H131– Le jeu de SIM [*** à la main]
Le jeu de Sim imaginé en 1969 par Gustavus J. Simmons a pour terrain initial les six sommets d’un hexagone régulier numérotés de 1 à 6 dans le sens anti-horaire. Deux joueurs munis de deux crayons de couluers différentes (rouge et bleu) s’affrontent en traçant à tour de rôle un des segments qui relient ces points. Ce sont les arêtes ou les diagonales de l’hexagone. Il y a au total C(6,2) = 15 segments susceptibles d’être tracés. Le premier joueur qui trace un
triangle monocolore dont les sommets sont des sommets de l’hexagone a perdu.L’autre joueur est déclaré vainqueur.
Q₁ Démontrer que quel que soit le déroulement d’une partie,il y a toujours un perdant (et donc un vainqueur)
Q₂ Dans la figure n°1, sept segments ont été tracés par les deux joueurs dont quatre par Bleu et trois par Rouge. C’est à Rouge de jouer. Prouver qu’il gagne la partie.
Q₃ Dans la figure n°2, sept segments ont été tracés par les deux joueurs dont quatre par Rouge et trois par Bleu. C’est à Bleu de jouer. Prouver qu’il gagne la partie.
Solution proposée par Daniel Collignon Q₁
Une partie nulle impliquerait d'arriver à colorier les 15 segments sans avoir de triangle monochrome.
Or d'après le principe des tiroirs, parmi les 5 segments partant du sommet 1, trois au moins sont de la même couleur.
Sans perte de généralité, supposons que les segments 12, 13 et 14 soient rouges.
Soit les 3 segments 23, 24 ou 34 sont bleus : le triangle 234 est bleu.
Soit un des 3 est rouge, par exemple 23, et alors le triangle 123 est rouge.
Contradiction : il n'y a donc pas de partie nulle.
Q₂
La stratégie de chaque joueur consiste à
1) recenser dans un premier temps tous les segments susceptibles d’être tracés sans entraîner de perte immédiate
2) ne pas tracer un segment interdit pour l’adversaire (ce serait lui rendre un grand service
3) compléter en priorité les triangles ayant deux côtés de couleurs différentes
Si Bleu joue 13, 25, 26 ou 56, alors il a perdu (respectivement 123, 235, 236, 356).
Si Rouge joue 13 ou 46, alors il a perdu (respectivement 134, 146).
Rouge joue 24.
Bleu répond 15, 45 ou 46.
Rouge répond respectivement 45, 15 ou 45.
Bleu répond respectivement 46, 46 ou 15.
Rouge répond 26.
Bleu est alors obligé de jouer un coup perdant parmi 13, 25 ou 56 : Rouge gagne Q₃
Même méthode de résolution que pour Q₂ .
Bleu peut tracer l’un quelconque des 6 segments 13,23,34,35,36,45 et 46 sans perte
immédiate. Rouge peut également tracer 6 segments 13,15,23,34,35 et 45 à l’exclusion de 46.
Bleu joue 45. Rouge peut jouer 13,15,23,34,35,36 mais 15 est déconseillé car c’est un segment interdit pour Bleu. Il reste donc 13,23,34,35,36
1) Rouge joue 13 – Il introduit un nouveau segment interdit : 34. Bleu joue alors 36 et Rouge ne peut pas surmonter le handicap d’un segment interdit de plus que Bleu.
2) Rouge joue 23 – Il introduit 2 nouveaux segments qui lui sont interdits : 34 et 36. Ce coup est à proscrire pour lui.
3) Rouge joue 34 – Il introduit un nouveau segment interdit : 23. Même configuration que s’il joue 13.
4) Rouge joue 35 – Il introduit un nouveau segment interdit : 36. Même configuration que s’il joue 13.
5) Rouge joue 36 – Il introduit 2 nouveaux segments qui lui sont interdits : 23 et 35. Ce coup est à proscrire pour lui.
Conclusion : Bleu gagne la partie
