Exercices: Comparaisons de fonctions

ECS1

Exercices: Comparaisons de fonctions

Exercice 1. Étudier les limites des fonctions suivantes (les équivalents et négligeabilités peuvent être nécessaires ou ne pas l'être) :

1. Limites en1⁺ et+∞dea(x) = ln (√

x−1)−ln(x−1), 2. Limites en−∞et en+∞deb(x) =x2^x,

3. Limite en8 ded(x) = x−8

√3

x−2, 4. Limites en0⁺ et+∞def(x) =xln

x x+1

.

Exercice 2. Étudier les limites des fonctions suivantes (les équivalents et négligeabilités peuvent être nécessaires ou ne pas l'être) :

1. Limites en0⁺,0⁻ et +∞deg(x) = x

e^x1 −1 e^1x + 1 , 2. Limites en0⁺ et+∞deh(x) =x₁

x

, 3. Limite en ^π₆ dei(x) = 2 sin(x)−1

1−2 cos(2x), 4. Limite en+∞dek(x) = sin(x) sin ¹_x.

Exercice 3. Donner l'ensemble de dénition dex→e^xsin(x)−1 puis en donner un équivalent (le plus simple possible) au voisinage de0.

Exercice 4. Donner l'ensemble de dénition de x→ln

1 +x+x² 1−2x

puis en donner un équivalent (le plus simple possible) au voisinage de0.

Exercice 5 (Fonction génératrice des cumulants). On noteEl'ensemble des variables aléatoires réelles discrètes nies à valeurs dans R₊. Pour X ∈E, on note X(Ω) ={x1, x₂, . . . , x_k} avec0 6x₁ < x₂· · · < x_k. On pose,

∀i∈[[1, k]],P(X =x_i) =p_i>0. On dénit surR^∗ l'application t→ΦX(t) = 1

tln

k

X

i=1

pie^xit

! . 1. SoitY une variable certaine. DéterminerΦY.

2. SoitZ ,→ B(¹₂). Déterminer ΦZ. Montrer queΦZ peut-être prolongée en une fonctionΦcZ dérivable sur R.

3. On supposek>2. Déterminer un équivalent en 0 deΦX. Montrer que ΦX peut-être prolongée en une fonctiondΦX. Que vautdΦX(0)?