UNE SOLUTION PAR POTENTIEL DE SOURCES POUR L'ÉQUATION DES HOULES À COURTES CRÊTES

JUILLET-AOÛT 1 9 5 7 - N ° 3 L A H O U I L L E B L A N C H E 367

U n e solution par potentiel d e sources pour l'équation des houles à courtes crêtes

PAR B . C . M A C O A M Y

UNIVERSITÉ DE CALIFORNIE» LABORATOIRE D'ÉTUDE DES HOULES

English text, p. 379

Le présent mémoire décrit une fonction de Green concernant le problème de la valeur limite tel qu'il se présente dans les questions de diffraction d'ondes à courte crête contour- nant des obstacles de section transversale limi- tée. Le problème de diffraction y est formulé de façon précise impliquant une solution unique. La fonction de Green est établie de façon à permettre la représentation du poten- tiel de vitesses en des points intérieurs du fluide au moyen des valeurs qu'il prend sur l'obstacle; le problème de la diffraction est donc réduit à la solution d'une équation inté-

grale de Fredholm du second ordre. A Vaide de cette fonction, Vauteur étudie deux p r o - blèmes intéressants de la théorie des ondes de surface, à savoir ta génération d'ondes au moyen d'une cloison mobile et leur réflexion par une bande horizontale. Pour le premier de ces problèmes, il obtient des valeurs numéri- ques; pour le secondf il donne des indications sur la marche à suivre dans les solutions numé- riques. En particulier, il formule te problème de la bande de manière à permettre l'applica- tion des méthodes variationneltes de Schwinger*

I. _ I N T R O D U C T I O N

Dans la théorie des ondes superficielles, un problème difficile, mais d'importance capitale, est celui de îa diffraction autour d'obstacles fixes. II se présente dans la théorie des bassins, des digues, des jetées, et, accessoirement, dans l'étude des mouvements de navire. Fritz J O H N a abordé le problème dans le mouvement à trois dimensions et réussi à obtenir une équation intégrale com- portant des noyaux à singularités. On n'a pas avancé beaucoup depuis, surtout en ce qui concerne les obstacles de dimensions finies.

L'objet de ce rapport est de présenter une solution à sources pour le cas des ondes dites « à courte crête », c'est-à-dire d'ondes douées de périodicité en direction perpendiculaire à celle dans laquelle elles se propagent. Cette solution constitue l'instrument de base quand on s'attaque aux problèmes de diffraction complexe en utilisant les procédés de Fritz JOHN. Sous sa signification physique, elle fournit le potentiel des vitesses d'une ligne de sources dont l'intensité varie périodi- quement. Au point de vue mathématique, elle permet d'exprimer le potentiel de l'intérieur du fluide en fonction des données sur îa surface de l'obstacle.

C'est au chapitre Iï que nous présentons la fonction et étudions ses propriétés, en indiquant aussi les problèmes généraux de la diffraction auxquels eïle s'applique. Aux deux chapitres suivants, nous m o n t r o n s comment appliquer la solution à ces deux problèmes : détermination de îa houle

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engendrée par un générateur et coefficient de réflexion d'une barrière horizontale rigide en surface libre. A propos du premier, nous citons quelques valeurs numériques.

On sait que la solution à sources, ou fonction de Green, s'applique à la résolution d'autres pro- blèmes concernant les conditions aux limites. Non seulement elle conduit à des théorèmes d'exis- tence prouvant que le problème est bien formulé, mais elle peut aussi servir à obtenir des solutions approchées. C'est ainsi qu'au chapitre I V , nous montrons que cette méthode permet d'uti- liser les calculs de variation de SCHWINGKR.

Nous avons cherché, dans ce rapport, à établir des conceptions ouvertes au calcul numérique.

Nous préparons d'ailleurs, dans cet ordre d'idées, un ouvrage à publier ultérieurement.

IL — LA FONCTION D E G R E E N

Avant d'introduire la solution à sources de façon naturelle, nous allons donner un rapide aperçu du problème général de la diffraction des ondes à crête courte en présence d'obstacles cylindriques.

Supposons qu'un fluide incompressible non visqueux remplisse la région considérée :

— o o ^ x ^ + o o — o o ^ z ^ + 0 < y < a,

le plan ij = 0 constituant un fond rigide et y = a une surface libre. Nous supposons, en outre, que le mouvement a été amorcé par un système d'ondes à crêtes courtes, de faible amplitude avançant en direction des x positifs. Pareil système peut être représenté par son potentiel des vitesses :

$w = A cosh y⁰ y e * ~~ « *) ^{c o s} k Z = Re j ©«> e~ ^{i a t} j ^{C O S} kZ ( 2 , 1 ) sin / ' ! sin

A étant une constante et y⁰ w⁰ définis par :

K = - y = Yo t a n h Ta a, w* = ^{Y o a} — *² (2,2) On notera que l'équation (2,2) impose à k une limite supérieure, de façon que les ondes pro-

gressent en direction des x, c'est-à-dire k < K; c'est ce que nous allons supposer dans ce qui suit.

Supposons maintenant qu'à l'intérieur du fluide soit fixé un obstacle cylindrique de section transversale limitée. Le mouvement résultant, le régime permanent ayant été atteint, sera toujours périodique dans le temps, de fréquence <r. En outre, nous allons réduire le problème aux deux dimen sions en supposant Z lié par des relations de la forme cos k Z ou sin k Z. Nous pourrons alors expri- mer le potentiel des vitesses dans le mouvement résultant par :

# (x, y, Z, 0 = Re (9 (x, y) e - < " ) ^{c o s} kZ (2,3) sin

Il en résulte pour 9 la relation :

9** + ? v » — *²9 = 0 (2,4) à l'intérieur du fluide.

Désignant par C⁰ la trace de l'obstacle sur le plan xy et par la partie de y = a qui est exté- rieure à Cy, nous constatons que 9 est également soumis aux conditions aux limites suivantes :

9„ — K 9 = 0 sur C^F (2,5)

9^ = 0 sur i/ = 0 (2,6)

9n = 0 sur C⁰ (2,7.)

11 désignant la normale à C⁰.

JUILLET-AOÛT 1957 - N° 3 R. C. M a c G A M Y 369 Pour trouver une solution unique, il faudra définir les conditions à l'infini. On peut prévoir que le mouvement sera composé : d'une onde incidente plus une onde réfléchie et une onde t r a n s - mise; ce qui correspond à une condition de la forme :

9 — ⁹ a) ^ Te ^{i w}« * quand x ~> + oo, 9 — © <> Re~~^{f iWo} * quand x - » — ce. (2,8) On constate qu'il suffît de satisfaire à la condition la moins rigoureuse.

lim

j

La fonction G de Green qui dépend d'un point—paramètre (x\ y') devra exprimer les valeurs prises par les solutions en ce point au moyen des données caractérisant la surface C⁰ de l'obstacle.

Elle devra satisfaire à (2,5) sur l'ensemble du plan y = a, de même qu'à (2,6) pour qu'on n'ait pas à se rapporter aux valeurs que prend la solution sur y — 0 et C^F. De plus, elle devra présenter une singularité d'un type déterminé pour (x, y)—{x^rxf) si Ton veut que l'opération :

J ' " j * * (G,,,. + G^w— G) 9 (x, y) dy dx

reproduise les solutions de (2,4). Enfin G devra exprimer la solution aux |,r| élevés, donc satisfaire à (2,9).

On trouve la singularité principale de l'équation (2,4) en séparant les variables. Elle est donnée par K⁰ -(k Vx² + y-) où K⁰ représente en fait la fonction de Hankel d'ordre 0 et du premier type avec un a r g u m e n t imaginaire pur. Pour ce que nous recherchons, les propriétés importantes pour K⁰ (Z) sont caractérisées par :

K, (Z) = 0 (c-*) pour les grands Z (2,10)

K⁰ (Z) = A (Z) log 1/Z + B (Z) (2,11)

A (z) et B (z) étant des fonctions régulières pour Z réel, et A telle que A (0) = 1.

Il est possible de montrer que la fonction de Green définie comme ci-dessus est unique. Nous allons indiquer une fonction de ce genre. Considérons :

n , , j \ 1 f ^{0 0} cosh y y Ui sinh y (a — y)—^Y cos h y (a — y\ . , G (x⁹ il x\ y) = -— / — —^L-^T77 7 ~~r H '—— cos ^l*> F — x\ dw pour 1/ > //'

J J x Jo y {K cosh Y ^a — Y sinh y a} ^J ^ ^J

c

1 /*« cosh y u \ Yi sinh ^Y Ui — */') — Y cos y (a — y'\ . „ , , ,

— / y y 1 i-l™—* ^{J 1 1} — cos w \x — x\ dw pour y < if

% J⁰ \Il cosh y a — Y sinh y a\ ¹ ' ^ ^J

( 2 , 1 2 )

où y- = w² + k² et où C est un contour formé de l'axe des x positifs, sauf sur un petit demi-cercle entourant w⁰ = \Z~yJ~— k- (lequel est réel si k < K). Cette fonction a été donnée par H E I N S [2] sous forme de développement partiel en fraction.

A l'aide des identités :

cosh Y U K sin Y (<* — P — Y cosh Y (a — 0 l _ — (K -f- Y) 'cosh Y l cosh yte~y*

y ]K cos Y a — Y sinh Y aï T \& ^{C O S} T ^a Y sinh Y a\

e- y (? - É) ^t " g - 7 + b

2 Y 1 2 Y

V »² + *²

- cos mx dw = K^H (A- V *² + />²) (2,1 3 )

370 LA H O U I L L E BLANCHE N° 3 - JUILLET-AOÛT 1957

l'expression (2,12) peut être transformée en :

' G (x, u> y') =4~~Ko (^k VGc — x')² + (y + yT) + ~ K⁰ (k V(x — x ' )² + (y + ? ' F )

A % A 7W

f ^X (K + Y) e o s h Y g c o s h T ^ e - ^ c ( ) s w | x _ ^ ^{rfu> (2>U)} TU y0 Y^K cosh Y « — Y sinh Y «r

c

Nous allons voir si c'est vrai. G possède les propriétés voulues. De (2,14) on voit que G^ = 0 sur Y = 0 ; de (2,13) que Gv — K G = 0 sur y = a. De plus, G satisfait à (2,4) sauf au point (x' y') où elle a une singularité du type voulu. Pour voir comment se comporte un \x\ grand, il y a lieu de transformer encore (2,14). Nous notons que :

Res \ 1 (K + Y) cosh Y y cosh Y if e~~^y, ^a] _ 1 (K -f- Y) g "⁷" ^a cosh y^a y cosh yⁿ y' w ,— w0\ % Y (K cosh y a — y sinh y a) \ % w0 sinh y0 a ^ , 2 Y(> «

sinh 2 y⁰a et obtenons, en modifiant le contour C :

1 rr . /"T" ^ , ,.J » 1

G (x, y, x\ y') = ~ K0 (k V (x — x ' )2 + (y — y')2) + K0 (A* V (x — x7)2 + (y + y')2

A % A %

_ i (K + Y) e~ y * cosh Y o ?/ cosh y„ y' ^ . _ x,, _ J _R E r • (K + T) cosh T ;/ cosh Y y g i _ r rfjp

w⁰ sinh Y⁰ « ¹ 2 y„ a TT y » Y (K cosh y a —y sinh ya)

+ sinh 2 Y. a ^c'

(2,15) où C est un contour situé dans le premier ou le quatrième quadrant selon que x — xr est > 0 ou

< 0. D'après (2,10), on a alors :

G * <^K+ > > ^c~⁷" - , g o s h . Y^{f l}g c o s h T^{i L}B l

e ^ i - - - !

w0 smh Y « | » 2 YQQ 1 (2,16)

sinh 2 Yo «

Mais l'équation (2,2) a, en plus des racines réelles ± y0, une infinité de racines imaginaires z±z i pm n — 1, 2.... Nous aurions donc pu, bien que nous ne l'ayons pas fait, utiliser la transformation ci-dessus pour obtenir le développement du terme intégral en une série de fonctions *.

Dans le cas d'une profondeur infinie, on p o u r r a pousser la transformation un peu plus loin et obtenir une expression de G ne comprenant que des intégrales réelles. Pour plus de commodité, nous changepns de système de coordonnées de façon à avoir y mesuré en direction verticale vers le bas à p a r t i r de la surface libre. L'équation (2,15) devient alors :

G (x, g, x', y') = K0 (k V (x — x ' )2 + (y — y')2) — e ~2iK K + *'>e™° |* - *'

_ JL Re (3 + K \ e- y <* + *'> e**> <* - dw, (2,17)

% Jo y {K—-Y)

c

C" correspondant cette fois-ci à l'axe imaginaire positif, sauf sur un petit demi-cercle au demi-plan droit e n t o u r a n t la singularité y — 0, c'est-à-dire w = ik. Le calcul de la partie réelle donne :

G (x, y^f a f , y 0 K⁰ ( A V (x — x ' )² + ( y — y')²) + - ~ K⁰ (k V (x~x'W+ (y + y ' )²) + A Î A + - - ^ i ^ * F Y sin Y (g + yO + K cos ^Y (y + y') , , ,„ _

. , 1 -

Wo

« y * L

j

T

(2,18) où y = V T² — k² et où les valeurs principales de l'intégrale sont considérées, et où il est fait usage de (2,13).

(*) cos ^P" (y — y ' ) e , cos ^{? B} (y -f if) \*-*'\

JUILLET-AOÛT 1 9 5 7 - N ° 3 B . C . M a c C A M Y 371

I I I . — GÉNÉRATION DE HOULE PAR PAROIS MOBILES

En première approximation nous allons considérer la génération de houle dans u n bassin à l'aide d'une paroi verticale. Nous supposons que la paroi est divisée sur la longueur en éléments dont cha- cun peut être animé d'un mouvement ayant sa phase et son amplitude propres. Si les éléments sont suffisamment petits, on pourra réaliser n'importe quelle forme arbitraire de répartition des vitesses horizontales de la paroi. Nous supposons également que la paroi est au total assez longue pour négliger les effets d'extrémité. Il s'agit de déterminer le mouvement de la paroi, et l'effort nécessaire à la réalisation de ce mouvement pour obtenir une houle donnée.

La solution du problème est donnée par les expressions suivantes, généralisation des recher- ches de HAVELOCK [3] et de KENNARD [ 4 ] .

THÉORÈME. La fonction 9 (x, y), définie par

9 (x, y) = — 2 f (if) G (x, 0, x-, y') dy'³ (3,1)

est une solution du problème :

a) 9xx + 9yy /C² 9 = 0 poil!' 0 < X < C O , Q < lj < d

b) 9( / = 0 sur y = 0, x > 0

c) 9„ — K 9 = 0 sur y — a, x > 0 d) 9 —» A cosh Y0 y e^iWoX quand x —» c©

e) ¹™^{0 +} == / (y) pour 0 < y < a et f (y) continu dans 0 < y < «.

DÉMONSTRATION, Les trois premières propriétés résultent immédiatement de celles de G; la d) résulte de (2,16) avec ;

a = + -2-±&±£ <2211 f f ( ? / ) c os h r o ? / w

w⁰ smh y⁰ a 1 , 2 y⁽⁾ a Jo Kô,À)

sinh 2 y0 a De (2,14) on déduit :

lim do 1 lim

*-»0+ dx = — ^ f ^a f {to K* (/ cV ( x—x') 2 + ( ? / — d y '

% Jo dx

Au moyen de (2,11) et en nous basant sur le caractère continu de f, nous pouvons réduire cette expression davantage :

lim do 1_ lim , r + ^{0 0} x dx 3x — * *->0 + ' y y - x. x2 + (;/ — Nous basant sur le fait que :

+ 0 0 x dx w pour x > 0.

T X2 _|_ (y ^ ) 2 — x pour x < 0.

nous obtenons :

lim ^{= / ( ï}

qui vient compléter la démonstration et comporte ce corollaire précieux : COROLLAIRE. S i :

372 L A H O U I L L E B L A N C H E N ° 3 - JUILLET-AOÛT 1 9 5 7

et si f (y) est continue, on a : lim 3 9

= f (jy).

lim 39 dx

(3,3) Cette formule (3,3) est un cas particulier d'un théorème plus général que nous n'allons pas exposer ici. Les intégrales du type ci-dessus représentent des « lignes de sources », analogues à celle que Ton rencontre dans la théorie classique du potentiel; la formule (3,3) ne fait qu'exprimer J a condition de discontinuité qui se présente au passage de cette ligne.

Nous pouvons m a i n t e n a n t aborder le problème de la génération de la houle. Pour simpli- fier, nous supposons que le dispositif générateur est du type plongeur, donc que / (y)' = B (constante). Nous désignons par v (y, z, t) la vitesse horizontale de la paroi et par T, <* la cote de la

surface libre à l'infini. Considérant que :

1 3 $

g dt (3,4)

nous pouvons, grâce au théorème précédent, envisager plusieurs cas.

CAS (1). — B réel :

/7-J^f~ B COS a t COS kz, T}*/^{1, C} •

vx* — B cos a t sin kz, r{ ce **

2 a B/g

w0 [1 + (2 YO a/sinh Yo « ) ] • cos (w⁰ x — a t) cos kz 2 g B/g

w;n [1 + (2 Y û « / s h i h YO«)1 cos (w⁰ x — <i f ) sin kz Cas (2). — B imaginaire :

v*c = B sin a t cos kz, r. « 2- ⁰ = —-—f G B /f t . . — sin (wv x — a t) cos kz w⁰ f 1 -|- (2 YO a/sinh ^{T o} «) I

v<>« = B sin a t sin fcz, T.» ²- * = -~^-f--r•-, -^x^— sin (zz>^f, x •— <F I) sin 1er H>O î 1 + (2 Y o ^ / s m h Y⁰a ) >

CAS (3). — Superposition de * V et y^2,<? :

v ~ + *;/ = B cos (A'z — $ i) 2 g B/y

M>„ | 1 + (2 YO «/sinh yn a)} ^{COS (Wf)} X —- kz rs t)

(3,5) (3,6)

Les deux premiers cas se présentent quand tous les éléments de la paroi sont en phase, mais avec différentes amplitudes. La houle résultante constituera, à une distance suffisante de la paroi, un système à crêtes courtes se propageant vers l'extérieur.

Au contraire, clans le troisième cas, les éléments ont des mouvements de même amplitude, déphasés, et donneront lieu cette fois-ci à une houle cylindrique se propageant vers l'extérieur sous un angle a r c t g - ¹ k/w relativement à Taxe des x, à une fréquence c et une longueur d'onde 2 TC/V«.

Si u0 désigne l'amplitude du mouvement de la paroi, nous déduisons de (3,5) et (3,6) :

M ^ 2 K 1

^ w⁰ 1 + (2 y, a / s i n h 2 ^{T o} a) ^K*'ⁿ

pour une amplitude ! r^{| a}J de la houle cylindrique et dans le cas (3). Nous pouvons choisir à volonté c? et K; nous pouvons donc prendre comme paramètre lia = (<r² a/2 % g) et ka. Les p a r a m è t r e s importants pour le calcul sont Ka, ainsi que k/w0 — p, qui, ainsi que nous l'avons vu, définit la direction de propagation de la houle cylindrique.

Dans une eau de profondeur infinie Y⁰= = K ; donc Ka/2% est le rapport de la profondeur à la longueur d'une houle à crêtes longues en eau profonde de fréquence OR. En pareil cas, nous pouvons entrer dans les tables de W I E G E L [5] avec comme argument Ka/ 2 %, au lieu de d/h0.

JUILLET-AOÛT 1957 • N° 3 R . C , M A C C A M Y 3 7 3

Sur la figure 1 sont représentés quelques-uns des résultats obtenus. La figure 2 correspond au cas d'un batteur à volets articulé au fond. A noter que ce dispositif générateur de houle perd de son efficacité quand on accentue l'angle sous lequel Fonde se propage. E n fait, dès que 0 approche de 45°, le rapport (3,7) ci-dessus tend vers zéro. E n cherchant à réaliser des angles plus grands, on n'arrive q u ' à engendrer des ondes dites « marginales », qui s'évanouissent selon u n e formule exponentielle au loin du générateur. Dans un ouvrage récent, U R S E L L [6] considère un cas ana- logue avec un cylindre circulaire immergé.

généroteur-jfe- 2.T9

FIG. 1 . — Production de h o u l e déviée p a r u n e p a r o i verticale du type p l o n g e u r . Production of Waves at an Angle by a vertical Partition of plnnger Type.

j ijcoj = Amplitude of wowes at o large distance Amplitude de la houle très foin de l'appareil Mo = Amplitude of partition

Amplitude au générateur

B a Angle oetween propagation direction and normal ta partition Angle de la direction de propagation et de la normale au\

1 -^3 générateurs^-

Fig. 2. — Production de houle déviée par une paroi verticale du type batteur.

Production of Waves at an Angle by a vertical Partition of flapper Type.

P o u r avoir la pression sur la cloison, nous pouvons utiliser :

!# = o p (0, y, z , i) = o g -

dt

- 3 7 4 LA H O U I L L E BLANCHE N ° 3 - JUILLET-AOÛT 1957

et nous obtenons :

p= — ? ^ R e | Î B J * G (o, y, o, if) dif « -i f f* j ™ * ^k intégrale que Ton peut traiter p a r q u a d r a t u r e .

IV. — RÉFLEXION PAR UNE B A N D E

'$œx ~\~ ¥yy — A:2 «p = 0 pour 0 < y < a sur

= 0 sur y == M >

9» = 0 sur y = a, |x| < b

Comme nouvelle application, nous allons considérer la réflexion de houles à crêtes courtes à partir d'une bande de profondeur finie, fixée rigidement sur la surface libre. Sous forme mathéma- tique, le problème se présente comme suit :

(4,1) (4,2)

( 4 , 3 ) ( 4 , 4 )

9 — A cosh Yo y e^{ÎWo w} satisfait à une condition de la forme (2,9). (4,5) Nous notons m a i n t e n a n t que l'analyse de Fritz J O H N peut être conduite à peu près sans chan-

gement et donne un théorème d'existence tout à fait général applicable au problème de diffraction, dont il est question au chapitre I I , mais qui exige néanmoins que la surface constituant obstacle soit perpendiculaire à la surface libre au lieu d'intersection, condition qui n'est pas satisfaite dans le présent problème. Notre raisonnement constituera par lui-même un tel théorème d'existence pour le cas considéré.

Considérons la fonction :

f (x) G (x, a, x'', y') dx + A cosh y⁰ if e^iw« * (4,6) où / (x) est une fonction que nous définirons par la suite. De (2,16) nous déduirons :

(x\ ip ~ ^A cosh ^y0 y'e^iw° *' — i ^{-( ï v} + Yo) ^e~^y°^a cosh y⁰j£ e i W o w, r+ » ^ ^_^{ÎWo a}, ^

w⁰ sinh y^fta 1 + (2 y⁰ a / s i n h 2y⁰a) J - h

= A cosh Yo ^lf e^{iWo œ}' + T\ cosh y⁰ if e^iw° quand x + oo, (4,7) + (x\ f) ~ A cosh Yo y'*»* *' — l ^{( K} + To) e^'oa ^ ^ c o ^ | _ ^e_^{iWo m}, r+ » ^c_,^{Wb r} ^

w⁰s i n h Y⁰a 1 + (.2 f^c a / s m h 2 y⁰a ) J-b

= A cosh Yo f e^iWo *' + B cosh y⁰ y' e-'^w« quand x ~» — oo. (4,8) Ainsi donc, ù (.?•' y') satisfait à (4,5), R représentant une houle réfléchie, tandis que ^rT¹ cosh

Yo ife^{ÎWo x}' se combine à la houle incidente pour engendrer une houle transmise. P a r différentiation directe, on vérifie que satisfait également à (4,1) (4,2) et (4,3). Pour que ${x\ if) devienne une solution de notre problème, il suffira de montrer que l'on peut choisir / (x) de manière à satisfaire à (4,4).

De l'équation (2,12) définissant G, nous déduisons :

3 G , f s\ l sinh Y if , „ , • ^M„ ^K

—— (x, a, x^} y) = / — - — ; — . ,—— cos w \x — x'\ dm, ( 4 , 9 )

d y Jo K cosh y a — Y sinh y a ¹

JUILLET-AOÛT 1 9 5 7 - N ° 3 tt.C. M A c C A M Y 3 7 5

D ' a u t r e part, en différentiant l'identité (2,13) p a r r a p p o r t à 5, nous voyons que cette expres- sion peut aussi s'écrire :

d G , , „ , ï 3

(x, a, x', i/) = H K0 (k V (.r —- . r ) - + (« — J/0a)

- V / " [ i T c o s ^ + e - . <• - r , ] cos ro |x - * | <to. (4,10) -v, »

Nous allons maintenant énoncer sans démonstration la conclusion suivante dont u n e partie a été démontrée, dans son essence, au chapitre III.

LEMME 1. — La fonction :

# (x\ i/0 = i f (x) K0 (k V (x — x O2 + (a — ijr)2) dx

— b

quand f (x) est continu entre les limites — b < x < + b> est u n e solution de + ^(ÎV?/ — ^² # = 0 pour if < 0 ; elle est continue sur if — a, avec — b < x < + quand elle est définie comme sa valeur limite à partir de if < a et satisfait à :

lim 7) <f> (T II)

y^a — = w / (x) pour — b < x' < b.

y <a ./

Ce lemme, conjointement avec l'équation ( 4 , 1 0 ) , nous permet d'écrire :

ou :

v sinh y a K (ar, x 0 = -

f

c K cosh y a — Y^{S M N} Y ^A + 1 cos ï» jx — x'\ dm

JK_ cosh Y g cos w \x —xf\ dw

% Jo K cosh Y A — Y sinh y a E n posant ;

lim 3 ^ (x, ?/) q nous obtenons u n e équation intégrale pour déterminer f {x).

E x a m i n o n s la n a t u r e du noyau K (x, xf). Nous écrivons :

y ⁽ 1 r ^m cos m \x — xf\ dw 1 r ^m y cos w (x — x") [tanh Y -—1] »

&(x,x)— - y ^o • j _ ( Y/ K ) f l i i [ 1 — ( Y / K ) tanh Y a] [ l _ (^Y/ K ) ]

où C, C/' correspondent à la partie positive de l'axe réel, à l'exception des demi-cercles au voisinage des points singuliers dans le demi-plan inférieur. Toutes les difficultés relatives à x = xf sont contenues dans le premier terme. E n procédant comme précédemment, nous trouvons :

k (x, *o r d w + . . . w J o V n;2 + k'1

le pointillé i n d i q u a n t des termes qui restent limités quand x tend vers x \ On voit l'équation (2,13), que K (x, x?) se comporte comme Kqu ⁰ (k jx —x'j) au voisinage de x' singularité logarithmique en cet endroit.

donc d'après

= x et a une

376 LA H O U I L L E BLANCHE N° 3 - JUILLET-AOÛT 1957

Nous avons ainsi affaire à l'équation intégrale ;

7^f> A cosh y⁰ a e^iw* * = f (x') + f⁺* f ^ ) ^K * 0 dx, 4 , 1 1 )

où le noyau devient logarithmiquement infini quand x tend vers x'. Nous pouvons appliquer la théorie de Fredholm; elle dévoilera l'existence d'une solution continue de (4,11), à condition que l'équation homogène associée n'ait pas de solutions extraordinaires. Pour nous rendre compte de ce qu'il n'y a point de telle solution, supposons qu'au contraire il y en a une et cherchons à en étudier les propriétés.

Soit f⁰ ( V ) cette solution; formons la fonction :

#⁰ (x% i/O = J[\ " fo <*) G (x, a, af, if) dx.

De l'expression (2,14) de G conjointement avec le lemme (1), nous déduisons que ty⁰ (x' y') est continu dans 0 < y ^a, — b < x" < b. De plus, f⁰ (x)' satisfait à (4,11) quand son premier m e m b r e est posé égal à zéro.

II s'en suit :

lim 3 <1> (x⁷, z/Q ^{_ q}

W fa 'Qlf ~

Mais :

3 G (x, a, x^/, a) ^{r r} , , . ⁿ KG (x, a, xf, a ) = 0

3 y'

dans -— b < x < ~\- b, sauf en x = xf où la différence devient infinie et

Il en résulte

/ (x) ^ d G ^ « ^ > « ) . _ K G ( x ? a, ^ a ) j dx = f (xO

lim j 3*o ^{in _ R ^ ( , ,} } _ « (V)}

(4,12) (II importe de noter que cette relation vaut aussi pour les fonctions <J> et f ( X O qui résolvent notre problème; on peut donc déterminer directement <\> (*^x' ^a) quand on connaît / (x0> sans avoir à recourir à une nouvelle intégration.)

Nous allons enfin utiliser un lemme que nous énonçons encore sans démonstration.

LEMME 2. — Soit 9 (x, y) une solution de 9^, + f^m — Je² 9 = 0 pour 0 < y < a satisfaisant aux conditions suivantes :

a) ^m y — 0 sur y = 0

b) 9 y - K 9 = 0 sur y = a, \x\ > b c) 9 y = 0 sur y = a, |x| < &

f |) Ï T * j I ^ ( L> .V) ™" < ^C * Un²dy+ £ ^a [^9jt (— L , y) — f C 9 (— L , y)}2 rfy = 0

où F^p se compose des hémisphères (x =t= &)* + y² = s, y < a.

On a alors 9 (x, y) s= 0 dans 0 < y < a.

Le lemme est a priori évident, puisqu'il indique simplement que s'il n'y a pas d'onde inci- dente et si la bande est maintenue rigide, il ne peut être créé de mouvement dans le fluide. On pourrait en trouver une preuve dans un lemme analogue donné par Fritz J o h n .

JUILLET-AOÛT 1 9 5 7 - N° 3 B . C . M A C C A M ^ 3 7 7

La fonction ty⁰(af,y') répond à l'hypothèse incluse dans ce lemme; elle est en fait continue en (± b, a) donc identiquement nulle en 0 < if <a et, p a r son caractère continu, aussi en y = a.

Nous en déduisons f⁰ (x') = 0 pour b < x' < b.

Il est curieux de noter que nous pouvons passer à la limite quand k - » 0 tout en conservant la même façon de procéder pour les grandes valeurs de |x|. Cela ne semble pas évident, puisque aux grandes distances les solutions de l'équation de Laplace se comportent tout à fait a u t r e m e n t que les solutions de + ?w / — k2 ® — 0 quand k > 0. Quand k = 0 nous avons comme expression du potentiel 9 (x*, y') :

9(3f,g)= - n ^{% / C C}) V f c o s h » , ; / ^{l v} \ ^X - ^A dw

K J-b [ _yo iK cosh v a - — y s m h y a j* dx (4,13) où / (x) satisfait à :

— in?⁰ A cosh w⁰ a e^h(-<> = f (x') — A _

f

*o K cosh w a — w sinh w a

1 4 , 1 4 ) w0 étant u n e solution de K cosh w0 a = w0 s i n h w0 a.

Dans le cas d'une profondeur infinie, on peut évaluer le noyau explicitement et on obtient : K r+ ^&

— iw⁰ A e^iw* ^œ/ — f (xO — — / / (x)

% J ~ b % i e - 1 K |* - *'| + cos K lx — x'| Ci (K \x — x'|)

+ sin K \x — xf\ (Si (K |x — x'|) — w / 2 ) J dx (4,15) Ci, Si étant les fonctions cosinus intégral et sinus intégral. P a r son aspect! le terme Ci (K |x — x/| ) confirme le fait, noté précédemment, que le noyau devient infini logarithmique quand x tend vers x'.

Ayant ainsi établi l'existence d'une solution, on peut passer à la question de l'obtention des valeurs n u m é r i q u e s . Une équation du type (4,11) peut être résolue directement si l'on remplace f (x) par un polynôme approché; on obtient alors un système de n équations linéaires p e r m e t t a n t de déter- miner f (x) en n points. La résolution numérique exige l'évaluation en chiffres d'intégrales compre- nant K (x, x⁷) et des puissances de x, La singularité ne gêne p a s ; on peut en effet l'exclure et traiter explicitement les intégrales qui la renferment. Des études de ce genre sont en cours actuellement et nous espérons pouvoir les faire connaître plus tard.

Un procédé plus élégant, bien que peut-être moins utile, consiste à utiliser les méthodes aux variations de SCHWINGER [7] qui ont été créés en vue de la résolution de problèmes de diffraction aux ouvertures. Si l'on multiplie l'équation (4,11) par f (x') et si on l'intègre le long de la bande»

à l'aide de (4,8), on trouve :

9 . ^ , ⁰ . ^ f**f te')² + " f''' V (x) f W) K (x, xO dx dx' 1 _ w02 s m h y0 a f ^ , 2 y„ a \ A ___J~~h J - \> J - i>

r ~~ (K + y⁰fe-y°⁽ⁱ V sinh 2 y⁰ a J R ^b^ ^ e i W o X, ^{d x}/

(4,16) où r est essentiellement le coefficient de réflexion. L'expression du second m e m b r e est insensible aux variations de premier ordre de / (x) autour de sa valeur exacte, déduite de l'équation intégrale (4,11). On peut donc espérer que le coefficient de réflexion sera peu sensible aux e r r e u r s sur / (x).

On peut exploiter de façon plus explicite le caractère stationnaire de 1 / r . Développons / (x) pour ( — b , b) en série de Fourier (*) :

+ «

(*) Le choix de fonctions j ei , n v pour le développement de f (x) n'est pas essentiel dans l'application de cette méthode, mais il s'impose puisque pour certains wo le groupe j B„ | se réduit à un seul terme.

3 7 8 L k H O U I L L E B L A N C H E N ° 3 - J u i l l e t - A o û t 1 9 5 7

Substituant cette expression dans (4,11)» on obtient :

-f- co

+ &

C^{W W} = j! e-*ⁿ* c-^îmx' K (.r, .x) dx dx, f>^H ^ ' e d x . Line diiîérentiation par rapport à a„, r étant stationnaire, conduit à :

- 2 a_^{n i} + V , «„ C^m„ ) r = 2 B^M ( V a^w B^H i in = 0, ± 1, ± 2, . . . Les constantes étant définies par :

= ^ D^P p = 0, ± 1, ± 2 . . . (4,17) i \ .Éniimt J 2'

\ /

on a finalement :

r = 2 V D , B^P (418)

D _ ^M + £ C^mnT>ⁿ = B^m m = 0 ± 1 , ± 2 . . . (4,19)

Nous avons ainsi ramené le problème à la résolution d'un nombre infini d'équations linéaires telles que (4,19). Les D^{f t} ayant été trouvées, on p o u r r a évaluer le coefficient de réflexion au moyen de (.4,18). Théoriquement on pourrait aussi obtenir / (x). Si Ton introduit dans l'équation intégrale le développement en série de f (x), avec a^p remplacé p a r (2 C⁰/r) D^, on pourra déduire la constante C⁰ puis déterminer a^p.

Le procédé s'est révélé très efficace dans le cas de la diffraction des ondes sonores à travers une ouverture circulaire. Quelques termes de la série suffisent alors pour fournir une approxima- tion suffisante.

INDEX BIBLIOGRAPHIQUE 1. JOHN (F.). Communications on Applied Mathematics, v o l . 3, n° 1, 1950.

2. HEINS (A.E.). Canadian Journal of Mathematics, vol. 2, 1950.

3. H A VELO GK (T.). Philosophicat Magazine, vol. 8, 1929.

4. KENNARD (E. H,). Quarterly of AppL Math., vol. 7, n° 3, 1944.

5. AVIEGEL (R. L,). Gravity w a v e s ; tables of functions ; Councîl of Waves Research, Berkeley, Cal if., 1954.

6. URSELL (F,), Proceedings Cambridge Philosophicat Society, t. 47, 1951, 7. SCHWINGER (J.). Physical Review, série 2, t. 74, oct. 1948.

JUILLET-AOÛT 1 9 5 7 - N ° 3 - L A H O U I L L E B L A N C H E 379

A source solution f o r short crested w a v e s

BY E . C . M A C O A M Y

UNIVERSITY OF CALIFORNXA, WAVES RESEARCH LABORATORY.

Texte français, p. 367

A Green's function for the boimdary value probtem arising in the diffraction of short- crested waves around obstacles of bounded cross section is presented. The diffraction pro- blem is formulated in a précise way which assures the existence and uniqueness of a solution. The Green's function is so construci- ed as ta make possible a représentation of the oelocity potential at internai points of the fluid in terms of its values on the obstacle, thus in gênerai reducing the diffraction problem

to the solution of Fredhotm intégral équation of the second Jcind. Two problems of interesl in the fheory of surface waves, the production of waves by a moving partition, and the reflection from a horizontal strip are studied by means of the Green's function. Numerical results are obtained for the first problem and indications of numerical procédures given for the second. In particular, the strip problem is so formulated as to make possible the applic- ation of the variational methods of Schwinger.

L — INTRODUCTION

A difficult but fundamental problem in the theory of surface water waves is the stucîy of diffraction around fixed obstacles. Such a situation arises in the theory of docks, piles, break- waters and, as an auxiliary problem, in the studv of ship motion. In three dimensional motion the problem lias been attacked by Fritz J O H N [1 | who succeeded in obtaining an intégral équation formulation involving singular kernels. Beyond this Iittle has been donc for the case of obstacles of finite extent.

The purpose of the présent report is to présent a source solution in the case of the so-ealled short-crested waves, i. e., waves, which are periodic in a direction perpendicuïar to thaï of propag- ation. Such a solution is the fundamental tool in an investigation of associated diffraction problems by means of Fritz J O H N ' S methods. Physically, it gives the veîocity potential of a line source on which the strength varies periodically along the line. Mathematically it enabïes onc to express the

potential of the interior of the fluid in terms of data on the obstacle surface.

In Section two we présent the function and study its propertîes as well as indicate the gênerai diffraction problems to which it is applicable. In the next two sections we indicate how the solution may be used in two problems, the détermination of the waves produced bv a wave-maker, and the reflection coefficient for a rigid horizontal barrier in the free surface. A few numerical results are given for the first problem.

The use of a source solution, or Green's function, is well known for other boundary value problems. In addition to yieïding existence theorems which insure that the problem is correctly formulated, they maj* be used to obtain some approximate solutions. For example, it is shown in Section 4 t h a t such a formulation enables one to invoke the variational procédures of Schwinger.

An effort has been made in this report to présent ideas which admit of numerical c o m p i l a t i o n s . Some work of this kind is, in fact, underway now and wîll be presented at a M e r lime.

380 L A H O U I L L E B L A N C H E N° 3 - JUILLET-AOÛT 1 9 5 7

IL — THE GREEN'S FUNCTION

In order to introduce the source solution in a n a t u r a l way w e will discuss briefly the gênerai diffraction problem for short-crested waves in the présence of cylindrical obstacles.

Suppose an incompressible, non-viscous fluid fills the région:

— oo ^ .r ^ + — g o ^ Z ^ + c oï 0 < y <a.

The plane y = 0 is to be a rigid bottom and y = a a free surface. W e a s s u m e the m o t i o n to be generated initially by a s h o r t - c r e s t e d w a v e S y s t e m , of s m a l l amplitude, progressing in a positive x- direction. Such a S y s t e m may be represented b y by :

= A cosh y⁰ y e * - » '» ^{C 0 S} À* Z = Re | <p<'> e ~^{i o t} i ^c.^{o s} kZ ( 2 , 1 )

1 0 J sm ( ) sin

where A is a constant and y⁰, w⁰ are determined by :

K = ~ = y⁰ t a n h ^{Y o} a, U 7⁰= - ^To2 — *² (2,2)

<7

It should be noted that Equation (2.2) puts an upper limit on k in order t h a t Ihe waves progress in the x-direction, namely k < K^? ancl we shall henceforth assume this to be the case.

Now let a cjdindrical obstacle of bounded c r o s s section be fixed in the fluid. The resulting motion, o n c e steady s t a t e is reached, will again be time periodic with frequency <?. Moreover, w^Te reduce the problem to one in two-dimensions by assuming the Z dependence to remain in the form cos k Z or sin k Z . Under thèse assumptions we write for the velocity potential of the ensuing motion :

# (x, y, Z⁹ f ) = R e ( ç (x, y) e-***) ^c.^{o s} kZ ( 2 . 3 )

s i n

and there results, for cp, the équation:

9 « + Ç„ — ^ = = 0 (2,4)

in fluid.

If we dénote by C⁰ the trace of the obstacle on the x-y plane, and by C^F that portion of y = a exterior to C⁰, we find that 9 is a l s o subject to the boundary conditions:

9„ — Kq> = 0 on C^F (2,5)

?^w = 0 on y = 0 ^(2,6)

9» = 0 on C⁰ (2,7)

where n dénotes the n o r m a l to C⁰.

In order to fix the solution uniquely it is necessary to specify conditions at infinity. W e would expect the motion to consist of a n incident plus a reflected a n d transmitted wave, i.e., a condition of the form:

9 — <p ( * ) T e¹* * * as x^f~» + oo, 9 — • 9 to —> R^e- *»• * as ^x~>— 00. (2.8) It t u r n s out to be sufficient to demand only the weaker condition :

l i m { / *^a \

i . - . - j /⁰ I + . (L, ») — i C + ( L , y ) P c t y + J^o [+. ( — L , » ) — i C + ( - L , y ) p dy J = 0 (2.9) for some C > 0, where 4" = ? — =P ^{( t )} represents the scaltered wave. It can be shown that there is a

JUILLET-AOÛT 1957 - N ° 3 R. C. M A c C A M Y 381

unique 9 satisfying (2.4), (2.5), (2.6), (2.7) and (2.9) and that this solution does indeed satisfy (2.8).

T h e Green's function, G y, x^f y*), which dépends on a p a r a m e t e r point (x', y') is to be so constructed that it expresses values of solutions atCr', y') in t e r m s of data on the obstacle surface C⁰. It is to satisfy (2.5) on the entire y = a plane, as well as (2.6), so as to suppress référence to values of the solution on y = 0 and CF. In addition it m u s t have a singularity of a certain type for (x, y) = (x'^} y) in order that the opération :

f ( Gw + Gim— k2 G) 9 (xf y) dy dx 00 „./ 0

reproduce solutions of (2.4). Finally G m u s t carry the behavior of the solution for large \x\ and hence m u s t satisfy (2.9).

The fundamental singularity of Equation (2.4) is found by séparation of variables and is given by K^(> (A* \/x² + y²) where K⁰ is essentially the Hankel function of order 0 and first type with p u r e imaginary argument. For our purpose, the important properties of K⁰ (Z) are :

K⁰ (Z) = 0 ( e - «) for large Z, (2.10)

K0 (Z) = A (Z) log 1/Z + R (Z) (2,11)

where A (Z), B (Z) are régulai* for real Z and A ( 0 ) = \ .

It can be shown that the Green's function as defined is unique and we proceed to give such a function. Consider:

G (x, y, *, y') = ± f °° cosh y y ^ sinh y (a - ; / ) - y cosh T (a-^jri^ w ;>l. ^{y ] ( } w}

% y o Y \ K cosh y a — y sinh y a } c

for y ^ if

1 f ^{5 0} cosh y i) <!K sinh y (a — y')—y cos y (a z/'J , .

— / -——1 J 1 l T r 1 ^ — r ~ ~ : cos w \x x \ dm

% J 0 1 K cosh y a — y smh y a J*

for y^tf (2.12) where y² = w² + A- and C is a contour consisting of the positive .r-axis cxcept for a smaïl semi- circle a r o u n d w⁰ = Vy<r— k² (which is real if k < K). This function was given by H E Ï N S [2]

in its partial fraction expansion form, Making use of the identifies:

cosh y ç -{K sin y (a — O — Y cosh y (a — l) \ — (K -f- y) cosh y l cosh y^e~ * ^a y | K cos y a — y sinh y a\ y \K cos y a — y sinh y a}

v y - £' c~~ y + ^

+

2 -y 1 2 y

/ " ^e~ " - c o s ira (to — K⁰ (A V.r- +7>^) (2.13) expression (2.12) may be transformed into:

G (x, y, x', j/0 = K⁰ (/v V ( * — + + sr>0 + ^ <* V U ' " " ^ )² + ({/ +

- f

j 0 L ± J l L £ 2 ^ cos m |* - x i dm (2.14) y ^ K cosh Y a — y sinh y a \

W e proceed to verify that. G lias the desired properties. F r o m (2.14) : Gy = 0 on y = 0 and from (2.13) Giy — KG = 0 on y = a.

382 LA H O U I L L E BLANCHE N ° 3 - JUILLET-AOÛT 1957

Moreover, G satisfies (2.4) except at (.r", y') w h e r e it has a singularity of the preseribed type. In order to study the behavior of large |x| it is convenient to make some further transformations on

(2.14). W e note t h a t :

Res j 1 (K + y) cosh y ij cosh y if e~v a ) __1_ (K + y) e - y» a cosh yn y cosh yn if w — w0\ % y (K cosh y a — y sinh y a) ) % w0 sinh y0 a j . 2 y0 a

sinh 2y0a thus we obtain, by shifting the contour, C:

G (x, y, x*, if) = K0 (k V (x — xT>* + (y — yT) + i f - K0 (k V (x — xT~ + (y + yO2

_ ' ( K + r> e~~ y" a cosh y„ y cosh y„ ?/' e,] e, . 1_R e /• - (K + T) cosh y ?/ cosh y y e,w > | a _ a„, rfw

z#⁰ sinh y⁰ a ¹ . 2 yⁿ a % Jo y (K cosh y « — y sinh y a) '

+ sinh 2-y,, a °'

(2.15) where C is a contour lying in the first or fourth quadrant according as x— x' is > 0 or < 0. It follows, using (2.10) that,

G ' <*+?.) cosh Y. y cosh y„ g* a s |x| _ ^

w⁰ smh y a j 2 y⁰ a (2,16)

s i n h 2 y^u a

Now the équation (2.2) has, in addition to the real roots =b y⁰, an infini ty of imaginary roots

z±ziçⁿ, n = 1, 2 Consequently, although we make no use of the fact, the above transformation could be used to obtain an expansion of the intégral terni in a séries of the functions (*).

In the case of infinité depth, the transformation m a y be carried somewhat further in order to yield an expression for G involving only real intégrais. For convenience, we change the ooor- dinate S y s t e m so t h a t y is measured vertically downward from the free surface. Then (2.15) becomes:

G (x, y, x', y') = K0 (k V (x — x O2 + ( y — y ' )2) e~K + y">e™> \* - *'|

L

^ i - H -

% Jo y (K — y)

(2.17)

where now C ' consists of the positive imaginary axis except for a small semi-circle in the right half plane about the singularity at y = 0, i.e., w = ik. Computing the real p a r t one is led to,

G (x, y, x% y ' ) = - ~ ~ K0 (Ar\/ (x — x')* + \y — y')*) + ~ ~ ~ K⁰ (k V (^z — xD^TW+'F)²)

J_ ^ ¹ K g— k (f + v') eiw ( a ? - — -

f

w0 K Jh

sin y (y + y') -f K cos y (y -f y') ^t _ ^ (2.18) with y — V T² — /c² and principal values of the intégrais are meant, and where use has been m a d e of (2.13).

IIL — W A V E GENERATION BY MOVING PARTITIONS

As a first application we consider the génération of water waves in a basin by means of a vertical partition. It is assumed that the partition is divided into sections along its length, each of which may be moved with an independent amplitude and phase. If the sections are sufficiently

C) cos f (y — y') e P»\* - ^X' \ , cos oⁿ (y + yO e-^

JUILLET-AOÛT 1 9 5 7 - N ° 3 R. C . M A C C A M Y 3 8 3

sinall, t h e distribution of horizontal velocity of the partition may be given efïectiveîy an arbitrary shape. W e suppose the entire partition to be sufficiently long t h a t we m a y neglect end effects.

The problem is to détermine the motion, and the t h r u s t n e e d e d t o obtain that motion, which shouid be given the partition in order to produce a prescribed wave motion.

T h e solution is contained in the following resuit which is essentially a generaïization of t h e work of HAVELOCK [ 3 ] and KENNARD [ 4 ] .

THEOREM. — T h e function 9 (x, y) defined b y :

9 (x, y) = — 2

J^J

is a solution of the problem:

a) o^vc -f o^uy — k² 9 = 0 in 0 < x < co» 0 < y < a b) 9? / = 0 on y — 0, x > 0

c) % — K 9 = 0 on y = a, x > 0

d) 9 —> A cosh y⁰ y e^iw»-^J! as x co

e) *™⁰⁺ -~- = / (y) for 0 < y < a and / (y) continuons in 0 < y < ci,

P R O O F . — The first three properties follow immediatelv from those of G : (d) folîows from

( 2 . 1 6 ) w i t h :

A = + Âll^klL — 5 = ^ f^a f (^lf) eosh ^Y. dif w^osmhy⁰a 2 y^{) a J0 1 J 10 J J

sinh 2 yo a F r o m ( 2 . 1 4 ) it follows t h a t :

lim ^DCP 1 lim ^fa d

—o- ~tx~ ⁼ ~ — 0 J^Q I ^{y > K⁽⁾ (kv (x — x>)² + (if—yT) dif On m a k i n g use of ( 2 . 1 1 ) and the continuity of f we can reduce this further lo:

( 3 , 2 )

lim do 1 lim , , , f+ ^x x dx

*-»^{0 +} 3.x w *-*^{0 +} ' ^J J - ^m x² + (y — yO² T h e n we make use of t h e fact t h a t :

r H- » x dx ^ for x > 0 y - « x² + (y —y')² ~~~ — ^% f °^r * < ⁰

to obtain = / ( 1 1 ) . This complètes the proof and vields in addition the uscful corollary:

COROLLARY. — If:

o {^X} y) = — 2 J* f (if) K⁰ ( * V ' I x ^ x ^ T ' h j — J / ' )²) cly'wïihf(y) continuous:

F o r m u l a ( 3 . 3 ) is a spécial case of a more gênerai theorem which we will not develop here.

Intégrais of the above type represent " source layers ^{? ?} anaîogous to those occurring in ordinary potential theory, and formula ( 3 . 3 ) is merely a statement of the j u m p condition at such a iayer.