Feuille d’exercices n

Feuille d’exercices n

3

Exercice 1. Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes.

(1) °

n¥0

3n² 17n 5 n 5 zⁿ; (2) °

n¥0

np2q^{n 1}zⁿ; (3) °

n¥0

2 cospnq zⁿ; (4) °

n¥1 nⁿ

n!zⁿ; (5) °

n¥1

cosp1{nqn^α

zⁿ, où αPR; (6) °

n¥0eⁿzⁿ²; (7) °

n¥0

n!zⁿ²; (8) °

n¥1

1 ^p_n^1qnn²

zⁿ.

Exercice 2. Déterminer le rayon de convergence R et la somme dans l’intervalle s R, Rrdes séries entières suivantes.

(1) °

n¥1

n²xⁿ; (2) °

n¥a 1 1

naxⁿ, où aPN; (3) °

n¥2 n n²1xⁿ; (4) °

n¥0 1 2n 1xⁿ. (5) °

n¥1

cosp2nπ{3q n xⁿ (6) °

n¥0

w_nxⁿ, où w_n³π{2

0 cosptqn

dt.

Exercice 3. Développer en série entière les fonctions suivantes, en précisant à chaque fois le plus grand disqueDp0, Rq ou le plus grand intervalle s R, Rr possible.

(1) fpzq _z¹_a, où aP C;

1

(2) fpzq _{1 z z}¹ 2;

(3) fpzq _z22^zpcos^sina^aqz 1, où a PR; (4) fpzq _p1zqp¹_1z3q;

(5) fpxq log ?

1 x ?

1x

(dériver f);

(6) fpxq ^arcsin?_1x^px2^q (montrer que f est solution d’une équation différentielle simple).

Exercice 4. Montrer que pour toutxP R, on achpxq ¤ e^x2{2.

Exercice 5. Soit fpzq °⁸

n0

c_nzⁿ la somme d’une série entière de rayon de conver- gence infini. Montrer que pour tout r¡0, on a

c_nrⁿ 1 2π

»_2π

0

e^intfpre^itqdt.

Exercice 6. Soit fpzq °⁸

n0

c_nzⁿ la somme d’une série entière de rayon de conver- gence infini. On suppose qu’il existe un entier N et deux constantes a, b ¥ 0 tels que

@z PC : |fpzq| ¤ a|z|^N b.

En utilisant l’Exercice 5, montrer que f est une fonction polynômiale de degré¤N.

Exercice 7. Soit fpzq °⁸

n0c_nzⁿ la somme d’une série entière de rayon de conver- gence infini. On suppose qu’il existe une constanteC telle quefpzq Ope^C|z|qquand

|z| tend vers l’infini.

(1) En utilisant l’Exercice 5, montrer qu’il existeR ¡0 et une constante A tels que|c_n|rⁿ ¤Ae^Cr pour tout r¡R.

(2) En déduire qu’on a|c_n| Op^Ce_n qⁿ quand n tend vers l’infini.

Exercice 8. Soit f :RÑR la fonction définie par fpxq e^x

2 2

»_x

0

e^t

2 2 dt.

(1) Montrer que f vérifie une équation différentielle simple.

(2) En déduire que f est développable en série entière sur R et déterminer son DSE.

Exercice 9. Le but de l’exercice est de calculer S ¸

n¥1

p1q^{n 1} np2n 1q

(1) Justifier que S est bien défini.

(2) Déterminer le rayon de convergenceRde la série entièreΣ °

n¥1

p1q^{n 1} np2n 1qx^{2n 1}. (3) PourxP s R, Rr on pose fpxq °

n¥1

p1q^{n 1} np2n 1qx^{2n 1}. (a) Exprimer f¹pxqau moyen des fonctions usuelles.

(b) En déduire une expression de fpxq pourxP s R, Rr. (4) Calculer S.

Exercice 10. Le but de l’exercice est de calculer la somme S ¸⁸

n2

p1qⁿ npn1q (1) Déterminer le rayon de convergenceR de la série entière °

n¥2 p1qⁿ npn1qxⁿ. (2) Dans cette question on veut calculerfpxq °₈

n2 p1qⁿ

npn1qxⁿ pourxP sR, Rr; ce qu’on va faire de 2 façons différentes.

(a) 1ère méthode. En remarquant que 1

npn1q 1 n11

n,exprimerfpxq à l’aide de fonctions usuelles.

(b) 2è méthode. Exprimer f¹pxq à l’aide de fonctions usuelles, et en déduire fpxq.

(3) Calculer S.

Exercice 11. Soit pb_nqnPN une suite de nombres réels positifs. On suppose que la série entière °

bnzⁿ a pour rayon de convergence R ¡ 0. Montrer que, même si la série °

bnRⁿ diverge, on peut écrire que lim

xÑR

¸8 n0

b_nxⁿ ¸⁸

n0

b_nRⁿ.

Exercice 12. Soit pa_nqn¥0 une suite de nombres complexes, et pb_nqn¥0 une suite de nombres réels, avec b_n ¡0 pour tout n. On suppose que ^a_bⁿ

n admet une limite λ0 quand n Ñ 8. On suppose également que la série entière °

b_nzⁿ a pour rayon de convergence R 1, et que la série°

b_n diverge.

(1) Montrer que la série entière°

a_nzⁿ a un rayon de convergence égal à1.

(2) En utilisant l’Exercice 11 et un raisonnement “de type Cesàro”, montrer qu’on a

xÑ1lim

°8 n0

a_nxⁿ

°8 n0

b_nxⁿ λ.

Exercice 13. Soit f :s 1,1rÑR la fonction définie par fpxq ¸⁸

n0

xⁿ². (1) Justifier la définition.

(2) Soit x P r0,1r. Montrer que pour tout n P N, on a ³_{n 1}

n x^t2dt ¤ xⁿ² ¤

³n

n1x^t2dt, et en déduire l’encadrement

»₈

0

x^t2dt¤fpxq ¤1

»₈

0

x^t2dt.

(3) On rappelle que l’intégrale ³₈

0 e^u2du vaut ?

π{2. En utilisant (2), montrer que

fpxq

?π 2a

|logpxq|

?π 2?

1x quand xÑ1.

Exercice 14. Soit Σ°

a_nxⁿ de rayon de convergence égal à 1. On suppose que fpxq ¸⁸

n0

anxⁿ admet une limite l quand xÑ1. La question est de savoir si la série °

a_n converge.

(1) Montrer que la réponse est “non” en général. (Considérer a_n p1qⁿ.) (2) Montrer que la réponse est “oui” si les a_n sont réels ¥0.

(3) Dans cette question, on suppose que a_n op1{nq quand n Ñ 8. On veut montrer que °

a_n converge et a pour somme l. (Ce résultat s’appelle le théorème de Tauber.)

(a) Pour N PN, on pose x_N 1 _N¹₁ Montrer qu’on a

f x_N

¸N n0

a_n ¤

¸N n0

a_n xⁿ_N 1

¸8 nN 1

a_nxⁿ_N

¤ 1

N 1

¸N n0

na_n sup

n¥N 1

na_n ¸⁸

nN 1

xⁿ_N n (b) Conclure.

Exercice 15. Soit R ¡ 0, et soit f : r0, RrÝÑ R une fonction de classe C⁸. On suppose que toutes les dérivées de f sont positives, i.e.

@k PN@xP r0, Rr: f^pkqpxq ¥0.

(1) PourxP r0, RretnP N, on poseR_npxq ³₁

0 p1sqⁿ

n! f^{pn 1q}psxqx^{n 1}ds. Montrer que si 0¤x a R, alors

0¤R_npxq ¤x a

n

R_npaq ¤x a

n

fpaq.

(2) Montrer que f est “développable en série entière sur r0, Rr” , autrement dit que

@xP r0, Rr: fpxq ¸⁸

k0

f^pkqp0q k! x^k.

Exercice 16. En utilisant l’Exercice 15, montrer que fpxq tanxest développable en série entière sur s ^π₂,^π₂r.

Exercice 17. Soitf :RÑRla fonction définie parfpxq 0six¤0etfpxq e^1{x six¡0. Montrer quef est de classeC⁸, mais n’est pas développable en série entière au voisinage de 0.

Exercice 18. Soit f :RÑR la fonction définie par fpxq ¸⁸

n0

cosp2ⁿxq

n!

(1) Justifier la définition; puis montrer que f est de classe C⁸ sur R et calculer f^pkqp0q pour tout kPN.

(2) Montrer que f n’est pas développable en série entière au voisinage de 0.

Exercice 19. Soit f une fonction développable en série entière dans un disque Dp0, Rq, et vérifiant fp0q 0. Le but de l’exercice est de montrer que la fonc- tion g 1{f est développable en série entière au voisinage de 0, en utilisant une autre méthode que celle vue en cours. Dans la suite, on écrira fpzq °⁸

n0

a_nzⁿ. (1) Montrer qu’il existe une unique suite de nombre complexe pb_nq telle que

l’identité

fpzq ¸⁸

n0

b_nzⁿ 1

soit formellement satisfaite. (Calculerb₀, et déterminer une relation de récur- rence vérifiée par pb_nq.)

(2) Justifier l’existence d’un δ¡0tel que °⁸

n1

|a_n|δⁿ ¤a₀ (3) Montrer à l’aide de (2) qu’il existe une constante C telle que

@nPN : |bn| ¤ Cⁿ

|a₀|

(4) Montrer que le rayon de convergence de la série entière°

bnzⁿest strictement positif, et conclure.

Exercice 20. SoitΣ°

a_nzⁿ une série entière de rayon de convergenceR ¡0. On suppose que la suitepa_nqestpériodique, autrement dit qu’il existe un entier ptel que

@nPN : a_{n p} a_n. Montrer que fpzq °⁸

n0

a_nzⁿ est une fonction rationnelle.

Exercice 21. Le but de l’exercice est de calculer la somme S ¸

n¥0

1 p3nq! (1) Justifier que Spxq °⁸

n0 x³ⁿ

p3nq! est bien défini pour tout xPR.

(2) Soit j e^2iπ{3. Calculer 1 j^k j^2k pour tout entier k PN, et en déduire le développement en série entière de e^x e^jx e^j2x.

(3) Calculer Spxqpour tout xPR, et conclure.

Exercice 22. Le but de l’exercice est d’établir la formule

»₁

0

logpxqlogp1xqdx ¸⁸

k1

1 kpk 1q²

(1) Montrer que la fonction f définie sur s0,1r par fpxq logpxqlogp1xq se prolonge par continuité à r0,1s, et donner les valeurs de fp0q etfp1q.

(2) Pour tout entier k¥1, on définitu_k :r0,1s ÑR par u_np0q 0 et u_kpxq 1

kx^klogpxq si 0 x¤1.

(a) Montrer que la série°

u_kconverge simplement surr0,1set que sa somme vaut f.

(b) Étudier chaque fonction u_k sur r0,1s, puis montrer que la série ° u_k converge en fait normalement sur r0,1s.

(c) Calculer ³1

0x^klnpxqdx pour tout k¥1.

(3) Conclure.

Exercice 23. Soit p P N. Pour n P N, on note Kn,p le nombre de p-uplets pk₁, . . . , k_pq PN^p tels que k₁ k_p n.

(1) Montrer que pour tout xP s 1,1r, on a 1

p1xq^p ¸⁸

n0

K_n,pxⁿ.

(2) En déduire K_n,p pour toutn PN.

Exercice 24. Pour n P N, on note a_n le nombre de couples pp, qq P N² vérifiant p 5q n.

(1) Montrer que la série entière°

a_nzⁿ a un rayon de convergence au moins égal à1.

(2) PourxP s 1,1r, on posefpxq °⁸

n0

a_nxⁿ. Établir l’identité fpxq 1

1x 1 1x⁵ (3) En déduire que

fpxq p1 x x² x³ x⁴q ¸⁸

k0

pk 1qx^5k.

(4) Pour n P N, exprimer an en fonction du quotient k kn de la division euclidienne de n par 5.

(5) Calculer a₃₇₇₃.

Exercice 25. Soit pu_nq la suite réelle définie paru₀ 1et la relation de récurrence u_{n 1}

¸n k0

u_ku_nk. Les u_n s’appellent les nombres de Catalan.

(1) Montrer qu’il existe une constanteC telle que @nP N : u_n ¤ _pn^Cn_1q² (2) En déduire que la série entière °

n¥0

u_nxⁿ a un rayon de convergenceR non nul.

(3) PourxP s R, Rr, on pose fpxq °⁸

n0

unxⁿ.

(a) Montrer que f satisfait l’équation fonctionnellexf²pxq fpxq 10.

(b) En déduire qu’il existe ρ¡0 tel que pour tout x non nul dans s ρ, ρr, on a

fpxq 1? 14x

2x

(4) En utilisant (3), trouver une expression de u_n en fonction de n.

Exercice 26. Pour tous les entiersk etn tels quen¥1et 0¤k ¤n, on noteDn,k

le nombre de permutations σ de l’ensemble t1, . . . , nu ayant k points fixes, c’est à dire telles que

# iP t1, . . . , nu; σpiq i( k.

On pose également D_0,0 1, et d_n D_n,0 pour tout n¥1. Ainsi, d_n est le nombre dedérangements det1, . . . , nu, i.e. de permutations sans point fixe.

(1) Dresser la liste de toutes les permutations det1,2,3u et en déduire la valeur deD3,0,D3,1, D3,2 etD3,3.

(2) Montrer que n! °ⁿ

k0

D_n,k pour tout nPN (3) Établir l’identité D_n,k ⁿ_k

D_nk,0. (4) Montrer que la série entière°_dn

n!zⁿ a un rayon de convergence au moins égal à1.

(5) Montrer que pour tout xP s 1,1r, on a e^x

¸8 n0

d_n

n! xⁿ 1 1x

(6) En déduire que pour tout n¥1, on a d_n n!

¸n k0

p1q^k k!

(7) Pourn ¥1, on note p_n la probabilité pour qu’une permutation de t1, . . . , nu prise au hasard soit un dérangement. Déterminer (si elle existe) la limite de p_n quand nÑ 8.

Exercice 27. Étant donné n P N, on dit qu’une permutation σ de t1, . . . , nu est une involution si on a σσpkq k pour tout kP t1, . . . , nu. On noteI_n le nombre d’involutions det1, . . . , nupour n¥1, et on pose I₀ 1.

(1) Montrer que sin ¥1, alors I_{n 1} I_n nI_n1 (Pour kP t1, . . . , n 1u, compter le nombre d’involutions det1, . . . , n 1u vérifiant σpn 1q k.)

(2) Montrer que la série entière°_In

n!zⁿ a un rayon de convergence au moins égal à1.

(3) PourxP s 1,1r, on poseSpxq °

n¥0 In

n!xⁿ. (a) Établir l’identité S¹pxq p1 xqSpxq.

(b) En déduire une expression de Spxq en fonction dex.

(4) En utilisant (3b), donner une expression de I_n.

Exercice 28. Dans cet exercice, on considère desvariables aléatoires à valeurs dans N; et pour abréger, on écrira “va entière” au lieu de “variable aléatoire à valeurs dans N”. Si X est une va entière, la fonction génératrice de X est la fonction G_X :r1,1s ÑRdéfinie par

GXpsq ¸⁸

k0

PpX kqs^k.

(1) Justifier la définition, et montrer queG_X est continue surr1,1s et de classe C⁸ sur s 1,1r.

(2) Montrer quela fonction génératrice détermine la loi : si X1 etX2 sont deux va entières telles que GX1 GX2, alors PpX1 kq PpX2 kq pour tout kP N.

(3) Calculer G_X dans les cas suivants :

(i) X suit une loi de Bernoulli de paramètre p;

(ii) X suit une loi binomiale Bpn, pq;

(iii) X suit une loi de Poisson de paramêtre λ¡0.

(4) Montrer que si X et Y sont des va entières indépendantes, alors G_{X Y} G_X G_Y.

(5) Établir les résultats suivants :

(a) si X etY sont des va entières indépendantes suivant des lois de Poison Ppλq etPpµq, alors X Y suit la loi de Poisson Ppλ µq;

(b) si X₁, . . . , X_n sont des va entières indépendantes suivant toutes la même loi de Bernoulli de paramètre p, alorsX₁ X_n suit la loi binomiale Bpn, pq.

Exercice 29. Montrer que l’équation différentiellep1 x²qy²pxq2ypxq 0possède une unique solutionf développable en série entière sur s 1,1ret vérifiantfp0q a₀ etf¹p0q a₁, où a₀, a₁ PR sont donnés.

Exercice 30. Soit a¡0. Déterminer les solutions de l’équation différentielle p1t²qx²tx¹ a²x0

développables en série entière sur s 1,1r. Exercice 31. Soient pptq °₈

0 p_ntⁿ et qptq °₈

0 q_ntⁿ deux fonctions à valeurs réelles développables en série entière dans un intervalle s R, Rr. On considère l’équation différentielle

(E) x² px¹ qx 0.

(1) Soient a0, a1 P R. Montrer qu’il existe une unique suite panqn¥2 telle que la série entière °₈

0 a_ntⁿ soit formellement solution de l’équation (E), et déter- miner une relation de récurrence vérifiée par les coefficientsa_n.

(2) Montrer que pour tout r P s0, Rr, il existe une constante C C_r   8 telle que

pn 2qpn 1q|pn| ¤ C

rⁿ¹ et |qn| ¤ C rⁿ pour toutn PN.

(3) Soient r P s0, Rr, n P N et M ¡ 0. On suppose qu’on a |a_i| ¤ M rⁱ pour tout iP t0, . . . , n 1u. Montrer que si _n^2Cr₂ ¤ _r¹2, alors |an 2| ¤M rⁿ². (4) Montrer que pour a₀, a₁ P R donnés, l’équation (E) possède une unique so-

lution ϕ développable en série entière sur s R, Rr vérifiant ϕp0q a₀ et ϕ¹p0q a₁.

Exercice 32. Soit pa_nqnPN la suite définie par a₀ 0 et la récurrence a_n n1 2

n

n¸1 k0

a_k. (1) Montrer que fptq °

n¥0

antⁿ vérifie formellement l’équation différentielle

() x¹ptq 2xptq

1t

2t p1tq²

2t² p1tq³

(2) Résoudre l’équation () sur s 1,1r, et trouver la solution vérifiantxp0q 0.

(On doit obtenir xptq _p1²_tq² log₁¹_t t .)

(3) En déduire une expression de a_n en fonction de H_n °ⁿ

k1 1 k. (4) Montrer qu’on a a_nOpnLognqquand n Ñ 8.