Résolution numérique des équations différentielles ordinaires

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Université Paris-Dauphine Méthodes numériques

Département MIDO année 2017/2018

Master 1 Mathématiques Appliquées

Travaux dirigés

Résolution numérique des équations différentielles ordinaires

Exercice 1.Pourα >0, on considère le problème de Cauchy

x⁰(t) = (x(t))^α, t>0, x(0) =x₀≥0.

1. Pour quelle(s) valeur(s) du réelαle théorème de Cauchy–Lipschitz garantit-il l’existence et l’uni- cité d’une solution du problème pour tout tempst>0 ?

2. Pourα=2 et x₀=1, il n’existe pas de solution pour tout temps t>0. Le vérifier en trouvant une solution du problème dans ce cas qui tend vers l’infini en temps fini.

3. Pour α = ¹₂ et x₀ = 0, il existe plus d’une solution. Trouver deux solutions « évidentes » du problème dans ce cas, puis construire une famille infinie de solutions distinctes.

Exercice 2.On considère le système d’équations différentielles ordinaires scalaires suivant u⁰⁰⁰(t) = t²u(t)u⁰⁰(t)−u(t)v(t),

v⁰⁰(t) = t v(t)v⁰(t) +4u⁰(t).

1. Écrire ce système sous la forme d’un système différentiel du premier ordrex⁰(t) = f(t,x(t)). 2. Déterminer la matrice jacobienne ^∂_∂^f_x(t,x)associée.

3. Déterminer une constante de Lipschitz pour f sur[0, 1]× {x∈R⁵| kxk1≤1}relativement aux normes vectoriellesk·k1etk·k_∞.

Exercice 3.On s’intéresse au problème de Robertson, décrivant la cinétique d’une réaction chimique autocatalytique mettant en jeu trois espèces chimiquesA,BetC. En notant x_A,X_B etx_C les concentrations respectives de ces espèces chimiques, on est conduit à étudier le problème de Cauchy associé, de système

x_A(t)⁰=−k₁x_A(t) +k₃x_B(t)x_C(t), x_B⁰(t) =k₁x_A(t)−k₂x_B(t)²−k₃x_Bx_C(t), x_C⁰(t) =k₂x_B(t)²,

aveck₁=0, 04,k₂=3 10⁷etk₃=10⁴, et de condition initiale x_A(0) =1, x_B(0) =0, x_C(0) =0,

cette dernière traduisant le fait que seule l’espèceAest présente en début de réaction.

1. Montrer que ce problème admet une unique solution maximale.

2. Montrer que chacune des concentrations reste positive au cours du temps (on pourra raison- ner par l’absurde en considérant un temps pour lequel l’une des concentrations s’annule et en montrant que celle-ci ne peut alors décroître).

3. En déduire que la solution maximale est globale.

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Exercice 4.Vérifier que la méthode de Heun, de schéma x_n₊₁=x_n+h_n

2 (f(t_n,x_n) +f(t_n+h_n,x_n+h_nf(t_n,x_n))) et la méthode d’Euler modifiée, de schéma

x_n₊₁=x_n+h_nf

t_n+h_n

2,x_n+h_n

2 f(t_n,x_n)

sont bien des méthodes de Runge–Kutta explicites à deux niveaux et écrire les tableaux de Butcher correspondants.

Exercice 5.Construire toutes les méthodes de Runge–Kutta d’ordre deux ayant pour tableau de Butcher 0

c₂ c₂ c₃ 0 c₃

0 0 1

.

Quel avantage ces méthodes présentent-elles en termes de mise en œuvre ?

Exercice 6.Déterminer les conditions sur les coefficientsa₂₁,b₁,b₂,c₁etc₂pour qu’une méthode de Runge–Kutta explicite à deux niveaux ne satisfaisant pas les conditions simplificatrices usuellesc₁=0 etc₂=a₂₁soit d’ordre deux.

Exercice 7.Montrer que pour les méthodes de Runge–Kutta explicites¹àsniveaux d’ordresdont les coefficientsa_{i j}etb_i, 1≤j<i≤s, sont positifs, la constante de LipschitzΛde la fonction d’incrément satisfait

1+hΛ<e^{h L},

où le réelLstrictement positif désigne la constante de Lipschitz de la fonctionf. Pour cela, on utilisera les conditions²satisfaites par les coefficients de telles méthodes.

Exercice 8.En étudiant leurs erreurs de troncature locales, déterminer l’ordre de la méthode d’Euler implicite, de schéma

x_n+1=x_n+h_nf(t_n+1,x_n+1), de la méthode de la règle du trapèze, de schéma

x_n+1=x_n+h_n

2 (f(t_n,x_n) +f(t_n+1,x_n+1)), et de la méthode de Heun, de schéma

x_n₊₁=x_n+h_n

2 (f(t_n,x_n) +f(t_n+h_n,x_n+h_nf(t_n,x_n))). Exercice 9.On considère le problème de Cauchy

x⁰(t) =λx(t), x(0) =1.

1. Appliquer un pas d’une méthode de Runge–Kutta explicite àsniveaux pour la résolution numé- rique de ce problème et montrer que x_n+1est un polynôme enhde degré au plus égal às.

1. On rappelle que ceci n’est possible que pour 1≤s≤4.

2. Ces conditions sont :b₁=1 pours=1,b₁+b₂=1 etb₂c₂= ¹2 pours =2,b₁+b₂+b₃=1,b₂c₂+b₃c₃= ¹2, b2c22+b3c32=¹₃etb3a32c2=¹₆pours=3,b1+b2+b3+b4=1,b2c2+b3c3+b4c4=¹₂,b2c22+b3c32+b4c42=¹₃,b3a32c2+ b4(a42c2+a43c3) =¹6,b2c23+b3c33+b4c43=¹4,b3c3a32c2+b4c4a42c2+b4c4a43c3=¹8,b3a32c22+b4a42c22+b4a43c23=12¹

etb₄a₄₃a₃₂c₂=24¹ pours=4.

2

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2. En déduire que l’ordre d’une méthode de Runge–Kutta explicite ne peut être plus grand que son nombre de niveaux.

Exercice 10.On considère la famille de méthodes définie par le schéma x_n₊₁=x_n+h_n((1−ω)f(t_n,x_n) +ωf(t_n₊₁,x_n₊₁)),

avecωun réel appartenant à l’intervalle[0, 1]. Montrer qu’une telle méthode est A-stable, c’est-à-dire que sa région de stabilité contient le demi-plan complexeC−={z∈C|Re(z)<0}, si et seulement si ω≥ ¹₂.

Exercice 11.Déterminer la fonction de stabilité absolue de laméthode de Mersonde tableau de Butcher 0

1 3

1 3 1 3

1 6

1 6 1 2

1

8 0 ³₈ 1 ¹₂ 0 −³₂ 2

1

6 0 0 ²₃ ¹₆ .

Exercice 12.Écrire un pas de la méthode d’Euler explicite pour le système du modèle SIR de Kermack–

McKendrick









 dS

dt = −r S I, dI

dt = r S I−a I, dR

dt = a I, Faire de même avec la méthode d’Euler implicite.

Exercice 13.On considère le système d’équations différentielles x₁⁰(t) = −2x₁(t) +x₂(t)−x₁(t)e^x¹^(t)

x₂⁰(t) = x₁(t)−2x₂(t)−x₂(t)e^x²^(t) , t>0,

complété de la condition initialex₁(0) =x₂(0) =1. Dans la suite, on pose x(t) =x₁(t) x₂(t)

.

1. Démontrer que six est solution du problème, alors la fonction gdéfinie par g(t) =kx(t)k²est décroissante.

2. Écrire la méthode d’Euler implicite pour la résolution du problème en expliquant la mise en œuvre la méthode de Newton–Raphson à chaque itération.

3. Montrer que si x_nest l’approximation de la solution au tempst_n=nhfournie par la méthode d’Euler implicite, avechla longueur du pas de discrétisation, alors la suite(g_n)n∈N définie par g_n=kx_nk²,n∈N, est décroissante.

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Travaux dirigés

Résolution des équations hyperboliques

Exercice 1 (calcul d’une solution classique).On considère la loi de conservation

∂u

∂t(t,x) +∂f(u)

∂x (t,x) =0, t>0, x∈R, de flux f(u) =^u₂², avec la condition initiale

u(0,x) =u₀(x) =x, x∈R.

1. Calculer explicitement la solution classique de ce problème.

2. Représenter les caractéristiques associée dans le demi-plan(x,t), x∈R,t≥0, et la solution à différents instants.

Exercice 2 (équation de transport avec terme d’absorption).Résoudre explicitement, en adaptant la méthode des caractéristiques, le problème de Cauchy

∂u

∂t(t,x) +a∂u

∂x(t,x) =−µu(t,x), t>0, x∈R, u(0,x) =u₀(x), x∈R,

oùa>0,µ >0 etu₀∈ C¹(R).

Exercice 3 (équation de transport avec condition au bord).On s’intéresse à la résolution du pro- blème suivant, posé sur une demi-droite en espace,

∂u

∂t(t,x) +a∂u

∂x(t,x) =0, t>0, x∈R₊, u(0,x) =u₀(x), x∈R₊,

oùaest une constante etu₀∈ C¹(R+). On suppose quea<0.

1. Montrer que le problème admet une unique solution.

On suppose maintenant quea>0.

2. Montrer que le problème est mal posé.

3. On ajoute la condition au bord

u(t, 0) =g(t), t>0,

oùg∈ C¹(R). Montrer que le problème admet une solution de classeC¹, que l’on déterminera, si et seulement si l’on a

g(0) =u₀(0)etg⁰(0) +a u⁰₀(0) =0.

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4. On se propose de retrouver, par une méthode basée sur un bilan d’énergie, la nécessité d’imposer une condition sur le bord pour que le problème admette une unique solution lorsquea>0. Pour cela, montrer que toute solution d’énergie finie du problème vérifie l’identité

d dt

1 2 Z

R+

|u(t,x)|²dx

= a

2|u(t, 0)|², t≥0.

Conclure alors en distinguant les casa<0 eta>0.

Exercice 4 (construction d’une onde de raréfaction).On considère la loi de conservation

∂u

∂t(t,x) +∂f(u)

∂x (t,x) =0, t>0, x∈R, de flux f(u) =^u₂², avec la condition initiale

u(0,x) =u₀(x) =







0 six≤0

x

α si 0≤x≤α

1 six≥α avecα >0.

1. Calculer la solution de ce problème à l’aide la méthode des caractéristiques.

2. Est-ce une solution classique ?

3. Que se passe-t-il lorsque l’on fait tendreαvers 0 ? Exercice 5.On considère la loi de conservation

∂u

∂t(t,x) +∂f(u)

∂x (t,x) =0, t>0, x∈R, de flux f(u) =−e^u, avec la condition initiale

u(0,x) =u₀(x) =

¨ln(2) six<0 0 six>0.

1. Justifier brièvement pourquoi la solution entropique du problème est une onde de raréfaction.

Expliciter cette solution.

2. Tracer les caractéristiques dans le demi-plan(x,t), x ∈R, t ≥0 et représenter la solution au tempst=1.

Exercice 6 (propagation d’une singularité).On considère le problème suivant

∂u

∂t(t,x) +a∂u

∂x(t,x) =0, t>0, x∈R, u(0,x) =u₀(x) =1_{x≤0}, x∈R, oùa>0.

1. Montrer que la fonction u(t,x) = u₀(x−a t) est solution de ce problème. Représenter cette solution à divers instantst>0.

2. On ajoute à présent un terme de dissipation à l’équation, qui devient

∂u

∂t(t,x) +a∂u

∂x(t,x) ="∂²u

∂x²(t,x), t>0, x∈R, avec" >0. Montrer que la fonctionu(t,x) =g_{x−a t}

p4"t

, avec

g(y) = 1 pπ

Z +∞

y

e⁻^s²ds,

est solution de ce problème. Représenter cette solution à divers instantst>0. Qu’observe-t-on ? 2

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Exercice 7.On considère le problème composé de la loi de conservation

∂u

∂t(t,x) +∂f(u)

∂x (t,x) =0, t>0, x∈R, de flux f(u) =u(u−1), et de la condition initiale

u(0,x) =u₀(x), x∈R.

Trouver sa solution faible entropique pour chacune des données initiales suivantes.

a.

u₀(x) =







1 six≤0 1−x si 0≤x≤2

−1 six≥2 .

On montrera en particulier que toutes les caractéristiques issues de l’intervalle[0, 2]passent par le point et coordonnéesx= ³₂ett=¹₂.

b.

u₀(x) =











1 six≤0 1−x si 0≤x≤2

−1 si 2≤x<3

−¹₂ six>3 .

Exercice 8.On considère la loi de conservation

∂u

∂t(t,x) +∂f(u)

∂x (t,x) =0, t>0, x∈R, de flux f(u) =p

u, avec la condition initiale

u(0,x) =u₀(x), x∈R.

1. Trouver la solution entropique du problème et préciser sa nature pour chacune des données initiales suivantes

u₀(x) =

¨1 six<0

4 six>0 etu₀(x) =

¨4 six<0 1 six>0.

2. Trouver la solution entropique du problème pour t <12 et la représenter aux instantst = 3, t=6 ett=12 pour le choix de donnée

u₀(x) =







1 six<−1 4 si −1<x<0 1 six>0

.

Dans quel sens varie la vitesse du choc pour t>12 ? En déduire que la fonctionuest continue dans le domainex≥₃^t −1,t≥12.

Exercice 9 (un modèle de trafic routier).On considère un problème de Cauchy lié à un modèle de trafic routier de Lighthill–Whitham–Richards, basé sur la loi de conservation

∂ ρ

∂t(t,x) +∂(ρu(ρ))

∂x (t,x) =0, t>0, x∈R, dans laquelleρreprésente la densité du trafic etu(ρ)sa vitesse, donnée par

u(ρ) =u_max

1− ρ

ρmax

,

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avecu_max∈R^∗₊etρmax∈R^∗₊, complétée par la condition initiale

ρ(0,x) =ρ0(x) =







a six<0

a+ (b−a)x

` si 0≤x≤`

b six> `

, a<b.

1. Déterminer les caractéristiques associées au problème.

2. Déterminer le temps d’apparition d’une discontinuité (un choc) dans la solution et sa vitesse de propagation.

3. Interpréter physiquement la configuration obtenue pour a. a+b> ρmax,

b. a+b=ρmax, c. a+b< ρmax.

Exercice 10.En supposant la fonction f dérivable au pointxjusqu’à l’ordre trois, déterminer les réels α,β etγtels que

f⁰(x) =αf(x+2h) +βf(x) +γf(x−h)

h +O(h²), x∈R, h>0.

Exercice 11.Déterminer l’ordre des méthodes de Lax–Friedrichs et de Lax–Wendroff appliquées à la résolution numérique de l’équation d’advection scalaire linéaire et étudier leur stabilité au sensL²en utilisant l’analyse de von Neumann en supposant le rapportλ=_∆x^∆^t constant.

Exercice 12.Étudier la stabilité du schéma décentré amont pour la résolution numérique de l’équation d’advection scalaire linéaire en supposant le rapportλ= _∆x^∆^t constant. Démontrer en particulier que ce schéma n’est pas stable si l’on « se trompe » dans le choix de la formule (c’est-à-dire si l’on intervertit entre elles les formules associées à chacun des signes de la vitesse).

Exercice 13 (étude du schéma de Lax–Wendroff pour la résolution de l’équation de transport).

Soit une solution régulièreude l’équation de transport

∂u

∂t(t,x) +a∂u

∂x(t,x) =0, t≥0, x∈R. 1. Montrer que

u(t_n₊₁,x_j) =u(t_n,x_j)−a∆t ∂u

∂x(t_n,x_j) +a²∆t² 2

∂²u

∂x²(t_n,x_j) +O(∆t³), n≥0, j∈Z. Pour la résolution numérique de l’équation, on propose la famille de schémas, indexée par le paramètre µ,

uⁿ_j⁺¹−uⁿ_j

∆t +a

uⁿ_j+1−uⁿ_j−1

2∆x −µ ∆t

∆x²

uⁿ_j₊₁−2uⁿ_j+uⁿ_j₋₁

=0, n≥0, j∈Z.

2. Obtenir la valeur deµpour laquelle la méthode est consistante à l’ordre deux au moins et montrer que le schéma ainsi obtenu est le schéma de Lax–Wendroff. Discuter de la précision du schéma lorsque|a|∆t=∆x.

3. Calculer le facteur d’amplification du schéma de Lax–Wendroff et en déduire sa stabilité sous la condition|a|∆t≤∆x.

4

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Travaux dirigés

Résolution numérique des équations paraboliques

Exercice 1 (analyse de stabilité en normeL²duθ-schéma).On s’intéresse à la résolution numérique du problème d’évolution suivant

∂u

∂t(t,x)−∂²u

∂x²(t,x) =0, t>0, x∈R, (1)

u(0,x) =u₀(x), x∈R, (2)

avecu₀ une fonction continue de L²(R). On considère la famille de schémas aux différences finies définie, en usant des notations habituelles, par

∆t −θ uⁿ_j+1⁺¹−2uⁿ_j⁺¹+uⁿ_j−1⁺¹

(∆x)² −(1−θ)uⁿ_j+1−2uⁿ_j+uⁿ_j−1

(∆x)² =0, n∈N, j∈Z, le paramètreθ étant un réel entre 0 et 1, complétée par l’initialisation

u⁰_j=u₀(j∆x), j∈Z.

1. Discuter de l’ordre et du caractère explicite ou implicite de ce schéma en fonction de la valeur du paramètreθ.

2. Toujours en fonction de la valeur deθ, étudier par l’analyse de von Neumann la stabilité en norme L²du schéma.

Exercice 2 (analyse d’un schéma explicite). Pour approcher la solution du problème (1)-(2), on considère le schéma suivant

∆t −

uⁿ_j₊₁−2uⁿ_j+uⁿ_j₋₁

(∆x)² =0, n∈N, j∈Z, complétée par l’initialisation

u⁰_j=u₀(j∆x), j∈Z.

1. Donner un algorithme de calcul de cette approximation numérique. Expliquer pourquoi cette solution approchée se propage « à vitesse finie ».

2. Sous l’hypothèse que _(∆^∆t_x₎2 ≤¹₂, démontrer le principe du maximum discret a≤u⁰_j≤b, j∈Z⇒a≤uⁿ_j ≤b, j∈Z, ∀n∈N.

En déduire en particulier quekuⁿk∞ ≤ ku⁰k∞,∀n ∈N (on dit que le schéma est stable en norme L^∞).

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3. On définit l’erreur de troncature par

"ⁿj⁺¹=u(t_n+1,x_j)−u(t_n,x_j)− ∆t

(∆x)² u(t_n,x_j+1)−2u(t_n,x_j) +u(t_n,x_j−1) .

On suppose que la solutionuest de classeC²en temps et de classeC⁴en espace et que ses déri- vées sont uniformément bornées sur[0,T]×R. À l’aide d’un développement de Taylor, montrer que, pour tout entierntel que(n+1)∆t≤T, on a l’estimation

"ⁿ⁺¹

∞≤C

(∆t)²

∂²u

∂t²

L^∞([0,T]×R)

+∆t(∆x)²

∂⁴u

∂x⁴

L^∞([0,T]×R)

, où par définition

kfkL^∞([0,T]×R)= sup

(t,x)∈[0,T]×R|f(t,x)|. 4. On introduit l’erreur commise sur la solution

eⁿ_j =u(t_n,x_j)−uⁿ_j, n∈N, j∈Z.

Écrire les équations qui relient les suites(eⁿ)n∈Net("ⁿ)n∈N. Démontrer l’estimation d’erreur sup

(n+1)∆t≤T

keⁿk_∞≤C T

∆t

∂²u

∂t²

L^∞([0,T]×R)+ (∆x)²

∂⁴u

∂x⁴

L^∞([0,T]×R)

.

Exercice 3 (schémas de Richardson et de Du Fort–Frankel).On s’intéresse à la résolution numérique de l’équation de la chaleur

∂u

∂t(t,x)−∂²u

∂x²(t,x) =0, t>0, x∈R, à l’aide du schéma de Richardson

uⁿ_j⁺¹−uⁿ_j⁻¹

2∆t −uⁿ_j₊₁−2uⁿ_j+uⁿ_j−1

(∆x)² =0, n∈N^∗, j∈Z.

1. Quel est a priori l’inconvénient pratique de ce schéma ?

2. Montrer qu’il s’agit d’un schéma explicite du second ordre en espace et en temps, mais inconditionnellement instable.

3. Dans le schéma de Richardson, on remplace le termeuⁿ_j par la moyenne ^u

n+1 j +uⁿ⁻¹_j

2 . On obtient ainsi le schéma de Du Fort–Frankel. Montrer que ce schéma est explicite et inconditionnellement stable.

4. Analyser l’erreur de troncature du schéma de Du Fort–Frankel et conclure que le schéma n’est consistant que si le rapport _∆^∆_x^t tend vers 0 quand les longueurs des pas de discrétisation tendent vers 0. Ce résultat était-il prévisible ?

2

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Travaux dirigés

Résolution numérique des équations différentielles stochastiques

Dans cette feuille, on considère l’équation différentielle stochastique dX(t) = f(t,X(t))dt+g(t,X(t))dW(t), t∈[t₀,t₀+T],

dans laquelle le processus de WienerWest fixé et adapté à une filtration{Ht, t₀≤t≤t₀+T}. On suppose que la donnée de la condition initialeX(t₀) =Zest mesurable par rapport àHt₀et que les fonctionsf etgsont telles que les processus{f(t,X(t)),t₀≤t≤t₀+T}et{g(t,X(t)),t₀≤t≤t₀+T} sont adaptés à la filtration{Ht, t₀≤t≤t₀+T}et satisfont

Z t₀+T t₀

|f(s,X(s))|+|g(s,X(s))|²

ds<+∞presque sûrement, de sorte qu’il existe une solution forte de l’équation sur l’intervalle[t₀,t₀+T].

On suppose également que les méthodes numériques utilisent une grille de discrétisation uniforme, de pas de longueurh.

Exercice 1.Montrer que les méthodes d’Euler–Maruyama et de Milstein s’obtiennent à partir de déve- loppements d’It¯o–Taylor tronqués.

Exercice 2 (méthode d’Euler–Maruyama « faible »).On suppose dans cet exercice la fonctionf bor- née et l’on considère la méthode numérique de schéma

X_n₊₁=X_n+f(t_n,X_n)h+g(t_n,X_n)ξn

ph, n=0, . . . ,N−1,

les quantitésξn,n=0, . . . ,N−1, étant des variables aléatoires indépendantes deux à deux, ainsi que de la filtration{Ht, t₀≤t≤t₀+T}, et telles queP(ξn=±1) =¹₂.

1. Montrer que cette méthode est faiblement consistante.

2. Donner d’autres choix possibles de variables aléatoiresξn,n=0, . . . ,N−1.

3. Cette méthode est-elle fortement consistante ?

Exercice 3 (une généralisation stochastique de la méthode de Heun).On suppose dans cet exercice que l’équation différentielle stochastique est autonome et que les fonctions f etgsont de classeC², bornées et à dérivées bornées. On considére alors la généralisation formelle suivante de la méthode de Heun au cas stochastique, donnée par le schéma

X_n₊₁=X_n+1

2 (f(X_n) +f(X_n+f(X_n)h+g(X_n)∆W_n))h +1

2(g(X_n) +g(X_n+f(X_n)h+g(X_n)∆W_n))∆W_n, où l’on a posé∆W_n=W_n+1−W_n.

1. Montrer que cette méthode n’est généralement pas fortement consistante.

2. Donner des conditions suffisantes sur les fonctionsf etgpour que ce soit le cas.

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Exercice 4.Montrer que les définitions de la consistance d’une méthode numérique de résolution d’une équation stochastique coïncident avec celle des méthodes numériques à un pas pour les équations différentielles ordinaires si la fonction gest identiquement nulle.

Exercice 5.Donner deux exemples de fonctions f etgpour lesquels la méthode d’Euler–Maruyama a un ordre de convergence forte respectivement strictement supérieur à un et strictement inférieur à un.

2