Potentiels de Riesz et fonction maximale fractionnaire dans le cadre de la transformation de Dunkl

(1)

Potentiels de Riesz et fonction maximale fractionnaire

dans le cadre de la transformation de Dunkl

Sallem Hassani

Sallem Hassani Potentiels de Riesz et fonction maximale fractionnaire dans le cadre de la transformation de Dunkl

(2)

Introduction

Potentiels de Riesz et fonction maximale fractionnaire associ´es `a la transformation de Dunkl

Plan

Introduction.

Potentiels de Riesz et fonction maximale fractionnaire associ´es

`

a la transformation de Dunkl.

(3)

Plan

Introduction.

Potentiels de Riesz et fonction maximale fractionnaire associ´es

`

a la transformation de Dunkl.

(4)

Introduction

Potentiels de Riesz et fonction maximale fractionnaire associés à la transformation de DunklThéorie de Dunkl

Introduction

(5)

Introduction

Syst`eme de racines

On consid`ere l’espace euclidienR^d, muni du produit scalaire

< ., . >. Pour α∈R^d\{0}, on définit la réflexion par rapport à l’hyperplanHα orthogonal au vecteurα par

σ_α(x) =x−2<x, α >

kαk² α, x ∈R^d, o`u kxk=√

<x,x >.

Par d´efinition un syst`eme de racines R est un sous ensemble deR qui satisfait les conditions suivantes :

R est fini, ne contient pas 0. R∩Rα={±α}, α∈R. σα(R) =R, α∈R.

Pourβ ∈R^d\ ∪_α∈_RH_α, on appelle sous syst`eme de racines positif, l’ensemble

R+={α∈R, < α, β >∈R+}.

(6)

Introduction

Syst`eme de racines

σ_α(x) =x−2<x, α >

<x,x >.

Par d´efinition un syst`eme de racines R est un sous ensemble deR^d qui satisfait les conditions suivantes :

R est fini, ne contient pas 0.

R∩Rα={±α}, α∈R. σα(R) =R, α∈R.

R+={α∈R, < α, β >∈R+}.

(7)

Syst`eme de racines

σ_α(x) =x−2<x, α >

<x,x >.

Par d´efinition un syst`eme de racines R est un sous ensemble deR^d qui satisfait les conditions suivantes :

R est fini, ne contient pas 0.

R∩Rα={±α}, α∈R. σα(R) =R, α∈R.

R+={α ∈R, < α, β >∈R+}.

(8)

Introduction

L’ensemble{σ_α, α∈R+} engendre un sous groupe finiG du groupe orthogonalO(d),G est dit groupe de réflexion associé au système de racinesR.

Une fonctionκ:α→κ_α définie sur R à valeurs dans Cest dite fonction de multiplicité si elle estG invariante.

(9)

L’ensemble{σ_α, α∈R+} engendre un sous groupe finiG du groupe orthogonalO(d),G est dit groupe de réflexion associé au système de racinesR.

Une fonctionκ:α→κ_α définie sur R à valeurs dans Cest dite fonction de multiplicité si elle estG invariante.

(10)

Introduction

Op´erateurs de Dunkl

On considère les opérateurs différentiels et aux différences T_j, 1≤j ≤d surR^d, associés au groupe de réflexion G surR^d avec un système de racines positif R+ et une fonction de multiplicitéκ, introduits parC. F. Dunkl en 1989et appelés opérateurs de Dunkl.

Ils sont d´efinis pour f ∈C¹(R^d)

Tjf(x) =∂jf(x) + X

α∈R+

κα

f(x)−f(xσα)

<x, α > < α,ej >, 1≤j ≤d, où ∂_j désigne la dérivée partielle et e₁, ...,e_d la base canonique de R^d.

(11)

Op´erateur d’entrelacement V_κ (C. F. Dunkl 1991)

Il existe un unique isomorphismeV_κ de l’espace des polynômes homogènesPn sur R^d de degré n dans lui même satisfaisant la relation de permutation

TjVκ=Vκ∂j, j = 1, ...,d, Vκ(1) = 1.

(12)

Introduction

Repr´esentation int´egrale de V_κ

Théorème (M. Rösler 1999)

Pour tout x ∈R^d, il existe une mesure de probabilit´eµx sur R^d telle que

V_κf(x) = Z

R^d

f(y)dµ_x(y).

Théorème (Y. Xu 1997) Dans le cas où G =Z^d₂, on a

V_κf(x) = Z

[−1,1]^d

f(x₁t₁, ...,x_dt_d)

d

Y

j=1

M_κ_j(1 +t_j)(1−t_j²)^κ^j⁻¹dt,

o`u Mκj = ^Γ(κ^j⁺

1 2)

√πΓ(κj).

(13)

Repr´esentation int´egrale de V_κ

Théorème (M. Rösler 1999)

Pour tout x ∈R^d, il existe une mesure de probabilit´eµx sur R^d telle que

V_κf(x) = Z

R^d

f(y)dµ_x(y).

Théorème (Y. Xu 1997) Dans le cas où G =Z^d₂, on a

V_κf(x) = Z

[−1,1]^d

f(x₁t₁, ...,x_dt_d)

d

Y

j=1

M_κ_j(1 +t_j)(1−t_j²)^κ^j⁻¹dt,

o`u Mκj = ^Γ(κ^j⁺

1 2)

√πΓ(κj).

(14)

Introduction

Noyau de Dunkl E_κ

D´efinition

Le noyau de Dunkl Eκ est le transform´e par Vκ du noyau exponentiel classique. Il est donn´e par

Eκ(x,y) =Vκ(e<.,y>)(x), x,y ∈R^d.

En dimension 1,E_κ s’exprime en termes des fonctions de Bessel. Eκ(x,y) =j_κ−¹

2(ixy) + xy 2κ+ 1j_κ+¹

2(ixy), o`u

jα(z) = 2^αΓ(α+ 1)Jα(z)

z^α = Γ(α+ 1)X

n≥0

(−1)ⁿ (z/2)²ⁿ n!Γ(n+α+ 1), est la fonction de Bessel normalis´ee.

(15)

Noyau de Dunkl E_κ

D´efinition

Le noyau de Dunkl Eκ est le transform´e par Vκ du noyau exponentiel classique. Il est donn´e par

Eκ(x,y) =Vκ(e<.,y>)(x), x,y ∈R^d.

En dimension 1,E_κ s’exprime en termes des fonctions de Bessel.

Eκ(x,y) =j_κ−¹

2(ixy) + xy 2κ+ 1j_κ+¹

2(ixy), o`u

jα(z) = 2^αΓ(α+ 1)Jα(z)

z^α = Γ(α+ 1)X

n≥0

(−1)ⁿ (z/2)²ⁿ n!Γ(n+α+ 1), est la fonction de Bessel normalis´ee.

(16)

Introduction

Transformation de Dunkl

La transformation de DunklFκ est d´efinie pourf :R^d →C convenable par

Fκf(y) =ch

Z

R^d

f(x)Eκ(x,−iy)h²_κ(x)dx, y ∈R^d, où h_κ est la fonction poids homogène de degré γ_κ = X

α∈R+

κ(α)

d´efinie sur R^d par

h_κ(x) = Y

α∈R+

|< α,x >|^κ(α), et

c⁻¹= Z

e⁻

kxk2

2 h²(x)dx.

(17)

Introduction

Propri´et´es de F^κ

Th´eor`eme (C. F. Dunkl 1992, M.F.E. De Jeu 1993) Pour tout f ∈L¹(R^d,h²_κ),

kFκfk_κ,∞≤ kfk_κ,1.

o`u k.k_κ,p est la norme usuelle de l’espace L^p(R^d,h_κ²), 1≤p ≤ ∞.

(Formule d’inversion) Soit f etFκf sont dans L (R ,h_κ)on a f(x) =

Z

R^d

E_κ(ix,y)Fκf(y)h_κ²(y)dy, p.p.x∈R^d.

(Théorème de Plancherel) La transformation de Dunkl est une isométrie de L²(R^d,h²_κ).

(18)

Introduction

(Formule d’inversion) Soit f etFκf sont dans L¹(R^d,h²_κ)on a f(x) =

Z

R^d

(19)

(Formule d’inversion) Soit f etFκf sont dans L¹(R^d,h²_κ)on a f(x) =

Z

R^d

(20)

Introduction

Opérateur de translation de Dunkl (généralisée)

D´efinition

L’opérateur de translation de Dunklτy est défini sur L²(R^d,h²_κ) par l’équation

Fκ(τyf)(x) =Eκ(y,−ix)Fκf(x), x∈R^d.

Remarque : Pour le moment une formule explicite pour l’op´erateur de translation est connue seulement dans deux cas :

G =Z^d₂ (M. R¨osler, 1994).

f est une fonction radiale (M. R¨osler, 2003).

(21)

Opérateur de translation de Dunkl (généralisée)

D´efinition

L’opérateur de translation de Dunklτy est défini sur L²(R^d,h²_κ) par l’équation

Fκ(τyf)(x) =Eκ(y,−ix)Fκf(x), x∈R^d. Remarque : Pour le moment une formule explicite pour l’op´erateur de translation est connue seulement dans deux cas :

G =Z^d₂ (M. R¨osler, 1994).

f est une fonction radiale (M. R¨osler, 2003).

(22)

Introduction

Propriétés de bornitude de l’opérateur τ_x

Th´eor`eme (S. Thangavelu et Y. Xu 2005) Pour f ∈L^p(R^d,h_κ²)radiale, 1≤p ≤2 on a

kτ_xfk_κ,p≤ kfk_κ,p.

Soit G =Z^d₂. Pour f ∈L^p(R^d,h²_κ),1≤p≤ ∞on a kτ_xfk_κ,p≤ckfk_κ,p.

(23)

Propriétés de bornitude de l’opérateur τ_x

Th´eor`eme (S. Thangavelu et Y. Xu 2005) Pour f ∈L^p(R^d,h_κ²)radiale, 1≤p ≤2 on a

kτ_xfk_κ,p≤ kfk_κ,p.

Soit G =Z^d₂. Pour f ∈L^p(R^d,h²_κ),1≤p ≤ ∞on a kτ_xfk_κ,p≤ckfk_κ,p.

(24)

Introduction

Produit de convolution ∗_κ

D´efinition

Le produit de convolution de Dunkl∗_κ de deux fonctions f et g dans L²(R^d,h_κ²) est donn´e par

f ∗_κg(x) = Z

R^d

τxf(−y)g(y)h_κ²(y)dy, x ∈R^d.

Ce produit de convolution est commutatif et pourf,g ∈D(R^d) on a

Fκ(f ∗_κg) =Fκ(f)Fκ(g).

(25)

Produit de convolution ∗_κ

D´efinition

Le produit de convolution de Dunkl∗_κ de deux fonctions f et g dans L²(R^d,h_κ²) est donn´e par

f ∗_κg(x) = Z

R^d

τxf(−y)g(y)h_κ²(y)dy, x ∈R^d. Ce produit de convolution est commutatif et pourf,g ∈D(R^d) on a

Fκ(f ∗_κg) =Fκ(f)Fκ(g).

(26)

Introduction

Potentiels de Riesz et fonction maximale fractionnaire associ´es `a la transformation de Dunkl Motivation

Potentiels de Riesz et fonction maximale

Potentiels de Riesz et fonction maximale fractionnaire associ´ es ` a la

transformation de Dunkl

Riesz Potentials and fractional maximal function for the Dunkl transform

(Avec S. Mustapha et M. Sifi)

(27)

Potentiels de Riesz et fonction maximale fractionnaire associ´es `a la transformation de DunklPotentiels de Riesz et fonction maximale

Potentiels de Riesz et fonction maximale fractionnaire associ´ es ` a la

transformation de Dunkl

Riesz Potentials and fractional maximal function for the Dunkl transform

(Avec S. Mustapha et M. Sifi)

(28)

Introduction

Potentiels de Riesz

D´efinition

Pour0< α <2γ_κ+d , le potentiel de Riesz I_α^κf est d´efini sur S(R^d) par

I_α^κf(x) = (d_κ^α)⁻¹ Z

R^d

τyf(x)

kyk^2γ^κ^+d−αh²_κ(y)dy, o`u

d_κ^α= 2^−γ^κ^−d/2+α Γ(^α₂) Γ(γ_κ+ ^d−α₂ ).

Question

Comment agitI_α^κ sur les espaces L^p(R^d,h²_κ) pour 1≤p <∞?

(29)

Potentiels de Riesz

D´efinition

Pour0< α <2γ_κ+d , le potentiel de Riesz I_α^κf est d´efini sur S(R^d) par

I_α^κf(x) = (d_κ^α)⁻¹ Z

R^d

τyf(x)

kyk^2γ^κ^+d−αh²_κ(y)dy, o`u

d_κ^α= 2^−γ^κ^−d/2+α Γ(^α₂) Γ(γ_κ+ ^d−α₂ ). Question

Comment agitI_α^κ sur les espaces L^p(R^d,h²_κ) pour 1≤p <∞?

(30)

Introduction

Y. Xu et S. Thangaveluont montr´e que la condition

1

q = ¹_p−_2γ^α

κ+d est suffisante pour assurer une inégalité de Hardy Littlewood Sobolev pourI_α^κ dans le cas où G =Z^d₂ ou dans le cas des fonctions radiales etp ≤2. Ce résultat est restreint à ces deux cas à cause de manque d’information sur la bornitude de

l’op´erateur de translation.

Objectif

Généraliser ce résultat pour tous les groupes de réflexionsG.

(31)

Y. Xu et S. Thangaveluont montr´e que la condition

1

q = ¹_p−_2γ^α

κ+d est suffisante pour assurer une inégalité de Hardy Littlewood Sobolev pourI_α^κ dans le cas où G =Z^d₂ ou dans le cas des fonctions radiales etp ≤2. Ce résultat est restreint à ces deux cas à cause de manque d’information sur la bornitude de

l’op´erateur de translation.

Objectif

Généraliser ce résultat pour tous les groupes de réflexionsG.

(32)

Introduction

Th´eor`eme

Soitα un r´eel tel que 0< α <2γκ+d, (p,q) une paire de r´eels telle que 1≤p <q<∞ et 1

q = 1

p − α

2γ_κ+d. Alors :

Si p>1, alorsf →I_α^κf se prolonge en un op´erateur born´e de L^p(R^d,h_κ²) dans L^q(R^d,h²_κ) i.e.

kI_α^κfk_κ,q≤Ap,αkfk_κ,p, f ∈L^p(R^d,h²_κ), o`u A_p,α>0 d´epend seulement dep et α.

Si p= 1, f →I_α^κf est de type faible (1,q) i.e.

Z

{x: |I_α^κf(x)|>λ}

h_κ²(x)dx ≤A_α

kfk_κ,1 λ

q

, f ∈L¹(R^d,h²_κ), o`u Aα >0 d´epend seulement deα.

(33)

Introduction

Id´ee de la d´emonstration

Prolongement de f →I_α^κf pour toutf ∈L^p(R^d,h²_κ),p ≥1 : Comme

kyk^−a= 1 Γ(^a₂)

Z ∞

0

s^a²e^−skyk²ds

s , y ∈R^d, a>0.

et Z

R^d

τyf(x)e^−skyk²h²_κ(y)dy = Z

R^d

f(y)τx(e^−skyk²)(y)h²_κ(y)dy

I_α^κf(x) = 2^γ^κ⁺^d²^−α Γ(^α₂)

Z ∞

0

s^γ^κ⁺^d−α² Z

R^d

f(y)τx(e^−skyk²)(y)h²_κ(y)dyds s

=S1f(x) +S2f(x), S1f(x) = 2^γ^κ⁺^d²^−α

Γ(^α₂) Z σ

0

R^d

f(y)τx(e^−skyk²)(y)h²_κ(y)dyds s ,

(34)

Introduction

Id´ee de la d´emonstration

Prolongement de f →I_α^κf pour toutf ∈L^p(R^d,h²_κ),p ≥1 : Comme

kyk^−a= 1 Γ(^a₂)

Z ∞

0

s^a²e^−skyk²ds

s , y ∈R^d, a>0.

et Z

R^d

τyf(x)e^−skyk²h²_κ(y)dy = Z

R^d

f(y)τx(e^−skyk²)(y)h²_κ(y)dy on obtient

I_α^κf(x) = 2^γ^κ⁺^d²^−α Γ(^α₂)

Z ∞

0

R^d

f(y)τx(e^−skyk²)(y)h²_κ(y)dyds s

=S1f(x) +S2f(x), 2^γ^κ⁺^d²^−αZ σ Z

ds

(35)

Introduction

S2f(x) = 2^γ^κ⁺^d²^−α Γ(^α₂)

Z ∞

σ

R^d

f(y)τx(e^−skyk²)(y)h²_κ(y)dyds s , le param`etre σ sera choisi convenablement par la suite.

Soitf ∈L^p(R^d,h²_κ) telle quekfk_κ,p= 1 et q =

p −

2γκ+d, Interpolation complexe =⇒ kS₁fk_∞≤Aσ¹²⁽^2γκ

+d

p −α)

.

Lemme de Shur =⇒ kS₂fk_κ,p ≤Bσ⁻^α². (1) Estimation faible : les considérations précédentes permettent d’obtenir une estimation faible. En effet, on choisit σ de sorte que

(36)

Introduction

S2f(x) = 2^γ^κ⁺^d²^−α Γ(^α₂)

Z ∞

σ

R^d

Soitf ∈L^p(R^d,h²_κ) telle quekfk_κ,p= 1 et 1 q = 1

p − α

2γκ+d, Interpolation complexe =⇒ kS₁fk_∞≤Aσ¹²⁽^2γκ+d^p ^−α).

Lemme de Shur =⇒ kS₂fk_κ,p ≤Bσ⁻^α². (1)

Estimation faible : les considérations précédentes permettent d’obtenir une estimation faible. En effet, on choisit σ de sorte que

(37)

S2f(x) = 2^γ^κ⁺^d²^−α Γ(^α₂)

Z ∞

σ

R^d

Soitf ∈L^p(R^d,h²_κ) telle quekfk_κ,p= 1 et 1 q = 1

p − α

2γκ+d, Interpolation complexe =⇒ kS₁fk_∞≤Aσ¹²⁽^2γκ+d^p ^−α).

Lemme de Shur =⇒ kS₂fk_κ,p ≤Bσ⁻^α². (1) Estimation faible : les considérations précédentes permettent d’obtenir une estimation faible. En effet, on choisit σ de sorte que

(38)

Introduction

Z

{x: |S₁f(x)|>^λ

2}

h²_κ(x)dx = 0, λ >0 i.e.

Aσ¹²⁽^2γκ+d^p ^−α)= λ

2. (2)

En combinant (1) et (2) et le fait queq= p(2γ_κ+d) 2γκ+d −αp et kfk_κ,p = 1 on aboutit `a l’estimation,

Z

{x: |I_α^κf(x)|>λ}

h²_κ(x)dx ≤Cp,α

kfk_κ,p λ

q

.

L’estimation forte découle du théorème d’interpolation de Marcinckiewcz.