G128. La balade du pion
Ce problème est proposé par Michel Boulant.
Un pion occupe une case d'un damier sans frontières, au nombre de cases illimité. Il ne peut se déplacer que d'une seule case à la fois, à droite, à gauche, en haut ou en bas, jamais en diagonale. Les 4 possibilités de déplacement (G, D, H, B) sont équiprobables, le pion peut bien entendu repasser plusieurs fois sur les mêmes cases.
Au bout de 10 déplacements, quelle est la probabilité que ce pion se trouve : 1) à la case de départ ?
2) dans un carré de 5 fois 5 cases dont la case centrale est la case de départ ?
3) à l’intérieur d’une croix grecque dont les quatre branches égales de longueur 10 sont adjacentes à la case de départ ?
Pour les plus courageux, mêmes questions au bout de n déplacements avec un carré de côté k en 2) et une croix grecque dont les branches sont de longueur n en 3).
Solution du cas général
Numérotons les lignes et les colonnes en prenant l’indice 0 pour la ligne et la colonne de la case de départ.
Appelons pni j, la probabilité qu’au bout de n déplacements le pion se trouve dans la case d’indices i, j.
La loi de déplacement s’écrit , 1 1,1 1 1,1 1 , 11 1 , 11
4 4 4 4
i j i j i j i j i j
n n n n n
p = p −−+ p +−+ p −−+ p +− avec initialement ,0 1 si 0 0 sinon
i j i j
p = =
=
.
Démontrons, par récurrence sur n, que
2 2
,
1 , si [2]
, , 4
0 , si [2]
n i j n i j
i j n n n
n
C C i j n
i j p
i j n
+ + + −
+ ≡
∀ ∀ =
+ ≡/
.
Au rang 0, la propriété est vérifiée : 02 02 0,
1, si 0 et 0 1, si 0
, si pair
0, sinon 0, sinon
0 , sinon
i j i j
i j i j i j i j
C C i j p
+ −
+ = − = = =
+ = = =
Supposons la propriété vraie au rang n - 1, et montrons qu’elle est alors vraie au rang n.
Cas i+j≡/n [2]
( )
, 1, 1, , 1 , 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1
0 0 0 0 0
4 4 4 4 4
i j i j i j i j i j
n n n n n
p = p−−+ p+−+ p −−+ p +− = + + + =
Cas i+j≡n [2]
, 1, 1, , 1 , 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
4 4 4 4
1 1 1 1 1
4 4 4 4 4
1 4
i j i j i j i j i j
n n n n n
n i j n i j n i j n i j n i j n i j n i j n i j
n n n n n n n n
n n n n
p p p p p
C C C C C C C C
− + − +
− − − −
− + − + − + − − − + + + − + + − − + + − − + − + − + + + − + − −
− − − − − − − −
− − − −
= + + +
= + + +
= 12 1 12 12 1 12
2 2
1 4
n i j n i j n i j n i j
n n n n
n
n i j n i j
n n
n
C C C C
C C
+ + + + + − + −
− −
− − − −
+ + + −
+ +
=
On peut alors calculer les probabilités qu’au bout de n déplacements le pion se trouve 1) sur la case de départ :
0,0
( )
21 2
0 si impair
1 sinon
4
n n n n
n P p
C
= =
2) dans un carré de k fois k cases dont la case centrale est la case de départ (avec k=2q+1) :
, 2 2
2
[2]
1 4
n i j n i j i j
n n n n
q i q q i q
q j q q j q
i j n
P p C C
+ + + −
− ≤ ≤ − ≤ ≤
− ≤ ≤ − ≤ ≤
+ ≡
=
∑
=∑
3) à l’intérieur d’une croix grecque dont les quatre branches égales de longueur n sont adjacentes à la case de départ (c'est-à-dire sur la ligne ou la colonne de départ, compte tenu que le pion ne peut pas s’être éloigné d’une longueur supérieure à n) :
( )
( ) ( ) ( )
2
2 ,
3 0 ou j 0 2 2 2 2 2
2
2 2
si impair si impair
4 4
1 1
2 sinon
2 sinon
4 4
k n
n n n n
i j k
n n n n
i k
n n
n n n
n k
C n C n
P p
C C
C C
= =
= = − = −
∑
∑ ∑
Application au cas particulier
En particulier, au bout de 10 déplacements, on obtient les probabilités que ce pion se trouve 1) sur la case de départ :
(
5)
21 10 10
1 3969
0,06056213379 65536
P=4 C = ≈
2) dans un carré de 5 fois 5 cases dont la case centrale est la case de départ :
( )
5 5
5 5 4 5 4 4 3 5
2 2
2 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
2 2
2 2
pair
1 1 4473
4 4 4 = 0,5460205078
8192
4 4
i j i j
i j i j
P C C C C C C C C C C
+ −
+ +
− ≤ ≤
− ≤ ≤ +
=
∑
= + + + ≈3) à l’intérieur d’une croix grecque dont les quatre branches égales de longueur 10 sont adjacentes à la case de départ :
( )
(
10 5 2)
3 10 20 10
1 46189
2 0,3523941040
131072
P =4 C − C = ≈
