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CHAPITRES5 INTERROGATION ÉCRITE5 – DURÉE10MIN

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Chapitres 5 – Interrogation écrite 5 – Durée 10min

1. Soitz∈C. Donner la définition de|z|et son interprétation géométrique.

Réponse

On a :|z| = q

¡Re(z)¢2

+¡ Im(z)¢2

= p

z×z. Il s’agit de la distance du point d’affixezau point d’affixe 0 (origine du repère dans le plan complexe).

2. SoientAetBdes points d’affixes respectivesz_A etz_B. Donner l’affixe du vecteur−−→

ABet la distanceABen fonction de z_Aetz_B.

Réponse

L’affixe du vecteur−−→

ABestz_B−z_A. La distanceABest|z_B−z_A|.

3. SoitAetBdes points d’affixes respectivesz_A etz_B. Donner sans démonstration l’affixe du milieuIdu segment [AB].

Réponse

L’affixe deIest z_A+z_B

2 .

4. Dans le plan complexe, donner la figure géométrique représentée par l’équation|z−ω| Ér(_ω∈C^etr∈R+sont fixés).

Réponse

Il s’agit du disque fermé de centre le point d’affixeωet de rayonr.

5. Énoncer l’inégalité triangulaire ainsi que le cas d’égalité.

Réponse

Soit (z1,z2)∈C^2. ÏOn a :

¯

¯|z1| − |z2|¯

¯É |z1+z2| É |z1| + |z2|.

ÏOn a|z₁+z₂| = |z₁| + |z₂|si, et seulement si,z₂=0 ou il existeλ∈R+tel quez₁=λ.z₂.

6. Soitz∈C. Exprimer les parties réelle et imaginaire dezen fonction de zetz. Réponse

Re(z)=z+z

2 et Im(z)=z−z 2 i

7. Soitz∈C. Compléter les équivalences suivantes (on pourra faire intervenir des parties réelle et imaginaire, des conjugués, module, argument...) :

z∈R ⇐⇒ Im(z)=0 ⇐⇒ z=z ⇐⇒ z=0 ou arg(z)≡0[_π]

z∈iR ⇐⇒ Re(z)=0 ⇐⇒ z= −z ⇐⇒ z=0 ou arg(z)≡^π 2[_π]

G. BOUTARD 1 Lycée GAY-LUSSAC

INTERROGATION ÉCRITE5 – DURÉE10MIN CHAPITRES5

8. Soit_θ∈R. Donner la définition dee^iθ. Réponse

e^iθ=cos(θ)+i sin(θ)

9. Énoncer les formules d’Euler Réponse

Soitθ∈R^.

cos(θ)=e^iθ+e^−iθ

2 et sin(θ)=e^iθ−e^−iθ 2 i 10. Énoncer la formule de Moivre

Réponse

Soientθ∈R^etn∈Z^.

¡e^iθ¢n

=e^in×θ et ¡

cos(θ)+i sin(θ)¢n

=cos(n×θ)+i sin(n×θ).

11. Soitz∈C^?. Donner la définition d’un argument de z.

Réponse

Un argument dezest un réelθvérifiant

z= |z| ×e^iθ.

12. Caractériser l’égalité de deux nombres complexesz₁ etz₂ de deux manières différentes.

Réponse

En termes de parties réelles et imaginaires:

Deux nombres complexes sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes parties réelleetimaginaire.

En termes de modules et arguments:

Deux nombres complexes sont égaux si, et seulement si, ou bien ils sont tous les deux nuls, ou bien leurs modules sont égaux et leurs arguments sont égaux à 2πprès.

13. Soitz∈C. Donner la définition dee^z. Donner les partie réelles et imaginaires, le module et un argument dee^z. Réponse

On a :

e^z=e^Re(z)×e^iIm(z) On a :

Re(e^z)=e^Re(z)×cos(Im(z)), Im(e^z)=e^Re(z)×sin(Im(z)), ¯

¯e^z¯

¯=e^Re(z) et arg(e^z)≡Im(z)[2π].

14. Soitn∈N^?. Donner sous la forme d’une exponentiellee^iθles racinesn-ème de l’unité.

Réponse

Les racinesn-ième de l’unité sont :

e^i2k×πn aveck∈ ‚0,n−1ƒ.

PCSI 2021 – 2022 2 G. BOUTARD

CHAPITRES5 INTERROGATION ÉCRITE5 – DURÉE10MIN

15. Bonus. Déterminer un argument dez= −1−2 i.

Réponse On a :|z| =p

5.

Donc,z= |z| × µ

− 1 p5− 2

p5i

¶ .

Un argument dezest un réelθtel que cos(θ)= − 1

p5 et sin(θ)= − 2 p5. On a alorsθ≡Arccos

µ

− 1 p5

¶

[2π] ouθ≡ −Arccos µ

− 1 p5

¶

[2π]. Comme sin(θ)<0, on aθ≡ −Arccos µ

− 1 p5

¶ [2π].

Donc,−Arccos µ

− 1 p5

¶

est un argument dez.

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