PCSI : DS N°5 – Mars 2021

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PCSI : DS N°5 – Mars 2021

Exercice 1 : -Tête de coupe de tissus

Le système étudié dans ce sujet est une tête de coupe de tissus conçue et réalisée par la société française Lectra, leader mondial dans la découpe automatisée des tissus.

Présentation générale

• Un système de découpe automatisé de tissus est composé (figure 1) :

• d’une table de découpe sur laquelle le tissus à découper (appelé matelas) est maintenu en position par aspiration ;

• d’un bras transversal qui se déplace en

translation de direction 𝑦⃗⃗⃗⃗ par rapport à la table ; ₀

• d’une tête de coupe qui se déplace en translation de direction 𝑥⃗⃗⃗⃗ par rapport au bras transversal ; ₀

• d’un ordinateur qui pilote l’ensemble du système.

Figure 1 – Structure d’une table de découpe de tissus

Dans ce sujet, nous nous intéresserons plus particulièrement à la tête de coupe proposée par Lectra dans deux versions (initiale et améliorée) dont le diagramme partiel des exigences pour la solution de

découpe (logiciel/machine) est présenté dans la figure 2.

Nous allons plus précisément étudier, dans les trois premières parties, la tête de coupe dans sa version initiale puis la dernière partie sera consacrée à la version améliorée.

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Figure 2 – Diagramme des exigences

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Partie I - Modélisation du comportement du moteur de coupe

Objectif : modéliser la chaîne d’asservissement en vitesse du moteur afin de déterminer les paramètres du correcteur permettant de respecter l’exigence 1.2.2.1.

Le mouvement de coupe est asservi en vitesse. La vitesse de rotation du moteur, notée 𝜔_𝑚(𝑡), est le paramètre asservi. Elle est mesurée à l’aide d’une génératrice tachymétrique (de gain 𝐺_𝑐) qui fournit une tension 𝑢_𝑚𝑒𝑠(𝑡), image de la vitesse de rotation du moteur. Cette tension est comparée à la tension consigne 𝑢_{𝑐𝑜𝑛𝑠}(𝑡), image de la vitesse de rotation de consigne 𝜔_{𝑐𝑜𝑛𝑠}(𝑡) ; un adaptateur (de gain 𝐴) fournit 𝑢_{𝑐𝑜𝑛𝑠}(𝑡) à partir de 𝜔_{𝑐𝑜𝑛𝑠}(𝑡). L’écart de tension 𝜀(𝑡) = 𝑢_{𝑐𝑜𝑛𝑠}(𝑡) − 𝑢_𝑚𝑒𝑠(𝑡) est alors transformé en tension d’alimentation du moteur 𝑢_𝑚(𝑡) par l’ensemble correcteur-variateur (de fonction transfert 𝐶(𝑝)).

Q1. Compléter le schéma-bloc fonctionnel du document réponse DR1 en indiquant dans les blocs le nom des composants (moteur, adaptateur, correcteur-variateur, génératrice tachymétrique) et les paramètres qui transitent entre les blocs.

I.1 - Modélisation du comportement du moteur

Objectif : modéliser le comportement en vitesse du moteur.

Le moteur utilisé est un moteur à courant continu dont les caractéristiques sont :

• 𝑅 = 2 Ω , résistance de l’induit ;

• 𝐿 = 1,65 𝑚𝐻, inductance de l’induit ;

• 𝑘𝑒 = 0,152 𝑉. 𝑟𝑎𝑑⁻¹. 𝑠, constante de vitesse ;

• 𝑘_𝑐 = 0,152 𝑁. 𝑚. 𝐴⁻¹, constante de couple.

• 𝐽 = 1,1 10⁻⁴ 𝑘𝑔𝑚², moment d’inertie de l’ensemble en mouvement ramené à l’arbre moteur,

On donne les quatre équations du modèle d’un moteur à courant continu : 𝑢_𝑚(𝑡) = 𝑅. 𝑖(𝑡) + 𝐿𝑑𝑖(𝑡)

𝑑𝑡 + 𝑒(𝑡) 𝐽𝑑𝜔𝑚(𝑡)

𝑑𝑡 = 𝑐_𝑚(𝑡) − 𝑐_𝑟(𝑡) 𝑐_𝑚(𝑡) = 𝑘_𝑐. 𝑖(𝑡) 𝑒(𝑡) = 𝑘𝑒. 𝜔𝑚(𝑡) où :

• 𝑢_𝑚(𝑡) est la tension d’alimentation du moteur ;

• 𝑖(𝑡) est l’intensité traversant l’induit ;

• 𝑒(𝑡) est la force contre-électromotrice ;

• 𝜔_𝑚(𝑡) est la vitesse de rotation de l’arbre moteur ;

• 𝑐_𝑚(𝑡) est le couple moteur ;

• 𝑐_𝑟(𝑡) est le couple résistant ; Notations

La transformée de Laplace d’une fonction temporelle 𝑓(𝑡) est notée 𝐹(𝑝).

La fonction de transfert du moteur est notée : 𝐻_𝑚(𝑝) =^Ω^𝑚^(𝑝)

𝑈_𝑚(𝑝).

Q2. Transformer les quatre équations dans le domaine de Laplace en supposant les conditions initiales nulles.

Q3. En supposant le couple résistant nul, 𝑐_𝑟(𝑡) = 0, montrer que l’on peut écrire 𝐻_𝑚(𝑝) sous la forme canonique suivante : 𝐻_𝑚(𝑝) =^Ω^𝑚^(𝑝)

𝑈_𝑚(𝑝)= ^𝐾^𝑚

1+^2∙𝑎 𝜔𝑛∙𝑝+ ¹

𝜔𝑛2

Q4. Déterminer, les paramètres caractéristiques de 𝐻_𝑚(𝑝) en fonction de 𝑅, 𝐿, 𝑘_𝑒, 𝑘_𝑐 et 𝐽.

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I.2 - Analyse du comportement de la chaîne de mesure

Objectif : Déterminer le gain de la génératrice tachymétrique.

La génératrice tachymétrique délivre une tension 𝑢_𝑚𝑒𝑠 de 12 V lorsque le moteur tourne à 3000 tr.min^-1 Q5. Déterminer la fonction transfert G^c telle que 𝐺_𝑐 =^𝑈^𝑚𝑒𝑠^(𝑝)

Ω_𝑚(𝑝).

I.3- Détermination de l’adaptateur

En régime permanent on désire que l’écart 𝜀(𝑝) = 0 lorsque la grandeur de sortie de l’asservissement Ω_𝑚(𝑝) est égale à la consigne de vitesse Ω_𝑐(𝑝).

Q6. Déterminer alors le gain l’adaptateur : 𝐴 =^𝑈^𝑐^(𝑝)

Ω_𝑐(𝑝)

I.3 - Optimisation des performances de l’asservissement en vitesse du moteur

Objectif : analyser les performances de l’asservissement en vitesse du moteur afin de concevoir un correcteur permettant de vérifier l’exigence 1.2.2.1.

I.3.1 Etude de la précision : On note :

𝐹𝑇𝐵𝐹(𝑝) =Ω_𝑚(𝑝)

Ω_𝑐(𝑝) = 0,25 ∙ 𝐶(𝑝)

1 + 0,25 ∙ 𝐶(𝑝) + 9,5 ∙ 10⁻³∙ 𝑝 + 8 ∙ 10⁻⁶∙ 𝑝² la fonction transfert en boucle fermée corrigée de l’asservissement de vitesse.

On sollicite le système par un échelon de vitesse défini par : 𝜔_𝑐(𝑡) = Ω₀∙ 𝑢(𝑡) avec Ω₀= 314 𝑟𝑎𝑑 ∙ 𝑠⁻¹.

Le système est considéré non corrigé c’est à dire qu’on pose C(p)=1

Q7. Donner la valeur numérique de la 𝐹𝑇𝐵𝐹(𝑝)non corrigée. Calculer la valeur du gain 𝐾_𝐵𝐹 de la 𝐹𝑇𝐵𝐹(𝑝)non corrigée

Q8. Calculer 𝜀_𝑠l’erreur statique qui apparait lors de cet essai.

Comparer le résultat obtenu avec la contrainte de précision imposée par l’exigence 1.2.2.1.

Conclusion.

On choisit de corriger le système en introduisant un correcteur variateur 𝑪(𝒑) =^𝟑𝟐

𝒑. Q9. Donner la valeur numérique de la 𝐹𝑇𝐵𝐹(𝑝) corrigée avec la nouvelle valeur de C(p).

Q10. Calculer 𝜀_𝑠l’erreur statique qui apparait lors de cet essai.

Comparer le résultat obtenu avec la contrainte de précision imposée par l’exigence 1.2.2.1.

Conclusion.

I.3.2 Etude de la stabilité :

On donne document réponse DR2 les diagrammes de Bode de la 𝐹𝑇𝐵𝑂(𝑝) corrigée.

Q11. Déterminer graphiquement (en prenant soin de bien faire apparaître les tracés nécessaires) :

• La valeur de la marge de phase.

• La valeur de la marge de gain Le système est-il stable ? Justifiez.

I.3.3 Etude de la rapidité :

On donne document réponse DR3 le tracé de la réponse à un échelon de vitesse de la 𝐹𝑇𝐵𝐹(𝑝) corrigée. ( 𝜔_𝑐(𝑡) = Ω₀∙ 𝑢(𝑡) avec Ω₀= 314 𝑟𝑎𝑑 ∙ 𝑠⁻¹)

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Q12. Déterminer graphiquement (en prenant soin de bien faire apparaître les tracés nécessaires) la valeur de 𝑡_5%. Comparer le résultat obtenu avec la contrainte de rapidité imposée par l’exigence 1.2.2.1. Conclusion.

Partie II - Modélisation du comportement mécanique de la tête de coupe

Objectif : modéliser le comportement cinématique de la tête de coupe afin de permettre d’identifier un phénomène de vibration néfaste au regard de l’exigence 1.2.2.

II.1 - Modélisation du comportement cinématique de la tête de coupe

Objectifs : déterminer la loi entrée/sortie de la chaîne cinématique de la tête de coupe et valider son comportement vis-à-vis des exigences 1.2.2.3 et 1.2.2.4.

La découpe du tissu est réalisée par un mouvement de translation alternative d’une lame par rapport au matelas de tissus. Ce mouvement est obtenu par un système bielle-manivelle dont le schéma

cinématique est donné par la figure 9. Les mouvements de translation de la tête de coupe par rapport à la table impliquent que les bases (𝑥⃗⃗⃗⃗ , 𝑦₂ ⃗⃗⃗⃗ , 𝑧₂ ⃗⃗⃗ ) et (𝑥₂ ⃗⃗⃗⃗ , 𝑦₀ ⃗⃗⃗⃗ , 𝑧₀ ⃗⃗⃗ ), liées respectivement à la tête de coupe et à ₀ la table, sont identiques (figure 1).

Figure 9 – Système d’entraînement de la lame de coupe et schéma cinématique associé Modélisation des liaisons et paramétrage du système

On associe le repère ℛ2= (𝐴, 𝑥⃗⃗⃗⃗ , 𝑦2 ⃗⃗⃗⃗ , 𝑧2 ⃗⃗⃗ ) à la tête 2, le repère 2 ℛ3= (𝐴, 𝑥⃗⃗⃗⃗ , 𝑦3 ⃗⃗⃗⃗ , 𝑧3 ⃗⃗⃗ ) à la manivelle 3, le 3

repère ℛ₄ = (𝐵, 𝑥⃗⃗⃗⃗ , 𝑦₄ ⃗⃗⃗ , 𝑧₄ ⃗⃗⃗ ) à la bielle 4 et le repère ℛ₄ ₅= (𝐶, 𝑥⃗⃗⃗⃗ , 𝑦₂ ⃗⃗⃗⃗ , 𝑧₂ ⃗⃗⃗ ) à la lame 5. ₂

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La manivelle 3 est en liaison pivot avec la bielle 4, d’axe (𝐵, 𝑦⃗⃗⃗⃗ ) et d’angle 𝜃₂ ₄₃= ( 𝑥⃗⃗⃗⃗ , 𝑥₃ ⃗⃗⃗⃗ ) = ( 𝑧₄ ⃗⃗⃗ , 𝑧₃ ⃗⃗⃗ ). ₄ La bielle 4 est en liaison pivot avec la lame 5, d’axe (𝐶, 𝑦⃗⃗⃗⃗ ) et d’angle 𝜃₀ ₅₄= ( 𝑥⃗⃗⃗⃗ , 𝑥₄ ⃗⃗⃗⃗ ) = ( 𝑧₂ ⃗⃗⃗ , 𝑧₄ ⃗⃗⃗ ). ₂ La lame 5 est en liaison glissière avec la tête 2, de direction 𝑧⃗⃗⃗ et de paramètre linéaire 𝜆(𝑡). ₂ On pose 𝜔_𝑖𝑗(𝑡) =^𝑑𝜃^𝑖𝑗^(𝑡)

𝑑𝑡 = 𝜃̇_𝑖𝑗(𝑡), 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐿₃∙ 𝑧⃗⃗⃗ avec 𝐿₃ ₃= 12,5 𝑚𝑚, 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐿₄∙ 𝑧⃗⃗⃗ avec 𝐿₄ ₄= 80 𝑚𝑚 et 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝜆(𝑡) ∙ 𝑧⃗⃗⃗ . ₂

Q13. Tracer les figures de calcul et déterminer les vecteurs rotation associés.

Q14. Déterminer la relation entre les paramètres angulaires 𝜃₃₂, 𝜃₄₃ et 𝜃₅₄.

Q15. À l’aide d’une fermeture géométrique, déterminer la relation entre le paramètre 𝜆(𝑡), l’angle 𝜃₃₂ et les données géométriques du système.

Q16. En déduire l’expression littérale de l’amplitude des oscillations de la lame, notée Δ𝑧. Faire l’application numérique et conclure sur le respect de l’exigence 1.2.2.3.

Q17. Calculer le rapport (^𝐿⁴

𝐿₃ )² et le comparer à la valeur 1. Montrer alors que la loi obtenue à la question Q15 peut se mettre sous la forme 𝜆(𝑡) ≈ 𝐿₃cos 𝜃₃₂+ 𝐿₄.

Afin de valider cette approximation, les deux fonctions mathématiques ont été tracées sur un tour de l’arbre moteur (figure 10).

Figure 10 – Évolutions théorique (__) et approximée

(- - - ) du paramètre 𝜆 Figure 11 – Évolutions théorique (__) et approximée

(- - -) de la vitesse 𝜆̇ pour une vitesse 𝜃̇₃₂= 3 000 𝑡𝑟/𝑚𝑖𝑛

Q18. Conclure sur l’adoption de la loi approximée dans la suite de l’étude.

Afin de valider le critère associé à l’exigence de vitesse de coupe, il est nécessaire de déterminer la loi en vitesse de la lame notée 𝜆̇(𝑡).

Q19. Déterminer l’expression littérale de 𝜆̇(𝑡) à partir du modèle simplifié de 𝜆(𝑡).

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Cette loi en vitesse simplifiée a été tracée (figure 11) pour être comparée à la loi obtenue à partir du modèle établi en question Q15.

Q20. La simplification de la loi en vitesse permet-elle de valider l’exigence 1.2.2.4. ?

II.2 – Préparation à la Modélisation du comportement dynamique de la tête de coupe

Objectif : identifier la cause des vibrations à partir de la modélisation dynamique du comportement de la tête de coupe.

L’étude précédente a permis de montrer que la vitesse de coupe n’était pas constante. Des essais sur le système réel ont permis d’obtenir l’évolution de l’effort de coupe au cours du temps pour une vitesse du moteur de 𝜃̇₃₂ = 3 000 𝑡𝑟/𝑚𝑖𝑛 (figure 12).

Figure 12 – Évolution de l’effort de coupe

Q21. Durant la phase de coupe, déterminer les valeurs moyenne, maximale et minimale de l’effort de coupe.

Q22. Conclure sur la validation de l’exigence 1.2.1.1. Justifier.

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Exercice 2 : Manège pieuvre

Le manège pieuvre est un classique des foires. Il procure des sensations par son mouvement épicycloïdal qui produit de fortes accélérations.

Objectif de l’exercice : Déterminer les caractéristiques géométriques (longueurs de bras) et cinématiques (vitesses angulaires de bras) afin de respecter l’extrait du cahier des charges donné dans le tableau ci-dessous :

Exigence Critères Niveau

Le système doit être en mesure d’assurer des sensations fortes aux passagers en toute sécurité

Vitesse maximale 40 km/h Accélération maximale 1,5.g

Accélération minimale 0,5.g

Soit O le centre de rotation principal, 𝑅₁(𝑂; 𝑥⃗⃗⃗⃗ , 𝑦₁ ⃗⃗⃗⃗ , 𝑧₁ ⃗⃗⃗ ) le repère lié au bras ₁ principal 1, en rotation d'angle 𝜃 = (𝑥⃗⃗⃗⃗ , 𝑥₀ ⃗⃗⃗⃗ ) = (𝑦₁ ⃗⃗⃗⃗ , 𝑦₀ ⃗⃗⃗⃗ )par rapport à un ₁ repère 𝑅0(𝑂; 𝑥⃗⃗⃗⃗ , 𝑦0 ⃗⃗⃗⃗ , 𝑧0 ⃗⃗⃗ ) lié au sol 0. Soit 𝑅0 2(𝐴; 𝑥⃗⃗⃗⃗ , 𝑦2 ⃗⃗⃗⃗ , 𝑧2 ⃗⃗⃗ ) un repère accroché 2

au bras secondaire 2 en rotation d'angle 𝛼 = (𝑥⃗⃗⃗⃗ , 𝑥₁ ⃗⃗⃗⃗ ) = (𝑦₂ ⃗⃗⃗⃗ , 𝑦₁ ⃗⃗⃗⃗ ) par rapport ₂ au bras 1.

On donne :

• 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎 ∙ 𝑥⃗⃗⃗⃗ ₁ • 𝜃̇ =^𝑑𝜃

𝑑𝑡 = 𝜔₁₀

• 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑏 ∙ 𝑥⃗⃗⃗⃗ ₂ • 𝛼̇ = ^𝑑𝛼

𝑑𝑡 = 𝜔₂₁

Q1. Donner les figures de changement de bases relatives aux angles 𝜃 et 𝛼 . Écrire les vecteurs rotation correspondant.

Q2. Exprimer les vecteurs position en utilisant des vecteurs de bases de R1

et R2 :

• du point A dans le repère R0,

• du point B dans le repère R0

On donne les vecteurs vitesse : 𝑉⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ _𝐴∈1/0, 𝑉⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝑉_𝐵∈1/0 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ _𝐵∈2/0 en fonction de 𝑎, 𝑏, 𝜔₁₀, 𝜔₂₁ et des vecteurs de base :

𝑉_𝐴∈1/0

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎 ∙ 𝜔₁₀∙ 𝑦⃗⃗⃗⃗ , 𝑉₁ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎 ∙ 𝜔_𝐵∈1/0 ₁₀∙ 𝑦⃗⃗⃗⃗ + 𝑏 ∙ 𝜔₁ ₁₀∙ 𝑦⃗⃗⃗⃗ et 𝑉₂ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎 ∙ 𝜔_𝐵∈2/0 ₁₀∙ 𝑦⃗⃗⃗⃗ + 𝑏 ∙ (𝜔₁ ₁₀+ 𝜔₂₁) ∙ 𝑦⃗⃗⃗⃗ ₂ Nous avons 4 grandeurs à déterminer (𝑎, 𝑏, 𝜔₁₀, 𝜔₂₁) pour 3 critères dans le cahier des charges. Il n’y a pas de solution unique. On propose donc une condition supplémentaire à savoir que les vitesses de rotation sont telles que :

𝜔₁₀= 𝜃̇ = 𝐶𝑡𝑒 et 𝜔₂₁= 𝛼̇ = −2 ∙ 𝜔₁₀

Q3. Pour quelle valeur de 𝛼, ‖𝑉⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ est-elle maximale ? Préciser alors l’expression littérale de _𝐵∈2/0 𝑉𝑚𝑎𝑥 = ‖𝑉⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖𝐵∈2/0

𝑚𝑎𝑥𝑖

Q4. On donne l'accélération 𝑎⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝜔_𝐵∈2/0 ₁₀² ∙ (𝑏 ∙ 𝑥⃗⃗⃗⃗ + 𝑎 ∙ 𝑥₂ ⃗⃗⃗⃗ ) en déduire la valeur de la norme de ₁ l'accélération.

Q5. Pour quelle valeur de 𝛼

• Q5a. ‖𝑎⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ est-elle maximale, préciser alors l’expression littérale. _𝐵∈2/0

• Q5b. ‖𝑎⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ est-elle minimale, préciser alors l’expression littérale. _𝐵∈2/0

Q6. Déterminer alors les valeurs numériques de 𝑎, 𝑏 et 𝜔₁₀qui permettent de respecter le cahier des charges.

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Documents Réponses

Q1. DR1 – Schéma-bloc fonctionnel associé à la modélisation de l’asservissement en vitesse du moteur

Q11. DR2 – diagrammes de gain de la FTBO(p) corrigée avec 𝑪(𝒑) =^𝟑𝟐

𝒑 :

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Q12. DR3 – Réponse du système corrigé à un échelon de vitesse : 𝜔_𝑐(𝑡) = Ω0∙ 𝑢(𝑡) avec Ω₀= 314 𝑟𝑎𝑑 ∙ 𝑠⁻¹