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Submitted on 1 Jan 1990
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UNE MÉTHODE NUMÉRIQUE DE RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DE L’ACOUSTIQUE DANS UN
MILIEU À CARACTÉRISTIQUES C ∞ PAR MORCEAUX
J. Colombeau, J. Laurens, B. Perrot
To cite this version:
J. Colombeau, J. Laurens, B. Perrot. UNE MÉTHODE NUMÉRIQUE DE RÉSOLU- TION DES ÉQUATIONS DE L’ACOUSTIQUE DANS UN MILIEU À CARACTÉRISTIQUES C ∞ PAR MORCEAUX. Journal de Physique Colloques, 1990, 51 (C2), pp.C2-1227-C2-1230.
�10.1051/jphyscol:19902288�. �jpa-00230621�
COLLOQUE DE PHYSIQUE
Colloque C2, supplément au n°2. Tome 51, Février 1990 C2-1227 1er Congrès Français d'Acoustique 1990
UNE MÉTHODE NUMÉRIQUE DE RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DE L'ACOUSTIQUE DANS UN MILIEU À CARACTÉRISTIQUES £°° PAR MORCEAUX
J.F. COLOMBEAU, J. LAURENS et B. PERROT*
Ecole
Normale Supérieure de Lyon, Allée d'Italie, F-69364 Lyon Cedex 07, France
'Ecole Nationale Supérieure d'Electricité et de Radio de Bordeaux, Université de Bordeaux 1, F-33405 Talence, France
Résumé - Nous présentons une méthode numérique pour la résolution des systèmes d'équations de l'acoustique linéaire et faiblement non linéaire valable même lorsque le milieu comporte des dioptres avec points singuliers (arête d'un dièdre, sommet d'un cône). L'intérêt de notre méthode est qu'elle fonctionne sans aucune connaissance préalable des conditions de passage.
Abstract - We present a numerical method for the solution of the systems of equations of linear and weakly nonlinear acoustics valid even when the medium involves dioptra with singular points (edge of a diedra, top of a cone). The basic feature of our method is that no previous knowledge of the transmission conditions is needed.
1 - GENERALITES ET METHODE MATHEMATIQUE
Les équations de l'acoustique linéaire ou faiblement non linéaire sont des systèmes d'équations aux dérivées partielles linéaires dont les coefficients sont des grandeurs caractéristiques du milieu, et donc reflètent son hétérogénéité. Dans le cas d'un milieu à caractéristiques ^'"par morceaux (juxtaposition de milieux non miscibles) ces coefficients présentent des singularités sur les surfaces de séparation (dioptres) des divers milieux : discontinuités ou même des singularités plus fortes telles des masses de Dirac. Voir Poirée [11, 12, 13, 14, 15]
pour diverses formulations des équations, ainsi que pour les conditions de passage sur un dioptre admettant un plan tangent en tout point. Nous nous intéressons ici au cas où la géométrie du dioptre présente des points singuliers (tels les points sur l'arête d'un dièdre, le sommet d'un cône, ...). Alors les études mathématiques (résultats théoriques d'existence, d'unicité, techniques numériques) classiques échouent.
Utilisant un nouveau concept de fonctions généralisées permettant de donner un. sens aux expressions qui apparaissent dans les calculs de physique sous forme de produits de distributions (tels le produit d'une fonction d'une variable réelle discontinue en un point x0 par une masse de Dirac centrée en ce point, le carré 5 d'une masse de Dirac 5,...) nous pouvons formuler et étudier rigoureusement ces systèmes. Voir [1, 2, 3, 4, ] pour une description de ce cadre mathématique à l'usage des physiciens, voir [5. 6. 8. 9. 10] pour des résultats théoriques d'existence et d'unicité. Les résultats suggèrent une méthode de calcul numérique des solutions, mise au point dans [1], et appliquée au dièdre acoustique fluide/ fluide (étude bidimensionnelle, i. e. ondes acoustiques se propageant perpendiculairement à l'arête du dièdre).
2 - RESULTATS NUMERIQUES
Nous plaçant dans le cas d'un milieu non perturbé au repos, nous utilisons le modèle (coordonnées de Lagrange et variables acoustiques lagrangiennes, voir [11,12,14])
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:19902288
COLLOQUE DE PHYSIQUE
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où po = po (x) et CO = CO (x) sont constantes par morceaux, discontinues sur le dioptre (p,
2,
p =densité, vitesse et pression acoustiques respectivement). La programmation a été faite par J. Laurens [7]. Le cas d'un dièdre fluide/solide élastique est en cours d'étude ; les premiers résultats sont annoncés par J. Laurens dans ce volume.
Dans la visualisation suivante (courbes isobares) on considère un double dièdre (3 milieux) d'angle droit (on ne représente que la partie supérieure, à compléter par syméme par rapport à la bissectrice de l'angle du dièdre). Une onde acoustique dans le milieu de gauche se dirige vers le di'edre dont elle rencontre l'arête au temps t = O. L'évolution du phénomène est montrée en des temps de plus en plus grands. Il y a successivement réflection et réfraction sur les deux dièdres. Finalement on observe un pic, suivi d'un creux de pression se déplaçant le long du premier dioptre, ainsi qu'une onde réfiéchie (vers la gauche) et réfractée (vers la droite).
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CONCLUSIONS. Cette approche est assez simple et peu coûteuse en calculs (au moins dans le cas bidimensionnel, le seul considéré jusqu'à maintenant). Elle doit être comparée au phénomène réel et étendue à d'autres cas plus complexes avant qu'on puisse porter un jugement sur son intérêt industriel. Ces études sont en cours.[l] Barka, Y. A., Colombeau, J. F., Perrot, B. A numerical modelling of the fluid/fluid acoustic dioptra. J.
Acoustique, sous presse.
[2] Colombeau, J. F. Multiplication de distributions et acoustique linéaire. J. Acoustique 1 (1988) 9-14
[3] Colombeau, J. F. The elastoplastic shock problem as an example of the resolution of ambiguities in the multiplication of distributions J. Math. Phys. sous presse.
[4] Col~mbeau, J. F. , Le Roux A. Y. Multiplications of distributions in elasticity and hydrodynamics. J. Math.
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[6] Lafon, F., Oberguggenberger, M. Generalized solutions to symmetric hyperbolic systems with discontinuous coefficients : the multidimensional case. Reprint 1988.
[7] Laurens, J. Etude du dioptre acoustique. Rapport de stage de DEA Université Claude Bernard Lyon 1.
D.E.A. d'analyse numérique, de modélisation et de calcul scientifique, année 1988189.
[8] Oberguggenberger, M. Systèmes hyperboliques à coefficients discontinus : solutions généralisées et une application à l'acoustique 1inéaire.Comptes Rendus Math de 1'Acad. des Sciences du Canada, X, 3 (1988) 143- 148.
[9] Oberguggenberger, M. Hyperbolic systems with discontnuous coefficients : examples ."Generalized functions, convergence structure and application" edited by B. Stankovic, E. Pap, S. Pilipovic, V. S. Vladimirov Plenum Pub. Company, New York and London,(1988) 275-266.
[IO] Oberguggenberger, M. Hyperbolic systems with discontinuous coefficients : generalized solution and a transmission problem in acoustics. J. Math. Anal. Appl. sous presse.
[ I l ] Poirée, B. Les équations de d'acoustique linéaire dans un fluide parfait au repos à caractéristiques indéfiniment différentiables par morceaux, Rev. Cethedec 52 (1977) 69-79.
[12] Poirée, B. Représentations lagrangienne et eulérienne de l'acoustique linéaire, Rev. Cethedec 56 (1978) 73- 80.
[13] Poirée, B. Equations de perturbation et équations de passage associées. Application au dioptre acoustique, Rev. Cethedec 69 (1981)l-49.
[14; Poirée, B. Les équations de l'acoustique linéaire et non linéaire dans les fluides en mouvement. Thèse ès sciences physiques, Université de Paris VI (1982)
[15] Poirée, B. Les équations de l'acoustique linéaire dans les milieux hétérogènes au repos
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Dans : N. Gespa, La Diffusion Acoustique par des cibles élastiques de forme géométrique simple, Théories et experiences.CEDOCAR Section Diffusion 26 bd Victor 75996 Paris Années.
