Algo Design

(1)

Algo Design

Cours 5-2

Tas

(2)

Recherche en table

• Problème : Trouver une information associée à une « clé »

• Exemple : Annuaire, Bibliothèque, …

• Fonctions :

– recherche, – insertion,

– suppression.

• Quelle structure de données utiliser ?

(3)

Solutions

• Table à adressage direct

– stockage en Θ(m) – opérations en Θ(1)

• Recherche séquentielle

– stockage en Θ(n) – opérations en Θ(n)

• Recherche dichotomique

(4)

Arbre binaire de recherche

• Structure d’arbre binaire

• Chaque nœud contient une clé

• Toute clé d’un nœud de l’arbre est

– supérieure à celles des descendants de son fils gauche

– inférieure à celles des descendants de

son fils droit

(5)

Exemple d’ABR

15 11

3 7

6

10

(6)

Complexité des ABR

• stockage en Θ(n)

• recherche en Θ(log(n))

• insertion en Θ(log(n))

• suppression en Θ(log(n))

• Solution au problème de la recherche en table

• Dans le pire cas, les complexités sont

(7)

ABRs contenant 1,2,…7

7 6

3 1

2

4

1

7

6

5

4

3

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File de priorité

• Problème :

quelle structure de donnée utiliser afin de réaliser efficacement

– une fonction d’insertion d’un nouvel élément – une fonction qui retourne l’élément de plus

haut rang

– une fonction qui supprime l’élément de plus haut rang

• Application : gestion d’évènements

(9)

Structure de tas (heap)

• Arbre binaire complet – hauteur minimale

– dernier niveau « tassé » à gauche

• La clé de tout nœud est supérieure ou

égale à celles de ses descendants

(10)

Exemple de tas

16 10 14

1 4

2 3 9

7

8

(11)

Insertion de 15

16 10 14

3 9

7

8

(12)

Insertion de 15

16 10 14

1 4

2 3 9

7 8 15

(13)

Insertion de 15

16

10 14 9 3

8

15 OK

(14)

Insertion de 15

16

10

14 1 4

2 3 9

7 8

15

(15)

Suppression racine

16 10 14

3 9

7

8

(16)

Suppression racine

1 10 14

4 2

3 9

7

8

(17)

Suppression racine

1 10 14

3 9

7

8

(18)

Suppression racine

1 10 14

4 2

3 9

7

8

(19)

Suppression racine

1 10

14 3 9

7

8

(20)

Suppression racine

1 10

14 4 2

3 9

7

8

(21)

Suppression racine

1 10 14

3 9

7

8

(22)

Suppression racine

1 10 14

4 2

3 9

7

8

(23)

Suppression racine

10 14

4 7 9 3

8

(24)

Complexité des tas

• Maximum Θ(1)

• Insertion

Θ(log(n))

• Suppression Θ(log(n))

• Excellente solution car complexité bonne

et valable dans le cas le pire

(25)

Implémentation des tas

• On utilise un simple tableau

• le fils gauche du nœud d’indice i se trouve dans la case d’indice 2.i

• le fils droit du nœud d’indice i se trouve dans la case d’indice 2.i+1

• le père du nœud d’indice i se trouve dans

(26)

Implémentation des tas

16 10 14

1 4

2 3 9

7 8

16 14 10 8

7 2 4 1

9 3

16 14 10 8 7 9 3 2 4 1

(27)

Implémentation des tas

16 10 14

1 4

2 3 9

8 7

2 4

8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

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Tri par tas (heapsort)

• Insérer les n éléments dans un tas O(log(n)) x n

• répéter n fois

– rechercher le maximum Θ(1) x n

– supprimer le maximum O(log(n)) x n

• Nouvel algorithme de tri en O(n.log(n)) même dans le pire cas

• Implémentation TP semaine prochaine