UNIVERSITÉ DEBORDEAUX Licence Économie et Gestion – 1èreannée
Semestre 1 2015-2016
T.D. n
o4 : suites numériques
Exercice 1
1. On considère la suite(un)n∈Narithmétique de raisonret de premier termeu0. Soit(Sn)n∈Nla suite définie parSn=
Xn
k=0
uk.
(a) Sachant quer= 5etu0= 1, calculeru4etS10. (b) Sachant queu3 = 5etS4= 15, déterminerretu0.
2. (un)n∈Nest cette fois une suite géométrique de raisonqet de premier termeu0. (a) Sachant queu0 = 3etq=−5, calculeru3etS3.
(b) Sachant queu0 = 1etq= 2, déterminer le rangN pour lequelSN = 65 535.
Exercice 2
Soit la suite(un)n∈Ndéfinie paru0= 7etun+1 =un+ 5pour toutn∈N. 1. Donner l’expression deunen fonction de n.
2. Quelle est la somme desnpremiers termes deu?
3. Déterminer la somme desnpremiers termes de rang impair deu.
Exercice 3
On considère la suite réelle(un)n∈Ndéfinie de la manière suivante : u0 = 2et pourn≥0:un+1 = 13un+n−1.
1. La suite est-elle arithmétique ? géométrique ?
2. Montrer que la suite(vn)définie parvn = 4un−6n+ 15est géométrique (on précisera le premier terme et la raison).
3. Déterminer alorsvnetunen fonction den.
4. Exprimer en fonction denla somme : Xn k=0
uk.
Exercice 4
On considère la suite réelle(un)n∈Ndéfinie de la manière suivante : u0 =a∈Net pourn≥0:un+1 = 2+5u3un
n.
1. Pour quelle valeur deu0la suite(un)n∈Nn’est-elle pas définie ? 2. Que se passe-t-il sia= 0?
3. On considère la suite(vn)n∈Ndéfinie pour toutn ∈ Nparvn = u1
n avecv0 = b ∈ Netun 6= 0pour toutn∈N.
(a) Montrer que pour toutn∈N,vn+1 = 23vn+53.
(b) En déduirebpour que la suite(vn)n∈Nsoit stationnaire.
(c) Montrer que la suite(vn)n∈Nest convergente puis en déduire que(un)n∈Nconverge.
Exercice 5
Au cours d’une année , appelée année0, un industriel sort un article qu’il vend au prix initialP0. Le prix de vente de cet article suit au cours des années la loi suivante :
Pn= 0,4Pn−1+ 120dans laquellePndésigne le prix de l’article au cours de l’annéen.
1. On poseQn=Pn+k(kétant une constante réelle). Montrer qu’il existe une valeur dekpour laquelle (Qn)est géométrique.
2. En déduireQnpuisPnen fonction denet du prix initial.
3. Montrer qu’il existe une valeur deP0pour laquelle il y a stabilité du prix de vente de l’article.
Exercice 6
Une entreprise propose à ses ingénieurs deux types de contrats relatifs au paiement des primes.
Contrat de type 1 (les primes sont versées à la fin de chaque année) : 1èreannée : 2500 euros puis augmentation de 300 euros chaque année.
Contrat de type 2 (les primes sont versées à la fin de chaque semestre) : 1ersemestre : 1000 euros puis augmentation de 100 euros chaque semestre.
Déterminerunetvn, les sommes perçues avec le contrat de type 1 et 2 à la fin de lanèmeannée.
Quel est le contrat le plus avantageux ? (discuter suivant le nombre d’années)
Exercice 7
On se propose de former au 1erjanvier 2019 un capital d’un montant deC¤au moyen de trois annuités de montantsA0,A1etA2versées respectivement au 1erjanvier 2016, 2017 et 2018.
1. Le taux d’intérêt annuel (constant) étant notér, exprimerCen fonction deA0,A1,A2 etr.
2. Le taux d’intérêt est de10%(r = 0,1). Combien valentA1etA2 sachant queC = 39 820, A0 = 11 000 etA1+A2 = 21 810.
Exercice 8
Vous empruntez un capitalCpendant deux ans, remboursable en deux annuités égales d’un montant A. La première année, le taux d’intérêt annuel estr. La deuxième année il change et prend la valeurr′. CalculerAen fonction deC,retr′.
Application numérique :C= 4200,r= 5%,r′ = 10%.
Exercice 9
Un emprunt de10 000¤au taux d’intérêt annuel de10%est remboursé ennannuitésA1,A2, . . . , An. 1. Sachant quen= 3,A1 = 0etA2 =A3, déterminer la valeur de l’annuitéA2.
2. Sachant quen= 10et queAk=Apour toutk(annuités constantes), déterminer la valeur deA.
