Valider/Assurer un crite re ge ome trique

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Valider/Assurer un crite re ge ome trique

Cine matique - Chapitre 2

I - Le problème

Sur un véhicule « haut de gamme », le hayon arrière est motorisé par deux vérins électriques.

Cahier des charges

Afin de faciliter le chargement et le déchargement, le cahier des charges impose que la hauteur de l‘extrémité du hayon par rapport au sol suivant la verticale soit :

• de 0,7 𝑚 en position coffre fermé

• de 1,8 𝑚 en position coffre ouvert.

L’objectif est de déterminer la course du vérin pour assurer le cahier des charges en termes d’ouverture de coffre.

I.3 – La démarche

• Effectuer, ou partir, (d’)une modélisation cinématique.

• Paramétrer le modèle, si nécessaire, en fonction de l’objectif.

• Résoudre le problème.

II - Modélisation cinématique

II.1 – Réflexion avant modélisation

Nous avons vue au chapitre précédent comment réaliser une modélisation cinématique d’un système :

• Identification des groupes cinématiques ;

• Modélisation des liaisons entre les groupes ;

• Graphe des liaisons et schéma cinématique.

Lorsque le système est complexe, il convient d’adapter la modélisation au problème à résoudre.

II.2- Modèle du hayon

On nous donne le modèle cinématique du système. Il est constitué de 4 groupes cinématiques :

⓪ : Le châssis de la voiture

① : Le hayon en liaison pivot d’axe (𝐵, 𝑥⃗₀)

② : Le corps de vérin en liaison rotule de centre A avec le châssis et en liaison pivot glissant d’axe (𝐴, 𝑦⃗₂) avec la tige de vérin

③ : la tige de vérin en liaison rotule en C avec le hayon.

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III – Paramétrage du modèle

III.1 Cadre de la cinématique

III.1.1 – Modèle du solide indéformable

En mécanique générale, on suppose que la déformation des pièces influence de façon négligeable les positions et les mouvements du système. On utilise donc le modèle du solide indéformable.

Dans ce cadre,

•

La masse du solide est constante, c'est-à-dire indépendante du temps.

•

Les dimensions du solide sont indépendantes du temps, quelques soient les efforts extérieurs.

Conséquence : Si un solide est indéformable, alors la distance entre deux points A et B du solide est invariante dans le temps.

‖𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖ = 𝑐𝑡𝑒 Ce modèle ne permet pas d’étudier les déformations des solides.

III.1.2 - Solide - Repère

Au solide 𝑺, en mouvement par rapport au repère 𝑅₀, on peut lier un repère 𝑅, c'est-à-dire définir un repère fixe par rapport au solide 𝑺.

Alors tout point considéré comme fixe par rapport au repère 𝑅, sera considéré comme appartenant au solide 𝑺. Et étudier le mouvement de 𝑆 par rapport à 𝑅₀ revient à étudier le mouvement de 𝑅 par rapport à 𝑅₀. C’est l’équivalence Repère-Solide.

Être capable de paramétrer la position d’un solide 𝑺 par rapport à un repère 𝑹_𝟎 revient donc à être capable de paramétrer la position d’un repère 𝑹 par rapport à un repère 𝑹_𝟎.

Voir « outils mathématiques 1 » pour les paramétrages possibles.

Application à notre problème

Le critère du cahier des charges imposant une hauteur par rapport à la verticale, on choisit pour le repère lié au châssis de faire apparaitre cette verticale. On pose

𝑅₀(𝐵, 𝑥^⃗⃗⃗₀, 𝑦^⃗⃗⃗₀, 𝑧^⃗⃗⃗₀) repère lié au châssis.

Pour le hayon, on pose

𝑅₁(𝐵, 𝑥^⃗⃗⃗₁, 𝑦^⃗⃗⃗₁, 𝑧^⃗⃗⃗₀) repère lié au hayon. Avec 𝜃₁₀= (𝑥⃗₀, 𝑥⃗₁) = (𝑦⃗₀, 𝑦⃗₁)

𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑐. 𝑥⃗₁ 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑. 𝑥⃗₁ Pour le corps de vérin

𝑅₂(𝐴, 𝑥^⃗⃗⃗₂, 𝑦^⃗⃗⃗₂, 𝑧^⃗⃗⃗₀), repère lié au corps de vérin. Avec 𝜃₂₀ = (𝑥⃗₀, 𝑥⃗₂) = (𝑦⃗₀, 𝑦⃗₂)

𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎. 𝑥⃗₀ − 𝑏. 𝑦⃗₀ Non représenté ci-contre.

Pour la tige de vérin, on a une translation donc la base reste inchangée 𝑅₃(𝐶, 𝑥^⃗⃗⃗₂, 𝑦^⃗⃗⃗₂, 𝑧^⃗⃗⃗₀)

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P a g e 3 | 7 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝜆(𝑡). 𝑦⃗₂

Données numériques :

𝑎 = 0,32 𝑚 ; 𝑏 = 0,47 ; 𝑐 = 0,14 𝑚 ; 𝑑 = 1 𝑚

III – Résolution du problème

III.1 – Estimation … résolution graphique Objectif :

Evaluer approximativement la course du vérin pour assurer le cahier des charges.

Idée

• Sur un même solide, les distances sont constantes

• On a que des mouvements

o de rotations → arcs de cercles

o de translation → les points restent alignés Après on réfléchit !

Ici :

𝐷 est sur le cercle de centre 𝐵 de rayon 𝐵𝐷 car 𝐵 et 𝐷 appartiennent à la pièce 1.

Ce qui nous permet de trouver la position basse du point 𝐷 notée 𝐷_𝑏

La position haute doit être 1,1 𝑚 au-dessus de la position basse, ce qui permet de la trouver, notée 𝐷_ℎ. Le point 𝐶 est sur le cercle de centre 𝐵 et de rayon 𝐵𝐶 de plus, les points 𝐵,𝐶 et 𝐷 sont alignés. Ce qui permet de déterminer les positions basse 𝐶_𝑏 et haute 𝐶_ℎ de 𝐶.

La longueur mini du vérin correspond à 𝐴𝐶_𝑏 = 𝜆_{𝑚𝑖𝑛𝑖} La longueur maxi est 𝜆_𝑚𝑎𝑥 = 𝐴𝐶_ℎ

La course est

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P a g e 4 | 7 𝐶𝑜𝑢𝑟𝑠𝑒 = 𝜆_𝑚𝑎𝑥− 𝜆_𝑚𝑖𝑛

Graphiquement on trouve

𝐶𝑜𝑢𝑟𝑠𝑒 ≈ 130 𝑚𝑚 III.2 – Résolution analytique

Objectif 1

Déterminer la course du vérin pour assurer le cahier des charges.

Remarque et démarche

Ici, ce n’est pas si simple. La démarche est identique à la résolution graphique en la « traduisant » de manière mathématique.

Ainsi, on pose

• 𝐷_𝑏 et 𝐷_ℎ les positions basse et haute du point 𝐷

• 𝜃_𝑏 = −42° et 𝜃_ℎ les valeurs de 𝜃₁₀ dans ces positions respectives

• ℎ = 1,1 𝑚 la différence de hauteur définie par le cahier des charges.

On vous demande alors de

1. Déterminer l’expression de 𝜃_ℎ en fonctions de 𝜃_𝑏, ℎ et 𝑑.

2. Déterminer l’expression de 𝜆 en fonction de 𝜃₁₀. 3. En déduire l’expression de la course du vérin.

Préliminaires

Figures de changement de base Graphe des liaisons

Pour le premier point

Nous avons vu ça en TD, c’est de la géométrie. La difficulté est toujours de traduire le problème en termes d’équation mathématique. Ici, on peut poser.

𝐷_𝑏𝐷_ℎ

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • 𝑦⃗₀ = ℎ Un peu de Chasles pour faire apparaitre les vecteur connus

(𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐷_𝑏𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) • 𝑦⃗_ℎ ₀ = ℎ Or, de manière générale

𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • 𝑦⃗₀ = 𝑑. 𝑥⃗₁• 𝑦⃗₀ = 𝑑. sin(𝜃₁₀) Donc avec les notations 𝜃_𝑏 et 𝜃_ℎ, on en déduit

𝑑. sin 𝜃_ℎ− 𝑑. sin 𝜃_𝑏 = ℎ Finalement :

sin 𝜃_ℎ = ℎ

𝑑+ sin 𝜃_𝑏 Application numérique : 𝜽_𝒉 ≈ 𝟐𝟓. 𝟓°

Pour le deuxième point - IMPORTANT !!!

On doit relier 2 paramètres du système : 𝜆(𝑡) et 𝜃₁₀(𝑡)

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P a g e 5 | 7 M^ETHODE

La méthode est toujours la même. Il s’agit de faire ce que l’on appelle une fermeture de chaîne géométrique.

Cela consiste à effectuer une décomposition de Chasles sur un vecteur en passant par les points des liaisons de la chaîne.

À partir du graphe des liaisons, on est conduit à écrire :

𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗

Soit

𝑎. 𝑥⃗₀ − 𝑏. 𝑦⃗₀+ 𝜆(𝑡)𝑦⃗₂− 𝑐. 𝑥⃗₁ = 0⃗⃗

Méthode de réflexion

• On cherche λ(𝑡) : c’est l’inconnue recherchée en fonction de θ₁₀(𝑡).

• 𝜃₁₀(𝑡) est une donnée, elle se cache dans 𝑥⃗₁

• 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des constantes données.

• Dans 𝑥₂ se « cache » 𝜃₂₀ qui est un paramètre inconnu non recherché

Principe :

Eliminer le paramètre inconnu non recherché

Il y a deux méthodes assez équivalentes en termes de calculs.

Méthode 1 :

Pour éliminer un angle, l’idée est d’utiliser la relation "𝐜𝐨𝐬^𝟐+ 𝐬𝐢𝐧^𝟐 = 𝟏". Il faut donc faire apparaitre cos 𝜃₂₀ et sin 𝜃₂₀. Il suffit pour cela de projeter la relation sur la base (𝑥⃗₀, 𝑦⃗₀).

𝑎. 𝑥⃗₀− 𝑏. 𝑦⃗₀ + 𝜆(𝑡)(− sin 𝜃₂₀𝑥⃗₀+ cos 𝜃₂₀𝑦⃗₀) − 𝑐. (cos 𝜃₁₀𝑥⃗₀+ sin 𝜃₁₀𝑦⃗₀) = 0⃗⃗

(𝑎 − 𝜆(𝑡) sin 𝜃₂₀− 𝑐 cos 𝜃₁₀). 𝑥⃗₀+ (−𝑏 + 𝜆(𝑡) cos 𝜃₂₀− 𝑐. sin 𝜃₁₀)𝑦⃗₀ = 0⃗⃗ }

D’où le système

{ 𝑎 − 𝜆(𝑡) sin 𝜃₂₀− 𝑐 cos 𝜃₁₀ = 0

−𝑏 + 𝜆(𝑡) cos 𝜃₂₀− 𝑐. sin 𝜃₁₀ = 0 On isole le problème (ici 𝜃₂₀)

{𝜆(𝑡) sin 𝜃₂₀ = 𝑎 − 𝑐 cos 𝜃₁₀ 𝜆(𝑡) cos 𝜃₂₀ = 𝑏 + 𝑐. sin 𝜃₁₀ On élève au carré et on additionne

λ²(t) = [𝑎 − 𝑐 cos 𝜃₁₀]²+ [𝑏 + 𝑐. sin 𝜃₁₀]² λ²(t) = 𝑎²+ b²+ c²+ 2c(b. sin 𝜃₁₀− 𝑎. cos 𝜃₁₀) λ(t) = √𝑎²+ b²+ c²+ 2c(b. sin 𝜃₁₀− 𝑎. cos 𝜃₁₀) Méthode 2

On cherche 𝜆 mais pas 𝜃₂₀. Autrement dit, on cherche la norme du vecteur 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ indépendamment de sa direction.

Donc on calcul la norme.

‖𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖² = ‖𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖² 𝜆² = ‖𝑎. 𝑥⃗₀− 𝑏. 𝑦⃗₀+ 𝑐. 𝑥⃗₁‖² Rappel : ‖𝑢⃗⃗‖² = 𝑢⃗⃗ • 𝑢⃗⃗

𝜆² = 𝑎²(𝑥⃗⏟ ₀ • 𝑥⃗₀)

1

− 2𝑎𝑏 (𝑥⃗⏟ ₀• 𝑦⃗ ₀)

0

+ 2𝑐𝑎 (𝑥⃗⏟ ₀• 𝑥⃗₁)

cos 𝜃₁₀

+ 𝑏²(𝑦⃗⏟ ₀• 𝑦⃗ ₀)

1

− 2𝑏𝑐 (𝑦⃗⏟ ₀• 𝑥⃗₁)

sin 𝜃₁₀

+ 𝑐²(𝑥⃗⏟ ₁• 𝑥⃗₁)

1

Il serait bien d’y arriver sans ces

2 lignes

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P a g e 6 | 7 𝜆² = 𝑎²+ 𝑏² + 𝑐²+ 2𝑐(𝑎 cos 𝜃₁₀− 𝑏 sin 𝜃₁₀)

Pour le troisième point La course du vérin est définie par

𝐶_𝑣 = 𝜆(𝜃_ℎ) − 𝜆(𝜃_𝑏)

𝐶_𝑣 = √𝑎²+ b²+ c²+ 2c(b. sin 𝜃_ℎ− 𝑎. cos 𝜃_ℎ) − √𝑎²+ b²+ c² + 2c(b. sin 𝜃_𝑏− 𝑎. cos 𝜃_𝑏)

Application numérique

𝐶𝑜𝑢𝑟𝑠𝑒 ≈ 131,6 𝑚𝑚 Extension du problème géométrique

Supposons que l’on cherche maintenant à déterminer l’angle 𝜃₂₀ en fonction de l’angle 𝜃₁₀. Le point de départ est toujours le même, la fermeture géométrique.

𝑎. 𝑥⃗₀ − 𝑏. 𝑦⃗₀+ 𝜆(𝑡)𝑦⃗₂− 𝑐. 𝑥⃗₁ = 0⃗⃗

Méthode de réflexion

• On cherche 𝜃₂₀ : c’est l’inconnue recherchée en fonction de θ₁₀(𝑡).

• 𝜃₁₀(𝑡) est une donnée, elle se cache dans 𝑥⃗₁

• 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des constantes données.

• λ(𝑡) est l’inconnue non recherché

Principe :

Eliminer le paramètre inconnu non recherché

Méthode 1

On projette sur la base (𝑥⃗₀, 𝑦⃗₀) et on isole le problème ici 𝜆.

{𝜆(𝑡) sin 𝜃₂₀ = 𝑎 − 𝑐 cos 𝜃₁₀ 𝜆(𝑡) cos 𝜃₂₀ = 𝑏 + 𝑐. sin 𝜃₁₀

Pour éliminer 𝜆, il suffit alors de faire le rapport des deux équations et faire apparaitre tan 𝜃₂₀ tan(𝜃₂₀) =𝑎 − 𝑐 cos 𝜃₁₀

𝑏 + 𝑐. sin 𝜃₁₀ Méthode 2

Le problème est ici d’éliminer 𝛌 qui est une longueur. Comme cette distance est mesuré suivant 𝑦⃗₂, il suffit, pour l’éliminer de projeter sur un vecteur perpendiculaire soit ici 𝑥⃗₂.

𝑎. 𝑥⃗₀• 𝑥⃗₂ − 𝑏. 𝑦⃗₀• 𝑥⃗₂+ 𝜆(𝑡) 𝑦⃗⏟ ₂• 𝑥⃗₂

0

− 𝑐. 𝑥⃗₁• 𝑥⃗₂ = 0

𝑎. cos 𝜃₂₀− 𝑏. sin 𝜃₂₀− 𝑐. cos(𝜃₂₀− 𝜃₁₀) = 0 Avec les formules de trigo

𝑎. cos 𝜃₂₀− 𝑏. sin 𝜃₂₀− 𝑐. [cos(𝜃₂₀) cos(𝜃₁₀) + sin(𝜃₂₀) sin(𝜃₁₀)] = 0 On regroupe

(𝑎 − 𝑐. cos(𝜃₁₀)). cos 𝜃₂₀− (𝑏 + 𝑐. sin(𝜃₁₀)). sin 𝜃₂₀ = 0 D’où

tan(𝜃₂₀) =𝑎 − 𝑐 cos 𝜃₁₀ 𝑏 + 𝑐. sin 𝜃₁₀ Remarque :

La méthode 1 est plus simple ici car les deux angles sont paramétrés par rapport à (𝑥⃗₀, 𝑦⃗₀). Avec un autre paramétrage, la méthode 2 pourrait être plus rapide.

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IV - Connaissances et savoir-faire

Résolution graphique

Pas grand-chose à dire. La résolution graphique fait essentiellement appelle à votre « bon sens ».

Des pistes ? :

• La distance entre deux points d’un même solide est constante donc on peut tracer des arcs de cercle.

• Les translations rectilignes permettent de tracer des droites.

• L’angle entre deux directions d’un même solide reste contant.

Résolution analytique

La base : fermeture de chaîne géométrique.

La méthode : Identifier --- Isoler --- Eliminer

1 – On part du graphe des liaisons et des figures de changement de bases 2 - On écrit l’équation vectorielle… On passe par les points des liaisons.

3 - On réfléchit !!!!!

Premier principe de Monsieur GRILLET 😊

Dans un problème de mécanique, il existe 3 types de paramètres

• les paramètres connus ;

• les paramètres inconnus que l’on cherche ;

• les paramètres inconnus que l’on ne cherche pas.

Principe : On cherche à éliminer les paramètres inconnus non recherchés.

Idées

• Pour éliminer un angle, une idée est d’utiliser : 𝑐𝑜𝑠²+ 𝑠𝑖𝑛² = 1 (= élever un vecteur au carré).

• Pour éliminer une distance, on peut projeter sur un axe perpendiculaire à cette distance.

4 – On agit !!

On peut se rappeler que l’action s’effectue en 3 étapes : 1. On identifie … le paramètre à éliminer

2. On isole … passer dans le membre de gauche des équations le paramètre à éliminer 3. On élimine…