DUREE DE L’EXAMEN : 2 HEURES Les notes de Cours, de TD et de TP sur support papier sont autorisées.

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MN70 – Modélisation numérique et codes industriels Final Printemps 2016 – F. Peyraut, M. Domaszewski

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DUREE DE L’EXAMEN : 2 HEURES

Les notes de Cours, de TD et de TP sur support papier sont autorisées.

L’usage de moyens électroniques (ordinateur, téléphone, traducteur automatique etc.) est interdit. Les calculatrices sont autorisées.

Les problèmes de thermique et de mécanique des solides sont à rendre sur des feuilles séparées.

L’ensemble des questions représente un total de 25 points. Le final sera noté sur 20, sans appliquer de règle de trois. Il y a donc 5 point bonus.

CONDUCTION THERMIQUE (20 POINTS)

On considère le problème de conduction thermique en 2D-plan associé au maillage de la Figure 1 avec une source volumique de chaleur (W/m³) nulle sur chacun des quatre triangles du maillage. Les numéros de nœuds sont inclus dans les cercles et les numéros d'éléments dans les carrés. L'origine du repère se situe au nœud 6. La convention de numérotation locale des nœuds qui devra être respectée pour les calculs éléments finis est indiquée sur la Figure 2.

Figure 1 – Maillage éléments finis 2D-plan Figure 2 – Convention de numérotation locale

Q1) (1 point) On suppose qu’une température de 5°C est imposée sur les nœuds 1, 2, 3 et 4. Les températures calculées par ANSYS sont données dans le listing de la Figure 3. Ces températures sont- elles logiques ? Justifier votre réponse à l’aide de l’équation de diffusion de la chaleur et des conditions aux limites.

NODE TEMP

1 5.0000

2 5.0000

3 5.0000

4 5.0000

5 5.0000

6 5.0000

Figure 3 – Listing des températures aux nœuds – 2D plan

Q2) (2.5 points) On se propose de vérifier le résultat de la question Q1) en réalisant un calcul éléments finis à la main. Assembler la matrice de conductivité et le second membre, inverser le système linéaire correspondant et calculer les températures aux nœuds 5 et 6 (on pourra se servir des résultats établis en Travaux Dirigés en les adaptant aux endroits adéquats).

x y

1 2

3 4

1 2 3

6 5

4

q

q q q

1 m

1 m 1 m

I III II

I II

III

(2)

2/4

Q3) (2.5 points) Par rapport aux deux questions précédentes, on change les conditions aux limites en imposant la température aux nœuds de la manière suivante : T1=T6=10°C ; T3=T4=20°C. Les températures T2 et T5 sont libres. En utilisant l’équation de diffusion de la chaleur, montrer qu'un champ de températures de la forme T(x,y)=Ax+By+Cxy+D est solution du problème. En utilisant les conditions aux limites, calculer les valeurs des constantes réelles A, B, C et D. En déduire les valeurs de T2 et T5.

Q4) (2.5 points) On se place dans les mêmes conditions que la question Q4). Assembler la matrice de conductivité et le second membre, inverser le système linéaire correspondant et calculer les valeurs de T2 et T5 (on pourra à nouveau se servir des résultats établis en Travaux Dirigés en les adaptant aux endroits adéquats). Comparer les températures nodales obtenues numériquement à la main avec les températures obtenues à la question précédente.

On travaille désormais en 2D-axisymétrique et on considère une source volumique de chaleur interne constituée par un produit entre un polynôme et une fonction exponentielle :

(1) L’objectif des questions Q5) à Q11) qui suivent est de comprendre comment la méthode des éléments finis gère une source volumique de chaleur non constante. On considère pour cela un maillage très simple constitué d’un seul élément (Figure 4). La convention de numérotation locale des nœuds qui devra être respectée pour le calcul éléments finis est indiquée sur la Figure 5. La conductivité du matériau est prise égale à 10 W/(m °C) et une température de 10 °C est imposée sur la base inférieure d’équation z=0. Un calcul élément fini réalisé avec ANSYS donne le listing de la Figure 6.

Figure 4 – Maillage éléments finis 2D-axisymétrique Figure 5 – Convention de numérotation locale

NODE TEMP

1 10.000

2 10.000

3 12.337

Figure 6 – Listing des températures aux nœuds – 2D axisymétrique

On rappelle par ailleurs que le second membre élémentaire be associé au triangle courant Te est donné en 2D-axisymétrique par la formule :

Rappel TD : (2)

Où NI, NII et NIII représentent les fonctions de forme associées aux sommets AI, AII et AIII du triangle Te. r

z

1 2

3

1

q

1 m

I II

III

(3)

3/4

Q5) (1 point) On note rI, rII et rIII les premières coordonnées de chaque sommet du triangle Te. En utilisant l’équation (2) et en effectuant un changement de variable sur le triangle de référence , montrer que:

(3)

Avec : ; (4)

Q6) (1.5 points) On pose : . Montrer que :

Q7) (1.5 points) La source volumique de chaleur n’étant pas constante, on se propose d’approximer le second membre be de l’équation (3) par une formule de quadrature utilisant les points de Gauss du triangle de référence :

(6) En utilisant les équations (3), (5) et (6), montrer que :

…

… (7)

Q8) (1.5 point) La formule (7) n’est malheureusement pas utilisable en l’état car un logiciel aux éléments finis ne connaît généralement qu’aux sommets de chaque élément (se rappeler à ce sujet les cases VAL1, VAL2, VAL3 et VAL4 pour la définition du Heat Generation par élément dans le premier TP de thermique). On approxime donc la fonction par :

(8) Où on a posé :

En utilisant les équations (7) et (8), montrer que :

(9)

(4)

4/4

Q9) (2.5 points) En utilisant la formule (9) et le maillage de la Figure 4, montrer que le second membre élémentaire associé à l’élément 1 est donné par :

(10) Où on a posé :

Q10) (2.5 points) Assembler la matrice de conductivité (on pourra se servir des résultats établis en Travaux Dirigés en les adaptant aux endroits adéquats), écrire le système linéaire à résoudre, inverser la matrice de ce système en détaillant toutes les étapes et déterminer la température au nœud 3.

Comparer le résultat avec le listing de la Figure 6.

Q11) (1 point) Montrer que la formule (10) est compatible avec le second membre de l’élément 1 qui a été calculé en TD dans le cas particulier où la source volumique de chaleur est constante.

EXERCICE III – MÉCANIQUE DES SOLIDES (5 POINTS)

Considérons un élément réel 1-D de barre en traction/compression de longueur L à trois nœuds et 1 d.d.l. par nœud avec un chargement axial réparti constant q (voir Fig.).

En utilisant une approximation quadratique du déplacement axial u(x) on obtient trois fonctions de forme suivantes :

Calculer les forces équivalentes nodales.

Vérifier si vos résultats sont corrects en calculant la somme des forces équivalentes.

Pourquoi les trois forces équivalentes calculées sont-elles différentes ?

x

1 2 3

x1 = 0 x2 =L/2 x3 = L

Fig.

q q