1. Circuit en mouvement dans un champ magnetique constant dans le temps

Chapitre 6

Induction electromagnetique

1. Circuit en mouvement dans un champ magnetique constant dans le temps

.

-

Un circuit 't,; se deplace avec une vitesse v, dans un champ magnetique

-

^{B . Les charges mobiles} q, animees d'une vitesse

-

v q, sont soumises

a

une force :

- -

^f

⁼

^{q V I\}

- -

^B

⁼

^{q ( V <!}

⁺ -

^{V q) I\}

-

^B

On peut considerer que la force agissant sur ^« champ electromoteur » Ern

-

tel que ^. cette charge est due

a

un

- ^{- -}

=

(ve

+

vq) /\ B,

-

Calculons la circulation du champ electrornoteur E₁₁₁ le long du circuit ferm6·

e.g. La circulation le long de !'element de longueur dl est

or

---

Em ·

di= (v.,

+

^v,,) I\

B ·

dl

--- ^{- -}

= (

^{v,, B , d /)}

car

v q JI d I

-

-_{-v-- = -}dM

e dt

- - d-►--

,ct---

Em · d l

= - (

d M, B , d l)

= - - (

B , d M, d l)

dt dt

d -

x

= - dt (B · d S)

= - -

d (d<tic) .dt

car

- -

. car d²S est la _surface balayee par d l lors du de placement d M.

La force eleciromotrice d'induction e est par definition la circulation dU;

champ efoctromoteur le long du circuit~ :

I

e=1 r~ E

^m

·dl=l-;AB·dl= :r~ ;: ^---

^del>c dt d<Pc d<t>

I

e = - - - = - -

. dt dt

: 325,

ji

d

;.,I

·., '•I

.,

1'

.r

'!

I .

I I

(

!

I

!

.. ':<!:~;

·, ,·:'

:~/!!, ~i:l::¢' {;;:f ::. ' •.·

t;ztli.Circuit · fixe dans un champ magnctique variable

•."/Ill':~·· .. ,,

.·/.:>,~,.;,:dans le temps ,_,,.

;:,;tic:·.· . ·· . . .. . .

. On\~bserve'egalement la production d'une fotce ele,clrQ1T\Q.t,rice. d'mci,qc.~.•

· :,tib~

clans 1~ cas de

la

v~riati~n d'un champ m;gnetiquc, le circuTt~ etant

··:~t+, ,, ' . . ' '

Les· consfatations expe.rimentales permettent de generaliser le resultat . precedent :

· Lorsqu'un circuit ferme est traverse _{, . I} par un flux magnetique variable, ll est

· le siege d'une force eiectromotrice d',induction : d<I>

e

= - -

dt

Remarque : Le circuit ({; etant oriente, une force electromotrice positive creera un courant induit dans le sens positif, une f.e.m. negative ere era un courant dans le sens negatif.

Ces resultats se retrouvent

a

^!'aide de la loi de Len.z : « Le sens du courant induit,es_t tel quc: parses effets, il s'oppose

a

la variation du flux (j:) qui fui a donne naissance » •

. Consequence : quantite d' electricite induite

Si R est la resistance du circuit, l'intensite i du courant induit est

.l. e 1 d<ti i = - = - - -

R R dt .

. La quantite d'electricite induite entre deux instants t₁ et t₂ est :

·-

.

. elle ne depend pas de la vitesse de variation du flux:.

3. Auto-inductance

, 03.1 · Flux d'auto-induction, f.e.m d'auto-induction

Considerons un

circuit'€ parcouru par un

courant

variable i et non soumis

a

un champ magnetique exterieur. Ce courant i cree en chaque point un

-

champ magnetique B proportioanel

a

i, done un flux d'induction

a

^travers

le circuit, lui~meme proportionnel

a

^{i. Le} « flux d'auto-induction » peut . s'ecrire :

I

^{$=Li \}

L : constante ne dependant que des caracteristiques geametriques du cir- cuit, est l' auto-inductance du circuit.

326

Unite: }'unite S.I. d'auto-inductance est le ·henry (H).

Remarque : L est toujours positive car le signe du flux est aussi celui du courant.

La variation de l'intensite i, provcique une variation du flux d'auto-induc- tion, done une force electromotrice d'auto-induction.

1,=-~=-L~I

Exemple de calcul d' auto-inductance : cas du solenoi'de

Pour un solenoide (considere comme infiniment long) de section S, ·de longueur l, comportant N spires,

done le flux

a

travers les N spires est µ. N²S

<P

=

NBS

= -

^{- -0 i}

done

NZ

L=µ,

₀

-,s

l

3.2 Etablissement et rupture du courant dans un circuit inductif.

Considerons le circuit ci-contre comportant une bobine de resistanc~ RL et d'auto-inductance L Soit R, la resistance totale du circuit. Lors de la fermeture de finterrupteur K, la Joi d'Ohm s'ecrit

E-e=Ri _E = R

i

+ L dt

di

di R E

- + - i = -

dt L

\c

equation differentielle ayant pour solution la somme d'une solution par- . 1·}. . E d l l . , ' l d di

+

R · 0 · ucu 1cre 11

=

R et e · a so ution genera e e dt L 1

=

so1t

- - I R

i₂

=

A e L done

0=-1-A E R

'

.

or pour t

=

0 i

=

0

~9rs

de l'ouverture di . L-+Ri=O

dt. ·· soit

- - r R

i.=13e

L

or pour t

=

⁰ io

= -

^E

R ^done:

w

^{R e}

(calcul 'approximatif, car dans Ia realite, !ors de l'ouverture de l'interrupteur K, se prodµit une etince.Ue, la resistance Rest modifiee et une capacite apparait.)

3.3 Oscillations libres d'un circuit R, L, C

Etablisso·ns l'ex:pression de l'intensite.lors de la fermeture du circuit ci-con- tre comportant un generateur de f.e.m. E, une bobine d'auto-inductance L, un condensateur de capacite C. R designe la resistance totale du cir-

, ' . cuit. ·

La loi d'Ohm s'ecrit :

avec

..

.

E - (- L di)

= R

i +

g_

: dt . C

d²q dq q

L df

+

R

dt +

C

=

E

· ,q ⁺

^{2 A}

q

⁺

w5

^q

= ~

. R

'2 X. = - et

L

. 1

,.,2 - -.-.

-o -

Le·

. dq

i = -

dt

. l

· La· solution generale q ser8: _ la somme d'une solution particuliere q₁

=

CE et de la solution q₂ de

q ⁺

^{2 >..}

q ⁺ w5

^q

=

^{0 :}

q =.ql

+

q2

. La resolution complete exige la connaissance des conditions initiales : pour

· t

=

^{0, q} = 0 et i

=

⁰

Plusieurs cas se presentent :

1

°

J..² - w~

>

0. done R

>

2

J ⁼

^Re

{

r1

= -

^X. +

Y'A

^{2 -}

w&

q

= ^{CE +·}

^er11

+ B

e'2¹ avec

r2 "" - 11. -

V\.2 -

w~

Pour t

=,

^0, A+ B

= -

CE 328

-··-·--·-··-·- •·-~---·~. ·--

R C

K\ ~~ :

~ l . . . , E,,__ _ _ _

l

q

...,.:: _ _ _ _...1 _ _ _ _ _ _ j f