L3 de sciences de la Terre, F. Chambat, ENS de Lyon.
Documents autorisés : aucun. Durée ∼1 h.
— o —
Exploration de Pluton
En janvier 2006, la sondeNew Horizonsa été lancée deCape Canaveral. Elle a atteint la planète naine Pluton en juillet 2015 et a observé sa surface pendant 3 mois avant de continuer son vol vers la Ceinture de Kuiper. L’observation s’est notamment concentrée sur une dépression circulaire près de son équateur nomméeSputnik Planitia. On pense que la structure de Pluton est, en première approximation, constituée d’un noyau silicaté et d’une croûte de glace d’eau surmontant un océan d’eau liquide (cf. figure 1).
Les trois parties du problème sont indépendantes. Dans la première, le modèle à considérer est à symétrie sphérique. Dans les deux parties suivantes, le modèle est plan.
Dans les deux premières parties on ne tient pas compte de la pesanteur, dans la troisième on en tient compte.
J T Keane et al. Nature1–4 (december 2016) doi:10.1038/nature20120
http://www.nature.com/nature/journal/v540/n7631/f ull/nature20120.html
Les relations
« physiques » entre Pluton, Charon et Sputnik Planitia.
https://phys.org/news/2016-11-horizons-mission-water-ice-ocean-lies.htmlet https://arxiv.org/abs/1606.04840
X 1186 km
Beaucoup de structures
extensives visibles, pas de structures compressives : Pluton a gonflé ! Pour faire gonfler Pluton, il « suffit » de faire geler un océan profond et d’épaissir la
« banquise » augmentation de volume.
Figure 1 – Gauche : Couple Pluton-Sharon. Droite : Coupe de Pluton, avec un noyau silicaté (vert), un océan d’eau liquide (bleu foncé) et un une croûte de glace d’eau (bleu clair). Sur l’hémisphère droit, on voit l’illustration de la dépression Sputnik Planitia.
14 points
2 Examen du cours « Élasticité »
Régime tectonique élastique global
1. Du fait du refroidissement de Pluton, l’océan cristallise continument à son som- met. Déduire de la cristallisation, si le volume de Pluton augmente, diminue, ou reste constant.
2. On modélise alors la croûte de glace par une coquille sphérique élastique comprise entre deux rayons R0 et R > R0, dont on se donne le déplacement à la base ~u(R0) = u(R0)~er. On suppose que le déplacement induit dans la croûte est statique, à symétrie radiale. Quelle est l’équation vérifiée par le déplacement~u(r)?
3. Résoudre cette équation en fonction de constantes d’intégration.
4. En déduire les composantes du tenseur des contraintes, en coordonnées sphé- riques.
5. Appliquer la condition au bord externe de Pluton, et en déduire que les compo- santes tangentielles du tenseur des contraintes en surface s’écrivent :
σθθ(R) =σφφ(R) = 2µ3λ+ 2µ λ+ 2µ
u(R) R . Donner les autres composantes du tenseur des contraintes en surface.
6. Selon ce modèle, quel est le régime tectonique en surface (compressif, extensif, décrochant) ?
7. On sait que l’épaisseur de la croute glacée est inférieure à 260 km ; choisissons 100 km pour les calculs numériques. On prend alorsu(R)=10 km, pourquoi ?
8. Donner une valeur numérique des contraintes en surface, en prenant λ = µ = 5GPa.
http://pluto.jhuapl.edu/soc/Pluto-Encounter/index.php?order=downlinkDate
Les seules structures tectoniques « indiscutables » : beaucoup de graben limités par des failles apparemment normales, mais pas de plis (rides), pas de failles inverses …
Une surface pleine de cratères, donc « vieille », mais affectée de graben (failles) jeunes qui recoupent les cratères, dont le cratère Elliot. Cette extension est « jeune ».
1
http://pluto.jhuapl.edu/soc/Pluto-Encounter/index.php?order=downlinkDate
Figure 2 –Détails de la surface de Pluton.
9. La figure 2 donne des détails de la structure de Pluton. D’après ces photos, quel est le régime tectonique en surface (compressif, extensif, décrochant) ?
0,5
0,5
0,5 0,5 1 1
1 1
0,5
Examen du cours « Élasticité » 3
10. Comment déduit-on de l’observation que les graben à la surface de Pluton sont récents ?
Régime tectonique lié à Sputnik Planitia
On considère que le régime tectonique lié à Sputnik Planitiapeut-être approché par celui d’un demi-espace plan dans lequel on aurait fait un trou cylindrique circulaire de rayon r0 perpendiculairement à la surface.
1. Dans ce cas, les contraintes sont les suivantes, exprimées en coordonnées cylin- driques (où l’axe desz est celui du cylindre) :
σrr =σ0
1−r20 r2
σθθ=σ0
1 +r02 r2
,
les autres σij étant nuls, et σ0 étant une constante positive. Est-ce que ces contraintes vérifient les conditions d’équilibre statique ?
2. Représenter ce régime de contraintes en surface, autour du trou circulaire.
D’après ce modèle, quel est le régime tectonique en surface (compressif, extensif, dé- crochant) ?
3. Comparer aux failles observées (fig 3). On se concentrera sur les observations certaines.
4. Comment pourrait-on déduire la valeur de σ0 des calculs de la première partie du problème ?
LETTER RESEARCH
1 D E C E M B E R 2 0 1 6 | V O L 5 4 0 | N A T U R E | 9 1
Current location of Sputnik Planitia Pluto’s initial maximum
principal axis of inertia
Pluto’s initial intermediate principal axis
of inertia Pluto’s initial
minimum principal axis of inertia (Pluto’s initial spin axis)
(Pluto’s initial tidal axis) (Anti-Charon point) (Anti-Charon point) (north pole)
(north pole)
180° E 180° E 90° E
90° E
120° E 120° E
150° E 150° E
210° E 210° E 30° N
30° N 60° N 60° N
90° N 90° N
30° S 30° S
+1.5
0.0 +1.0
Q′ = –J2SP*/J2RF
+0.5 +2.0
−0.2
Mapped tectonic patterns
Predicted tectonic pattern
0° E 30° E 60° E
90° E
120° E 150° E 180° E 330° E 300° E
270° E
240° E 210° E
N
S
E W
Fault azimuth from north global expansion + volatile loading
+ large TPW
180° E 180° E 270° E
90° E
90° N 90° N
180° E 180° E 270° E
90° E
90° N 90° N
Sputnik Planitia
A B
C
D E
F
G
A Djanggawul Fossae B Inanna Fossae C Dumuzi Fossae D Virgil Fossae E Beatrice Fossae F Sleipnir Fossae G Sun Wukong Fossae
Spider
0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02
0.000° 15° 30° 45° 60° 75° 90°
Total fault length (normalized)
Misfit between observed fault azimuth and predicted fault azimuth Global expansion
Global expansion + de-spinning or orbit migration Global expansion + loading + small TPW Global expansion + loading + large TPW
0 10 15 20 100 200
–4 –2 0 2 4
Thickness of volatile ice in Sputnik Planitia (km)
Allowable Q′ (–0.3 < Q′ < 1.8)
f e
Q′ is too negative for Sputnik Planitia to be at present location Q′ is too large for Sputnik Planitia to be at present location
d c
Ocean uplift Volatiles Volatiles
Ejecta
blanket Volatiles
Volatiles
(equivalent to the underlying basin having Q′ = 0
Uncompensated basin
Initially compensated basin
a
g h
i j
k b
c d
f e
Large TPW sol
utions Small TPW solutions
Q′ = –J2SP*/J2RF
5
Crust Mantle Uncompensated
basin
Sputnik Planitia
Sputnik
Planitia Sputnik
Planitia
Figure 2 | True polar wander solutions for Sputnik Planitia and the resulting tectonic patterns. a, The possible initial locations of Sputnik
Planitia before reorientation with respect to the principal axes of the remnant figure, as a function of Q
′. b–f, Q′ as a function of volatilethickness (b) for four idealized models of Sputnik Planitia (c–f).
c, Volatiles on the surface (equivalent to volatiles loading a basin with
Q′ = 0). d, Volatiles filling an uncompensated basin. e, Volatiles filling
an uncompensated impact basin surrounded by an ejecta blanket.
f, Volatiles filling an impact basin that was initially compensated by an
uplift in the subsurface ocean
16. g, h, Tectonic features mapped in
publicly available New Horizons imagery. Base map: NASA/Johns Hopkins University Applied Physics Laboratory/Southwest Research Institute.
Faults are coloured by azimuth, and the line width corresponds to our certainty in the nature of fault: thick (thin) lines are unambiguously (possible) faults. i, j, Best-fitting predicted tectonic pattern resulting from global expansion, loading and a large TPW event. k, Binned misfit between observed and predicted fault azimuths (following the procedure used in ref. 19). Each line represents a different tectonic model (Extended Data Fig. 5; Methods). Large TPW solutions provide the best match to the observed distribution of faults.
© 2016 Macmillan Publishers Limited, part of Springer Nature. All rights reserved.
1 D E C E M B E R 2 0 1 6 | V O L 5 4 0 | N A T U R E | 9 1 Current location
of Sputnik Planitia Pluto’s initial maximum
principal axis of inertia
Pluto’s initial intermediate principal axis
of inertia Pluto’s initial
minimum principal axis of inertia (Pluto’s initial spin axis)
(Pluto’s initial tidal axis) (Anti-Charon point) (Anti-Charon point) (north pole)
(north pole)
180° E 180° E 90° E
90° E
120° E 120° E
150° E 150° E
210° E 210° E 30° N
30° N 60° N 60° N
90° N 90° N
30° S 30° S
+1.5
0.0 +1.0
Q′ = –J2SP*/J2RF
+0.5 +2.0
−0.2
Mapped tectonic patterns
Predicted tectonic pattern
0° E 30° E 60° E
90° E
120° E 150° E 180° E 330° E 300° E
270° E 240° E
210° E N
S E W
Fault azimuth from north global expansion + volatile loading
+ large TPW
180° E 180° E 270° E
90° E
90° N 90° N
180° E 180° E 270° E
90° E
90° N 90° N
Sputnik Planitia
A B
C
D E
F
G
A Djanggawul Fossae B Inanna Fossae C Dumuzi Fossae D Virgil Fossae E Beatrice Fossae F Sleipnir Fossae G Sun Wukong Fossae
Spider
0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02
0.000° 15° 30° 45° 60° 75° 90°
Total fault length (normalized)
Misfit between observed fault azimuth and predicted fault azimuth Global expansion
Global expansion + de-spinning or orbit migration Global expansion + loading + small TPW Global expansion + loading + large TPW
0 10 15 20 100 200
–4 –2
0 2 4
Thickness of volatile ice in Sputnik Planitia (km)
Allowable Q′
(–0.3 < Q′ < 1.8) f
e
Q′ is too negative for Sputnik Planitia to be at present location Q′ is too large for Sputnik Planitia to be at present location
d c
Ocean uplift Volatiles Volatiles
Ejecta
blanket Volatiles
Volatiles (equivalent to the underlying
basin having Q′ = 0
Uncompensated basin
Initially compensated basin
a
g h
i j
k b
c d
f e
Large TPW sol
utions Small TPW solutions
Q′ = –J2SP*/J2RF
5
Crust Mantle Uncompensated
basin
Sputnik Planitia
Sputnik
Planitia Sputnik
Planitia
Figure 2 | True polar wander solutions for Sputnik Planitia and the resulting tectonic patterns. a, The possible initial locations of Sputnik Planitia before reorientation with respect to the principal axes of the remnant figure, as a function of Q′. b–f, Q′ as a function of volatile thickness (b) for four idealized models of Sputnik Planitia (c–f).
c, Volatiles on the surface (equivalent to volatiles loading a basin with Q′= 0). d, Volatiles filling an uncompensated basin. e, Volatiles filling an uncompensated impact basin surrounded by an ejecta blanket.
f, Volatiles filling an impact basin that was initially compensated by an uplift in the subsurface ocean16. g, h, Tectonic features mapped in
publicly available New Horizons imagery. Base map: NASA/Johns Hopkins University Applied Physics Laboratory/Southwest Research Institute.
Faults are coloured by azimuth, and the line width corresponds to our certainty in the nature of fault: thick (thin) lines are unambiguously (possible) faults. i, j, Best-fitting predicted tectonic pattern resulting from global expansion, loading and a large TPW event. k, Binned misfit between observed and predicted fault azimuths (following the procedure used in ref. 19). Each line represents a different tectonic model (Extended Data Fig. 5; Methods). Large TPW solutions provide the best match to the observed distribution of faults.
© 2016 Macmillan Publishers Limited, part of Springer Nature. All rights reserved.
Figure 3 – Gauche : Failles, toutes en extension, observées autour de Sputnik Plani- tia. Les points en gras correspondent à des observations certaines, les points fins à des observations incertaines. Droite : la couleur correspond à l’azimut des failles.
Épaisseur de Sputnik Planitia
On considère le système glace+eau en modèle plan, avec z la profondeur. On note z=h(x, y) la surface de la glace et z =H(x, y) celle de l’eau, ρg la densité de la glace
0,5 0,5 0,5
1
1
4 Examen du cours « Élasticité »
etρe celle de l’eau.
1. Écrire les conditions d’interface à vérifier par les contraintes.
2. Rappeler les équations d’équilibre statique en coordonnées cartésiennes en fonc- tion des contraintes dans la glace, en tenant compte de la pesanteur.
3. On fait l’hypothèse que le régime des contraintes est isostatique dans la glace.
Comment cela s’écrit-il ? Déterminer la contrainte verticale dans la glace et la pression dans l’eau, en fonction dez et des autres données du problème.
4. En déduire une condition portant sur le « poids des colonnes ».
5. En admettant que la dépression de Sputnik Planitiaa une profondeur de 1 km par rapport au reste de la surface, quelle est la différence d’épaisseur de glace entre Sputnik Planitiaet le reste de la planète ?
Données
Rayon de Pluton : R= 1200km.
Densité de la glace et de l’eau : ρg = 900kg/m3,ρe= 1000 kg/m3.
Opérateurs en coordonnées sphériques
gradf~ = ∂
∂rf ~er+1 r
∂
∂θf ~eθ+ 1 rsinθ
∂
∂φf ~eφ
divB~ = 1 r2
∂(r2Br)
∂r + 1 rsinθ
∂(sinθBθ)
∂θ + 1
rsinθ
∂Bφ
∂φ Rot~ A~=∂
∂θ(Aφsinθ)−∂Aθ
∂φ ~er
rsinθ +
∂Ar
∂φ − ∂
∂r(Aφrsinθ) ~eθ
rsinθ+
∂
∂r(rAθ)−∂Ar
∂θ ~eφ
r Tenseur des contraintes en élasticité isotrope :
σrr=λdivu+ 2µ∂ur
∂r , σθθ=λdivu+ 2µ
1
r
∂uθ
∂θ +ur
r
,
σφφ =λdivu+ 2µ
1
rsinθ
∂uφ
∂φ + cotanθuθ
r +ur
r
,
σrθ =µ
1
r
∂ur
∂θ +∂uθ
∂r −uθ r
, σrφ=µ
∂uφ
∂r + 1 rsinθ
∂ur
∂φ −uφ r
.
σθφ=µ
1
rsinθ
∂uθ
∂φ + 1 r
∂uφ
∂θ −cotanθuφ
.
0,5 0,5
0,5 1 0,5
1
Opérateurs en coordonnées cylindriques Equation d’équilibre :
∂σrr
∂r +1 r
∂σrθ
∂θ +∂σrz
∂z +1
r (σrr−σθθ) +ρgr = 0
∂σrθ
∂r +1 r
∂σθθ
∂θ +∂σθz
∂z +2σrθ
r +ρgθ= 0
∂σzr
∂r +1 r
∂σzθ
∂θ +∂σzz
∂z +σzr
r +ρgz= 0.
Références
Ce sujet est basé sur les références suivantes :
- James T. Keane, Isamu matsuyama, Shunichi Kamata, et Jordan K. Steckloff, 2016,
« Reorientation and faulting of Pluto due to volatile loading within Sputnik Planitia », Nature, Vol. 540, doi :10.1038/nature20120.
- Pierre Thomas, 2018, Diaporama sur Pluton, Exposé à Brest le 18 mai 2018.
-https://phys.org/news/2016-11-horizons-mission-water-ice-ocean-lies.html, visité en mai 2018.
- http://pluto.jhuapl.edu/, visité en mai 2018.
— o —
Texte disponible à http://frederic.chambat.free.fr/ens
