1.
a) L’excentricité est
2
2 10
11 ² 30
²
1
70 000 5 10 6,674 10 2 10 1 0,8461
p p c
ms Nm
kg
e v r GM
m
kg
b) Puisque l’excentricité est entre 0 et 1, l’orbite est elliptique.
c) La distance est
10
10
1 1 cos
1 0,8461 5 10 1 0,8461 cos 90 9, 23 10
p
r r e e
m m
Ce qui est 92,3 millions de km.
2.
Le temps entre les deux configurations a et b correspond au quart de la période de la planète X. Il est donc égal à1 3
42
rX
t GM
On doit trouver à quel pourcentage de la période de la planète Y ce temps correspond.
On doit donc faire le rapport de ce temps et de la période de la planète Y. On va appeler ce rapport f.
3
3
3 3
3 3
12 4
2
4 1 4
Y
X
Y
X Y
X Y
f t T
r GM r GM r
r r r
Puisque rX 3rY, on arrive à
33
3 3
1 3 4
27 1 4 1 27 4 1, 299
Y Y
Y Y
f r
r r r
Le déplacement angulaire de la planète Y est donc 1, 299 360 467, 7
3.
La distance est
11 11
1
1, 496 10 1 0, 01671 1, 471 10
rp a e m m
4.
La distance est
11 11
1
1, 496 10 1 0, 01671 1,521 10
ra a e m m
5.
La vitesse est11 ² 30
² 11
1 1
6,674 10 1,9885 10 1 0,01671
1,496 10 1 0,01671
30 286
p
Nm kg
m s
GM e
v a e
kg m
6.
La vitesse est11 ² 30
² 11
1 1
6, 674 10 1,9885 10 1 0,01671
1, 496 10 1 0,01671
29 291
A
Nm kg
m s
GM e
v a e
kg m
7.
La période est
3
11 3
11 ² 30
² 7
2
1,496 10
2 6,674 10 1,9885 10 3,156 10
365,26
Nmkg
T a
GM
m
kg s
j
8.
L’énergie est11 ² 30 24
²
11 33
2
6,674 10 1,9885 10 5,972 10 2 1, 496 10
2,649 10
mec
Nmkg
E GMm a
kg kg
m J
9.
En prenant les valeurs au périhélie, le moment cinétique est
24 11
² 40
5,972 10 30 286 1,471 10 2,661 10
p p
ms kgm
s
L mv r
kg m
10.
a) La vitesse est11 ² 30
² 11 11
2 1
2 1
6, 674 10 1,9885 10
1,5 10 1, 496 10 29, 705
c
Nm kg km
s
v GM
r a
kg m m
b) On trouve l’angle avec la formule suivante.
1 2
1 cos a e
r e
Ce qui donne
2
11 2
11
1
1 cos
1,496 10 1 0,01671 1,5 10
1 0,01671 cos a e
r e
m m
En isolant l’angle, on obtient
cos 0,1762 100, 2
c) Comme le moment cinétique est conservé, on doit avoir sin
L mvr
On a donc
40 ² 24 11
sin
2,661 10 5,972 10 29 705 1,5 10 sin sin 0,99986
89,05 ou 90,95
kgm m
s s
L mvr
kg m
(Cette valeur est très senseible aux arrondissements…)
11.
1) Dans la première possibilité, on suit une orbite avec les caractéristiques suivantes.11 11
1,5 10 7,8 10
p a
r m
r m
Le demi-grand axe de cette orbite de transfert est
11 11
7,8 10 1,5 10 11
4,65 10
2 2
a p
r r m m
a m
Le temps sera donc de
3
11 3
11 ² 30
² 7
12 2
4,65 10
6,674 10 1,9885 10 8,647 10
1000,8
c
Nmkg
T a
GM
m
kg s
jours
2) Dans la deuxième possibilité, on suit premièrement une orbite qui fait le transfert de la Terre à Vénus avec les caractéristiques suivantes.
11 11
1 10 1,5 10
p a
r m
r m
Le demi-grand axe de cette orbite de transfert est
11 11
1,5 10 1 10 11
1, 25 10
2 2
a p
r r m m
a m
3
11 3
11 ² 30
² 7
12 2
1, 25 10
6,674 10 1,9885 10 1, 205 10
139,5
c
Nmkg
T a
GM
m
kg s
jours
On suit ensuite une orbite qui fait le transfert de Vénus à Jupiter avec les caractéristiques suivantes.
11 11
1 10 7,8 10
p a
r m
r m
Le demi-grand axe de cette orbite de transfert est
11 11
7,8 10 1 10 11
4, 4 10
2 2
a p
r r m m
a m
Le temps pour cette seconde partie est donc
3
11 3
11 ² 30
² 7
12 2
4, 4 10
6,674 10 1,9885 10 7,959 10
921, 2
c
Nmkg
T a
GM
m
kg s
jours
Le temps total de ce deuxième trajet est donc de
139,5 jours + 921,2 jours = 1060,7 jours La première possibilité est donc la meilleure.
12.
En lançant tangentiellement, on a l’orbite suivante.Avec cette orbite, rp est le rayon de la Terre et ra est la plus grande distance entre le centre de la Terre et l’objet.
Avec la conservation de l’énergie, on a 1 2
2 2
GMm GMm
mv R a Puisque la vitesse est
0,85 0,85 2 v vlib
GM R
On arrive à
2
2
2
2
2
1 2
2 0,85 2
1 2
2 0,85 2
1 1 1
0,85 2
1 1
0,85 1
2 2 1 0,85
200 111
GM GMm GMm
m R R a
GM GMm GMm
m R R a
R R a
R a
a R a R
Puisque
p a 2 r r a On arrive à
2200 111 400 1 111
289 111
a
a
a
r R R
r R
r R
Ceci est la distance entre le centre de la Terre et l’objet. La distance entre l’objet et la surface est
289 111
178 111 178 6371 111
10 217 d ra R
d R R
d R
d km
d km
13.
Pour trouver le temps, on utiliser la 2e loi de Kepler.
1
2 GM rc p e
A t
Si la comète fait un tour complet, on a
1
2
c p ellipse
GM r e
A T
Si la comète passe du point 1 au point 2, l’équation donne
1
2
c p gris
GM r e
A t
En divisant ces deux équations l’une par l’autre, on arrive a
gris ellipse
A t
A T
(Ce qui n’est pas étonnant, puisque la loi de Kepler affirme que les aires sont les mêmes dans des temps égaux. Le rapport des aires est donc égal au rapport des temps.)
Il reste à trouver l’aire de la zone en gris. Cette aire
moitié de l'ellipse triangle
2 2
2 2
2 2
2
2 2
1 2
2 2
1 2
1 1
2 1 1
2
A A A
a e b c
a e
bc
a e
a e ae a e e
On a donc
2 2
2 2
1 1
2 1 1 2
gris ellipse
A t
A T
a e e
t a e T
e t T
Le temps est donc
1 2 1 0,87
2 50
11,15 e t
T t
a
t a
14.
On a 3 équations et 3 inconnus3 3
1 1
2 200
1 1
1 1
1 700
1 1
2 3 888 000 2
c m c
P s
c m c
A s
c c
GM e GM e
v a e a e
GM e GM e
v a e a e
a a
T s
GM GM
Pour résoudre ce système, on va premièrement multiplier la première équation par la deuxième équation.
6 ²
²
1 1
2 200 1 700
1 1
3, 74 10
c c
m m
s s
m c s
GM e GM e
a e a e
GM a
Si on multiplie maintenant la racine de cette équation par la troisième, on obtient
3 6 ²
²
3 9
9 9
3, 74 10 3 888 000 2
7,519034 10 2 7,519034 10 2
1,196691 10 1196 691
c m
s
c
c c
GM a
s a GM
GM a
m a GM
m a
a m
a km
De là, on peut trouver la masse de la planète
3
9 3
11 ²
² 25
3 888 000 2
1,196691 10 3 888 000 2
6, 674 10 6, 706 10
c
Nm c kg c
s a
GM s m
M
M kg
On peut trouver l’excentricité avec une des formules de vitesse. On peut aussi la trouver en divisant les deux formules de vitesse.
1
2 200 1
1 700 1
1
2 200 1 1
1 700 1 1
22 1 17 1
22 1 17 1
22 22 17 17
5 39 5 0,1282 39
c m
s m
s c
m
s c
ms c
GM e
a e
GM e
a e
GM e a e
a e GM e
e e
e e
e e
e e
15.
a) La vitesse est11 ² 30
² 10
2
2 ,674 10 1,9885 10 5 10
72,86
soleil p
Nm kg
km s
v GM r
kg m
b) Comme on sait que l’énergie mécanique est nulle sur une trajectoire parabolique, on peut trouver la vitesse avec la conservation de l’énergie
2
2
11 ² 30
2 ²
11
0 1 2 0 1
2
,674 10 1,9885 10 0 1
2 2 10
36, 43
c
c
Nmkg
km s
mv GM m r v GM
r v kg
m v
16.
On peut trouver la vitesse avec la formule de l’excentricité.
2
2 10
11 ² 30
²
1
1, 2 5 10 1
6,674 10 1,9885 10 76, 42
p p c p
Nmkg
p kms
e v r GM
v m
kg v
b) On pourra trouver sa vitesse avec la conservation de l’énergie. Sur cette trajectoire, l’énergie est
1
2
c mec
p
GM m e
E r
On a donc
2
2
11 ² 30 11 ² 30
² 2 ²
10 11
6 2 6
1 1
2 2
1 1
2 2
,674 10 1,9885 10 1 1, 2 1 ,674 10 1,9885 10
2 5 10 2 2 10
2,6542 10 1 6,6356 10
2 43,10
c c
p
c c
p
Nm Nm
kg kg
J J
kg kg
km s
GM m e GM m
r mv r
GM e GM
r v r
kg kg
m v m
v v
17.
a) Pour connaitre la forme de l’orbite, on va calculer le signe de l’énergie mécanique de la comète. Cette énergie est1 2
2
c mec
E mv GM m
r
On n’a pas la masse de la comète, mais de toute façon, on ne veut savoir que le signe de l’énergie. On a donc
2
11 ² 24
2 ²
11
²²
1 2
6,674 10 5,972 10 1 100
2 10
1014, 2872
mec T
Nmkg ms
ms
E m v GM r m kg
m m
Comme la valeur est positive, l’orbite est hyperbolique.
b) On sait que
1014, 2872m²²
mec s
E m
Au point le plus près de la Terre, on aura donc
²²
2² 2
²
1014, 2872 1
2 1014, 2872 1
2
T m
s p
p m T
p s
p
m mv GM m
r v GM
r
Il nous faut une deuxième équation pour résoudre. Cette deuxième équation est la conservation du moment cinétique.
11
10 ² 10 ²
sin
100 10 sin 0,5 8,7265 10
8,7265 10
p p
ms p p
ms p p
ms p
p
vr v r
m v r
v r
v r
En remplaçant cette valeur dans l’équation de l’énergie, on arrive à
4 3
4 3
² 2
²
10 ² 2
²²
21 14
² ²
²² 2
2 21 14
²² ² ²
2
1014, 2872 1 2 8,7265 10 1014, 2872 1
2
3,8076211 10 3,9857128 10 1014, 2872
1014, 2872 3,8076211 10 3,9857128 10 1014, 2872 3,
T
ms p
p
ms T
ms
p p
m m
s s
ms
p p
m m m
p p
s s s
p
v GM r
GM
r r
r r
r r
r
9857128 10 14m r p 3,8076211 10 21m² 0 La solution de cette équation quadratique est
214 14 21
14 14
10
3,9857128 10 3,9857128 10 4 1014, 2872 3,8076211 10 ² 2 1014, 2872
3,9857128 10 3,9855190 10 2 1014, 2872
1,938 10 2 1014, 2872 9 553
p
m m m
r
m m
m km
Comme cette valeur est plus grande que le rayon de la Terre, la comète ne frappe pas la Terre. Elle passe cependant très près (à 3182 km de la surface).
c) On peut trouver l’excentricité avec la formule de l’énergie
1
2
c mec
p
GM m e
E r
11 ² 24
² ²
² 6
5
6, 674 10 5,972 10 1
1014, 2872
2 9,553 10
1 4,86 10
1, 0000486
Nm m kg
s
kg m e
m m
e e
18.
Le champ est
2
11 ² 24
² 6 2
6,674 10 5,972 10 6, 471 10
9,518
Nm kg
N kg
g GM r
kg m
19.
Le champ est
3
11 ² 24 6
²
6 3
6,674 10 5,972 10 5,371 10
6,371 10 8, 278
Nm kg
N kg
g GMr R
kg m
m
20.
a) Le champ est
2
11 ² 22
² 6 2
6,674 10 7,34 10
1,737 10 1,624
Nm kg
N kg
g GM r
kg m
b) Le poids de la personne est
70 1,624 113,68
kgN
P mg kg
N
c) Comme le poids de cette personne sur Terre est de 70 kg x 9,8 N/kg = 686 N, le rapport entre le poids sur la Lune et le poids sur Terre est
113,68
0,166 686
N N
Le poids sur la Lune est donc seulement 16,6 % du poids de la personne sur Terre.
21.
On a la configuration suivante.En additionnant les champs, on a
22 3,844 108
Terre Lune
GM GM
g x m x
Puisqu’on veut que le champ soit nul, on doit avoir
2 8 2
2
2 8
2
2 8
8 2 2
2 22
8 2
24
8 2 2
17 2 8
0 3,844 10
3,844 10
3,844 10 3,844 10
7,34 10 3,844 10
5,972 10
3,844 10 0,01229
1, 4776 10 7,688 10
Terre Lune
Terre Lune
Terre Lune
Lune Terre
GM GM
x m x
GM GM
x m x
M M
x m x
m x M x
M
m x kg x
kg
m x x
m
2 2
17 2 8 2
0, 01229
1, 4776 10 7,688 10 0,9877 0
m x x x
m m x x
La solution de cette équation quadratique est x = 346 037 km
Le champ est donc nul à 346 037 km de la Terre.
(Il y a une autre solution à 432 330 km de la Terre. À cet endroit, les champs sont de mêmes grandeurs, mais le champ total n’est pas nul, car les champs sont dans la même direction.)
22.
On va utiliser un axe des x vers la droite et un axe des y vers le haut. Le champ fait par la Lune est vers la gauche, donc vers les x négatifs. Le champ fait par la Lune est
2
11 ² 22
² 8 2
4
6, 674 10 7,34 10 1,5 10
2,177 10
Lx
Nm kg
N kg
g GM r
kg m
Pour trouver la grandeur du champ fait par la Terre, il faut savoir la distance entre la Terre et l’endroit où on veut connaitre le champ. Cette distance est
8
2 8
28
3,844 10 1,5 10 4,126 10
r m m
m
La grandeur du champ fait par la Terre est donc
2
11 ² 24
² 8 3
6,674 10 5,972 10 4,126 10
2,341 10
T
Nmkg
kgN
g GM r
kg m
Pour séparer ce champ en composante, on doit connaitre l’angle . On trouve premièrement l’angle
.
384 400 tan 150 000
68,68
L’angle est donc
180
180 68,68 111,32
Les composantes du champ de la Terre sont donc
3 4
3 3
2,341 10 cos 111,32 8,510 10
2,341 10 sin 111,32 2,181 10
Tx kgN
N kg
Ty kgN
kgN
g
g
Les composantes du champ total sont donc
4 4
3
3 3
2,177 10 8,510 10 1,069 10
0 2,181 10 2,181 10
x Lx Tx
N N
kg kg
N kg
y Ly Ty
kgN kgN
g g g
g g g
La grandeur du champ est donc
2 2
2 2
3 3
3
1,069 10 2,181 10
2, 429 10
x y
N N
kg kg
N kg
g g g
23.
a) La force est
2
11 ² 24 22
²
8 2
20
6,674 10 5,972 10 7,34 10
3,844 10 1,980 10
Nm kg
F GMm r
kg kg
m N
b) Par la troisième loi de Newton, la force est aussi 1,980 10 20N
24.
La force de marée faite par le Soleil est3
2 Soleil Terre
Soleil
Soleil Terre
GM mR F r et la force de marée faite par la Lune est
3
2 Lune Terre
Lune
Lune Terre
GM mR F r Le rapport des deux est donc
3
3
3
3 3
3
22 11 3
2 2
7,34 10 1, 496 10 1,98
Lune Terre Lune Terre Lune
Soleil Soleil Terre
Soleil Terre Lune Lune Terre
Soleil Soleil Terre
Lune Soleil Terre Soleil Lune Terre
GM mR F r
F GM mR
r M r
M r M r M r
kg m
85 1030
3,844 108
32,18
kg m
25.
On doit avoir3
1% de
2 0,01
marées Lune Terre Lune Terre
F mg
GM mR r mg
On a donc
3
3
11 ² 22 6
3 ²
2 0, 01
2 0, 01
2 6, 674 10 7,34 10 6,371 10 0, 01 9,8
8603 951 8604
Lune Terre Lune Terre
Lune Terre Lune Terre
Nmkg
Lune Terre N
kg Lune Terre
GM R r g
GM R
r g
kg m
r
r m km
26.
La distance est3
3 ³
³
2, 42285 2, 42285 1408
5427 1,545
1,545 695 500 1 074 743 km
p p s
kg m
Soleil kg m Soleil
r R
R R
km
À 46 000 000 km, elle n’est vraiment pas en danger.
27.
On va trouver la force nette sur chaque planète. Chaque planète subit la force gravitationnelle des deux autres. Les directions de ces forces sontPuisque la somme des angles d’un triangle doit donner 180°, l’angle doit être 30°.
La distance r se trouve à partir du rayon de la trajectoire (R) avec la loi des cosinus
2 2 2 2
2 2
2 cos 120 2 2 cos 120 3
r R R R
R R
La force de gravitation faite par chaque masse est donc
2 2
3 2
F GMM r G M
R
La composante de cette force dirigée vers le centre du cercle est
2 2
cos 30 3 2
3
3 2
FR F F G M
R
Si on additionne les deux composantes des forces faites par les deux planètes, on a
2 2
2 2
2 2 2
2
3 3
3 2 3 2
3 3
3
R
M M
F G G
R R
G M R G M
R
Cette force doit être égale à la force centripète
2 2
2 2
4 3
3
R M
M G
T R
La période est donc
2 2
2 2
2 2 3
2 3
2
2 10 3
2
11 ² 24
²
2 18 2
9
4
3 1
4 3
4 3
4 3 10 6,674 10 10
1,02455 10 1,0122 10
32,07
Nmkg
R M
M G
T R
GM
T R
T R
GM T m
kg
T s
T s
T ans
28.
a) En lançant ainsi un objet à partir de la surface de la Terre, on arrive à une orbite ressemblant à ceciAvec la conservation de l’énergie, on a 1 2
2 2
GMm GMm
mv R a Puisque la vitesse est
0,85 0,85 2 v vlib
GM R
On arrive à
2
2
2
2
2
1 2
2 0,85 2
1 2
2 0,85 2
1 1 1
0,85 2
1 1
0,85 1
2 2 1 0,85
200 111
GM GMm GMm
m R R a
GM GMm GMm
m R R a
R R a
R a
a R
a R
Pour trouver la valeur de ra, il nous manque la valeur de l’excentricité. Pour la trouver, on va utiliser la deuxième loi de Kepler.
sin p 1
rv GMr e
À la position montrée sur la figure, l’angle entre le rayon et la vitesse est de 135°.
On a donc
sin135 1
1 1
2
p
p
Rv GMr e
Rv GMr e
0,85 0,85 2 v vlib
GM R
On arrive à
2 1
0,85 1
2
0,85 2 1 1
2
0,85 1
p
p
p
R GM GMr e
R
GMR GMr e
R r e
Puisque rp est a (1 – e), on arrive à
2
2 2
0,85 1 1
0,85 1
0,85 1
R a e e
R a e
R a e
Comme on avait
200 111 a R
L’équation devient
2 2
2 2
2
0,85 200 1
111 0,85 111 1
200 0,4009875 1
0,77396
R R e
e e e
Ainsi, la distance maximale est
1
200 (1 0, 77396) 111
3,1963 ra a e R
R
La distance entre l’objet et la surface est donc 3,1963 2,1963 2,1963 6371 13 993
d R R
R
km km
b) Pour connaitre la portée, il faut savoir la valeur de sur l’orbite de l’objet.
Puisqu’au départ, l’objet est à la distance R, la valeur de se trouve avec cette formule
2
2
2
1 1 cos 200 1 0,77396 111 1 0,77396cos 111 1 0,77396 200 1 0,77396cos
cos 0,3585 111,01 a e
r e
R R
On a donc la situation suivante.
Ainsi, l’angle entre le point de départ et la distance maximale ( sur la figure) est 180 111,01
68,99
Comme on a le même angle entre la distance maximale et le point de chute, l’angle entre le point de départ et le point d’arrivée mesurée à partir du centre de la Terre est 137,98°.
Ainsi, la distance entre le point de départ et le point de chute est 137,98
2 6371 360
15 342
x km
km
