D647 – Petit format sur grand format
On jette au hasard une photo de format 10x15 à l’intérieur d’un agrandissement de cette même photo au format 30x45. Montrer qu’il existe un point et un seul commun aux deux photos. Construire ce point à l’aide d’une règle et d’un compas.
Proposition
Système de repérage choisi
+ Pour la photo GF : « Grand Format » 30 x 45
Les coins de la photo GF sont notés dans l’ordre de succession A,B,C,D en choisissant le sens de parcours positif (lévogyre)
Avec les côtés AB et AD (coin A de la photo), on définit un repère orthonormé direct (A; AB, AD) d’origine A (0) qui est choisi comme référentiel fixe. Repère direct : angle (AB, AD) = + 𝜋/2 (sens trigonométrique positif).
La photo GF ainsi disposée peut être considérée comme le référent.
+ Pour la photo PF : « Petit Format » 10 x 15
On choisit le coin de la photo PF qui est similaire et concordant (d’après l’image) avec le coin A de la photo GF. Ce coin identifié est nommé A1. Puis les autres coins de la photo sont notés suivant l’ordre de succession A1,B1,C1,D1 avec le même sens de parcours positif (lévogyre).
Ainsi on a mis A1B1 en correspondance avec AB qui ont même nature dimensionnelle pour le rectangle (A1B1 et AB : tous 2 des longueurs ou tous 2 des largeurs selon le choix). Il en est de même entre A1D1 et AD.
On définit un repère orthonormé direct (A1; A1B1, A1D1) avec l’origine A1(z1) et les côtés A1B1 et A1D1 Repère direct : angle (A1B1, A1D1) = + 𝜋/2 (sens trigonométrique positif).
Positionnement de la photo PF par rapport à la photo GF
Le positionnement (position, orientation, sens) de la photo PF est donné par les variables z1,𝛼 : + la position du repère (A1; A1B1, A1D1) avec l’affixe z1 du point A1
+ L’orientation du repère (A1; A1B1, A1D1) définie par l’angle 𝛼 = (AB, A1B1) = Arg (z2-z1) où z2 : affixe de B1
Méthode de recherche du point commun aux 2 photos
Pour identifier le point commun aux 2 photos, il faut déterminer l’application S qui transforme la photo PF en photo S(PF) identique à la photo GF créant une correspondance entre tous les points de PF et de GF, afin de trouver parmi ceux-ci d’éventuels points
invariants.
L’application qui change les dimensions, modifie la position et l’orientation, conserve la valeur des angles est la similitude plane.
En raison du système de repérage et de positionnement choisi de la photo PF en correspondance directe avec celui de la photo GF, la similitude plane directe est suffisante (pas d’image miroir possible)
Similitude plane directe S(Ω, K, 𝜑) : [A,B,C,D] = S[A1,B1,C1,D1] Expression générale sous forme complexe : w = S(z) = rz+s
r = ǀrǀ𝑒𝑖𝜑 : correspond au produit d’une homothétie (rapport ǀrǀ = K ; centre d’homothétie Ω) par une rotation plane d’angle 𝜑 dans le sens trigonométrique autour du point Ω
s : affixe d’un vecteur translation.
Détermination de la similitude plane directe Sα, z1(z) entre le PF et le GF pour toute configuration (𝛼, z1) du PF à l’intérieur du GF Les photos GF et PF ont leurs dimensions correspondantes homothétiques dans le rapport K = 45/15 = 30/10 = 3
Pour amener la taille du PF à celle du GF, il faut faire un agrandissement ǀrǀ = K = 3
Pour amener l’orientation d’angle 𝛼 du PF à la valeur nulle, il suffit de faire une rotation inverse d’angle 𝜑 ≡ - 𝛼 [2𝜋]
Pour amener le point A1(z1) du PF sur le point origine A(0) du GF, il faut w1 = S(z1) = 0 s = -3𝑒−𝑖𝛼z1
L’ensemble des similitudes Sα, z1(z) = 3𝑒−𝑖𝛼(z-z1) fait correspondre bijectivement à tout point M(z) de la photo PF un point M’(w) de la photo GF pour toute configuration (𝛼, z1) du PF à l’intérieur du GF (ex : A1 A ; B1 B ; C1 C ; D1 D)
Propriété particulière de la fonction similitude directe S(z) = rz+s
Dans toute similitude directe, il existe un seul point Ω, appelé « centre de la similitude » dont l’affixe est : 𝜔 = s/(1-r) si r ≠ 1
Le point Ω est le seul point invariant qui a pour image lui-même. Cela signifie que le point Ω est « commun » au PF et au GF.
Calcul de l’affixe 𝜔(𝛼, 𝑧1) du point invariant Ω de la similitude directe Sα, z1(z) Sα, z1(z) = 3𝑒−𝑖𝛼(z-z1) = 3𝑒−𝑖𝛼z - 3𝑒−𝑖𝛼z1 = rz+s ω(𝛼,z1)
On vérifie bien que la condition r = 3𝑒−𝑖𝛼≠ 1 est vraie pour tout 𝛼 donc le point Ω existe toujours ω(𝛼,z1) = s/(1-r) = (-3𝑒−𝑖𝛼z1)/(1-3𝑒−𝑖𝛼) = [3z1/2][(3-cos𝛼)+ i sin𝛼]/(5-3cos𝛼)
En posant z1 = x1+iy1 ; ω(𝛼,z1) = ω1+iω2 Coordonnées (ω1, ω2)de Ω :
ω1 = [3/2][x1(3-cos𝛼)-y1sin𝛼]/(5-3cos𝛼) ω2 = [3/2][x1sin𝛼+y1(3-cos𝛼)]/(5-3cos𝛼)
Réponse :
Le seul point commun aux 2 photos PF et GF est le point invariant Ω de la similitude directe définie par : S(α, z1)(z) = 3𝑒−𝑖𝛼(z-z1) ; z1 : affixe du point A1 ; 𝛼 : angle d’inclinaison (AB, A1B1)
L’affixe ω(𝛼,z1) du point Ω est donnée par : ω(𝛼,z1) = [3z1/2][(3-cos𝛼)+ i sin𝛼]/(5-3cos𝛼)
Construction géométrique du point invariant Ώ commun aux 2 photos
Les droites (AB) et (A1B1) sont sécantes en P. On construit les cercles circonscrits aux triangles AA1P et BB1P.
Le centre de la similitude Ω est l'autre point d’intersection des deux cercles.
Exemple ci-dessous : A1(15, 10) ; 𝛼 : angle d’inclinaison (AB, A1B1) = 30°
Les coordonnées (ω1 , ω2) du point invariant Ω données par le graphique sont identiques à celles obtenues par les formules ω1 = 16,86
ω2 = 18
remarque :
En réalité, toute image photographique possède une structure discontinue. Elle est constituée de points répartis aléatoirement (grains d’argent) ou de points alignés (pixels) sous la forme d’une trame. La « définition » ou nombre total de points contenus dans une image donnée est inchangée, quel que soit le format de l’image. La distance moyenne qui sépare chaque point est représentative de la « résolution » de l’image. Plus les points sont proches, plus la résolution est élevée. Ainsi, un agrandissement diminuant la densité de points fait perdre de la finesse à l’image car sa résolution devient plus faible.
Par construction, le PF et le GF ayant le même nombre total n de points et quelles que soient l’orientation et la position du PF sur la surface du GF, n points du PF sont en contact avec une surface contenant seulement n/9 points du GF (1/9 de l’aire du GF).
