DISVE Pôle Licence
ANNEE UNIVERSITAIRE 2011/2012
SESSION 1 DE PRINTEMPS
Parcours : CPBX, PC écoles
Code UE : CP402
Epreuve : Analyse
Date : mardi 31 Mai 2012 Heure : 14h Durée : 1h30 Lieu : A22, Amphithéâtre Wegener
Documents : Non autorisés.
Epreuve de : A. Bachelot
Exercice 1. On pose pour t >0 : F(t) =
Z
]0,∞[
e−tx−e−2x
x dx.
1 Montrer que F(t) est bien définie.
2 Montrer que F ∈C1(]0,∞[).
3 Calculer F0. En déduire F.
Exercice 2.
PourR >0, on pose DR ={(x, y); x2+y2 ≤R2}, KR ={(x, y); |x|≤R, |y|≤R}.
a Calculer
Z
DR
e−x2−y2dxdy.
b En comparant
Z
DR
e−x2−y2dxdy,
Z
KR
e−x2−y2dxdy et
Z
D√2R
e−x2−y2dxdy, donner un encadrement de
Z R
0
e−x2dx.
c En déduire que la valeur de
Z ∞ 0
e−t2dt.
Exercice 3.
On définit
K =n(x, y, z)∈R3,0≤x, 0≤y, 0≤z, x+y+z ≤1o. Calculer
Z Z Z
K
1
(1 +x+y+z)3dxdydz.
Exercice 4.
1 Calculer les coefficients de Fourier de la fonction 2π-périodique f définie sur R, dont la restriction à [−π, π[ est donnée par f(x) = ex.
2 Enoncer le théorème de Parseval et le théorème de Dirichlet.
3 Calculer les sommes suivantes :
∞
X
n=1
(−1)n 1 +n2,
∞
X
n=1
1 1 +n2. FIN
1
