LE DOMAINE DE L’OPTIQUE

(1)

PACES

LE DOMAINE DE L’OPTIQUE

UE3 : Organisation des appareils et des systèmes : bases physiques des méthodes d’exploration

Pr. D. MARIANO-GOULART

• Nature et propriétés de la lumière: dualité ondes-particules

• Lois de propagation, diffraction de la lumière

BO n°45 du 3/12/2009 p. 43

Prête au vrai maintenant une oreille attentive, Nette de tout souci, aiguise ton esprit,

Et mes dons, apprêtés avec un soin fidèle, Garde d’en faire fi avant d’y rien comprendre, Car je vais t’exposer les hautes lois du ciel

Et des dieux, dévoiler d’où procèdent les choses,

Lucrèce, De la nature des choses, Chant 1, vers 50-55 Traduction d’Olivier Sers, Belles lettres, Paris, 2012.

http://scinti.edu.umontpellier.fr/enseignements/cours/

(2)

OBJECTIFS PEDAGOGIQUES

• Maîtriser les concepts physiques liés :

• aux ondes électromagnétiques,

• à la mécanique ondulatoire.

• Pour être capable

• de fonder la chimie sur un modèle d’atome

• d’évaluer les intérêts et risques des rayonnements en santé :

• Physiologie de la vision et de l’audition,

• Techniques diagnostiques : spectrométries et imagerie

• Thérapeutiques : irradiations et lasers.

Pré-requis : programme de math & physique des classes scientifiques des lycées.

Ce cours est lui-même un prérequis pour les cours de PACES de chimie, pour ceux sur les

rayonnements X, g et particulaires et pour ceux de biophysique sensorielle et d’imagerie en L2-L3

(3)

PACES

PLAN DU COURS (I)

ASPECT ONDULATOIRE DE LA LUMIERE

1. ONDE PROGRESSIVE

2. ONDE ELECTROMAGNETIQUE

3. LOIS DE PROPAGATION DE LA LUMIERE

ASPECT CORPUSCULAIRE DE LA LUMIERE

ATOME DANS LE MODELE STANDARD

ONDES OEM PROPAGATION DUALITE ONDE CORPUSCULE ATOME

(4)

ONDE PROGRESSIVE: DEFINITION

Source d’énergie

modification locale de position, pression, température, champ électrique, magnétique,…

Propagation à la vitesse c (m/s)

Propagation d’une perturbation des caractéristiques physiques du milieu

x

Exemple : propagation d’une modification périodique de la position verticale d’une corde

T 

Source c

d’énergie

corde rigide tendue de masse linéique m

(5)

PACES

ONDE PROGRESSIVE: DEFINITION

Source d’énergie

modification locale de position, pression, température, champ électrique, magnétique,…

Propagation à la vitesse c (m/s)

Propagation d’une perturbation des caractéristiques physiques du milieu

x

Exemple : propagation d’une modification périodique de la position verticale d’une corde

T 

Source c

d’énergie

corde rigide tendue de masse linéique m

(6)

PACES

x,2t x,t

Source d’énergie (HP)

x,3t

Son = Onde progressive

scalaire de vibration longitudinale (de surpression)

c = d/t x,4t

ONDE PROGRESSIVE: EXEMPLES

x,0 d

retard t = d/c

(7)

PACES

ONDE PROGRESSIVE: EXEMPLES

x,2t

x, t =T/4

x,3t

x,4t =T x,5t

champ

électromagnétique

=

Onde progressive vectorielle transversale

f f T

. 2 avec

2 4

1 4





 t 

=

x,0



π.f.t



E



π.^t ^T



E

E ₀ sin 2 ₀sin 2



 = =

d

c = d/t

retard t = d/c

(8)

ONDE PROGRESSIVE: MODELISATION

) x

0 ,

( t x =

g g ( t , x )

c

0 ) , ( t x ) g

0 , (t g

) 0 , (

) ,

( c

t x g x

t

g = 

c

x

__t

c

t

x

) 0 , ( t

g ^g ( t , 0 )

t t

x

) 0 , ( )

,

( t x g t

c

g  x =

(9)

PACES

ONDE PROGRESSIVE SINUSOIDALE

? x

) ,

( t x = g

c

  ^t

A g

t

g ( , 0 ) = ( 0 , 0 )  sin  .

 

 



 



 

  



= c

t x A

x g

x t

g ( , ) ( 0 , ) sin  .

grandeur physique avant la perturbation

perturbation retardée de x/c Définitions :  (rad.s

^-1

) = pulsation propre = 2..f = 2. /T

f (Hertz = Hz = s

^-1

) : fréquence T (s) : période (temporelle)

(10)

PACES

) , ( ) .

, (

) , ( ) .

, (

2 2

2

2 2

x t t g

x t g

x t c g

x x t g





 =





 

 



 

 =



 ⁽ ^, ⁾ ¹ ⁽

₂

^, ⁾

2 2

t x t g c

x x t g



= 



Equation de d’Alembert caractéristique d’une onde progressive, permet de calculer c à partir d’une modélisation de l’onde

La dérivée partielle d’une fonction g(t,x) suivant la variable x est la dérivée de g par rapport à x

calculée en supposant constante l’autre variable t.

La dérivée partielle seconde est notée :

x x t g



 ( , )

2

2 ( , )

x x t g



Jean Le Rond d’Alembert 1717-1783

)]

( cos[

. et

)]

( cos[

. )]

( sin[

) ,

( c

t x t A

g c

t x c A

x g c

t x A

x t

g = 



 



 





 =

 



=     

EQUATION DE D’ALEMBERT

(11)

PACES

-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

1 11 21 31 41 51 61 71 81

H 0-1

H…

1,6) (t sin . 3 , 1 1

g(t)=  

) 1 , 3 t 0,4.sin(3.

1,6) (t sin . 3 , 1 1

g(t)=    

1,6) t 0,3.sin(5.

) 1 , 3 t 0,4.sin(3.

1,6) (t sin . 3 , 1 1

g(t)=      

t) 0,2.sin(7.

1,6) t 0,3.sin(5.

) 1 , 3 t 0,4.sin(3.

1,6) (t sin . 3 , 1 1

g(t)=       

DECOMPOSITION EN OPS

T = 2 = 1/f  = 1

(12)

DECOMPOSITION EN OPS

1,6) - .cos(7.t 2

, 0 t) 0,3.cos(5.

,6) 1 t 0,4.cos(3.

(t) cos . 3 , 1 1

g(t)=     

t) 0,2.sin(7.

1,6) t 0,3.sin(5.

) 1 , 3 t 0,4.sin(3.

1,6) (t sin . 3 , 1 1

g(t)=       

  _



^

=



= 

  



=



=

1 0

1

0 cos ( ) sin ( ) 2

g(t)

n

n n

n

n n t A A n t

A

A     

 

 ) cos sin( 2

:

rappel  =

SPECTRE ou TF

(13)

PACES

SERIE DE FOURIER : CAS GENERAL

 



^

=



=

1

0

cos ( )

g(t)

n

n t

A

A  

n n n

a tg b

A a b

a A



=



=



sauf ₀ 2⁰

2

 

  



=

T n

dt t n t

T g b

dt t n t

T g a

0 0

. sin

).

2 (

. cos

).

2 (



 Pour toute fonction g(t) intégrable de période T=2/:

Les coefficients A

_n

et 

_n

se calculent suivant

(ces formules ne sont pas à apprendre par cœur):

avec

Les composantes de cette somme sont les harmoniques de fréquence f =/(2)

Onde portant une fréquence unique: sinusoïdale = pure = monochromatique = radiation Onde caractérisée par une somme d’harmoniques : onde complexe = polychromatique

J FOURIER 1768-1830

(14)

PACES

SPECTRE D’UNE ONDE COMPLEXE

 



^

=



=

1

0

cos ( )

g(t)

n

n t

A

A  

harmonique n de fréquence f

_n

f

_n

=n./2 =n.f amplitude de

l’harmonique

0 1 3 5 … 100 f

_n

A

0

A

1

A

3

A

5

A

100

f

_max

f

A

f

Spectre discret Spectre continu

(15)

PACES

CARACTERISTIQUES D’UNE RADIATION

• Célérité c,

dans ce cas, propagation dans la direction x positifs

• Amplitude = A (même unité que la grandeur g)

• Pulsation propre :  en rad/s

• Fréquence f en Hertz (Hz = s

^-1

) :  =2f

 ou f déterminent la nature de l’onde et ses modes d’interaction avec l’environnement…

 

 



 



 

  

= c

t x A

x t

g ( , ) . sin 

(16)

• Périodes

– Par rapport au temps : T = 1/f = 2/ en s

• Pour x fixé, g(t,x) = g(t+T,x)

– Par rapport à l’espace : longueur d’onde

 l=cT=c/f= 2 c /

 l est la distance parcourue par l’onde en T secondes.

x λ) g(t, c.T)

x g(t, x)

g(t, fixé, pour t

sin . . sin

. sin

.



=



=



 



 



 



 



 =



 



 



 



  

 =



 



 



 

 

c x T t c

c A T x t c A

t x

A   

 

 



 



 

  

= c

t x A

x t

g ( , ) . sin 

CARACTERISTIQUES D’UNE RADIATION

l

T ONDES OEM PROPAGATION DUALITE ONDE CORPUSCULE ATOME

(17)

PACES

• Phase : f = x/c = 2fx/c = 2x/l

• Surfaces d’onde : surfaces connexes contenant l’ensemble des points de même phase

S

S’

S’ S

Onde plane Onde sphérique

CARACTERISTIQUES D’UNE RADIATION

 ^ ^f 

  = 



 



 



 

  

= A t

c t x A

x t

g ( , ) . sin . sin

(18)

Vecteur d’onde :

– perpendiculaire aux surfaces d’ondes – de norme k = /c = f/x

k



S

k



k



k



S

k

 k



CARACTERISTIQUES D’UNE RADIATION

 ^t  ^A  ^t ^kx 

c A t x

A x

t

g =  = 

 

 

 

 

  

= . sin . sin . sin

) ,

(   f 

Onde plane Onde sphérique

(19)

PACES

PRINCIPE DE HUYGENS-FRESNEL

Principe de Huygens-Fresnel :

chaque point d’une surface d’onde agit comme une source ponctuelle émettant en phase

P

S S’

k



Propagation d’une onde plane Propagation d’une onde sphérique l

P

(20)

ONDE SPHERIQUE PURE

Une source ponctuelle émettant de façon isotrope produit une onde sphérique

(dans un milieu homogène).

Localement et loin de la source, la surface d’onde peut être approchée par un plan P : on parle alors d’approximation en onde plane

S

P

d

P

c d f = 

(21)

PACES

ONDE SPHERIQUE PURE

S=4d²

d

P

Une source ponctuelle émettant de façon isotrope produit une onde sphérique.

A une distance d de la source, la puissance émise P se répartit uniformément sur la

surface d’une sphère de rayon d :

La puissance surfacique reçue à la distance d varie donc comme 1/d²

2

1 ) 4

( d

Wm P

I ⁼ 



P

(22)

A distance d d’une source ponctuelle isotrope :

Doubler la d diminue I d’un facteur 4

Radioprotection LOI EN 1/d²

S

d

P

2

1 ) 4

( d

Wm P

I ⁼ 



P

(23)

PACES

ONDES COHERENTES

• Deux ondes de l différentes ou dont la phase dépend du temps ne peuvent pas superposer leurs extrema de façon stable

• Pour ces sources incohérentes, seules les intensités s’ajoutent

• Exemple : lampe à incandescence

• Définition d’une onde cohérente :

• Même longueur d’onde et déphasage constant dans le temps

• Particularité : Peuvent s’additionner algébriquement

(donc conduire à une onde somme d’intensité inférieure, égale ou inférieure aux ondes avant addition)

 

t de ts indépendan ,

sin . )

, (

sin . )

, (

2 1

2 2

1 1

f f

f



f





=



=

kx t

A x

t g

kx t

A x

t

g

(24)

OBJECTIFS DU POINT D’ÉTAPE 1

• Savoir définir : onde progressive, onde pure, onde complexe, harmoniques, spectres et

ondes cohérentes.

• Savoir manipuler les caractéristiques d’une onde : , f, T, l, f, S

_onde

,

• Savoir modéliser une onde pure :

• g(t,x) = A.sin[2.f(t-x/c)]

• Savoir manipuler ce modèle

• Savoir utiliser le principe d’Huygens-Fresnel

• Savoir exploiter la loi en 1/d² à des fins de radioprotection

k



(25)

PACES

RAPPELS MATHÉMATIQUES

• PRODUIT SCALAIRE

Propriété: si , alors est la longueur de la projection de sur la direction de

  û ^ ^, ^v ^ ^ û ^ ^. ^v ^ ⁼ û ^ ^. ^v ^ ^.cos( û ^ ^,

^

^v ^ ⁾

1 v  =

v . u   u 

v 

v  u 

) , (



v u 

0 1

u  . v 

(26)

RAPPELS MATHÉMATIQUES

• PRODUIT SCALAIRE

Propriété: si , alors est la longueur de la projection de sur la direction de

• PRODUIT VECTORIEL

  û ^ ^, ^v ^ ^ û ^ ^. ^v ^ ⁼ û ^ ^. ^v ^ ^.cos( û ^ ^,

^

^v ^ ⁾

1 v  =

v . u   u 

v 

v  u 

) , (



v u 

0 1

u  . v 

 

direct )

v u

, v , u (

) v , u .sin(

v . u v

u

) v , u PLAN(

v u

v , u





=









 x

z y

v 

u  v

u  



(27)

PACES

Champs statiques =

créés par des distributions de charges ou de courants constants dans le temps = permanents.

• Charge ponctuelle permanente

Permittivité

RAPPELS ELECTRO ET MAGNETOSTATIQUE

E

 

-q’ q

E q F



= .

E



F

 r

2

1 4π

(r) q'

E ⁼ 



1 12

0

= . 8 , 85 . 10

^

.

^

= 

_r

 

_r

F m



(28)

PACES

Exemples de champs statiques

(créés par des distributions de charges ou de courants électriques constants dans le temps)

• Charge ponctuelle permanente

• Circuit de courant permanent

Permittivité ¹² ¹

0

= . 8 , 85 . 10

^

.

^

= 

_r

 

_r

F m



-q’ q

E q F



= .

E



F

 r

2

1 4π

(r) q'

E ⁼ 



B



v  q

r

r I 2π (r) μ

B  =

B v

q.

F

 

 = 

B

 

E

 

Perméabilité

m = m

_r

m

₀

= m

_r

. 12 , 57 . 10

^⁷

H . m

^¹

I

RAPPELS ELECTRO ET MAGNETOSTATIQUE

(29)

PACES

Exemples de champs statiques

(créés par des distributions de charges ou de courants électriques constants dans le temps)

• Charge ponctuelle permanente

• Circuit de courant permanent

Permittivité ¹² ¹

0

= . 8 , 85 . 10

^

.

^

= 

_r

 

_r

F m



-q’ q

E q F



= .

E



F

 r

2

1 4π

(r) q'

E ⁼ 



B



v  q

r

r I 2π (r) μ

B  =

I

B v

q.

F

 

 = 

a

α 2r sin

(r) μ.I

B = ³

B B 

 

E

 

Perméabilité

m = m

_r

m

₀

= m

_r

. 12 , 57 . 10

^⁷

H . m

^¹

RAPPELS ELECTRO ET MAGNETOSTATIQUE

(30)

PACES

LIEN ELECTRICITE / MAGNETISME

(Romagnosi 1802, Ørsted 1820)

V



R -e

R’

Dans R fixe , champ

déplacement de charges dans un champ magnétique

sans champ électrique

Dans R’ mobile, champ

charges statiques , donc pas de force magnétique :

B V

' E donc



 =  B



B V

e.

F



 =  

F



) ' B ' v ' E ( - ' F

) B v

E ( -

F    

 







=





= e e

) 0 ' v (

 

= )

V v

(

 

=

' E e.

' F



 = 

) 0 E

(  

= ) B , E (  

)

'

B

,

'

E

(  

(31)

PACES

DENSITES DE CHARGES ET DE COURANTS

Soient n particules par unité de volume, de charge q et de vitesse v . On définit :

• la densité de charge r = n.q en C.m

^-3

• la densité de courant j = n.q.v = r.v en A.m

^-2

q

v 

n par m³

Le principe de conservation de la charge donne un lien entre ces deux densités :

t ρ x

e j j.

j

_x



 

 =

 

= 



(32)

PACES

COUPLAGE ELECTROMAGNETIQUE

• Si les densités de charges r et de

courants j ne dépendent pas du temps, alors E et B sont permanents et

indépendants l’un de l’autre.

• Si les densités de charges r et de courants j varient au cours du temps,

les champs électriques et magnétiques sont couplés: E variable  B variable

 Equations de Maxwell: synthèse empirique puis conséquence

théorique de la relativité restreinte.

JC Maxwell 1831-1897 ONDES OEM PROPAGATION DUALITE ONDE CORPUSCULE ATOME

(33)

PACES

LES EQUATIONS DE MAXWELL

• Charges électriques  champ électrique

• Pas de « charge » magnétique

• Couplage électro-magnétique

= 0



 



 



z B y

B x

B

_x _y _z



= r



 



 



z E y

E x

E

x y _z

Nb : Ces équations de Maxwell seront rappelées dans les énoncés du concours au besoin.

Un champ électromagnétique est caractérisé par un couple de vecteurs satisfaisants:

B



Bx,By,Bz

 

et E Ex,Ey,Ez







































= 























 





 





z y x

y x

z x

z y

j j j μ E

E E εμ t

y B x

B

x B z

B

z B y

B

et , B B B t y

E x

E

x E z

E

z E y

E

z y x

y x

z x

z y



















 

=























 









Variation de dans le temps B



E

 Variation de dans le temps  ou courant permanent

B E 



(34)

• Soit une onde électrique

• 1° relation de couplage de Maxwell :

) sin

, 0 , 0 ( )

,

(

₀





 





 



 

 

=

c

n

t x E

x t

E ^ 

LES EQUATIONS DE MAXWELL DANS LE VIDE



















 

=



















 



 

 



 



z y x

y x

z x

z y

B B B t y

E x

E

x E z

E

z E y

E

t B x

et E 0 B B

B B B t 0

x E 0

z y z

x z

y x z



= 



= 

=



















 

=















 



APPLICATION :

x

  ^t ^x

E ,

 z y

u c c 

_n



=

seul B_y est non nul

(35)

PACES

Maxwell  ^B

_x

^{= B}

_z

^{= 0 et}

) sin

, 0 , 0 ( ) ,

( ₀ 



 











 

=

cn

t x E

x t

E^



LES EQUATIONS DE MAXWELL DANS LE VIDE

 

 





 

 



 



=



 

 





 

 



 



 =

= 



n n

y

n n

y z

c t x c E

B

c t x c E

x E t

B



 1 sin

cos 1 .

0

) 0 , sin

, 0 ( ) ,

(

₀





 





 



 

 



=

c

n

t x B

x t

B ^ 

₀

1

₀

c E B

n

=

avec

Généralisation : ^u ^E

c B 1

n

 

 = 

x

  ^t ^x

E ,

 z y

  ^t ^x

B ,



u c c 

_n



=

(36)

CELERITE DE LA LUMIERE

0 0

0

0 sin[ ( ] sin[ ( )] . εμ. .E

c E c

c t x t E

c εμ t x c

E x

t εμ E x

B

n n

n

y z     = 



 







 









 



 



= 



 



 



 



= 



Dans notre cas particulier

] 0 ), (

sin[

, 0 ( ) , (

)]

( sin[

, 0 , 0 ( ) , (

0 0

n n

n

c t x c

x E t B

c t x E

x t E



=



=





c

_n

= 1 εμ

4° équation de Maxwell (en l’absence de courant):

t εμ E x

B t E

εμ

x j B

j j μ E

E E εμ t

y B x

B

x B z

B

z B y

B

y z

y z z

y x

z y x

y x

z x

z y



= 



 



















= 



















 



































= 



















 



 

 



 



0 0 0

0

(37)

PACES

ONDE ELECTRO-MAGNETIQUE

c

n

B

E   



 B E



 et

. F/m 4

10

H/m 10

. 4

2 7 0

0 7 0

0

c

r r

 



 m

m m m

=



é Permitivit

té Perméabili

OP vectorielle transversale

1

=

= _r _r

cn

n c  m

E c u

B

n

 

 = 1 

n c c c

r r r

r

n = = = =

m

 m



m ₀ ₀

1 1

• • en phase, même f

• B=E/c

_n

• • indice de réfraction :

1 8 0

0 2,998.10 ms

1 = ^

=  m c

(38)

POLARISATION

Si la direction de (donc de ) est :

– fixe : polarisation rectiligne

– tourne à vitesse angulaire constante

• en décrivant un cercle : polarisation circulaire

• en décrivant une ellipse: polarisation elliptique

E



  ^t

E

 ^E ^   ^t ^E ^   ^t

c 

B



c  c 

  

rectiligne elliptique circulaire

  ^t

B

 ^B ^   ^t

  ^t

B



(39)

PACES

10²⁰ 10¹⁷ 10¹⁶ 10¹⁴ 10¹¹ 10⁸ 10⁶ 10⁵

CLASSIFICATION SIMPLIFIEE

l

f (Hz)

1 pm 1 nm 10 nm 400-800 nm 1mm 1 m 100 m 1km

R. cosmique U.V visible IR micro hertzien

X, g ondes TV, radio

radar téléphone Wifi IRM

(40)

PACES

EXERCICE D’APPLICATION



PACES 2011: Dans un milieu de propagation homogène, on considère une onde électromagnétique plane caractérisée par le champ électrique (E_x,E_y,E_z) = (0, 0, 100.sin[628.(t-0,5.10^-8.y)])

dans le repère orthonormé direct (O,x,y,z).

A. Le champ électromagnétique se déplace le long de la direction y.

B. Le champ électromagnétique est une radiation de fréquence 100 Hz.

C. Le champ électrique est polarisé rectilignement suivant la direction y.

D. Les composantes en y et z du champ magnétique sont nulles à tout instant.

E. L'indice de réfraction du milieu de propagation est 1,5.

Connaissance Réflexion

Les deux

x y

z

c E

Hz 100 2

628=  =

= f f







B

)]

.(

sin[

) ,

( ₀

n

z c

t y E

y t

E =





Non, suivant z )] .(

sin[

) , ( ).

/ 1

( ₀

n x

n c

t y B

y t B E

u c

B^ = ^  ^  =  

5 , 10 1

. 2

10 . n 3

10 . 2

100 . 2 10

. 2 10 628 . 5 , 0 . 2 628

8 8 8

8

8 = =  = = =

=

= ^

n n

n c

c c

f c





(41)

PACES

LOIS DE PROPAGATION DE LA LUMIERE

y

  ^t

E

_i



x z

  ^t

B

_i



k

i



miroir plan conducteur

 ^E

r

  ^t ^, ^B

r

⁽ ^t ⁾ 



k r



 

0 (t) B

0 t

E 

 

=

= ONDES OEM PROPAGATION DUALITE ONDE CORPUSCULE ATOME

e

^-

(42)

PACES

• Conséquence des équations de Maxwell

• Conséquence du principe de Fermat

– Principe de moindre action pour les ondes

– Entre deux points de l’espace, le vecteur d’onde suit la trajectoire la plus rapide

^1.

REFLEXION ET REFRACTION

Ces phénomènes peuvent être abordés de deux façons

équivalentes. La première correspond à une approche « optique physique », la seconde à une approche « optique géométrique ».

1

(43)

PACES

HUYGENS  PRINCIPE DE MOINDRE ACTION

S

S’

PMA: Le rayon lumineux réel choisit la trajectoire C_m parcourue en un temps t_m minimum.

Mais comment ce rayon la trouve-t-il parmi

tous les chemins C_i de phase f_i = .x_i /c = 2.t_i/T= 2.x_i/l possibles ? Huygens-Fresnel 

C_i, f_i

Si l =c.T << x_i , ou si T << t_i , f_ichange très vite de C_i à C_i+1:

les amplitudes des ondes se superposent et se détruisent mutuellement, …



 ⁼ _^ ^ _^ ⁼ _^ ^ _^



 



 



 

 

=

i chemins i

chemins i

chemins

2 . sin .

. sin

.  ⁱ   ⁱ A t  ^xlⁱ

T t t

c A t x A

A

S

S’

(44)

PACES

HUYGENS  PRINCIPE DE MOINDRE ACTION

S

S’

C_i, f_i

S

S’

Si l =c.T << x_i , ou si T << t_i , f_ichange très vite de C_i à C_i+1:

les contributions se détruisent mutuellement, sauf si f_i, t_i ou x_i sont des extrema (minima).

t_i ,x_i

t_m

f_istationnaire S

S’

PMA: Le rayon lumineux réel choisit la trajectoire C_m parcourue en un temps t_m minimum.

Mais comment ce rayon la trouve-t-il parmi

tous les chemins C_i de phase f_i = .x_i /c = 2.t_i/T= 2.x_i/l possibles ? Huygens-Fresnel 



 ⁼ _^ ^ _^ ⁼ _^ ^ _^



 



 



 

 

=

i chemins i

chemins i

chemins

2 . sin .

. sin

.  ⁱ   ⁱ A t  ^xlⁱ

T t t

c A t x A

A

(45)

PACES

• Principe de Fermat : La lumière suit la trajectoire qui minimise le temps de parcours t

_n

entre deux points A et B dans un milieu d’indice de réfraction n :

• Chemin optique L entre deux points d’un milieu d’indice n

• L(AB) est la distance que parcourrait la lumière dans le vide dans le temps nécessaire à relier A à B dans un milieu

d’indice n:

CHEMIN OPTIQUE

) , ( .

) . ,

( dist A B n dist A B

c t c

c c

B A t dist

n n

n

=  = =

A

^u^ ^L⁽^A^ ^B⁾

B

où .

. )

, ( .

) (

AB u AB

AB u n B

A dist n B

A

L  = =   =

c L c

B A dist n n

c

B A dist c

B A t dist

n

= = = . ( , ) =

/

) , ( )

,

(

(46)

VARIATION DE CHEMIN OPTIQUE

A

^u^ ^L⁽^A^ ^B⁾

B

dB

 

. .

. . '

. . .

. '

. . '

dB u

n dL

dB u

n L

L

dB u

n AB

u n L

dB AB

u n AB

u n L



=



=



=



=

dL

.

. u d B n

dL 

=

Si B subit un déplacement dB, L varie de :

u sur B d de

projection



B’

Supposons un petit déplacement de B en B’ et calculons la petite variation de chemin optique (on néglige la modification de )u

L’=L+dL

(47)

PACES

LOIS DE SNELL -DESCARTES

Quelles sont les directions du rayon réfléchi et du rayon transmis par rapport

au rayon incident ?

n 

n

₁

n

₂

P

i

René Descartes 1596-1650

LE DOMAINE DE L’OPTIQUE