@ o v L1-t4)

h.ç

^{a) Ecrire} Ia matrice de

/

^{dans les} bases canoniques.

/45 */Oÿ)

Déterminer une base de

Ker/

et sa dimension. En déduire Ie rang de

/.

/OS*/t5 ^c)

Donner une famille génératrice de

Im/. En

rléduire une base de

Im/,

en précisant sa

'dimension.

/O-ç d)

L'application

/

est-elle injective ? Surjective ?

1^. I z -1 ^3l

( v ig à ^{Exercice 2} -

^Dans cet exercice, on considère la

matric" e : _| L1-t4) -2 2 ⁷

^I

/31.Démontrer

^que

A

est inversible, et calculer son inverse à l'aide du

pivot

de Gauss.

( rr-at3z:3

/O.5 ^Z.

^{En déduire} la solution du système Iinéaire

\ -2" ^{-l2y -t}

^z

: _-4 [ "-

^Y

l4z:2

de

c pour

lesquelles

la matrice

suivante ^est

o _{,-c I}

c, L-c

^I

1-r: 4 l'

cf 1 d-, ₎

Üà

Exercice 4 -

Considérons la matrice

,:lî

-n

î ^1.

^Calculer la matrice adjointe de B.

@

AI,cÈen.p lrNÉ,q.rRp Univ. Paris

VIII,

2013-2014

ExRnirBN - DpuxtÈrrnp SBssroN

Les calculatrices sont i,nterdi,tes, et les téléphones do'iuent être ^étei,nts.

Exercice

1-

-

^{On considère} I'application linéaire

,f

^,IR3

J R3, (*,A,r)

⁺⁺

(r*

3y

-22,-2r -6y l4z,3r-f9y ^+62).

Exercice 3 -

^Détermmer

inversible ^:

/4" 2. î,n

déduire I'inverse de B.

Ies valeurs réelles

[-c

^c

I r ^3c-

⁷

I " ^-3-c ["+r ^2c_

⁷

-3 1l

2 _-1 l.

1 _-1

_l

(|ÿ ^{Exercice 5} -

^En

utilisant la;,fîii?:ïer,

déterminer la valeur de z dans Ia solution du système linéaire suivant

: { ^3r -

^y

^l3z :7

-/-\ [:'+2v-z:t

(fr t) ^{Exercice 6} -

considérons Ia matrice

c:

[ Ë -i ]

- /lr.f ^1.

Déterminer Ie polynôme caractéristique de C.

/O.{ 2.

Calculer ^les valeurs propres de C, et préciser Ieur multiplicité.

/ L ^3.

Déterminer une base de chacun des sous-espaces pïopres.

lCI-ÿ ^4.

La matrice

C

est-elle diagonalisable?