Arrangements Enveloppes inférieures

Arrangements Enveloppes inférieures

Monique Teillaud

novembre 2008

Plan

Arrangements : Définition - Complexité

Enveloppes inférieures : Définition - Complexité Algorithmes

incrémental - arrangements balayage - arrangements

division-fusion - enveloppes inférieures

Part I

Arrangements : Définition - Complexité

Arrangement

Partition du planR²en - faces

- arêtes - sommets

induite par unensemble de courbes.

Arrangement

Partition du planR²en - faces

- arêtes - sommets

induite par unensemble de courbes.

sommets

faces

arˆetes

Arrangement

Partition du planR²en - faces

- arêtes - sommets

induite par unensemble de courbes.

Partition de l’espaceR^d en -k-cellules,k =0, . . . ,d

induite par unensemble d’hypersurfaces.

Arrangement d’hyperplans

•ndroites dansR²:

Les droites se coupent 2 à 2 ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾₂ sommets Chaque droite est découpée ennarêtes n²arêtes

Relation d’Euler . . . faces

Taille de l’arrangementO(n²).

Arrangement d’hyperplans

•ndroites dansR²:

Les droites se coupent 2 à 2 ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾₂ sommets Chaque droite est découpée ennarêtes n²arêtes

Relation d’Euler . . . faces

Taille de l’arrangementO(n²).

•nhyperplans dansR^d : Taille de l’arrangementO(n^d).

ArrangementsimpleΘ(n^d).

d hyperplans se coupent en un point, l’intersection ded+1 hyperplans est vide.

•Taille d’une cellule : Θ(n^bd/2c).

Arrangement d’arcs

•narcs de courbes dansR².

Hypothèses :

- courbes monotones enx,

- 2 courbes se coupent en au plusspoints.

sⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾₂ sommets (s+1)n(n−1)arêtes

(relation d’Euler) . . . faces

TailleΘ(n²).

Théorème de la zone

Arrangement de droites

Taille de la zone :O(n).

Théorème de la zone

Arrangement d’hyperplans

Zone d’un hyperplan = ensemble des cellules coupées par l’hyperplan.

Taille de la zone :O(n^d−1).

Théorème de la zone - Démonstration

plancher murs

plafond

plancher

1 arête par face

ciel

2 arêtes par face murs

?

Théorème de la zone - Démonstration

droitecontenant un mur gauche

mur gauche le plus à gauche sur ladroite

⇒ murs

2n taille de la zone≤5n=O(n)

Part II

Enveloppes inférieures : Définition -

Complexité

Enveloppe inférieure

Minimum denfonctionsR→R

Enveloppe inférieure

V

B B

R R

V

N

suite de lettresRVBNRVB

Séquences de Davenport Schinzel

Alphabet ànlettres

Séquence de Davenport Schinzel d’ordres= mot tq.

2 lettres consécutives sont6=

pas de sous suiteabababde longueurs+2 Uneséquencede Davenport Schinzel

est une séquence de DS d’ordre 5

longueur ? λs(n)

Séquences de Davenport Schinzel d’ordre 1

λ₁(n) =n

évident : abcdefghijkl

Séquences de Davenport Schinzel d’ordre 2

λ₂(n) =2n−1

par récurrence S=aS⁰

sia6∈S⁰ |S| ≤1+λ₂(n−1) =2n−2 sia∈S⁰ S=aS₁aS₂,a6∈S₁

S₁utilisek lettres

|S| ≤1+λ₂(k) +λ₂(n−k) =2n−1 abacadaeafagahaiaja

Séquences de Davenport Schinzel d’ordre 2

λ₂(n) =2n−1

par récurrence S=aS⁰

sia6∈S⁰ |S| ≤1+λ₂(n−1) =2n−2 sia∈S⁰ S=aS₁aS₂,a6∈S₁

S₁utilisek lettres

|S| ≤1+λ₂(k) +λ₂(n−k) =2n−1 abacadaeafagahaiaja

Séquences de Davenport Schinzel d’ordre 3

λ₃(n) = Θ(nα(n))

α= pseudo-inverse de la fonction d’Ackermann

Fonction d’Ackermann

1 2 2 2 2

2 2 2 2

A(p,1) =2 A(1,n) =2n A(p,n) =

A(p−1,A(p,n−1))

Fonction d’Ackermann

1 2 2 2 2

2 4

3 6

4 8

n 2n

A(p,1) =2 A(1,n) =2n A(p,n) =

A(p−1,A(p,n−1))

Fonction d’Ackermann

1 2 2 2 2

2 4 4

3 6 8

4 8 16

n 2n 2ⁿ

A(p,1) =2 A(1,n) =2n A(p,n) =

A(p−1,A(p,n−1))

Fonction d’Ackermann

1 2 2 2 2

2 4 4 4

3 6 8 16

4 8 16 65536 n 2n 2ⁿ 2^2··

2

A(p,1) =2 A(1,n) =2n A(p,n) =

A(p−1,A(p,n−1))

Fonction d’Ackermann

1 2 2 2 2

2 4 4 4 4

3 6 8 16 65536

4 8 16 65536 2^2··

2

(h=65536) n 2n 2ⁿ 2^2··

2

(h =n)

A(p,1) =2 A(1,n) =2n A(p,n) =

A(p−1,A(p,n−1))

Fonction d’Ackermann

1 2 2 2 2

2 4 4 4 4

3 6 8 16 65536

4 8 16 65536 2^2··

2

(h=65536) n 2n 2ⁿ 2^2··

2

(h =n) - - -

α(n)= inverse de la diagonaleA(n,n) α(n)≤5

A(p,1) =2 A(1,n) =2n A(p,n) =

A(p−1,A(p,n−1))

Séquences de Davenport Schinzel d’ordre 3

λ₃(n) = Θ(nα(n)) =O(nlogn)

Mséquence maximale avecν_afois la lettrea M=. . .a. . .a. . .a. . .a. . .a. . .

M=. . .6a. . .6a. . .6a. . .6a. . .6a. . . on enlève lesa doublons ?

. . .b6ab. . .6a. . .6a. . .6a. . .6a. . .

. . .6a. . .d6ad. . .6a. . .6a. . .6a. . .impossible : adadalongueur 5

|M| ≤νa+2+λ₃(n−1)

Séquences de Davenport Schinzel d’ordre 3

λ₃(n) = Θ(nα(n)) =O(nlogn)

Mséquence maximale avecν_afois la lettrea M=. . .a. . .a. . .a. . .a. . .a. . .

M=. . .6a. . .6a. . .6a. . .6a. . .6a. . . on enlève lesa doublons ?

. . .b6ab. . .6a. . .6a. . .6a. . .6a. . .

. . .6a. . .d6ad. . .6a. . .6a. . .6a. . .impossible : adadalongueur 5

|M| ≤νa+2+λ₃(n−1)

Séquences de Davenport Schinzel d’ordre 3

λ₃(n) = Θ(nα(n)) =O(nlogn)

Mséquence maximale avecν_afois la lettrea M=. . .a. . .a. . .a. . .a. . .a. . .

M=. . .6a. . .6a. . .6a. . .6a. . .6a. . . on enlève lesa

doublons ?

. . .b6ab. . .6a. . .6a. . .6a. . .6a. . .

. . .6a. . .d6ad. . .6a. . .6a. . .6a. . .impossible : adadalongueur 5

|M| ≤νa+2+λ₃(n−1)

Séquences de Davenport Schinzel d’ordre 3

λ₃(n) = Θ(nα(n)) =O(nlogn)

Mséquence maximale avecν_afois la lettrea M=. . .a. . .a. . .a. . .a. . .a. . .

M=. . .6a. . .6a. . .6a. . .6a. . .6a. . . on enlève lesa doublons ?

. . .b6ab. . .6a. . .6a. . .6a. . .6a. . .

. . .6a. . .d6ad. . .6a. . .6a. . .6a. . .impossible : adadalongueur 5

|M| ≤νa+2+λ₃(n−1)

Séquences de Davenport Schinzel d’ordre 3

λ₃(n) = Θ(nα(n)) =O(nlogn)

Mséquence maximale avecν_afois la lettrea M=. . .a. . .a. . .a. . .a. . .a. . .

M=. . .6a. . .6a. . .6a. . .6a. . .6a. . . on enlève lesa doublons ?

. . .b6ab. . .6a. . .6a. . .6a. . .6a. . .

. . .6a. . .d6ad. . .6a. . .6a. . .6a. . .impossible : adadalongueur 5

|M| ≤νa+2+λ₃(n−1)

Séquences de Davenport Schinzel d’ordre 3

|M| ≤ νa+2+λ₃(n−1)

|M| ≤ ν_b+2+λ₃(n−1)

. . . .

n|M| ≤ |M|+2n+nλ₃(n−1)

(n−1)λ₃(n) ≤ 2n+nλ₃(n−1)

λ3(n)

n ≤ _n−1² + ^λ3_n−1⁽ⁿ⁻¹⁾

≤ _n−1² + _n−2² +. . .'2 logn

Séquences de Davenport Schinzel d’ordre 3

|M| ≤ νa+2+λ₃(n−1)

|M| ≤ ν_b+2+λ₃(n−1)

. . . .

n|M| ≤ |M|+2n+nλ₃(n−1) (n−1)λ₃(n) ≤ 2n+nλ₃(n−1)

λ3(n)

n ≤ _n−1² + ^λ3_n−1⁽ⁿ⁻¹⁾

≤ _n−1² + _n−2² +. . .'2 logn

Séquences de Davenport Schinzel d’ordre 3

|M| ≤ νa+2+λ₃(n−1)

|M| ≤ ν_b+2+λ₃(n−1)

. . . .

n|M| ≤ |M|+2n+nλ₃(n−1) (n−1)λ₃(n) ≤ 2n+nλ₃(n−1)

λ3(n)

n ≤ _n−1² + ^λ3_n−1⁽ⁿ⁻¹⁾

≤ _n−1² + _n−2² +. . .'2 logn

Séquences de Davenport Schinzel d’ordre 3

|M| ≤ νa+2+λ₃(n−1)

|M| ≤ ν_b+2+λ₃(n−1)

. . . .

n|M| ≤ |M|+2n+nλ₃(n−1) (n−1)λ₃(n) ≤ 2n+nλ₃(n−1)

λ3(n)

n ≤ _n−1² + ^λ3_n−1⁽ⁿ⁻¹⁾

≤ _n−1² + _n−2² +. . .'2 logn

Séquences de Davenport Schinzel d’ordre s

λs(n) =n2^O(α(n))

Enveloppe inférieure

V

B B

R R

V

N

suite de lettres RVBNRVB

Enveloppe inférieure

B B

R R

au plusspoints d’intersection

⇒séquenceRBRBde longueur<s+2

Enveloppe inférieure

B B

R R

au plusspoints d’intersection

⇒séquence de Davenport Schinzel d’ordres

Enveloppe inférieure

Enveloppe inférieure de courbes se coupant 2 à 2 en au plusspoints

tailleλs(n)

Hyperplans

ndroites dansR²

Taille de l’enveloppe inférieureλ₁(n) =n nhyperplans dansR^d.

Taille de l’enveloppe inférieureΘ(n^bd/2c)

Arcs de courbes

ex: segments de droites

Arcs de courbes

prolonger les segments ne modifie pas la séquence

Arcs de courbes

deux segments : au plus 1 point d’intersection

enveloppe inférieure de segments tailleλ3(n) =nα(n)

Arcs de courbes

deux segments étendus : au plus 3 points d’intersection

enveloppe inférieure de segments tailleλ3(n) =nα(n)

Arcs de courbes

deux segments étendus : au plus 3 points d’intersection enveloppe inférieure de segments

tailleλ3(n) =nα(n)

Arcs de courbes

Arcs se coupant en au pluss points enveloppe inférieure

tailleλs+2(n)

Part III

Algorithmes

Algorithme incrémental arrangements de droites

Stockage

4 pointeurs sur les sommets adjacents Sommet = deux droites

coordonnées(x,y)

Algorithme incrémental arrangements de droites

Ajout d’une droite

Algorithme incrémental arrangements de droites

Ajout d’une droite

Tri par pentes

droite immédiatement supérieure

Algorithme incrémental arrangements de droites

Ajout d’une droite

Parcours de la face

→

1er sommet

Algorithme incrémental arrangements de droites

Ajout d’une droite

Parcours de la face

→

2ème sommet

Algorithme incrémental arrangements de droites

Ajout d’une droite

Parcours de la face

→

3ème sommet etc

Complexité = taille de la zone

Algorithme incrémental arrangements

nhyperplans deR^d, calcul enΘ(n^d).

narcs de courbes (hypothèses) dansR², calcul en O(nλ_s+2(n)).

Algorithme incrémental randomisé arrangements

Analyse en moyenne sur l’ordre d’insertiondes données.

Pas d’hypothèse sur la distribution des données.

narcs (cf hypothèses) dansR². Calcul de l’arrangement

en temps optimalO(nlogn+k)en moyenne, espaceO(n+k),

oùk= nb de points d’intersection.

Algorithme de balayage arrangements

transparents BO

narcs (cf hypothèses) dansR². Calcul

tempsO((n+k)logn), espaceO(n+k),

oùk= nb de points d’intersection.

Division-fusion enveloppe inférieure

Division

quelconque, équilibrée Fusion

balayage

Division-fusion enveloppe inférieure

Division

Appel récursif

Division-fusion enveloppe inférieure

Division

Appel récursif

Division-fusion enveloppe inférieure

Fusion par balayage

3 possibilités

Division-fusion enveloppe inférieure

Fusion par balayage

3 possibilités

Division-fusion enveloppe inférieure

Fusion par balayage 3 possibilités

Division-fusion enveloppe inférieure

Fusion par balayage

3 possibilités

Division-fusion enveloppe inférieure

Fusion par balayage

3 possibilités

Division-fusion enveloppe inférieure

Fusion par balayage

3 possibilités

Division-fusion enveloppe inférieure

Fusion par balayage

3 possibilités

Division-fusion enveloppe inférieure

Fusion par balayage

3 possibilités

Division-fusion enveloppe inférieure

Fusion par balayage

3 possibilités

Division-fusion enveloppe inférieure

Analyse

Prochain événement :O(1)

nombre d’événements•:≤n_rα(n_r) (taille env. inf.) nombre d’événements•:≤n_bα(n_b)

nombre d’événements•:≤nα(n) Fusion :O(nα(n))

Division-fusion enveloppe inférieure

Analyse

Prochain événement :O(1)

nombre d’événements•:≤n_rα(n_r) (taille env. inf.)

nombre d’événements•:≤n_bα(n_b) nombre d’événements•:≤nα(n) Fusion :O(nα(n))

Division-fusion enveloppe inférieure

Analyse

Prochain événement :O(1)

nombre d’événements•:≤n_rα(n_r) (taille env. inf.) nombre d’événements•:≤n_bα(n_b)

nombre d’événements•:≤nα(n) Fusion :O(nα(n))

Division-fusion enveloppe inférieure

Analyse

Prochain événement :O(1)

nombre d’événements•:≤n_rα(n_r) (taille env. inf.) nombre d’événements•:≤n_bα(n_b)

nombre d’événements•:≤nα(n)

Fusion :O(nα(n))

Division-fusion enveloppe inférieure

Analyse

Prochain événement :O(1)

nombre d’événements•:≤n_rα(n_r) (taille env. inf.) nombre d’événements•:≤n_bα(n_b)

nombre d’événements•:≤nα(n) Fusion :O(nα(n))

Division-fusion enveloppe inférieure

Analyse Division-Fusion

f(n) =2f(ⁿ₂)+O(nα(n))

nα(n) +2f ⁿ₂

nα(n) +2 ⁿ₂α(n) +2 ⁿ₄α(n) +2f ⁿ₈ α(n) n+2ⁿ₂+2.2ⁿ₄ +. . .

log₂ntermes f(n) =O(nα(n)logn)

Division-fusion enveloppe inférieure

Analyse Division-Fusion

f(n) =2f(ⁿ₂)+O(nα(n)) nα(n) +2f ⁿ₂ nα(n) +2 ⁿ₂α ⁿ₂

+2f ⁿ₄

nα(n) +2 ⁿ₂α(n) +2 ⁿ₄α(n) +2f ⁿ₈ α(n) n+2ⁿ₂+2.2ⁿ₄ +. . .

log₂ntermes f(n) =O(nα(n)logn)

Division-fusion enveloppe inférieure

Analyse Division-Fusion

f(n) =2f(ⁿ₂)+O(nα(n)) nα(n) +2f ⁿ₂ nα(n) +2

n 2α

n 62

+2f ⁿ₄

nα(n) +2 ⁿ₂α(n) +2 ⁿ₄α(n) +2f ⁿ₈ α(n) n+2ⁿ₂+2.2ⁿ₄ +. . .

log₂ntermes f(n) =O(nα(n)logn)

Division-fusion enveloppe inférieure

Analyse Division-Fusion

f(n) =2f(ⁿ₂)+O(nα(n)) nα(n) +2f ⁿ₂ nα(n) +2

n 2α

n 62

+2f ⁿ₄

nα(n) +2 ⁿ₂α(n) +2 ⁿ₄α(n) +2f ⁿ₈

α(n) n+2ⁿ₂+2.2ⁿ₄ +. . .

log₂ntermes f(n) =O(nα(n)logn)

Division-fusion enveloppe inférieure

Analyse Division-Fusion

f(n) =2f(ⁿ₂)+O(nα(n)) nα(n) +2f ⁿ₂ nα(n) +2

n 2α

n 62

+2f ⁿ₄

nα(n) +2 ⁿ₂α(n) +2 ⁿ₄α(n) +2f ⁿ₈ α(n) n+2ⁿ₂+2.2ⁿ₄ +. . .

log₂ntermes

f(n) =O(nα(n)logn)

Division-fusion enveloppe inférieure

Analyse Division-Fusion

f(n) =2f(ⁿ₂)+O(nα(n)) nα(n) +2f ⁿ₂ nα(n) +2

n 2α

n 62

+2f ⁿ₄

nα(n) +2 ⁿ₂α(n) +2 ⁿ₄α(n) +2f ⁿ₈ α(n) n+2ⁿ₂+2.2ⁿ₄ +. . .

log₂ntermes f(n) =O(nα(n)logn)

Division-fusion enveloppe inférieure

Arcs de courbes

taille de l’enveloppe inférieureλs+2(n) calcul enλ_s+2(n)logn

(améliorable enλ_s+1(n)logn)