A426 – Le partage du trésor
Des pirates d’âges tous différents se répartissent en quatre groupes d’effectifs identiques pour récupérer p pièces d’or enfouies dans l’Ile au Trésor. Pour la répartition du butin, ils se regroupent et conviennent des règles suivantes :
- Ils se mettent tous sur une seule rangée par ordre décroissant d’âge, le doyen occupant la première position 1 jusqu’au plus jeune qui occupe la dernière position.
- Initialement le doyen a entre les mains les p pièces d’or. Quand le plus âgé de deux pirates placés côte à côte détient 2 pièces (ou plus) de plus que son voisin, il donne une pièce à ce dernier.
- Quand il n’y a plus de mouvement de pièces possible, la répartition des pièces se fait selon la configuration finale.
Ils opèrent selon ces règles mais plusieurs pirates parmi les plus jeunes contestent la configuration finale, arguant qu’elle dépend de l’ordre dans lequel se sont effectués les mouvements intermédiaires de pièces.
1) Démontrer que les contestataires ont tort et que la configuration finale est unique.
2) Deux pirates se retrouvent avec le même nombre de pièces et le produit des numéros de leur position dans la rangée est égal au nombre total de pièces. Trouver n et p.
Solution par Patrick Gordon
Remarque
Le fait que les pirates se répartissent en quatre groupes d’effectifs identiques n'est là que pour nous indiquer que leur nombre n est multiple de 4. Cette donnée n'interviendra qu'in fine.
Question 1
Quand le pirate de rang i détient x pièces et celui de rang (i+1), y pièces (x>y), le premier donne au second (en plusieurs fois, si l'on veut respecter l'énoncé à la lettre) le nombre de pièces nécessaires pour égaliser à (x+y)/2, si (x+y) est pair, ou pour établir un écart de 1, soit x' = (x+y+1)/2 et y' = (x+y–1)/2, si (x+y) est impair.
La configuration finale se présente donc comme une séquence non croissante d'entiers, avec des écarts ≤ 1, de somme p, et se terminant par 1.
Dans le cas particulier où le nombre p de pièces est la somme des m premiers nombres entiers, c’est-à-dire où p = m(m+1)/2, on voit aisément que la seule configuration finale possible est : m, m-1… 1.
Dans le cas général où p est compris entre deux nombres de la forme m(m+1)/2, c’est-à-dire où :
p = m(m+1)/2 + k, avec 1 ≤ k ≤ m,
on voit aisément que la configuration finale qui consiste à partir de la configuration p = m(m+1)/2 et à redoubler le chiffre de rang k depuis la droite est la bonne et est unique.
Illustrons ce résultat par le tableau suivant, où : - p est le nombre de pièces,
- m et k ont le sens ci-dessus,
- i est le rang depuis la gauche du début du redoublement (/ si pas de redoublement), - n est le nombre de pirates "servis" (égal à m si k=0, m+1 sinon).
p m k
config.
finale i n
1 1 0 1 / 1
2 1 1 11 1 2
3 2 0 21 / 2
4 2 1 211 2 3
5 2 2 221 1 3
6 3 0 321 / 3
7 3 1 3211 3 4
8 3 2 3221 2 4
9 3 3 3321 1 4
10 4 0 4321 / 4
11 4 1 43211 4 5
12 4 2 43221 3 5
etc.
On remarque que i (qui est noté cette fois depuis la gauche) n'est autre que (n–k); il n'a de sens que si k≠0.
Question 2
Avec ces notations, on cherche p tel que p = i (i+1), c’est-à-dire m et k tels que : m(m+1)/2 + k = (n–k) (n–k+1).
Toutes simplifications faites, on aboutit à l'équation diophantienne : m² – 4mk + 2k² + 5m – 8k + 4 = 0
Le site de Dario Alpern nous donne les solutions de cette équation, dont nous ne retiendrons tout d'abord que les deux premières, car les plus grandes semblent dépourvues de sens pratique (17 822 pièces et 189 pirates, puis 609 180 pièces, puis 20 716 152, etc.)
m k p n
4 2 12 5
31 10 506 32
Seule la seconde donne un nombre de pirates multiple de 4. C'est donc celle que nous retiendrons comme solution unique :
n = 32; p = 506
On remarquera toutefois que la première de ces solutions apparaissait déjà dans le tableau ci- dessus, à la ligne :
p m k config. finale i n
12 4 2 43221 3 5
Autre méthode
On désigne toujours par : - n le nombre de pirates, - p le nombre de pièces,
- i et i+1 les positions (notées toujours depuis la gauche) des deux pirates qui ont le même nombre de pièces.
S'il n'y a pas de redoublement, la répartition finale des pièces est celle d'un "nombre triangulaire" (ex. 4321 avec 10 pièces) et p = n(n+1)/2.
S'il y a un redoublement, il est "inséré" au rang i et il ajoute (n–i) à la somme. Ex. dans la configuration finale 43221, où n=5, la valeur 2 est ajoutée au rang i = 3, mais ce qui est ajouté au total est (n–i) = 2.
Dans ce cas, le chiffre le plus élevé (4 dans l'exemple) n'est plus n mais (n–1) et le nombre total de pièces (hors "insertion") n'est donc plus n(n+1)/2, mais n(n–1)/2.
S'il y a redoublement donc (et c'est le seul cas qui nous intéresse dans cette question), la somme des nombres de pièces dans la configuration finale est p = n(n–1)/2 + (n–i) = n(n+1)/2 – i.
Mais on doit aussi avoir, par hypothèse : i(i+1) = p.
D'où l'équation diophantienne : n(n+1)/2 – i = i(i+1) ou encore :
n(n+1) – 2i(i+2) = 0
qui donne bien les mêmes résultats que la méthode ci-dessus, à condition de repasser de i à p par l'une ou l'autre des expressions de p :
p = n(n+1)/2 – i = i(i+1).
