1 Département Informatique
Département Informatique
Structures de données – partie 3 Arbres binaires de calcul
Programmation objet
Cours n°8
Département Informatique
Département Informatique Arbre binaire de calcul
Nous avons vu l'utilisation des arbres binaires en tant que structure de données optimisée pour la recherche par valeur sur un critère "binaire".
La même structure peut également être utilisée dans un autre cas : Un calcul d'expression mathématiques
On parle dans ce cas d'arbre binaire de calcul.
La structure est identique, mais son fonctionnement est différent.
3 Département Informatique
Département Informatique Principe
Lorsqu'on effectue un calcul, on effectue en fait une suite d'opérations Chaque opération utilise deux opérandes
Chaque opération fournit un résultat qui peut être utilisé pour une autre opération.
On remarque donc que l'ensemble de l'expression de calcul peut se modéliser dans un arbre binaire où les feuilles seront les opérandes et les racines les opérations...
Département Informatique
Département Informatique Exemple
Soit le calcul : 6 * 3 + 4 * 2 - 2
Le calcul peut se modéliser par l'arbre binaire suivant :
4 2
* +
-
2
6 3
*
5 Département Informatique
Département Informatique Exemple d'implémentation C++
class arbre_calcul {
enum type_operation
{aucun=0,plus='+', moins='-', mult='*', div='/'};
struct feuille {
type_operation Operateur;
double Operande;
feuille* f_gauche;
feuille* f_droite;
double Valeur() const;
};
typedef feuille* pfeuille;
pfeuille racine;
double Valeur() const;
};
Département Informatique
Département Informatique Effectuer le calcul
En utilisant un algorithme récursif, effectuer le calcul est simple.
En effet, la valeur d'une racine (d'un sous-arbre) se déduit directement :
• De l'opérateur contenu dans la racine
• De la valeur de l'opérande gauche
• De la valeur de l'opérande droite
On voit bien que l'on a besoin d'une méthode Valeur() qui va renvoyer :
• Soit la valeur contenue dans la feuille si c'est un nombre
• Soit le résultat d'un calcul si c'est un opérateur
7 Département Informatique
Département Informatique
double arbre_calcul::Valeur() const {
double val=0;
if(racine)
val = racine->Valeur();
return val;
}
double feuille::Valeur() const {
double val=0;
switch(Operateur) {
case aucun: val=Operande; break;
case plus: val=gauche->Valeur() + droite->Valeur();break;
//...
return val;
}
La récursivité nous permet le parcours simple
de l'arborescence
Département Informatique Département Informatique
Le "lancement" du calcul est donc extrêmement simple,
du fait de la structure de l'arbre binaire et de l'utilisation d'un algorithme récursif pour Valeur()
La création de l'arbre est un peu plus complexe, il faut bien évidemment gérer les priorités relatives des 4 opérateurs.
Si l'on souhaite gérer des parenthèses, la création de l'arbre se complexifie d'avantage, mais pas le calcul. En effet, une expression entre parenthèses est un sous-arbre.
9 Département Informatique
Département Informatique Algorithmes d'ajout (sans parenthèses)
Une expression commence obligatoirement par une opérande.
Se trouve ensuite un enchaînement opérateur-opérande
L'opérateur joue un rôle de "pivot" dans l'analyse de l'expression Suivant celui-ci, sa priorité par rapport au précédent, l'ajout dans l'arbre ne se fera pas de la même manière.
Priorité + - * /
+ = = < <
- = = < <
* > > = =
/ > > = =
Département Informatique
Département Informatique Cas n°1 : ajout à priorité inférieure 10*3 - 2
10
*
3
On ajoute le nouvel opérateur comme une racine et on prend l'ancien à gauche et l'opérande à droite
10
*
3
2 -
11 Département Informatique
Département Informatique Cas n°2 : ajout à priorité supérieure
10 + 4*3
10
+
4
On remplace la feuille de droite
par le nouvel opérateur, qui prendra
à gauche l'ancienne opérande et à droite la nouvelle opérande
10
+
* 4 3
Département Informatique
Département Informatique Cas 3 : ajout à priorité égale
3 + 4 - 2
3
+
4
2 -
3
+
4
La cas est identique au cas n°1
13 Département Informatique
Département Informatique Gestion des parenthèses
3*(4+2*(1-14*2))
Le principal problème avec les parenthèses est la détection des sous-expressions complètes.
On remarque que l'ouverture d'une parenthèse démarre une expression (donc un sous-arbre) et que la fermeture la termine.
La première parenthèse fermante correspond à la dernière
parenthèse ouvrante : on remarque que l'utilisation d'une pile peut simplifier la gestion des parenthèses pour la construction de l'arbre...
Département Informatique
Département Informatique 3*(4+2*(1-14*2))
* 3
On empile la suite de l'expression
4
+
* 2
- 1 *
Puis on dépile, et on
relie les feuilles droites.
15 Département Informatique
Département Informatique
Prochain cours :
Structures de données – partie 4 arbres non binaires
tables de hachage
Bonnes vacances !
