Marées

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CHAMP DES MARÉES 1) Référentiel géocentrique.

Soit T le centre de masse de la Terre, origine du référentiel géocentrique R_G dont les axes sont parallèles à ceux du référentiel de CopernicR_C.

Le référentiel R_G est en translation elliptique par rapport à R_C donc n'est pas un référentiel galiléen.

Le mouvement de T résulte des forces de gravitation exercées par les astres du système solaire créant en un point M de la Terre un champ de gravitation g_AM.

Dans R_C, l'accélération de T est donnée par la relation fondamentale: M_TaT =

∭

Les distances des astres étant grandes par rapport au rayon terrestre, on montre qu'au second ordre près l 'intégrale est égale à M_Tg_AT. D'où aT = g_AT.

L'accélération relative d'un point matériel M de masse m dans R_Gest donnée par ma_r=mg_AMf_ef_autres. La force d 'inertie d 'entraînement f_e=−maT tient compte du caractère non−galiléen de R_G et le terme f_autres est la résultante de toutes les interactions subies par M, autres que l'interaction de gravitation due aux astres, l'attraction terrestre étant incluse dans ce terme.

On a donc ma_r=m





Le terme g_AM−g_ATs 'appelle champ des marées en M et son intensité est faible devant celle de g_AM. 2) Expression du champ des marées.

L'astre étudié de masse M_Aétant supposé à symétrie sphérique, le champ de gravitation créé à l'extérieur de l'astre est le même que celui d'une masse M_A ponctuelle située au centre A de l'astre.

g_AM = −G M_A

A M³AM ; g_AT = −G M_A A T³ AT

∆g= g_AM−g_AT =G M_A











^

^



AM=ATTM  AM²=d²r²−2 d r cosθ et 1 AM³= 1

d³





^

^

∆g= − GM_A

d³



^

^



Dans la base e_r,e_θ:TM=r e_r et AT= −d cosθe_rd sinθe_θ. ∆g= − GM_A

d³

 ^

^



^{ }

^

^

La composante orthoradiale ∆g_θ= − 3 2

G M_A

d³ r sin 2θa une intensité nulle enθ=0point Z: zénith, θ=180°point N : nadir,θ=90° (cercle d'illumination) et une intensité maximale en θ=45° et θ=135 °.

Agissant sur un fluide, la force de marée orthoradiale tend donc à accumuler le fluide aux points Z et N (marée haute) à partir des points situés sur un cercle perpendiculaire à ZN (marées basses sur le cercle d'illumination).

La composante radiale ∆g_r= −G M_A

d³ r1−3cos²θ a une intensité maximale en Z et N où elle est centrifuge alors que sur le cercle d'illumination elle est centripète.

Agissant sur un corps déformable, la force de marée radiale tend à étirer le corps dans la direction ZN et peut même provoquer sa dislocation (comète Shoemaker-Lévy en 1994, au voisinage de Jupiter).



G M_A

d³ r²1−3cos²θcste.

TA = d >> r N Z

M

T rθ

cercle d'illumination

A

2 3) Périodicité et amplitude des marées.

Sur Terre le champ des marées est dû principalement à la lune et au soleil, la contribution du soleil étant environ la moitié de celle de la lune.

Lune : M_L=7,35 10²² kg TL=384 000 km





T L³ =1,11 10⁻⁶ N kg⁻¹ Soleil: M_S=1,99 10³⁰ kg TS=150 10⁶km





T S³ =0,502 10⁻⁶N kg⁻¹ Dans R_G un point de la Terre met 12 heures environ pour faire un demi-tour, on observe donc deux marées par jour, la durée séparant deux marées hautes successives étant un peu plus grande que 12 h à cause du mouvement de la lune autour de la Terre.

La période sidérale de la lune est égale à T_L=27,3215 jours.

Soit ∆t la durée entre le passage d'un point M de la Terre au zénith de la lunepoint Z₁ et le passage suivant au nadir point N₂. Pendant la durée ∆t , exprimée en jours, la lune a tourné de l'angle α tel que ∆t= α

2πT_L.

Le point M doit tourner de l'angle πα pendant cette même durée.

Sa période sidérale valant T_T=86164 s≈0,997 jour , on a aussi ∆t=πα 2π T_T. D' où αT_L= παT_T ⇒ α=π T_T

T_L−T_T et ∆t=1 2

T_TT_L T_L−T_T ≈1

2

27,3×0,997

27,3−0,997 =0,517 j=12 h 25 min.

L'amplitude de la marée dépend des positions relatives de la lune et du soleil par rapport à la Terre.

Les champs des marées solaire et lunaire s'ajoutent lorsque les centres des trois astres sont alignés lors de la nouvelle lune et de la pleine lune (marées de vives eaux ou grandes marées).

La lune revenant dans la même position relative par rapport au soleil tous les 29,5 jours (période synodique), les grandes marées se produisent deux fois par mois environ.

Lors du premier ou du dernier quartier de la lune, les champs des marées solaire et lunaire sont orthogonaux et l'amplitude de la marée est plus faible (marées de mortes eaux).



PQ

NL PL

DQ

L₁ L₂ N₁

N₂

Z₂ Z₁ T

α

Soleil ^T