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Représentation des données ^TP

v3.2

Lycée Jules Ferry - 82 Bd de la République - 06400 CANNES

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Table des matières

1 Conversion 3

1.1 Programme de conversion décimal vers binaire et hexadécimal . . . 3

1.2 Exploitation de l'information d'un codeur absolu . . . 3

2 Précision de la représentation des nombres 4 2.1 Représentation des entiers . . . 4

2.2 Représentation des réels : mantisse et exposant . . . 5

3 Erreurs de représentation 6 3.1 Première analyse . . . 6

3.2 Seconde analyse : erreur d'absorption . . . 7

3.3 Troisième analyse . . . 9

3.4 Quatrième analyse : erreur d'annulation . . . 10

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1 Conversion

1.1 Programme de conversion décimal vers binaire et hexadécimal Question 1

Ecrire un programme qui demande à l'utilisateur un nombre entier, et qui ache sa conversion en binaire et en hexadécimal.

Le programme doit acher les phrases :

• "La conversion de (valeur) en binaire est : (conversion)"

• "La conversion de (valeur) en hexadécimal est : (conversion)"

Outre les fonctions de saisie et d'achage que vous connaissez (input()etdisp()), vous utiliserez les fonctions de conversion dec2bin(valeur) etdec2he(valeur).

1.2 Exploitation de l'information d'un codeur absolu

Figure 1 Codeur absolu

Un codeur absolu est un capteur angulaire qui délivre une information binaire proportionnelle à l'angle du capteur.

La précision de ce codeur dépend du nombre de pistes, traduisant le nombre de bits codant l'angle, cet angle allant de 0° à 360°.

On s'intéresse ici à un codeur à 12 pistes, qui fournira donc une information angulaire theta sous la forme d'un nombre binaire à 12 bits.

Question 2

Quelle est la précision de ce codeur ?

Les 360° du codeur sont codés sur 12 bits. 12 bits codent 2¹²−1 positions. La précision est donc égale à 360

2¹²−1= 0.0879^◦.

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Ecrire un programme dans lequel l'utilisateur rentrera la valeur binaire (variable theta) fournie par le capteur, et qui lui fournira la valeur angulaire correspondante.

2 Précision de la représentation des nombres

2.1 Représentation des entiers On considère le nombre entier N=1534.

Question 4

Comment s'écrit ce nombre en binaire ?

>dec2bin(1534) ans = 10111111110

Question 5

Combien de bits sont nécessaires pour la représentation de ce nombre ? 11 bits

La fonction int16() permet de convertir un nombre en entier codé sur 16 bits.

Question 6

Quel est le résultat de la conversion en entier sur 16 bits du nombre 1534 ?

>int16(1534) ans = 1534

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La fonction int8()permet de convertir un nombre en entier codé sur 16 bits.

Question 7

Quel est le résultat de la conversion en entier sur 8 bits du nombre 1534 ?

>int8(1534) ans = -2

La fonction int8() ne conserve que les 8 premiers bits de la conversion, et le convertir en entier signé.

Question 8

Quel est le nombre b0inaire à 8 bits correspondant à la conversion du réel 1534 ? 11111110

On remarque que les 3 bits de poids fort ont été tronqués : (101) 11111110

On rappelle que int8()eectue une conversion en entier signé.

Question 9

Quel est le signe de ce nombre ? En déduire la valeur correspondante en base 10.

Le bit de poids le plus fort est égal à 1 : signe négatif Le complément +1 vaut00000001₂ + 1

=000000102 =210

>int8(1534) ans = -2

2.2 Représentation des réels : mantisse et exposant

Scilab représente les réels en virgule ottante avec un signe, une matisse et un exposant.

La fonction frexp ([réel]) fournit les valeurs de la mantisse et de l'exposant du réel.

Par exemple :

Lignes de commande

>[f,e]=frexp([10.32]) e = 4.

f = 0.645

Ainsi, Scilab code le réel 10,32 par f∗2^e= 0.645.2⁴.

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Quelle est la représentation (mantissem1et exposante1) du réel 3.583 ? (on utilisera la fonction format('v',15)pour forcer l'achage des décimales et éviter les arrondis).

> format('v',15)

>[m1,e1]=frexp(3.583) e1 = 2.

m1 = 0.89575

Question 11

Retrouver le résultat en eectuant l'opérationm1.2^e1. Que remarquez-vous ?

> m1*2^e1 ans = 3.583

3 Erreurs de représentation

3.1 Première analyse Mathématiquement, √

6 =√ 2.√

3. Nous allons chercher à voir comment Scilab eectue ces opéra- tions et les précisions associées.

Question 12

Calculer a=sqrt(6), b=sqrt(2) et c=sqrt(3).

Calculer a-b*c. Commenter ce résultat.

> a=sqrt(6) ;b=sqrt(2) ;c=sqrt(3) ;

> a-b*c

ans = -4.44089210D-16

L'erreur provient probablement du codage en double précision.

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Recongurer le format d'achage par défaut des nombres décimaux : format('v',10).

Question 13

Déterminer la mantissem6et l'exposant e6du codage de√ 6.

Déterminer la mantissem2et l'exposant e2du codage de√ 2. Déterminer la mantissem3et l'exposant e3du codage de√

3.

Nombre Mantisse Exposant

√6 0.6123724 2

√2 0.7071068 1

√

3 0.8660254 1

Question 14

Calculer alorsm6∗2ê6−(m3∗2ê3)∗(m2∗2ê2). Conclure.

>m6*2ê6-(m3*2ê3)*(m2*2ê2) ans = - 4.441D-16

Le problème provient donc bien du codage en double précision.

3.2 Seconde analyse : erreur d'absorption 3.2.1 Premier exemple

On pose X = 1.10³⁰ etY = 1.10¹⁰.

Sous Scilab, dénir ces constantes puis eectuer les opérations suivantes :

• S1=X+Y-X

• S2=X-X+Y

Lignes de commande

>X=1D30 ;Y=1D10 ;

>S1=X+Y-X

>S2=X-X+Y

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Qu'attendiez-vous comme résultat ? Qu'observez-vous ?

On attend dans les deux cas la valeur de Y comme résultat

>S1=X+Y-X >S2=X-X+Y

S1 = 0 S2 = 1.000D+10

Il s'agit là d'une erreur d'absorption de Y par X dans le premier calcul.

Question 16

Déterminez la mantisse et l'exposant de X, de Y et de X+Y Conclure sur le résultat de X+Y-X fourni par Scilab.

> [m,e]=frexp(X) e = 100.

m = 0.7888609

> [m,e]=frexp(Y) e = 34.

m = 0.5820766

> [m,e]=frexp(X+Y) e = 100.

m = 0.7888609 Lorsque X

Y <2⁻⁵³alors1 +X Y = 1

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3.2.2 Associativité

L'associativité des opérations élémentaires comme par exemple l'additivité : (x+y) +z=x+ (y+z)

n'est plus valide en mathématiques nies.

Question 17

On considère les trois nombres ci-dessous, avec 6 chires signicatifs : X=1.23456e-23 , Y=1.000000e13 , Z=-Y

Calculer X+(Y+Z), puis (X+Y)+Z. Que constatez-vous ? Quelle conclusion tirez-vous ?

>X+(Y+Z) ans =

1.235D-23 (X+Y)+Z ans = 0.

Il y a absorption de X par Y dans le deuxième calcul. Il est donc très important de faire at- tention à l'ordre des opérations.

3.3 Troisième analyse

Mathématiquement, on vérie bien évidemment (√

2)²−2 = 0. Exécuter les opérations suivantes sous Scilab :

Lignes de commande

>sqrt(2)

>ans^2

>ans-2

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Qu'observez-vous ?

>sqrt(2) ans = 1.4142136

>ans^2 ans = 2.

>ans-2

ans = 4.441D-16

L'erreur de précision de la racine se répercute dans l'élévation au carré :(√

2)²−26= 0 Notons qu'il s'agit de la même erreur qu'à la question 12 :4.41.10⁻¹⁶= 2.%eps.

3.4 Quatrième analyse : erreur d'annulation 3.4.1 Mise en évidence

On considère la fonction y= 1 1−√

1−x².

Dénir la fonction y =f(x) dans Scilab comme suit : Lignes de commande

>functiony=f(x)

> y=1/(1-sqrt(1-x^2))

> endfunction

Question 19

Pour quelle valeur de x le dénominateur de f(x) s'annule-t'il ? Calculer avec Scilab les valeurs de f(1),f(1.10⁻⁵) etf(1.10⁻⁸).

Calculer ensuite la valeur def(1.10⁻⁹). Pourquoi obtient-on ce résultat ? f(x) s'annule pour x=0, donc pour√

1−x² = 1.

Scilab fournitf(1) = 1,f(1e−5) = 2.000D+ 10,f(1e−8) = 9.007D+ 15.

Si x² < %eps, donc si |x| < p

%eps, alors le calcul numérique de √

1−x² fournira la valeur 1.

Ainsi, pour toute valeur x <

p%eps

2 Scilab va considérer le résultat√

1−x²= 1

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3.4.2 Correction de l'erreur

Il faut donc dénir une fonction équivalente àf(x)qui ne fasse plus intervenir le terme 1 1−√

1−x² Question 20

Multiplier le numérateur et le dénominateur def(x) par1 +√

1 +x², et en déduire une nouvelle expression def(x).

Programmer une nouvelle fonction f2 avec cette expression, et vérier le résultat de f2(1.10⁻⁹) et def2

1 2%eps

. f(x) = 1

1−√ 1−x²

1 +√ 1 +x² 1 +√

1 +x² = 1 +√ 1 +x²

1−(1−x²) = 1 +√ 1 +x² x²

> function y=f2(x)

> y=(1+sqrt(1-x^2))/x^2

> endfunction

f2(1e−9) = 2.000D+ 18 f2(0.5∗%eps) = 1.623D+ 32

3.4.3 Exemple de correction de l'erreur d'annulation

On cherche à estimer le nombreπ par l'algorithme de calcul par les polygônes inscrits. On considère un cercle de rayon r = 1, et on note A_n l'aire associée au polygône inscrit àn côté.

En notantαn= 2π

n ,An est égale à n fois l'aire du triangle ABC :

A_n = ncosα_n 2 sinα_n

2 = n

2(2 cosα_n 2 sinα_n

2 )

= n

2sinαn= n 2 sin2π

n

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Par ailleurs sinαn

2 =

r1−cosαn

2 =

s 1−p

1−sin²αn

2 .

Ainsi, en prenant n= 2k, on dénit une équation de récurrence qui permet de calculerπ : xk=A2k= 2^k

2 sk avecsk= sin2π 2^k =

r1−√

1−s_k−1

2 , etπ = lim

k→+∞A2k

Question 21

Programmer et exécuter l'algorithme ci-dessous :

s←1;n←4 (Initialisations)

Tantque s >1e−10 faire

s←sqrt((1−sqrt(1−s∗s))/2) (nouvelle valeur de sin(α/2)

n←2∗n (nouvelle valeur de n)

A←(n/2)∗s (nouvelle valeur de l'aire du polygone) Fin Tantque

Qu'observez-vous ? Comment peut-on expliquer ce résultat ?

L'algorithme converge initialement versπ, puis nalement délivre la valeur 0 ! !

Commme αn →0, le numérateur est de la forme1−√

1−² avec = sinαn petit : il y a eu d'erreur d'annulation.

Question 22

Pour remédier à ce problème, il faut reformuler les équations de façon à ne plus risquer les erreurs d'annulation.

Nous allons multiplier numérateur et dénominateur par(1 +p

1−sin²α_n) : sinα_n

2 = s

1−p

1−sin²α_n

2 =

s 1−(1−sin²α_n)

2(1 +p

1−sin²α_n) = sinα_n q

2(1 +p

1−sin²αn)

Question 23

Réécrire le programme de récurrence en prenant en compte la correction. Exécuter ce programme et conclure.

L'algorithme converge cette fois vers12k→3.1415927, soitπ

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1 Conversion

2 Précision de la représentation des nombres

3 Erreurs de représentation

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