J
OURNAL DE
T
HÉORIE DES
N
OMBRES DE
B
ORDEAUX
S
YLVAIN
D
UQUESNE
Points rationnels et méthode de Chabauty elliptique
Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome
15, n
o1 (2003),
p. 99-113
<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_2003__15_1_99_0>
© Université Bordeaux 1, 2003, tous droits réservés.
L’accès aux archives de la revue « Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux » (http://jtnb.cedram.org/) implique l’accord avec les condi-tions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute uti-lisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit conte-nir la présente mention de copyright.
Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques
Points rationnels
et
méthode
de
Chabauty elliptique
par SYLVAIN
DUQUESNE
RÉSUMÉ. La méthode de
Chabauty elliptique
permet de calculer lespoints
rationnels sur une courbe définie sur un corps denom-bres
lorsque
le théorème deChabauty
nes’applique
pas, c’est àdire
lorsque
le rang de lajacobienne
estsupérieur
au genre de lacourbe. Nous exposons cette méthode et nous la
généralisons
dansde nouveaux cas en écrivant une version
explicite
du théorème depréparation
de Weierstrass en 2 variables. Enparticulier
nouscal-culons tous les
points
rationnels d’une courbe de genre 4 dont le rang de lajacobienne
vaut 4.ABSTRACT. The
elliptic
curveChabauty
method allows to com-pute rationalpoints
on curves defined over a number field whenthe rank of the Jacobian is greater than the genus of the curve.
We
explain
this method andgeneralize
it to some new cases. Inparticular,
we are able to compute rationalpoints
on a curve ofgenus 4 and rank 4.
Introduction
D’après
le Théorème deFaltings
[11],
le nombre depoints
rationnelssur une courbe définie sur un corps de nombre et de genre
supérieur
ouégal
à 2 est fini. La preuve de ce théorème n’étant pasexplicite,
le calculdes
points
rationnels est l’un desproblèmes
lesplus importants
concernantces courbes. Il est maintenant bien connu
qu’en
utilisant la méthode deChabauty ([4],
[5],
[12]),
il estpossible
de borner le nombre depoints
ra-tionnels
lorsque
le rang de lajacobienne
est strictement inférieur au genrede la courbe. Dans la
plupart
des cas, tous lespoints
rationnels de la courbepeuvent
en être déduits.Lorsque
le rang de lajacobienne
estplus grand
ou
égal
au genre de lacourbe,
il existeplusieurs
méthodes pour calculerles
points
rationnels( ~1~, [22],
[15]
...) .
L’une de ces méthodes(la
méthodede
Chabauty elliptique [14])
consiste à ramener leproblème
à la recherchede
points
rationnels d’une courbeelliptique
définie sur un corps denom-bres
ayant
une abscisse dansQ.
Nous allonsrappeler
cette méthodepuis
la
généraliser
dans de nouveaux cas. Nous calculerons enparticulier
lespoints
rationnels d’une courbe de genre 4 dont le rang de lajacobienne
vaut
également
4.1. IJa méthode de
Chabauty elliptique
Considérons une courbeelliptique
E définie parl’équation :
sur un corps de nombres
Q(a)
dedegré
d avecg3 #
0. Notre but est detrouver tous les
Il est en effet
possible,
comme nous le verrons dans leparagraphe
2,
de ramener le calcul despoints
rationnels de certaines courbes à ceproblème.
Rappelons,
toutd’abord,
que lechangement
de variablesz = - et w = -
permet
de définir la loi de groupe formelle sur E. Si[zi, wi]
et[Z2,
W2]
sont deuxpoints
de .~. La z-coordonnée de la somme de ces deuxpoints
peut
alors être écrite comme une série formelle en Zl et Z2 à coefficients dansZ [90, gl , 92, g3~ .
C’est cette sérieformelle,
notéeF(Zl,
z2 ), qui
estappelée
loi de groupe formelle. Desprécisions
sont données dans[17].
Nous définissonségalement
unlogarithme
et uneexponentielle
formels comme des sériesformelles à coefficients
qui
vérifient :La coordonnée w
peut
s’écrire comme une série formelle en z. Celaper-met
d’écrire,
d’unepart,
l’inverse de l’abscisse d’unpoint
P deE(Q(a))
comme une sérieformelle 0
de Z(go, gl, 92, 93~ [[z]]
et d’autrepart
l’abscissede la somme de P avec un
point
[x, y]
comme une sérieformelle 1)
deZ~0~1~2~3,~][M] :
Nous supposerons dans la suite que le rang de est non nul
(le
casdu rang nul est trivial à
traiter)
etqu’il
est inférieur à d. Cette conditionsur le rang est
analogue
à la condition sur le rang de lajacobienne
dansdite de
Chabauty elliptique.
Nous supposerons aussi connue la structuredu groupe de Mordell-Weil de la courbe E sur
Q(a) :
Les
principes généraux
pour ces calculs sontexposés
dans le livre de Silver-man[17]
et de nombreux chercheurs se sontpenchés
sur ceproblème;
lesarticles
[1], [7], [8],
[16]
et[19]
permettent
d’obtenirplus
de détails. Pour les calculspratiques
que nous avons eu besoin d’effectuer dans lasuite,
nous avons utilisé le programme de Simon[19]
qui
permet,
après
une descenteinfinie,
de connaître effectivement cette structure.Choisissons maintenant un nombre
premier impair
p. Nous noterons dansla suite par un ’ la réduction modulo p.
Supposons
que p satisfait auxconditions suivantes :
1. l’’ J 1. -", /
-2. L’extension est non ramifiée en p.
3.
jalp
= 1.4. Le corps résiduel de est
!Fp((5)).
5. La courbe E a bonne réduction en p.
6.
1, p O
~0,...,
3. aLa
première
condition est laplus
difficile à réaliser. Eneffet,
même si elle esttoujours
vérifiable endegré
2 ou3,
celan’est,
parexemple, plus
possible
pour lecorps Q
( i/~, V&).
Il estcependant possible
de se passerde cette condition comme
[15].
Les conditions2,
5 et 6 sont des conditions habituelles et peu restrictives.Enfin,
les conditions 3 et 4 sontimposées
par le fait que a
(ou
saréduction)
doit être ungénérateur
pour tous lescorps et anneaux que nous avons besoin de considérer.
La réduction E de E modulo p est une courbe
elliptique
sur1~~ (5)
puisque
p a été
supposé
de bonne réduction. Définissonsalors,
pour i
r},
m2 l’ordre
de Pi
dans(11i))
etQi =
E(Q(a))
de telle sorteque
chaque point Qi
est dans le noyau de la réduction modulo p. Noussuivons désormais la même
stratégie
que la méthode deChabauty
pour lescourbes de genre 2
exposée
dans[12].
Soit donc Ll l’ensemble fini :Ainsi,
toutpoint
P depeut
s’écrire sous la formeavec tI E Ll et nl, ... , nr E Z.
Rappelons
que la condition que nouscher-chons à
exprimer
est que l’abscisse d’un telpoint
P est dansQ.
Pournl, ... , nr à l’aide des outils de la loi de groupe formelle. En utilisant le
logarithme
etl’exponentielle
formels,
la z-coordonnée den1C21-~- ~ ~ -
peut
s’écrire comme une série formelle en nl, ... , nr; en eSët :La condition 6 et le fait que les
points Qi
soient dans le noyau de la réductionpermettent
de démontrer que les coefficients de cette série formelle sont dans et tendent vers 0quand
Ai
-t- - " +kT
tend vers l’infini.Si U est le
point
àl’infini,
leséquations (3)
et(5)
permettent
de définir la série formelle7~p~rx~E~nl, ... ,
nr]] :
Si U E U est un
point
différent dupoint
àl’infini,
leséquations (4)
et(5)
permettent
de définir la série formelle0u
E7Gp(a~ ~(~1, ... ,
1De
plus,
les coefficients deOu
tendent vers 0 dans Notons alors9g)
lacomposante
decxi
dansOu.
La condition sur la rationalité de l’abscisse dupoint
P se traduit par l’annulation de d ---1 séries formelles en(ni, ... , nr) :
Remarque :
La condition sur le rang de la courbeelliptique apparaît
ici clairement : cette méthode nous fournit d - 1équations
en r variables(nI, ... , nr)
et ilparait
donc naturel de supposerr
d - 1.Nous avons donc
exprimé
le fait que l’abscisse dupoint
P étaitdans Q
enterme d’annulation de séries formelles. Il nous reste maintenant à connaître les zéros de ces séries formelles. Dans le cas où l’annulation d’une seule
série formelle est
nécessaire,
c’est à dire dans la cas où le rang de la courbeelliptique
vaut1,
le théorème de Strassman(voir
parexemple [2])
permet
de borner le nombre de zéros d’une telle série formelle. Dans les
exemples
traités jusque
là dans lalittérature,
les courbeselliptiques
étaient de rang 0ou 1 et ce théorème suffisait pour conclure. Il existe aussi
quelques exemples
où le rang vaut 2 et des astuces
permettent
de conclure à l’aide du théorèmede Strassman
[1].
Dans le casgénéral, Flynn
et Wetherell[14]
suggèrent
d’utiliser un théorème depréparation
de Weierstrass enplusieurs
variablesafin de
pouvoir
conclure. Nous avonsdéveloppé
cette idée auparagraphe
3.Supposons
désormais connue une borne du nombre de solutions(ni, ... ,
nr)
ausystème
(6).
Ainsi,
pour un élément U donné dans l’ensemble finiU,
ilest
possible
de borner le nombre der-uplets (nl, ... , nr)
tels que lepoint
U + + ... + ait une abscisse dansQ.
Cettestratégie appliquée
à chacun des
points
de Llpermet
borner le nombre depoints
deayant
une abscisse dansQ.
Il ne resteplus
alorsqu’à espérer
que cette bornecorresponde
exactement au nombre de telspoints déjà
connus.L’inconvénient
majeur
de cette méthode estqu’elle
ne donnequ’une
bornesur le nombre de
points
cherchés. Engénéral,
la borne obtenue est assez fine etpermet
deconclure, cependant plusieurs
obstaclespeuvent
survenir.e La borne obtenue dans le théorème de Strassman sur le nombre de zéros
p-adiques
peut
ne pas êtreoptimale.
e Il
peut
exister un zérop-adique
à la série formellequi
necorresponde
pas à un
point
de la courbeelliptique.
Dans ce cas, la borne obtenuepar le théorème de Strassman est
optimale
mais elle nepermet
pasd’obtenir une borne
optimale
sur le nombre depoints
recherchés.e Enfin la borne du théorème de Strassman
peut
être exacte etcorre-spondre
à unpoint
recherché sur la courbeelliptique jusque
làinconnu,
parce
qu’il
est de hauteurtrop
grande
parexemple.
Il existe
cependant
des moyens de faire face à ces obstacles. Il est enparti-culier
possible
de choisir un autre nombrepremier
p, de recommencer toutela
procédure
etd’espérer
pouvoir
conclure avec ce nouveau choix.Cepen-dant,
lespoints Qi
seront d’autantplus
difficiles à calculer que le nombrepremier
p estgrand.
D’autrepart,
même si le théorème de Strassman ne donne pas une borneexacte,
il donne desrenseignements
locaux sur lespoints
recherchés. Celapeut
permettre
de trouverplus rapidement
unpoint
jusque
là inconnu. Celapeut
également
permettre
de conclure directementen revenant au
problème
initial et en y traduisant cesrenseignements
lo-caux.
Nous allons maintenant
rapidement
exposer divers moyenspermettant
deramener au
problème
deChabauty elliptique
unproblème
de calcul depoints
rationnels sur une courbe de rangsupérieur
ouégal
au genre.2.
Quelques
techniques
de revêtement des courbes de genre 2Le
principe
de telles méthodes esttoujours
le suivant : trouver dans unpremier
temps
une variété abélienne ,~4qui
s’envoie par uneisogénie
dansJ,
lajacobienne
de la courbe initiale C. Choisir ensuite convenablementun ensemble de
plongements
de la courbe dans sajacobienne.
Leursimages
réciproques
parl’isogénie
donne un ensemble de courbes sur la variété Adont les
points
rationnels recouvrent ceux de la courbe C. Autrementdit,
la connaissance de ces
points
rationnels entraîne la connaissance despoints
rationnels de C. Le calcul des
points
rationnels de cette collection de courbes estplus simple
que le calcul direct despoints
rationnels de C.2.1. Revêtement par
isogénies.
Nous allons tout d’abordprésenter
lapour les courbes
bielliptiques [14] .
Une courbebielliptique
est une courbede genre 2 donnée par une
équation
dutype
Dans les cas où le rang de la
jacobienne
d’une telle courbe estégal
à 0 ou1,
la méthode deChabauty
classique [12]
permet
de conclure. Nous supposonsdonc que ce rang est au moins
égal
à 2.Il existe alors des
applications
[X2,
Y~
et[X, Y] -+
[~,
X3 ~
de Cdans les courbes
elliptiques
Ea etEb
définies par :comme décrit dans
[22]; lorsque
.A.
désigne
leproduit
des courbeselliptiques
El et
Eb
etJ
désigne
lajacobienne
de la courbeC,
il existe desisogénies
~ : ,~4 ~ ~ et ~~ : ,7 -~ ,~L
dont lacomposition
est lamultiplication
par 2.L’application >
suivante :où
Li
est le corps est unhomomorphisme injectif d’après
la théoriestandard des groupes de Selmer.
Supposons
désormais que,grâce
à unedescente,
unsystème
dereprésentants
de,7(~)/~(A(~))
ait été déterminé : Soit alors[X, Y]
unpoint
quelconque
deC(Q).
Il existe nécessairement un i E{1, ... ,
tel que{~X,Y~,
=Di
dans,%(~)/~(A(~))
et doncJU( -1)
pour j
=1, 2, 3.
Autrementdit, pour j
=1, 2, 3,
X2 - ej
=fi (j)
(Di)
dansLi
/(L~ )2.
CommeG(sY2)
estégalement
uncarré
d’après (7),
il existe desappartenant
àLi
tels queEn
posant
= et x -X2 ,
nous obtenonspour
chaque
i troiscourbes
elliptiques
données par leséquations :
Cette collection de courbes
elliptiques
recouvreC(Q),
autrementdit,
laconnaissance de tous les
points
rationnels de ces courbesayant
une abscissetechnique
apermis
à Wetherell[22]
de résoudre l’un des raresproblèmes
de
Diophante
se ramenant au calcul despoints
rationnels sur une courbede genre
supérieur
ouégal
à 2 :Théorème 1
(Wetherell
[22]).
Soit C la courbe deDiophante définie
surQ
parl’équation :
- ~-2.2. Revêtement par la
multiplication
par 2. Cette méthode estbasée sur les mêmes
principes
que la méthodeprécédente.
Elle utiliseles idées de Bruin
[1]
et des variations deFlynn
et Wetherell[14], [15].
La
principale
différence avec la méthodeprécédente
est l’utilisation del’homomorphisme tL
lui-même ets’applique,
àpriori,
à une courbequel-conque.
Cette
technique
a été récemmentappliquée
parFlynn
et Wetherell[15]
pour résoudre
l’équation
de Serre :x4
+ ~4
= 17. Il est en effet démontrédans
[3]
qu’il
est pour cela suffisant de trouver tous lespoints
rationnels de la courbehyperelliptique
définiesur Q
parl’équation :
Cette
technique
de revêtementpermet
de ramener ceproblème
à trouverles
points
rationnels sur une courbeelliptique
définie surQ( v’2, 17) ayant
une abscisse dansQ.
Théorème 2
(Flynn-Wetherell
[15]).
Les seuls nombres rationnels xet y
= 17 sont lescouples (:f:1, :f:2)
et(~2, ~1).
Remarque :
Ces méthodes derevêtement,
sont toutes basées sur le mêmeprincipe.
De nouvelles méthodespeuvent
êtreimaginée,
en utilisant parexemple
les revêtements définis par lamultiplication
par 4.Cependant
elles n’auraient que peu d’intérêt sans
exemple
pour les illustrer.2.3. Utilisation des résultants. Cette dernière méthode est une
ap-proche plus classique
et ne nécessitant pas la connaissance des outilscom-plexes
desprécédentes.
Leprincipe
est le suivant : soit C une courbe définiesur Q
par uneéquation
dutype
où
F(x)
est sans facteurcarré,
Fi (X)
etF2 (X)
sont despolynômes
définissur une extension k de
Q, degré(F) >
6 etdegré(Fi)
= 3 ou 4. Dans cesconditions,
si[X, Y]
est unpoint
deC(Q),
et si le groupe des classes de kest
trivial,
il existe y,,y2 et a
des éléments de k tels queay2
= etay2
=F~ (X ) .
Il est évident que apeut
être choisi sans facteur carré. Deplus
a peut être choisi divisant le résultant despolynômes
etF2
(X)
de telle sorte que aappartienne
à un ensemble fini[1].
Quelques
astucespermettent
de réduire cet ensemble de valeurspossibles
pour a. Nous endéduisons alors un nombre fini de courbes
elliptiques
définies sur k par leséquations :
-Ces courbes doivent alors
posséder
unpoint
deayant
une abscissedans Q correspondant
à l’abscisse d’unpoint
rationnel sur la courbe C.Le
problème
qui
consiste à trouver despoints
rationnels deC(Q)
est ainsi ramené au calcul despoints
deayant
une abscissedans Q
pour une famille finie de courbeselliptiques
Ea.
C’est cettestratégie qui
apermis
àBruin
[1]
de résoudre leproblème
diophantien
suivant :Théorème 3
(Bruin
[1]).
Les seuls entiers x, y, z E Z tels que(x,
y,z)
=1,
xyz =1
0 etsatisfaisant l’équation x8
-I-y 3=
z2
sontOn
peut
également
utiliser cette méthode pour résoudre leproblème
dio-phantien
suivantThéorème 4. L’ensemble des
points
rationnels sur la courbehyperellip-tique définie
parl’équation
Cette courbe est une courbe
bielliptique.
Elle a été introduite parFlynn
etWetherell dans
[14]
avec unecinquantaine
d’autres courbes semi-aléatoiresafin de tester leur méthode pour trouver les
points
rationnels sur une courbebielliptique
que nous avons brièvementexposé
auparagraphe
2.1. Cettecourbe était la seule pour
laquelle Flynn
et Wetherell n’avaient pas réussi à conclure. Nous avons doncemployé
la méthode des résultants pour calculertous les
points
rationnels de cette courbe. Enfait,
on se heurte au memeproblème
queFlynn
etWetherell,
à savoirqu’il
estimpossible
de conclurequant
auproblème
deChabauty
elliptique auquel
on se ramène : la borneobtenue est
trop
grande. Cependant,
comme nous l’avonsexpliqué
à la finde la méthode de
Chabauty elliptique,
cette méthode donne suffisamment derenseignements
locaux pourpouvoir
prouver que le défaut dans la borne obtenue par la méthode deChabauty elliptique
neprovient
pas de la courbehyperelliptique
dedépart
et celapermet
de conclure la preuve du théorème.On trouvera les détails des calculs dans
[9].
3. Points rationnels sur les courbes
hyperelliptiques
et unthéorème de
préparation
de Weierstrassexplicite
Le théorème de Strassman
permet
d’appliquer
la méthode deChabauty
allons maintenant étudier le cas des courbes de rang
supérieur.
Nousillus-trerons cette méthode à l’aide de
l’exemple
suivant :Théorème 5. Soit G la courbe
hyperelliptique définie sur Q
parl’équation
Remarque :
La courbe C est une courbehyperelliptique
de genre 4. Lerang de sa
jacobienne,
calculégrâce
au programme magma de Stoll[20]
est4. Le théorème de
Chabauty
nes’applique
donc pas dans ce cas. Nousutilisons donc la méthode des résultants afin de nous ramener à la méthode
de
Chabauty elliptique.
Soit k le corps de nombresQ({3),
où/3
est uneracine du
polynôme
x3 + 2x + 1.
Lepolynôme
dedegré
9 définissant la courbe C se factorise sur ce corps de nombres. Il vaut avec :La méthode
exposée
auparagraphe
2.3permet
d’en déduire que si~.X, Y]
est un
point
rationnel sur la courbeC,
alors il existeYi
E k tel que~X,
YI]
soit un
point
rationnel,
ayant
une abscisse dansQ,
sur la courbeelliptique :
Ainsi,
la connaissance de tous lespoints
deE(k)
ayant
une abscisse dansQ
entraînera la connaissance de tous lespoints
rationnels sur la courbe C.Notre but est donc de résoudre le
problème
deChabauty elliptique
pour E.Le rang de cette courbe sur k est
2,
si bien que si nous suivons la méthode deChabauty elliptique,
nous devrons borner le nombre de solutionsp-adiques
d’unsystème
de deux séries formelles en deux variables. Pourcela,
nous avons besoin d’unegénéralisation
du théorème de Strassman pourles
systèmes
de séries formelles en deux variables. Cettegénéralisation
estdonnée par le théorème de
préparation
de Weierstrass.3.1. Le théorème de
préparation
de Weierstrass en 2 variables.Dans ce
paragraphe,
nousréécrivons,
dans le cas n =2,
le théorème depréparation
de Weierstrass en n variablesexposé
parSugatani
dans[21].
DéfinissonsZp
(ni, n2~
l’ensemble des séries formelles deZp[[n1,
n2l]
dont les coefficientsf(i,j)
tendent vers 0 dansZp lorsque
i+ j -
00. Cettecondition sur les coefficients
permet
de définir une norme surZp (ni, n2)
donnée par :
Nous pouvons, de la même
manière,
définirZp (n2)
et le munir d’une normeque nous noterons
Il.111.
Il devient alorspossible
de définirZp (n2) (ni)
com-me l’ensemble des séries formelles de
Zp (n2)
[[ni]]
dont la norme descoeffi-cients tende vers 0 dans
Zp (n2).
Nous pouvons alors identifierZp (rt2) (ni)
et
Zp
(ni, n2)
de telle sorte quen’importe
quel élément
f
deZp (ni, n2)
puisse s’exprimer
sous la formef
=Eî=o
fini,
avecfi
appartenant
àZp (n2)
etIl
- 0lorsque
i -3 00.Enfin, rappelons
quef
est uneunité de
Zp (n2)
si1 fo ip
= 1 et1 fj Ip
1 pour 0 et quef
est uneunité de
Zp (ni, n2)
si = 1 et 1 pour tout(i,j) 1=
(0, 0).
Pour en terminer avec les
notations,
f
EZp
(n2) (ni)
est ditgénéral
en ni d’ordre s si le coefficientsfs
est une unité deZp (n2)
et si tousles coefficients d’indice strictement
supérieur
à s sont de norme strictementinférieure à 1.
Nous pouvons alors énoncer le théorème
suivant, qui
est un casparticulier
du théorème 3.1 de
Sugatani
[21]
dans le cas où il y a deux variables : Théorème 6(Sugatani
[21]).
Soitf
une sérieformelle
deZp (nI, n2).
Supposons
quef
soitgénéral
en ni d’ordre s > 0. n existe alors desfonc-tiorcs
iniques
h, go, ... ,
gs-1 et 9squi satisfont
les conditions suivantes : e h est une unité de7lp (nl, ~2)
eth,o(n2)
= 1.· go,
.... gs- 1 sont des éléments de
Zp (n2)
et gs est une unité de(n2).
3.2. Une version
explicite
du théorème depréparation
deWeier-strass. Notre but est de borner le nombre de zéros
p-adiques
communs de deux séries formelles en deux variables. Pour cela nous avons besoin d’uneméthode
qui
permette
de calculer effectivement les fonctionsqui
apparais-sent dans le théorème 6. Par
effectivement,
nous entendons que si la série formellef
est donnée avec une certaineprécision,
les séries formelleshi
etgi doivent
pouvoir
être calculées avec la mêmeprécision.
Soient doncles séries formelles du théorème 6. Le terme en
ni
del’équation
f (ni,
n2)
=g(nl, n2)h(nl, n2)
permet
d’écrire pour tout n > 0 :avec les notations
ho (n2)
= 1 ethn(n2)
= 0 si n estnégatif.
tout i > 1.
Ainsi, puisque
fs(n2)
est inversible dansZp (n2),
l’équation (9)
prise
pour n = simplique
que
gs(n2)
est inversible dansÍlp (n2) .
Cesformules
permettent
d’énoncer laproposition
suivante(prouvée
dans[9]).
Proposition
1. Lesf onctions hi
peuvent
êtreexplicitement
calculées àpartir
desfonctions
go ,91,... et 9s par laformule
suivante :avec
le
coefficient
multinomial .D’autre
part,
étant donné queha
= 1 etque hn
= 0pour tous les indices
n
négatifs,
nous pouvons déduire del’équation (9)
queIl est alors
possible
de calculer les sériesformelles g2
par substitutionrécur-sive à
partir
de ces formules en utilisant laproposition
1.Cependant
cescal-culs sont très coûteux. C’est
pourquoi
nouspréférons
donner une méthodeplus
efficacequi
permet
de calculer lesfonctions gi
à la mêmeprécision
que celle donnée initialement pour les séries formelles
f i. Supposons
doncconnues les séries
formelles g2
ethi
modulo une certainepuissance
de p, parexemple
pk° .
Nousexpliquons
comment calculer ces séries modulo siles séries formelles
f i
sont connues modulop~°+~ .
e Nous calculons dans un
premier
temps
l’inversede gs
modulopâ.
. Nous calculons ensuite les séries formelles
hl, ... , hs
moduloCela est
possible
car les sériesformelles g@
sont connues modulopko
et les séries formelles
fi
sont connues modulo et divisibles parp de telle sorte que les
produits gifi
sont calculables moduloRemarquons
que les séries formellesfi
ne sont pas toutes divisibles parp, mais par définition de l’entier s, le nombre
premier
p divise la sérieformelle
fi
deZp
(n2)
pour tout i > s +1;
or les indicesind(n,
k,
s,i)
intervenant dans les
équations
(10)
sonttoujours supérieurs
à s + 1.D’autre
part,
la somme sur l~ des formules(10)
est finie moduloformelles
f i
tendent vers 0 dansZp (n2 ~
lorsque i
tend versl’infini,
ellessont toutes nulles modulo
pko+1 pour
suffisammentgrand.
.
_
Remarque :
Les formules de laproposition
1permettent
de calculerhn
modulopko+1,
mais nous n’en aurons besoin que pour n s.e Nous pouvons alors calculer les séries formelles go, 91, - .. , gs modulo
en utilisant les formules
(12)
pour i
=0,...,
s. Eneffet,
lesfonc-tions 9j
sont connues modulop ko
parhypothèse
etl’étape précédente
nous apermis
de calculer modulop ko+l
les fonctionshi
intervenantdans ces formules. En dehors de
ho,
toutes ces fonctionshi
sontdivis-ibles par p
(car h
est une unité deZp (ni, n2»
si bien que lesproduits
9jhi
sont calculables modulo3.2.1.
Application
à la méthode deChabauty
elliptique.
Nous savons doncmaintenant calculer les fonctions intervenant dans le théorème 6 à la
préci-sion désirée. Les séries
formelles
obtenues par la méthode deChabauty
elliptique,
notée etf(2)
sont des éléments deZp (ni, n2).
Nous pouvonsdonc
appliquer
le théorème 6 àf ~1~ .
La série formelleh(l)
obtenue par cethéorème est une unité de
Zp (ni , n2) ,
elle nepeut
donc jamais s’annuler,
si bien que la condition
f (1)
(ni, n2)
= 0 setransforme, grâce
à la troisièmecondition du théorème 6 en :
Ainsi,
la condition d’annulation d’une série formelle est transformée encondition d’annulation d’un
polynôme
dedegré s
à coefficients dansZp (n2) .
Celasignifie
enparticulier,
que pour r~2fixé,
il y a auplus s
valeurs de ni telles quef (1)
(ni,
n2)
puisse
être nulle. Enappliquant
le mêmeprincipe
àj(2),
nous obtenons unsystème
de deuxpolynômes
deZp (n2)
[ni]
dont nouscherchons les zéros communs. Il est alors naturel de calculer le résultant de
ces deux
polynômes.
Ce résultant est une série formelle deZp (n2 ) .
Il suffitalors
d’appliquer
le théorème de Strassman à cette nouvelle série formellepour déduire une borne sur le nombre de ses zéros.
Supposons
désormaisque les valeurs que doit
prendre
n~ sontdéjà
connues et que leur nombrecorrespond
à la borne obtenue(ce
qui
est une condition nécessaire au succèsde ce
type
deméthode).
0 En substituant ces valeurs dans l’une des deuxéquations
0,
nous obtenons une série formelle deZp (ni)
à
laquelle
nousappliquons
une nouvelle fois le théorème de Strassman.Ainsi,
pourchaque
valeur de n~, nous obtenons une borne sur le nombrede valeurs que
peut
prendre
nI. Il reste alors àespérer
une fois deplus
queces bornes
correspondent
effectivement aux solutionsdéjà
connues. Nousavons
développé
un programmemaple
permettant
de mettre enpratique
cette méthode. Ce programme est
disponible
parftp
àAfin de
pouvoir
appliquer
cette méthode à la courbeelliptique E,
nousallons maintenant calculer les séries formelles en
question
en suivant laméthode de
Chabauty elliptique exposée
auparagraphe
1.3.3. La méthode de
Chabauty elliptique
pour E. Dans cepara-graphe,
nous suivons la méthode deChabauty elliptique développée
dans leparagraphe
1 et dans[14].
Nous devons d’abord calculer la structure du groupe de Mordell-Weil de E définie sur k =Q(,6)
par
l’équation (8).
Cettecourbe est sans torsion et le programme de Simon
[19]
nousindique qu’elle
est de rang 2 et que
G1
=[0, 1]
etGZ
=~l,1--
,82]
sont desgénérateurs
deE(k)~2E(k).
Une descente infinie[9]
permet
de montrer queG1
etG2
sont effectivement desgénérateurs
deE(k).
Dans ce cas, 3 satisfait les six conditions duparagraphe
1. Lepoint G1,
réduction deG1 modulo 3,
estN N
d’ordre 11 sur la courbe
elliptique
E. Demême,
l’ordre deG2
sur E est33. Afin de réduire ces
ordres,
posonsG3
=Gi - 3G2.
G2
etG3
formentune nouvelle base pour
E(k)
et l’ordre deG3
vaut 1. Définissons :~ ml = 1 et rrL2 = 33 les ordres de
G2
etG3
modulo3,
~
Qi
=G3
etQ2
=33G~
lesplus petits multiples
desgénérateurs qui
appartiennent
au noyau de la réduction modulo3,
de telle sorte que tout
point
P deE(k)
s’écrive sous la formeavec U
appartenant
à l’ensemble fini U et ni et n2appartenant
à Z. Pour chacun des éléments U deU,
nous devons chercher les valeurs de ni et n2, pourqu’un
telpoint P
ait son abscisse dansQ.
Avanttout,
remarquonsqu’il
estpossible
de réduire l’ensemble U : commeQI
etQ2
sont dans lenoyau de la réduction modulo
3,
U doit avoir son abscisse dansF3.
Lesseuls éléments de U dont la réduction modulo 3 a son abscisse dans
F3
sontoo,
±G2, iti3G2
et+14G2.
D’autrepart,
comme nous avons choisi ni etn2 dans
Z,
il ne sera pas nécessaire de faire les calculspour -U
s’ils ontdéjà
été fait pour U. Nous devons finalement déterminer tous lespoints
deE(k)
ayant
une abscissedans Q
etqui
peuvent
être écrits sous la formeU
+n1Q1
+n2Q2
avec ni, n2 dans Z et U ={oo, ~2,3~2,14~2}.
Pour
chaque
Ll’,
nous définissons une série formelle de23[#] (ni, n2)
correspondant
soit à l’abscisse dupoint
U +nlql
+n2Q2
soit à l’inversede cette abscisse si U est le
point
à l’infini. Dans cas, nous obtenons parLes
composantes
en#
et0’
de sont des séries formelles de7~3 (ni, n2),
notées
8~)
et8~~~ ,
qui
doivent s’annuler si lepoint
oo +nioi
+n2Q2
a uneabscisse dans
Q,
d’où lesystème :
Nous savons
déjà
que(o, 0)
est un zéro commun à ces deux séries formelles.Le théorème de
préparation
de Weierstrass et le programmemaple
quenous avons
développé
nous ontpermis
de démontrer que c’étaitl’unique
zéro commun dans
Z3
(et
donc dansZ).
Cela prouve que le seulpoint
deE(~(~3) )
de la forme oo + ni~1
-I~n2 Q2
etayant
une abscissedans Q
est lepoint
à l’infini lui même. Pourplus
de détails sur cescalculs,
voir[9].
Nous démontrons de manière
analogue
que les seulspoints
de de la formeU +n1Q1
+ n2Q2
pour UE Ll’
etayant
une abscissedans Q
sont ceuxdéjà
connus. Cette méthodepermet
donc de montrer que les seulspoints
surayant
une abscissedans Q
sont lespoints
oo,[1,
~ ( 1 --
(82)]
et[0, ±1].
Il s’ensuit que les seules abscissespossibles
pour unpoint
rationnel sur la courbe C sontl’infini,
0 et1,
cequi
achève la preuve du théorème 5.4. Conclusion et
perspectives
La méthode de
Chabauty elliptique
a ainsipermis
de résoudre denom-breuses
équations
pourlesquelles
la méthode deChabauty
usuelle neper-mettait pas de conclure. De
plus,
le théorème depréparation
de Weierstrass en deux variables nous apermis
degénéraliser
la méthode deChabauty
el-liptique
au cas où la courbeelliptique
considérée était de rang 2 sur uncorps de nombres de
degré supérieur
à 3. Celapermet
de résoudre denouvelles
équations
et procure un outilsupplémentaire
pour la recherchedes
points
rationnels sur les courbes de genresupérieur
à 2. Le théorèmede
préparation
de Weierstrass estégalement
valable en n variables. Laméthode que nous avons
exposée
est donc certainement très facilementgénéralisable
au cas des courbeselliptiques
de rang inférieur à n définies sur des corps de nombres dedegré supérieur
à n + 1. Nous ne connaissonscependant
pasd’exemple
où une telle méthode serait nécessaire.D’autre
part,
cette méthode nous ouvre de nouvellesperspectives.
Eneffet,
la méthode deChabauty, développée
parFlynn [12],
pour les courbes degenre 2 et dont le rang de la
jacobienne
vaut 1 aboutit à la recherchedes zéros
p-adiques
d’une série formelle en une variable. Le théorèmede
préparation
de Weierstrass en deux variables et la méthode décriteprécédemment
permettent
de borner le nombre de zérosp-adiques
com-muns de deux séries formelles en deux variables. Il est fort
probable
que cesconsidérations
permettent
depouvoir
conclure à une éventuelle méthode depour les courbes de genre 2.
Cependant, l’arithmétique
des courbes degenre 3 est encore
trop
succincte pourenvisager
une telle méthode.Bibliographie
[1] N. BRUIN, On Generalised Fermat Equations. PhD Dissertation, Leiden, 1999.
[2] J. W. S. CASSELS, Local Fields. London Math. Soc. Student Text, Vol. 3, Cambridge
Uni-versity Press, 1986.
[3] J. W. S. CASSELS, E. V. FLYNN, Prolegomena to a middlebrow Arithmetic of Curves of
Genus 2. LMS Lecture Note Series, Vol. 230, Cambridge University Press, 1996.
[4] C. CHABAUTY, Sur les points rationnels des variétés algébriques dont l’irrégularité est
supérieure à la dimension. C. R. Acad. Sci. Paris 212, (1941). 1022-1024 [5] R. F. COLEMAN, Effective Chabauty. Duke Math. J. 52 (1985), 765-780. [6] J. E. CREMONA, mwrank, disponible sur
http://www.maths.nott.ac.uk/personal/jec/ftp/progs.
[7] J. E. CREMONA, P. SERF, Computing the rank of elliptic curves over real quadratic number
fields of class number 1. Math. Comp. 68 (1999), 1187-1200.
[8] Z. DJABRI, E. F. SCHAEFER, N. P. SMART, Computing the p-Selmer group of an elliptic curve. Trans. Amer. Math. Soc. 352 (2000), 5583-5597.
[9] S. DUQUESNE, Calculs effectifs des points entiers et rationnels sur les courbes. Thèse de
l’université Bordeaux I, 2001, disponible sur http://www.math.u-bordeaux.fr/~duquesne.
[10] S. DUQUESNE, Rational Points on Hyperelliptic Curves and an Explicit Weierstrass
Prepa-ration Theorem. Manuscripta Math. 108 (2002), 191-204.
[11] G. FALTINGS, Endlichtkeitssästze für abelsche Varietäten ûber Zahlenkörpen. Invent. Math. 73 (1983), 349-366.
[12] E. V. FLYNN, A flexible method for applying Chabauty’s Theorem. Compositio Math. 105 (1997), 79-94.
[13] E. V. FLYNN, On Q-Derived Polynomials. Proc. Edinb. Math. Soc. 44:1 (2001), 103-110. [14] E. V. FLYNN, J. L. WETHERELL, Finding rational points on bielliptic genus 2 curves.
Manuscripta Math. 100 (1999), 519-533.
[15] E. V. FLYNN, J. L. WETHERELL, Covering Collections and a Challenge Problem of Serre.
Acta Arith. 98 (2001), 197-205.
[16] S. SIKSEK, Infinite descent on elliptic curves. Rocky Mountain J. Math. 25 (1995), 1501-1538.
[17] J. H. SILVERMAN, The arithmetic of Elliptic Curves. Graduate Texts in Math., Vol. 106,
Springer-Verlag, 1986.
[18] J. H. SILVERMAN, Computing heights on elliptic curves. Math. Comp. 51 (1988), 339-358. [19] D. SIMON, Computing the rank of elliptic curves over number fields. LMS J. Comput. Math.
5 (2002), 7-17 (electronic).
[20] M. STOLL, Implementing 2-descent for Jacobians of hyperelliptic curves. Acta Arith. 98 (2001), 245-277.
[21] T. SUGATANI, Rings of convergent power series and Weierstrass preparatian theorem.
Nagoya Math. J. 81 (1981), 73-78.
[22] J. L. WETHERELL, Bounding the Number of Rational Points on Certain Curves of High
Rank. PhD dissertation, University of California at Berkeley, 1997.
Sylvain DUQUESNE Laboratoire A2X Université Bordeaux 1 351 Cours de la Libération 33405 Talence Cedex France
