion » de la démonstration consiste juste à recopier la question de l’énoncé (sous forme affirmative)… D’ailleurs, entrainons-nous à avoir ce réflexe !
Activité 4 : Acquisition de réflexes : La conclusion !
Dans cet exercice (et dans cet exercice seulement), vous n’avez qu’à écrire la conclusion ! a) Montrer que (d1) ⊥ (d)
Données : ***
Propriété : ***
Conclusion :
b) Montrer que ABCD est un parallélogramme
Données : ***
Propriété : ***
Conclusion :
c) Montrer que 𝐺𝐼𝐹. est un angle droit.
Données : ***
Propriété : ***
Conclusion :
d) Montrer que O est le milieu de [AC] et [BD]
Données : ***
Propriété : ***
Conclusion :
Activité 5 : La propriété – Le Lien entre « Données » et « Conclusion » Reprenons le traditionnel exemple : On considère la figure ci-contre.
Montrer que les droites (d1) et (d2) sont parallèles.
Voici la démonstration que vous avez dû rédiger à la question 6.
Données : (d1) ⊥ (d) (d2) ⊥ (d)
Propriété : Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors ces deux droites sont parallèles.
Conclusion : (d1) // (d2)
Il est important de remarquer que la propriété fait le lien entre ce qu’il y a dans la partie « Données » et dans la partie « Conclusion »
Il faut impérativement vérifier que l’histoire est cohérente !!!
On veut montrer que des droites sont parallèles. La propriété doit se terminer par « alors les droites sont parallèles ».
Pour pouvoir s’appliquer, notre propriété n’est valable que si nous avons « deux droites perpendiculaires à une même troisième droite ». Il faut donc vérifier sur l’énoncé que nous avons bien deux droites ( (d1) et (d2) ) qui sont perpendiculaires à une même troisième droite (d).
A toi de jouer !
Monsieur FONCÉ, éminent professeur de mathématiques avait préparé le corrigé du prochain devoir sur un tableur… Mais, dans chaque colonne, toutes les cellules se sont mélangées !
Remets ces démonstrations dans l’ordre en les recopiant au propre sur ta copie !
Données Propriétés Conclusion
ABCD est un carré
Si deux segments sont symétriques par rapport à une
droite, alors ils sont de même longueur
B est un point de la médiatrice de [AC]
ABC est un triangle 𝐴𝐵𝐶/ = 30°
𝐴𝐶𝐵/ = 30°
Si un quadrilatère est un carré,
alors ses quatre angles sont droits ABC est un triangle isocèle en A
AB = CB Si un triangle a deux angles de même mesure, alors ce triangle
est isocèle AB = CD
[AB] et [CD] sont symétriques par rapport à la droite (d)
Si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales se coupent
perpendiculairement en leur milieu.
𝐴𝐵𝐶/ = 90°
ABCD est un losange de centre I
Si un point est à égale distance des extrémités d’un segment, alors ce point est sur la médiatrice
de ce segment.
𝐴𝐼𝐵. = 90°
A retenir : Même sans avoir d’énoncé, il est facile de voir si la démonstration « tient la route », c’est-à-dire si l’histoire est cohérente. TU DOIS TOUJOURS REJOUER A CE JEU UNE FOIS QUE TU AS RÉDIGÉ UNE
DÉMONSTRATION !!!
Activité 6 : Dernière anecdote…
Il y a des résultats mathématiques qui sont encore en attente de démonstration (et il y a des millions de dollars à la clé pour celle ou celui qui y arrivera). En voici un exemple à votre portée si vous avez appris votre leçon sur l’arithmétique :
Conjecture de Goldbach : « Tout nombre pair supérieur à 3 peut s’écrire comme la somme de deux nombres premiers »
Cela signifie que si l’on prend un nombre pair (autre que 2), on pourra trouver une égalité de la forme : nombre_pair = nombre_premier_1 + nombre_premier_2
1. Testons quelques valeurs…
a. Prenons par exemple 8. Compléter l’égalité suivante avec deux nombres premiers : … + … = 8 b. Testons avec 12 : Compléter l’égalité suivante avec deux nombres premiers : … + … = 12 c. Testons avec 24 : Compléter l’égalité suivante avec deux nombres premiers : … + … = 24 d. Testons avec 50 : Compléter l’égalité suivante avec deux nombres premiers : … + … = 50 2. Le résultat semble être toujours vrai… D’après toi, à partir de combien d’essai peut-on affirmer que le
résultat est vrai ?
Vous pouvez tester autant de nombres pairs que vous voudrez, il y a de trèèèèès grande chance que vous puissiez trouver deux nombres premiers qui conviennent.
D’ailleurs, tous les nombres inférieurs à 4 000 000 000 000 000 000 ont été testés informatiquement… MAIS, et c’est là le plus important, ce résultat n’est pas considéré comme vrai par les mathématiciens car AUCUNE DEMONSTRATION n’en a été donnée à ce jour.
Pourtant, Christian Goldbach a fait cette remarque dans une de ces lettres en… 1742 !
