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MINISTÈRE DE L’ÉDUCATION

NATIONALE

ϭ

D/ZKD'Ed/^D

ƉƌğƐ ůĂ ĚĠĐŽƵǀĞƌƚĞ ĚĞ ůĂ ŵĂŐŶĠƚŽƌĠƐŝƐƚĂŶĐĞ ŐĠĂŶƚĞ ƉĂƌ ůďĞƌƚ &Ğƌƚ Ğƚ WĞƚĞƌ 'ƌƺŶďĞƌŐ ;ϭϵϴϴͿ͕ ĚĞ ŶŽŵďƌĞƵƐĞƐ ĠƋƵŝƉĞƐ ĚĞ ƌĞĐŚĞƌĐŚĞ ƐĞ ƐŽŶƚ ƉĞŶĐŚĠĞƐ ƐƵƌ ůĞ ĐŽŶƚƌƀůĞ ĚƵ ŵĂŐŶĠƚŝƐŵĞ ĚĞƐ ŵĂƚĠƌŝĂƵdž ferromagnétiques. Ces recherches ont donné lieu à de nombreuses propositions d’applications et à une meilleure compréhension des dynamiques d’aimantation comme le retournement de l’aimantation dans ĚĞƐŶĂŶŽͲƉŝůŝĞƌƐŽƵůĞĚĠƉůĂĐĞŵĞŶƚĚĞƚĞdžƚƵƌĞƐŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞƐƚĞůůĞƐƋƵĞůĞƐƉĂƌŽŝƐŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞƐ͕ůĞƐǀŽƌƚĞdž ŽƵůĞƐďƵůůĞƐĚĂŶƐĚĞƐŶĂŶŽͲƉŝƐƚĞƐ͘

>Ğ ƉƌŽďůğŵĞ ƉƌŽƉŽƐĠ ĞƐƚ ƵŶĞ ĞdžƉůŽƌĂƚŝŽŶ ĚĞ ŵĠĐĂŶŝƐŵĞƐ ĚĞ ƌĞƚŽƵƌŶĞŵĞŶt d’aimantation à travers quelques d’exemples issus de la littérature scientifique récente. C’est aussi l’occasion d’aborder le ferromagnétisme à travers sa description micromagnétique, c’estͲăͲĚŝƌĞăƵŶĞĠĐŚĞůůĞƐƵĨĨŝƐĂŵŵĞŶƚůĂƌŐĞ ƉŽƵƌ ƋƵĞ ůĂ ƐƚƌƵĐƚƵƌĞ ĂƚŽŵŝƋƵĞ ƐŽŝƚ ŝŐŶŽƌĠĞ Ğƚ ƐƵĨĨŝƐĂŵŵĞŶƚ ĐŽƵƌƚĞ ƉŽƵƌ ƌĠƐŽƵĚƌĞ ůĞƐ ƚĞdžƚƵƌĞƐ ŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞƐ͘

>Ă ƉĂƌƚŝĞ / ĐŽŶĐĞƌŶĞ ůĂ ŵĂŐŶĠƚŽƐƚĂƚŝƋƵĞ ĚĂŶƐ ůĂ ŵĂƚŝğƌĞ ĂŝŵĂŶƚĠĞ͘ >Ă ƉĂƌƚŝĞ // ĂďŽƌĚĞ ůĞƐ ĂƐƉĞĐƚƐ ĠŶĞƌŐĠƚŝƋƵĞƐĚƵĨĞƌƌŽŵĂŐŶĠƚŝƐŵĞĞƚůĞƐĠƚĂƚƐŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞƐĚĞƐLJƐƚğŵĞƐăĂŝŵĂŶƚĂƚŝŽŶƵŶŝĨŽƌŵĞ͘>ĂƉĂƌƚŝĞ /// ĚŝƐĐƵƚĞ ĚĞ ůĂ ƐƚĂƚŝƋƵĞ ĚĞƐ ƚĞdžƚƵƌĞƐ ŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞƐ ĐŽŵŵĞ ůĞƐ ĚŽŵĂŝŶĞƐ Ğƚ ůĞƐ ƉĂƌŽŝƐ ĚĞ ĚŽŵĂŝŶĞƐ ŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞƐ͘>ĂĚLJŶĂŵŝƋƵĞĚĞƐƚĞdžƚƵƌĞƐŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞƐĞƐƚůĂƚŚĠŵĂƚŝƋƵĞĚĞůĂƉĂƌƚŝĞ/s͘

>ĞƐƋƵĞƐƚŝŽŶƐĚĞŵĂŐŶĠƚŽƐƚĂƚŝƋƵĞĚĞůĂƉartie I sont utiles lorsqu’on aborde ƉĂƌůĂƐƵŝƚĞl’influence du ĐŚĂŵƉŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞĐƌĠĠƉĂƌůĂŵĂƚŝğƌĞĂŝŵĂŶƚĠĞ;ĐŚĂŵƉĚĠŵĂŐŶĠƚŝƐĂŶƚŽƵĚŝƉŽůĂŝƌĞͿ͘>ĞƐƉĂƌƚŝĞƐ//͕///Ğƚ /sƐŽŶƚůĂƌŐĞŵĞŶƚŝŶĚĠƉĞŶĚĂŶƚĞƐ͕ŵĂŝƐŝůĞƐƚĞƐƐĞŶƚŝĞůƉŽƵƌůĞƐĂďŽƌĚĞƌĚĞůŝƌĞĂƚƚĞŶƚivement l’introduction ĚĞůĂƉĂƌƚŝĞ//͕ƋƵŝƉƌĠƐĞŶƚĞĚĞŵĂŶŝğƌĞƐƵĐĐŝŶĐƚĞůĞŵŽĚğůĞĚƵmicromagnétisme au cœur de ce problème.

ŽŶƐƚĂŶƚĞƐĨŽŶĚĂŵĞŶƚĂůĞƐ

 ŽŶƐƚĂŶƚĞĚĞWůĂŶĐŬ͗ℏ = ℎ (2𝜋𝜋) = ⁄ 1,05 × 10 ⁻³⁴ J. s

 ŽŶƐƚĂŶƚĞĚĞŽůƚnjŵĂŶŶ͗ 𝑘𝑘 𝐵𝐵 = 1,38 × 10 ⁻²³ J. K ⁻¹

 WĞƌŵĠĂďŝůŝƚĠĚƵǀŝĚĞ͗ 𝜇𝜇 0 = 4𝜋𝜋 × 10 ⁻⁷ T. m. A ⁻¹

 Rapport gyromagnétique de l’électron͗ 𝛾𝛾 𝑒𝑒 = 1,76 × 10 ¹¹ Hz ∙ T ⁻¹

 YƵĂŶƚƵŵĚĞŵŽŵĞŶƚŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞ͗ 𝜇𝜇 𝐵𝐵 = 9,27 × 10 ⁻²⁴ J. T ⁻¹

&ŽƌŵƵůĂŝƌĞ

 sin 2𝜃𝜃 = 2 sin 𝜃𝜃 cos 𝜃𝜃

 cos 2𝜃𝜃 = 2 cos ² 𝜃𝜃 − 1

 WŽƵƌƵŶĐŚĂŵƉĚĞǀĞĐƚĞƵƌ𝑎𝑎͕⃗ĚĠĨŝŶŝƐƵƌƵŶǀŽůƵŵĞ𝑉𝑉ůŝŵŝƚĠƉĂƌůĂƐƵƌĨĂĐĞĨĞƌŵĠĞ𝑆𝑆͕ŽŶĂ

∭ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 _𝑣𝑣 𝑎𝑎⃗ 𝑑𝑑𝑉𝑉 = ∬ 𝑎𝑎⃗ ∙ 𝑛𝑛⃗⃗ _𝑆𝑆 𝑑𝑑𝑆𝑆 ͕ Žƶ𝑛𝑛⃗⃗ĞƐƚƵŶǀĞĐƚĞƵƌƵŶŝƚĂŝƌĞĚĞůĂŶŽƌŵĂůĞƐŽƌƚĂŶƚĞăůĂƐƵƌĨĂĐĞ 𝑆𝑆͘

Ϯ

WĂƌƚŝĞ/

DĂŐŶĠƚŽƐƚĂƚŝƋƵĞĚĂŶƐůĂŵĂƚŝğƌĞĂŝŵĂŶƚĠĞ

Pour déterminer l’induction magnétique 𝐵𝐵⃗⃗dans tout l’espace ĞŶƉƌĠƐĞŶĐĞĚĞŵĂƚŝğƌĞĂŝŵĂŶƚĠĞ͕ŽŶƵƚŝůŝƐĞ ŝĐŝl’approche coulombienne qui décrit l’aimantation parĚĞƐĐŚĂƌŐĞƐĨŝĐƚŝǀĞƐ͘

/͘ϭ͘ Définir l’aimantation 𝑀𝑀 ⃗⃗⃗ ă ƉĂƌƚŝƌ ĚƵ ŵŽŵĞŶƚ ŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞ͕ ƌĂƉƉĞůĞƌ ƐŽŶ ƵŶŝƚĠ ĚĂŶƐ ůĞ ƐLJƐƚğŵĞ ŝŶƚĞƌŶĂƚŝŽŶĂů͘ŽŶŶĞƌĞŶƐƵŝƚĞl’expression qui relie 𝑀𝑀 ⃗⃗⃗ , l’induction magnétique 𝐵𝐵⃗⃗ĞƚůĞĐŚĂŵƉd’excitation ŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞ 𝐻𝐻⃗⃗⃗͘ ĂŶƐ ůĂ ƐƵŝƚĞ͕ 𝐵𝐵⃗⃗ Ğƚ 𝐻𝐻⃗⃗⃗ ƐĞƌŽŶƚ ĠŐĂůĞŵĞŶƚ ĂƉƉĞůĠƐ ͨĐŚĂŵƉ ŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞ 𝐵𝐵⃗⃗ͩ Ğƚ ͨĐŚĂŵƉ ŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞ𝐻𝐻⃗⃗⃗ͩ͘

/͘Ϯ͘>ĞĐŚĂŵƉŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞ𝐻𝐻⃗⃗⃗s’écrit 𝐻𝐻⃗⃗⃗ = 𝐻𝐻⃗⃗⃗ ₀ + 𝐻𝐻⃗⃗⃗ _𝑑𝑑 ͕Žƶ𝐻𝐻⃗⃗⃗ ₀ ĞƐƚůĂĐŽŶƚƌŝďƵƚŝŽŶĚĞƐĐŽƵƌĂŶƚƐůŝďƌĞƐĞƚ𝐻𝐻⃗⃗⃗ _𝑑𝑑 ĐĞůůĞ ĚĞůĂŵĂƚŝğƌĞĂŝŵĂŶƚĠĞ͘ŽŶŶĞƌůĞƐĞdžƉƌĞƐƐŝŽŶƐĚƵƌŽƚĂƚŝŽŶŶĞůĞƚĚĞůĂĚŝǀĞƌŐĞŶĐĞĚƵĐŚĂŵƉŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞ 𝐻𝐻⃗⃗⃗ _𝑑𝑑 ͘

/͘ϯ͘ŶĚĠĚƵŝƌĞƋƵĞůĞĐŚĂŵƉŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞ𝐻𝐻⃗⃗⃗ _𝑑𝑑 ĚĂŶƐůĂŵĂƚŝğƌĞĂŝŵĂŶƚĠĞǀĠƌŝĨŝĞĚĞƐĠƋƵĂƚŝŽŶƐĨŽƌŵĞůůĞŵĞŶƚ identiques à celle vérifiées par le champ électrique en électrostatique et qu’il peut être calculé en ƐƵƉƉŽƐĂŶƚƵŶĞĚĞŶƐŝƚĠǀŽůƵŵŝƋƵĞĚĞĐŚĂƌŐĞƐŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞƐĨŝĐƚŝǀĞƐ͗

𝜌𝜌 𝑑𝑑 = −div 𝑀𝑀 ⃗⃗⃗ ͘

/͘4. En utilisant la formule d’analyse vĞĐƚŽƌŝĞůůĞ ĚŽŶŶĠĞĞŶƉƌĠĂŵďƵůĞĞƚůĂĐŽŶƐĞƌǀĂƚŝŽŶĚĞůĂĐŚĂƌŐĞ ŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞ͕ ŵŽŶƚƌĞƌ que la surface d’un matériau magnétique peut être décrite par une densité ƐƵƌĨĂĐŝƋƵĞĚĞĐŚĂƌŐĞƐŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞƐĨŝĐƚŝǀĞƐ͗

𝜎𝜎 _𝑑𝑑 = 𝑀𝑀 ⃗⃗⃗ ∙ 𝑛𝑛͕⃗⃗

Žƶ𝑛𝑛⃗⃗ĞƐƚƵŶǀĞĐƚĞƵƌƵŶŝƚĂŝƌĞĚĞůĂŶŽƌŵĂůĞƐŽƌƚĂŶƚĞăůĂƐƵƌĨĂĐĞ͘

/͘ϱ͘KŶĐŽŶƐŝĚğƌĞƵŶĞ ƉůĂƋƵĞŵŝŶĐĞ ŝŶĨŝŶŝĞĂŝŵĂŶƚĠĞƵŶŝĨŽƌŵĠŵĞŶƚĚĂŶƐůĂĚŝƌĞĐƚŝŽŶŶŽƌŵĂůĞ e⃗⃗ z ăƐĂ

ƐƵƌĨĂĐĞ;ǀŽŝƌ&ŝŐ͘/͘ϭͿ͘&ĂŝƌĞƵŶƐĐŚĠŵĂƌĞƉƌĠƐĞŶƚĂŶƚůĂƌĠƉĂƌƚŝƚŝŽŶĚĞƐĐŚĂƌŐĞƐĨŝĐƚŝǀĞƐ͕ĞƚƉĂƌĂŶĂůŽŐŝĞĂǀĞĐ

ƵŶĚŝƐƉŽƐŝƚŝĨĠůĞĐƚƌŽƐƚĂƚŝƋƵĞĐůĂƐƐŝƋƵĞĚŽŶƚŽŶĚŽŶŶĞƌĂůĞŶŽŵ͕ĚĠƚĞƌŵŝŶĞƌůĞĐŚĂŵƉŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞ 𝐻𝐻⃗⃗⃗ 𝑑𝑑 ͘

WŽƵƌƋƵŽŝƉĂƌůĞͲƚͲŽŶĚĞĐŚĂŵƉĚĠŵĂŐŶĠƚŝƐĂŶƚ͍ĠƚĞƌŵŝŶĞƌĠŐĂůĞŵĞŶƚl’énergie magnétique 𝑒𝑒 _𝑑𝑑 ƉĂƌƵŶŝƚĠ

ĚĞǀŽůƵŵĞĚƵĨŝůŵƉĂƌĂŶĂůŽŐŝĞavec l’énergie électrostatique par unité de volume.

ϯ

&ŝŐ͘/͘ϭ&ŝůŵŵŝŶĐĞƵŶŝĨŽƌŵĠŵĞŶƚĂŝŵĂŶƚĠ

&ŝŐ͘ /͘Ϯ &ŝůŵ ŵŝŶĐĞ ƉƌĠƐĞŶƚĂŶƚ ĚĞƐ ĚŽŵĂŝŶĞƐ magnétiques d’aimantationƐŽƉƉŽƐĠĞƐ͘

/͘ϲ͘DŽŶƚƌĞƌƋƵĞůĂƌĠƉĂƌƚŝƚŝŽŶĞŶĚŽŵĂŝŶĞƐŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞƐƚƌğƐƌĂƉƉƌŽĐŚĠƐ͕ƉƌĠƐĞŶƚĠĞƐƵƌůĂ&ŝŐ͘/͘ϮĂƵŶĞ densité d’énergie 𝑒𝑒 𝑑𝑑 plus faible qu’une aimantation uniforme perpendiculaire au film;ǀŽŝƌ&ŝŐ͘/͘ϭͿ͘

/͘ϳ͘ WŽƵƌ ƵŶĞ ĂŝŵĂŶƚĂƚŝŽŶƵŶŝĨŽƌŵĞ 𝑀𝑀 ⃗⃗⃗ inclinée d’un angle 𝜃𝜃 ƉĂƌ ƌĂƉƉŽƌƚ ă ůĂǀĞƌƚŝĐĂůĞ 𝒆𝒆⃗⃗ 𝒛𝒛 ͕ ĚŽŶŶĞƌ ůĞƐ ĞdžƉƌĞƐƐŝŽŶƐ ĚĞ ĐŚĂƌŐĞƐ ƐƵƌĨĂĐŝƋƵĞƐ 𝜎𝜎 𝑚𝑚 ͕ ĚƵ ĐŚĂŵƉ ĚĠŵĂŐŶĠƚŝƐĂŶƚ 𝐻𝐻⃗⃗⃗ 𝑑𝑑 puis de la densité d’énergie 𝑒𝑒 𝑑𝑑 ͘ Donner la direction d’aimantation qui minimise l’énergie et expliquer pourquoi on peut parler d’anisotropie de forme.

WĂƌƚŝĞ//͘

ƐƉĞĐƚƐĠŶĞƌŐĠƚŝƋƵĞƐĞƚƐLJƐƚğŵĞƐăĂŝŵĂŶƚĂƚŝŽŶƵŶŝĨŽƌŵĞ

͘/ŶƚƌŽĚƵĐƚŝŽŶ

>ĞŵŝĐƌŽŵĂŐŶĠƚŝƐŵĞĞƐƚƵŶĞĚĞƐĐƌŝƉƚŝŽŶĐŽŶƚŝŶƵĞĚƵŵĂŐŶĠƚŝƐŵĞƋƵŝŝŐŶŽƌĞůĞƐƐƚƌƵĐƚƵƌĞƐŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞƐ à l’échelle atomique. Il a pour objectifs de déterminer les distributions spatiales de l’aimantation 𝑀𝑀 ⃗⃗⃗ ă l’équilibre et leur évolution au cours du temps.

ĂŶƐůĂĚĞƐĐƌŝƉƚŝŽŶŵŝĐƌŽŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞ͕ůĞŵŽĚƵůĞĚĞ 𝑀𝑀 ⃗⃗⃗ est supposé constant et égal à l’aimantation à ƐĂƚƵƌĂƚŝŽŶ𝑀𝑀. La direction de l’aimantation est donnée par le vecteur 𝑚𝑚 ⃗⃗⃗ = 𝑀𝑀 ⃗⃗⃗ /𝑀𝑀͘>ĂĚŝƐƚƌŝďƵƚŝŽŶƐƉĂƚŝĂůĞ de l’aimantation est obtenue en minimisant l’énergie magnétique

𝐸𝐸 = 𝐸𝐸 _{𝑒𝑒𝑒𝑒ℎ} + 𝐸𝐸 _{𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎} + 𝐸𝐸 _𝑍𝑍 + 𝐸𝐸 _𝑑𝑑 ĚŽŶƚůĞƐĚŝĨĨĠƌĞŶƚĞƐĐŽŶƚƌŝďƵƚŝŽŶƐƐŽŶƚĚĠƚĂŝůůĠĞƐĐŝͲĚĞƐƐŽƵƐ͘

ͲL’énergie d’échange est une description continue de l’interaction d’échange͘Elle s’écrit͗

𝐸𝐸 _{𝑒𝑒𝑒𝑒ℎ} = 𝐴𝐴 ∭ [ (∇𝑚𝑚 _𝑥𝑥 ) ² + (∇𝑚𝑚 _𝑦𝑦 ) ² + (∇𝑚𝑚 _𝑧𝑧 ) ² ]

𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑑𝑑𝑑𝑑,

ϰ

Žƶ𝑚𝑚 _𝑥𝑥 ͕𝑚𝑚 _𝑦𝑦 Ğƚ𝑚𝑚 _𝑧𝑧 ƐŽŶƚůĞƐĐŽŵƉŽƐĂŶƚĞƐĚƵǀĞĐƚĞƵƌ𝑚𝑚 ⃗⃗⃗ (= 𝑚𝑚 _𝑥𝑥 𝑒𝑒⃗ _𝑥𝑥 + 𝑚𝑚 _𝑦𝑦 𝑒𝑒⃗ _𝑦𝑦 + 𝑚𝑚 _𝑧𝑧 𝑒𝑒⃗ _𝑧𝑧 )Ğƚ𝐴𝐴;> 0ͿůĂĐŽŶƐƚĂŶƚĞ d’échange. L’intégration est effectuée sur tout le volume de l’échantillon.

ͲL’anisotropie magnétique ŝŶƚƌŝŶƐğƋƵĞĂƉŽƵƌŽƌŝŐŝŶĞůĂƐƚƌƵĐƚƵƌĞĐƌŝƐƚĂůůŝŶĞĞƚl’interaction spinͲŽƌďŝƚĞ͘

Elle peut s’écrire͗

𝐸𝐸 _{𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎} = ∭ 𝑒𝑒 _{𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎} ( 𝑚𝑚 ⃗⃗⃗)

𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑑𝑑𝑑𝑑,

Žƶ𝑒𝑒 _{𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎} ĞƐƚla densité d’énergie d’anisotropie. Les directions d’aimantation qui minimisent l’énergie sont

ĂƉƉĞůĠĞƐ ͨĂdžĞƐ ĚĞ ĨĂĐŝůĞ ĂŝŵĂŶƚĂƚŝŽŶͩ͘ WŽƵƌ ƵŶĞ ĂŶŝƐŽƚƌŽƉŝĞ ƵŶŝaxiale, la densité d’énergie s’écrit ƐŝŵƉůĞŵĞŶƚ𝑒𝑒 _{𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎} = −𝐾𝐾𝑚𝑚 _𝑧𝑧 ² ͘

ͲL’énergie de Zeeman rend compte de l’interaction entre l’aimantation et un champ magnétique extérieur 𝐻𝐻⃗⃗⃗ _𝑎𝑎 et s’écrit

𝐸𝐸 _𝑧𝑧 = −𝜇𝜇 ₀ ∭ 𝑀𝑀 ⃗⃗⃗ ∙

𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 𝐻𝐻⃗⃗⃗ _𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑑𝑑, Žƶ𝜇𝜇 ₀ ĞƐƚůĂƉĞƌŵĠĂďŝůŝƚĠĚƵǀŝĚĞ͘

ͲL’énergie associée à l’interaction ĚƵĐŚĂŵƉŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞ𝐻𝐻⃗⃗⃗ _𝑑𝑑 ĐƌĠĠƉĂƌƵŶŵŝůŝĞƵĂŝŵĂŶƚĠĂǀĞĐƐĂƉƌŽƉƌĞ aimantation s’écrit͗

𝐸𝐸 𝑑𝑑 = − 𝜇𝜇 ₀

2 ∭ 𝑀𝑀 ⃗⃗⃗ ∙

𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 𝐻𝐻⃗⃗⃗ 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑

Le champ magnétique dipolaire s’écrit 𝐻𝐻⃗⃗⃗ 𝑑𝑑 = −𝑁𝑁̿ 𝑑𝑑 𝑀𝑀 ͕⃗⃗⃗ Žƶ 𝑁𝑁̿ 𝑑𝑑 ĞƐƚ ůĞ ƚĞŶƐĞƵƌ ĚĞƐ ĐŽĞĨĨŝĐŝĞŶƚƐ ĚƵ ĐŚĂŵƉ ĚĠŵĂŐŶĠƚŝƐĂŶƚ͘

ŽŵŵĞŝůůƵƐƚƌĠĚĂŶƐůĂƉĂƌƚŝĞ/͕ƉŽƵƌƵŶĞƉůĂƋƵĞŝŶĨŝŶŝĞĚĂŶƐůĞƉůĂŶ;0, 𝑒𝑒⃗ _𝑥𝑥 , 𝑒𝑒⃗ _𝑦𝑦 Ϳ͕ŽŶĂ𝑁𝑁 _{𝑥𝑥𝑥𝑥} = 𝑁𝑁 _{𝑦𝑦𝑦𝑦} = 0Ğƚ 𝑁𝑁 _{𝑧𝑧𝑧𝑧} = 1͘

Pour un ellipsoïde de révolution autour de l’axe 𝑒𝑒⃗ 𝑧𝑧 ͕ůĞƚĞŶƐĞƵƌ 𝑁𝑁̿ 𝑑𝑑 ĞƐƚĚŝĂŐŽŶĂůĞƚŽŶƉĞƵƚƉŽƐĞƌ 𝑁𝑁 𝑧𝑧𝑧𝑧 = 𝑁𝑁 ∥ Ğƚ𝑁𝑁 _{𝑥𝑥𝑥𝑥} = 𝑁𝑁 _{𝑦𝑦𝑦𝑦} = 𝑁𝑁 _⊥ = ^{(1−𝑁𝑁} ₂ ^{∥ )} .>ŽƌƐƋƵĞl’ellipsoïde est plus allongé (suivant 𝑒𝑒⃗ _𝑧𝑧 ) qu’ĂƉůĂƚŝ͕ŽŶĂ𝑁𝑁 _∥ < 𝑁𝑁 _⊥ ͘

͘ƐƉĞĐƚƐĠŶĞƌŐĠƚŝƋƵĞƐ

KŶ ĚŝƐĐƵƚĞ ŝĐŝ ƋƵĂůŝƚĂƚŝǀĞŵĞŶƚ ĚĞƐ ĐŽŶĨŝŐƵƌĂƚŝŽŶƐ ŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞƐ ƋƵŝ ŵŝŶŝŵŝƐĞŶƚ ĐĞƐ ĚŝĨĨĠƌĞŶƚĞƐ ĐŽŶƚƌŝďƵƚŝŽŶƐĠŶĞƌŐĠƚŝƋƵĞƐ͘

//͘ϭ. Quelle est l’origine physique de l’interaction d’échange͍

//͘Ϯ. Quelle est la configuration d’aimantation qui minimise l’énergie d’échange?

//͘ϯ͘WŽƵƌƵŶĞ ĂŶŝƐŽƚƌŽƉŝĞƵŶŝĂdžŝĂůĞ, la densité d’énergie d’anisotropie s’écrit 𝑒𝑒 _{𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎} = −𝐾𝐾𝑚𝑚 _𝑧𝑧 ² ͘/ŶĚŝƋƵĞƌ suivant le signe de la constante d’anisotropie 𝐾𝐾͕ůĞƐĚŝƌĞĐƚŝŽŶƐĚĞĨĂĐŝůĞĂŝŵĂŶƚĂƚŝŽŶ͘

//͘ϰ. Quelle est la configuration d’aimantation qui minimise le terme Zeeman de l’énergie͍

//͘ϱ. L’image suivante ;ǀŽŝƌ&ŝŐ͘//͘ϭ͘ͿƉƌĠƐĞŶƚĞĚĞƐĚŽŵĂŝŶĞƐĚĂŶƐƵŶĨŝůŵƵůƚƌĂŵŝŶĐĞăĂŶŝƐŽƚƌŽƉŝĞƵŶŝĂdžŝĂůĞ

ƉĞƌƉĞŶĚŝĐƵůĂŝƌĞ͘ ƉĂƌƚŝƌ ĚĞƐ ŝŶĨŽƌŵĂƚŝŽŶƐ ĨŽƵƌŶŝĞƐ ĚĂŶƐ ůĂ ůĠŐĞŶĚĞ͕ ŝŶĚŝƋƵĞƌ ůĞ ƐŝŐŶĞ ĚĞ ůĂ ĐŽŶƐƚĂŶƚĞ

ϱ

d’anisotropie etfaire un schéma représentant le profil moyen de l’aimantation suivant la directŝŽŶ 𝑒𝑒⃗ _𝑥𝑥 ͘ ŽŶŶĞƌůĂĚŝƌĞĐƚŝŽŶĚƵĐŚĂŵƉŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞĞdžƚĠƌŝĞƵƌƋƵŝĚĠƉůĂĐĞůĂƉĂƌŽŝĚĞĚŽŵĂŝŶĞ;ŝŶƚĞƌĨĂĐĞĞŶƚƌĞůĞƐ ĚĞƵdžĚŽŵĂŝŶĞƐͿƐƵŝǀĂŶƚ 𝑒𝑒⃗ 𝑦𝑦 ͘

&ŝŐ͘//͘ϭ͘ŽŵĂŝŶĞƐŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞƐ;ĚŽŵĂŝŶĞƐĚĞtĞŝƐƐͿŽďƐĞƌǀĠƐƉĂƌŵŝĐƌŽƐĐŽƉŝĞ<ĞƌƌŵĂŐŶĠƚŽͲŽƉƚŝƋƵĞĚĂŶƐ ƵŶĞ ĐŽƵĐŚĞ ƵůƚƌĂŵŝŶĐĞ ĚĞ WƚͬŽͬWƚ͘ >ĞƐ ĚĞƵdž ŶŝǀĞĂƵdž ĚĞ ŐƌŝƐ ĐŽƌƌĞƐƉŽŶĚĞŶƚ ă ƵŶ ĂůŝŐŶĞŵĞŶƚ ĚĞ l’aimantation perpendiculairement au plan ( 0, 𝑒𝑒⃗ 𝑥𝑥 , 𝑒𝑒⃗ 𝑦𝑦 ͿĚĞůĂĐŽƵĐŚĞ͕ƐƵŝǀĂŶƚĚĞƵdžƐĞŶƐŽƉƉŽƐĠƐ; +𝑒𝑒⃗ 𝑧𝑧 Ğƚ −𝑒𝑒⃗ 𝑧𝑧 Ϳ͘

//͘ϲ͘ZĂƉƉĞůĞƌůĞƉƌŝŶĐŝƉĞd’une expérience d’effeƚ<Ğƌƌ͘

͘>ŽŶŐƵĞƵƌƐĐĂƌĂĐƚĠƌŝƐƚŝƋƵĞƐ

//͘ϳ͘KŶƐĞƉƌŽƉŽƐĞĚĞĚĠƚĞƌŵŝŶĞƌůĞƐůŽŶŐƵĞƵƌƐĐĂƌĂĐƚĠƌŝƐƚŝƋƵĞƐĚƵŵĂŐŶĠƚŝƐŵĞăƉĂƌƚŝƌĚĞĐŽŶƐŝĚĠƌĂƚŝŽŶƐ de loi d’échelle. Déterminer par analyse dimensionnelle l’épaisseur ∆ ĐĂƌĂĐƚĠƌŝƐƚŝƋƵĞ d’une paroi de domaine, en fonction des constantes d’échange 𝐴𝐴 Ğƚ d’anisotropie 𝐾𝐾. ŽŶƐƚƌƵŝƌĞ ƵŶĞ ůŽŶŐƵĞƵƌ ĐĂƌĂĐƚĠƌŝƐƚŝƋƵĞ 𝐿𝐿 _𝑒𝑒 , appelée longueur d’échange en fonction de 𝜇𝜇 ₀ , la constante d’échange 𝐴𝐴 Ğƚ l’aimantation à saturation 𝑀𝑀 ͘

//͘ϴ͘ŶƉƌĠĐŝƐĂŶƚůĞƐĞŶƐƉŚLJƐŝƋƵĞĚĞƐŐƌĂŶĚĞƵƌƐ ∆ Ğƚ 𝐿𝐿 𝑒𝑒 ͕Ğxpliquer dans quelle mesure l’aimantation dans ƵŶĠĐŚĂŶƚŝůůŽŶĚĞƚĂŝůůĞĐĂƌĂĐƚĠƌŝƐƚŝƋƵĞ 𝑅𝑅 ƉĞƵƚġƚƌĞƐƵƉƉŽƐĠĞƵŶŝĨŽƌŵĞ͘

//͘ϵ͘ƐƚŝŵĞƌŶƵŵĠƌŝƋƵĞŵĞŶƚůĞƐůŽŶŐƵĞƵƌƐĐĂƌĂĐƚĠƌŝƐƚŝƋƵĞƐ∆Ğƚ𝐿𝐿 _𝑒𝑒 pour un film de Pt/Co/Pt d’épaisseur 𝑒𝑒 = 0,6 nm ĚŽŶƚůĞƐĐĂƌĂĐƚĠƌŝƐƚŝƋƵĞƐƐŽŶƚ͗ 𝐾𝐾 = 450 × 10 ³ J/m ^3, 𝑀𝑀 = 1130 ŬͬŵĞƚ 𝐴𝐴 = 16 × 10 ⁻¹² :ͬŵ͘

͘ƉƉůŝĐĂƚŝŽŶĚƵŵĂŐŶĠƚŝƐŵĞĂƵdžĚŝƐƋƵĞƐĚƵƌƐŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞƐ͘

>ĞƐ ĚŝƐƋƵĞƐ ĚƵƌƐ;,ͿƐŽŶƚ ĐŽŵƉŽƐĠƐ ĚĞ ŐƌĂŝŶƐĨĞƌƌŽŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞƐ ĂƵƚŽͲorganisés sur la surface d’un

disque. Leur taille caractéristique est de l’ordre de 10Ŷŵ;ǀŽŝƌ&ŝŐ͘ĐŝͲĚĞƐƐŽƵƐͿĞƚŝůƐƉƌĠƐĞŶƚĞŶƚƵŶĞĨŽƌƚĞ

ĂŶŝƐŽƚƌŽƉŝĞ ƵŶŝĂdžŝĂůĞ ƉĞƌƉĞŶĚŝĐƵůĂŝƌĞ ĂƵ ƉůĂŶ ĚĞ ůĂ ƐƵƌĨĂĐĞ͘ >ĞƐ ĚĞƵdž ƐĞŶƐ possibles d’aimantation

ƉĞƌƉĞŶĚŝĐƵůĂŝƌĞƐĂƵĚŝƐƋƵĞƐŽŶƚĂƐƐŽĐŝĠĞƐĂƵdžŶŝǀĞĂƵdžůŽŐŝƋƵĞƐ0 et 1. Une tête de lecture et d’écrituƌĞ

permet de détecter ou de modifier le sens de l’aimantation.

ϲ

&ŝŐ͘//͘Ϯ/ŵĂŐĞĚĞƐŶĂŶŽŐƌĂŝŶƐĚĞ&ĞWƚd’un disque dur ŽďƐĞƌǀĠƐƉĂƌŵŝĐƌŽƐĐŽƉŝĞĠůĞĐƚƌŽŶŝƋƵĞăƚƌĂŶƐŵŝƐƐŝŽŶ (TEM). L’image de gauche correspond à une vue du ĚĞƐƐƵƐĞƚĐĞůůĞĚƵĚĞƐƐƵƐăƵŶĞǀƵĞůĂƚĠƌĂůĞ͘

ZĞĨ͘͘tĞůůĞƌĞƚĂů͘:͘sĂĐ͘^Đŝ͘dĞĐŚŶŽů͘ϯϰ͕ϬϲϬϴϬϭ

;ϮϬϭϲͿ͘Dans l’image de gauche, lĞƚƌĂŝƚďůĂŶĐ ĐŽƌƌĞƐƉŽŶĚăϮϬŶŵ͘

ϭ͘ĐƌŝƚƵƌĞd’une information

WŽƵƌ ƐŝŵƉůŝĨŝĞƌ l’étude du retournement de l’aimantation͕ ŽŶ ƵƚŝůŝƐĞ ůĞ ŵŽĚğůĞ ĚĞ ^ƚŽŶĞƌͲtŽŚůĨĂƌƚŚ͘ ŚĂƋƵĞ ŐƌĂŝŶ ĞƐƚ modélisé par un ellipsoïde de révolution autour de l’axe 𝑒𝑒⃗ 𝑧𝑧 ŽƌŝĞŶƚĠƉĞƌƉĞŶĚŝĐƵůĂŝƌĞŵĞŶƚĂƵƉůĂŶĚƵĚŝƐƋƵĞĚƵƌĞƚĂůůŽŶŐĠ ƐƵŝǀĂŶƚ 𝑒𝑒⃗ _𝑧𝑧 ͘KŶƐƵƉƉŽƐĞĠŐĂůĞŵĞŶƚƋƵĞůĞƐŐƌĂŝŶƐŽŶƚƵŶǀŽůƵŵĞ ŝĚĞŶƚŝƋƵĞ 𝑉𝑉ĞƚƵŶĞŵġŵĞĂŶŝƐŽƚƌŽƉŝĞƵŶŝĂdžŝĂůĞ𝐾𝐾 > 0ĂƐƐŽĐŝĠĞ à un axe de facile aimantation parallèle à l’axe 𝑒𝑒⃗ _𝑧𝑧 ͘ĂŶƐĐŚĂƋƵĞ Őrain, l’aimantation est supposée uniforme et les interactions ĚŝƉŽůĂŝƌĞƐ ĞŶƚƌĞ ŐƌĂŝŶƐ ƐŽŶƚ ŶĠŐůŝŐĠĞƐ͘ >Ğ ĐŚĂŵƉ ŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞ ĞdžƚĠƌŝĞƵƌ𝐻𝐻⃗⃗⃗ _𝑎𝑎 ĞƐƚĂƉƉůŝƋƵĠƐƵŝǀĂŶƚƵŶĞĚŝƌĞĐƚŝŽŶĨĂŝƐĂŶƚƵŶĂŶŐůĞ 𝛽𝛽avec l’axe 𝑒𝑒⃗ _𝑧𝑧 qui produit une réorientation de l’aimantation 𝑀𝑀 ⃗⃗⃗

ƐƵŝǀĂŶƚƵŶĂdžĞĨĂŝƐĂŶƚƵŶĂŶŐůĞ 𝜃𝜃 ĂǀĞĐ 𝑒𝑒⃗ 𝑧𝑧 ;ǀŽŝƌƐĐŚĠŵĂĐŝͲĐŽŶƚƌĞͿ͘

//͘ϭϬ͘ŝƐĐƵƚĞƌqualitativement et séparément, l’effet de l’anisotropie intrinsèque du matériau, l’effet de l’anisotropie induite par la forme du grain et l’effet d’un champ ŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞĞdžƚĠƌŝĞƵƌĂƉƉůŝƋƵĠ͕ǀŝƐͲăͲǀŝƐ de l’orientation de l’aimantation.

//͘ϭϭ͘Exprimer l’énergie totale par unité de volume sous la forme͗

𝑒𝑒 _{𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡} = ^{𝐸𝐸 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡} _𝑉𝑉 = 𝑒𝑒 ₀ + [𝐾𝐾 ₁ sin ² 𝜃𝜃 − 𝐶𝐶 ₁ cos(𝛽𝛽 − 𝜃𝜃)]͕

Žƶ𝑒𝑒 ₀ ͕𝐾𝐾 ₁ Ğƚ𝐶𝐶 ₁ ƐŽŶƚĚĞƐĐŽŶƐƚĂŶƚĞƐŝŶĚĠƉĞŶĚĂŶƚĞƐĚĞ𝛽𝛽Ğƚ𝜃𝜃͘džƉůŝĐŝƚĞƌ𝐾𝐾 ₁ Ğƚ𝐶𝐶 ₁ ĞŶĨŽŶĐƚŝŽŶĚĞ𝐾𝐾͕𝜇𝜇 ₀ ͕𝑀𝑀 _𝑠𝑠 ͕ 𝑁𝑁 _∥ ͕𝑁𝑁 _⊥ ĞƚůĂŶŽƌŵĞ𝐻𝐻 _𝑎𝑎 ĚƵĐŚĂŵƉĞdžƚĠƌŝĞƵƌ͘WŽƵƌůĞƚĞŶƐĞƵƌĚĞƐĐŽĞĨĨŝĐŝĞŶƚƐĚƵĐŚĂŵƉĚĠŵĂŐŶĠƚŝƐĂŶƚ͕ŽŶ ƉŽƐĞƌĂ͗ 𝑁𝑁 𝑧𝑧𝑧𝑧 = 𝑁𝑁 ∥ Ğƚ 𝑁𝑁 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑁𝑁 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑁𝑁 ⊥ = ^{(1−𝑁𝑁} ₂ ^{∥ )} > 𝑁𝑁 ∥ .

ϲ

&ŝŐ͘//͘Ϯ/ŵĂŐĞĚĞƐŶĂŶŽŐƌĂŝŶƐĚĞ&ĞWƚd’un disque dur ŽďƐĞƌǀĠƐƉĂƌŵŝĐƌŽƐĐŽƉŝĞĠůĞĐƚƌŽŶŝƋƵĞăƚƌĂŶƐŵŝƐƐŝŽŶ (TEM). L’image de gauche correspond à une vue du ĚĞƐƐƵƐĞƚĐĞůůĞĚƵĚĞƐƐƵƐăƵŶĞǀƵĞůĂƚĠƌĂůĞ͘

ZĞĨ͘͘tĞůůĞƌĞƚĂů͘:͘sĂĐ͘^Đŝ͘dĞĐŚŶŽů͘ϯϰ͕ϬϲϬϴϬϭ

;ϮϬϭϲͿ͘Dans l’image de gauche, lĞƚƌĂŝƚďůĂŶĐ ĐŽƌƌĞƐƉŽŶĚăϮϬŶŵ͘

ϭ͘ĐƌŝƚƵƌĞd’une information

WŽƵƌ ƐŝŵƉůŝĨŝĞƌ l’étude du retournement de l’aimantation͕ ŽŶ ƵƚŝůŝƐĞ ůĞ ŵŽĚğůĞ ĚĞ ^ƚŽŶĞƌͲtŽŚůĨĂƌƚŚ͘ ŚĂƋƵĞ ŐƌĂŝŶ ĞƐƚ modélisé par un ellipsoïde de révolution autour de l’axe 𝑒𝑒⃗ 𝑧𝑧 ŽƌŝĞŶƚĠƉĞƌƉĞŶĚŝĐƵůĂŝƌĞŵĞŶƚĂƵƉůĂŶĚƵĚŝƐƋƵĞĚƵƌĞƚĂůůŽŶŐĠ ƐƵŝǀĂŶƚ 𝑒𝑒⃗ _𝑧𝑧 ͘KŶƐƵƉƉŽƐĞĠŐĂůĞŵĞŶƚƋƵĞůĞƐŐƌĂŝŶƐŽŶƚƵŶǀŽůƵŵĞ ŝĚĞŶƚŝƋƵĞ 𝑉𝑉ĞƚƵŶĞŵġŵĞĂŶŝƐŽƚƌŽƉŝĞƵŶŝĂdžŝĂůĞ𝐾𝐾 > 0ĂƐƐŽĐŝĠĞ à un axe de facile aimantation parallèle à l’axe 𝑒𝑒⃗ _𝑧𝑧 ͘ĂŶƐĐŚĂƋƵĞ Őrain, l’aimantation est supposée uniforme et les interactions ĚŝƉŽůĂŝƌĞƐ ĞŶƚƌĞ ŐƌĂŝŶƐ ƐŽŶƚ ŶĠŐůŝŐĠĞƐ͘ >Ğ ĐŚĂŵƉ ŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞ ĞdžƚĠƌŝĞƵƌ𝐻𝐻⃗⃗⃗ _𝑎𝑎 ĞƐƚĂƉƉůŝƋƵĠƐƵŝǀĂŶƚƵŶĞĚŝƌĞĐƚŝŽŶĨĂŝƐĂŶƚƵŶĂŶŐůĞ 𝛽𝛽avec l’axe 𝑒𝑒⃗ _𝑧𝑧 qui produit une réorientation de l’aimantation 𝑀𝑀 ⃗⃗⃗

ƐƵŝǀĂŶƚƵŶĂdžĞĨĂŝƐĂŶƚƵŶĂŶŐůĞ 𝜃𝜃 ĂǀĞĐ 𝑒𝑒⃗ 𝑧𝑧 ;ǀŽŝƌƐĐŚĠŵĂĐŝͲĐŽŶƚƌĞͿ͘

//͘ϭϬ͘ŝƐĐƵƚĞƌqualitativement et séparément, l’effet de l’anisotropie intrinsèque du matériau, l’effet de l’anisotropie induite par la forme du grain et l’effet d’un champ ŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞĞdžƚĠƌŝĞƵƌĂƉƉůŝƋƵĠ͕ǀŝƐͲăͲǀŝƐ de l’orientation de l’aimantation.

//͘ϭϭ͘Exprimer l’énergie totale par unité de volume sous la forme͗

𝑒𝑒 _{𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡} = ^{𝐸𝐸 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡} _𝑉𝑉 = 𝑒𝑒 ₀ + [𝐾𝐾 ₁ sin ² 𝜃𝜃 − 𝐶𝐶 ₁ cos(𝛽𝛽 − 𝜃𝜃)]͕

Žƶ𝑒𝑒 ₀ ͕𝐾𝐾 ₁ Ğƚ𝐶𝐶 ₁ ƐŽŶƚĚĞƐĐŽŶƐƚĂŶƚĞƐŝŶĚĠƉĞŶĚĂŶƚĞƐĚĞ𝛽𝛽Ğƚ𝜃𝜃͘džƉůŝĐŝƚĞƌ𝐾𝐾 ₁ Ğƚ𝐶𝐶 ₁ ĞŶĨŽŶĐƚŝŽŶĚĞ𝐾𝐾͕𝜇𝜇 ₀ ͕𝑀𝑀 _𝑠𝑠 ͕ 𝑁𝑁 _∥ ͕𝑁𝑁 _⊥ ĞƚůĂŶŽƌŵĞ𝐻𝐻 _𝑎𝑎 ĚƵĐŚĂŵƉĞdžƚĠƌŝĞƵƌ͘WŽƵƌůĞƚĞŶƐĞƵƌĚĞƐĐŽĞĨĨŝĐŝĞŶƚƐĚƵĐŚĂŵƉĚĠŵĂŐŶĠƚŝƐĂŶƚ͕ŽŶ ƉŽƐĞƌĂ͗ 𝑁𝑁 𝑧𝑧𝑧𝑧 = 𝑁𝑁 ∥ Ğƚ 𝑁𝑁 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑁𝑁 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑁𝑁 ⊥ = ^{(1−𝑁𝑁} ₂ ^{∥ )} > 𝑁𝑁 ∥ .

ϳ

//͘ϭϮ͘ ĠƚĞƌminer les orientations de l’aimantation qui ĐŽƌƌĞƐƉŽŶĚĞŶƚ ă ĚĞƐ ĞdžƚƌĞŵĂ ĚĞ l’énergie ŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞ͘ŝƐĐƵƚĞƌĚƵŶŽŵďƌĞĚĞĐĞƐŽƌŝĞŶƚĂƚŝŽŶƐĞŶĨŽŶĐƚŝŽŶĚĞůĂŶŽƌŵĞĚƵĐŚĂŵƉŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞ𝐻𝐻⃗⃗⃗ _𝑎𝑎 que l’on ƐƵƉƉŽƐĞĚĠƐŽƌŵĂŝƐĂƉƉůŝƋƵĠĚĂŶƐůĂĚŝƌĞĐƚŝŽŶ−𝑒𝑒⃗ _𝑧𝑧 ;𝛽𝛽 = 𝜋𝜋Ϳ͘KŶŝŶƚƌŽĚƵŝƌĂƵŶĞǀĂůĞƵƌĐƌŝƚŝƋƵĞ 𝐻𝐻 _𝐾𝐾 ĚĞůĂŶŽƌŵĞĚƵĐŚĂŵƉŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞ 𝐻𝐻 𝑎𝑎 ͕qu’on appelle champ d’anisotropie.

//͘ϭϯ͘Tracer l’allure de l’énergie en fonction de l’angle 𝜃𝜃 ƉŽƵƌ 𝐻𝐻 𝑎𝑎 = 0 ͕ 0 < 𝐻𝐻 𝑎𝑎 < 𝐻𝐻 𝐾𝐾 ͕Ğƚ 𝐻𝐻 𝑎𝑎 > 𝐻𝐻 𝐾𝐾 ͘YƵĞ ƉĞƵƚͲŽŶĚŝƌĞĚĞůĂƉŽƐŝƚŝŽŶ𝜃𝜃 = 0ƉŽƵƌƵŶĐŚĂŵƉ0 < 𝐻𝐻 _𝑎𝑎 < 𝐻𝐻 _𝐾𝐾 ͍

II.14. On suppose que l’aimantation ĞƐƚ ŝŶŝƚŝĂůĞŵĞŶƚ ĂůŝŐŶĠĞ ƐƵŝǀĂŶƚ ůĂ ĚŝƌĞĐƚŝŽŶ 𝑒𝑒⃗ 𝑧𝑧 ; 𝜃𝜃 = 0 Ϳ͘KŶĂƉƉůŝƋƵĞƵŶ ĐŚĂŵƉ ŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞ 𝐻𝐻⃗⃗⃗ _𝑎𝑎 ǀĂƌŝĂďůĞ͕

ƉĂƌĂůůğůĞŵĞŶƚă𝑒𝑒⃗ _𝑧𝑧 ͘^ĂƉƌŽũĞĐƚŝŽŶƐƵƌ 𝑒𝑒⃗ _𝑧𝑧 ĠǀŽůƵĞ ƐƵŝǀĂŶƚ ůĞ ƐĐŚĠŵĂ ĚĞ ůĂ

&ŝŐ͘//͘ϰ. On suppose que l’amplitude ĚĞ ǀĂƌŝĂƚŝŽŶ ĞƐƚ ƐƵƉĠƌŝĞƵƌĞ ă 2𝐻𝐻 _𝐾𝐾 ͘ Représenter l’évolution de l’aimantation en fonction du temps ƉƵŝƐ ĞŶ ĨŽŶĐƚŝŽŶ ĚƵ ĐŚĂŵƉ ŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞ ĂƉƉůŝƋƵĠ͘ ŽŵŵĞŶƚ s’appelle le phénomène observé͍

0 50 100 150 200

Cham p m ag né tiqu e H a (u nité s ar bitr aire s)

Temps (s)

&ŝŐ͘//͘ϰsĂƌŝĂƚŝŽŶĂƵĐŽƵƌƐĚƵƚĞŵƉƐĚĞůĂƉƌŽũĞĐƚŝŽŶĚƵĐŚĂŵƉ magnétique suivant l’axe 𝑒𝑒⃗ 𝑧𝑧 ͘

//͘ϭϱ. Pour les nanograins de FePt, la constante d’anisotropie et l’aimantation sont respectivement 𝐾𝐾 ₁ = 7 × 10 ⁶ J/m ³ Ğƚ 𝑀𝑀 = 1140 kA/m. Estimer l’ordre de grandeur du champ 𝜇𝜇 ₀ 𝐻𝐻 _𝐾𝐾 .ŽŵŵĞŶƚĞƌůĂǀĂůĞƵƌ ŽďƚĞŶƵĞ͘

//͘ϭϲ͘En vous inspirant du schéma d’une tête de lecture et d’écriture d’un disque dur présenté sur la

ĨŝŐƵƌĞ//͘ϱ͕ĞdžƉůŝƋƵĞƌƋƵĞůůĞƐƐŽŶƚůĞƐŵĠƚŚŽĚĞƐƵƚŝůŝƐĠĞƐƉŽƵƌŐĠŶĠƌĞƌĚĞƐǀĂůĞƵƌƐĚĞĐŚĂŵƉŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞ

ŝŵƉŽƌƚĂŶƚĞƐ͘YƵelle est l’utilité de l’écran P1͍

ϴ

&ŝŐ͘//͘ϱ Schéma d’une tête de lecture et d’écriture d’un disque dur utilisé dans la technologie PMR (Perpendicular Magnetic Recording). Les flèches verticales indiquent les directions d’aimantation (vers le ŚĂƵƚŽƵǀĞƌƐůĞďĂƐͿĚĞŶĂŶŽŐƌĂŝŶƐăĂŝŵĂŶƚĂƚŝŽŶƉĞƌƉĞŶĚŝculaire (cf. Fig. I.2), P2 est la tête d’écriture, P1 ƵŶĠĐƌĂŶŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞ͘

^ŽƵƌĐĞ͗ŚƚƚƉƐ͗ͬͬǁǁǁ͘ŚŐƐƚ͘ĐŽŵͬƐŝƚĞƐͬĚĞĨĂƵůƚͬĨŝůĞƐͬƌĞƐŽƵƌĐĞƐͬWDZͺǁŚŝƚĞͺƉĂƉĞƌͺĨŝŶĂů͘ƉĚĨ

//͘ϭϳ͘Une technologie encore plus récente combine un échauffement par impulsion laser à l’écriture d’une ŝŶĨŽƌŵĂƚŝŽŶƉĂƌŝŵƉƵůƐŝŽŶĚĞĐŚĂŵƉŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞ;,ĞĂƚͲĂƐƐŝƐƚĞĚŵĂŐŶĞƚŝĐƌĞĐŽƌĚŝŶŐ͗,DZͿ͘WƌŽƉŽƐĞƌ ƵŶĞĞdžƉůŝĐĂƚŝŽŶũƵƐƚŝĨŝĂŶƚůĞƐĂǀĂŶƚĂŐĞƐĚĞĐĞƚƚĞŵĠƚŚŽĚĞƉĂƌƌĂƉƉŽƌƚăůĂŵĠƚŚŽĚĞWDZ͘

Ϯ͘>ĞĐƚƵƌĞ

//͘ϭϴ. De manière courante, les informations stockées dans un disque dur sont lues à l’aide d’un capteur à ŵĂŐŶĠƚŽƌĠƐŝƐƚĂŶĐĞ ŐĠĂŶƚĞ ;ůĞ ĐĂƉƚĞƵƌ 'DZ ŝŶĚŝƋƵĠ ƐƵƌ ůĂ &ŝŐ͘//͘ϱͿ͘ >Ă ĚĠĐŽƵǀĞƌƚĞ ĚƵ ƉŚĠŶŽŵğŶĞ ĚĞ ŵĂŐŶĠƚŽͲrésistance géante a valu à Albert Fert et à Peter Grünberg l’attribution du prix Nobel de physique ĞŶϮϬϬϳ͘WƌĠƐĞŶƚĞƌďƌŝğǀĞŵĞŶƚĞŶƋƵŽŝĐŽŶƐŝƐƚĞƵŶĐĂƉƚĞƵƌăŵĂŐŶĠƚŽƌĠƐŝƐƚĂŶĐĞŐĠĂŶƚĞĞƚĞdžƉůŝƋƵĞƌƐŽŶ ĨŽŶĐƚŝŽŶŶĞŵĞŶƚ͘

ϯ͘^ƚĂďŝůŝƚĠƚŚĞƌŵŝƋƵĞ

WŽƵƌ ĐŽŶƐĞƌǀĞƌ ƵŶĠƚĂƚ ŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞ ƐƵƌ ƵŶĞ ůŽŶŐƵĞ ĚƵƌĠĞ ůĞƐ ĨĂďƌŝĐĂŶƚƐ ĚĞ ĚŝƐƋƵĞƐ ĚƵƌƐ ƵƚŝůŝƐĞŶƚ ĚĞƐ ŵĂƚĠƌŝĂƵdžăĨŽƌƚĞĂŶŝƐŽƚƌŽƉŝĞƵŶŝĂdžĞ͘

//͘ϭϵ͘Calculer l’énergie typique d’anisotropie totale d’un grain, avec 𝐾𝐾 ₁ = 7 × 10 ⁶ J/m ³ ĞƚĐŽŵŵĞŶƚĞƌ ůĂǀĂůĞƵƌƚƌŽƵǀée concernant, en particulier, le retournement spontané de l’aimantation d’un grain par ĂŐŝƚĂƚŝŽŶƚŚĞƌŵŝƋƵĞ͘

//͘ϮϬ͘KŶƐƵƉƉŽƐĞƋƵĞůa fréquence de retournement de l’aimantation d’un grain par activation thermique

est donnée par l’équation͗ ¹ _𝜏𝜏 = 𝑓𝑓 0 𝑒𝑒 ^{− 𝑘𝑘𝐵𝐵𝑇𝑇 𝐾𝐾𝑉𝑉} ͕Žƶ 𝑓𝑓 0 = 10 ⁹ − 10 ¹² Hz ͘ŽŵŵĞŶƚĞƌĐĞƚƚĞĠƋƵĂƚŝŽŶĞƚƉƌĠĐŝƐĞƌůĂ

ϵ

ƐŝŐŶŝĨŝĐĂƚŝŽŶƉŚLJƐŝƋƵĞ ĚƵƉĂƌĂŵğƚƌĞ 𝑓𝑓 ₀ ͘Montrer qu’il existe une limite à la miniaturisation des grains ĐŽŶƐƚŝƚƵĂŶƚůĞƐŵĠŵŽŝƌĞƐŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞƐ͕ƉƵŝƐĠvaluer un ordre de grandeur d’une ƚĂŝůůĞŵŝŶŝŵƵŵƉŽƵƌƵŶ ŐƌĂŝŶĨĞrromagnétique d’un disque dur.

WĂƌƚŝĞ///͘

^ƚĂƚŝƋƵĞĚĞƐƚĞdžƚƵƌĞƐŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞƐ

͘WĂƌŽŝƐĚĞĚŽŵĂŝŶĞƐŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞƐ

WŽƵƌůĂƐƵŝƚĞ͕Žn décrit l’aimantation en coordonnées cartésiennes ͗ 𝑀𝑀 ⃗⃗⃗ = 𝑀𝑀 (𝑚𝑚 _𝑥𝑥 𝑒𝑒⃗ _𝑥𝑥 + 𝑚𝑚 _𝑦𝑦 𝑒𝑒⃗ _𝑦𝑦 + 𝑚𝑚 _𝑧𝑧 𝑒𝑒⃗ _𝑧𝑧 )͕ĂǀĞĐ

𝑚𝑚 _𝑥𝑥 = cos 𝜑𝜑 sin 𝜃𝜃͕

𝑚𝑚 𝑦𝑦 = sin 𝜑𝜑 sin 𝜃𝜃 Ğƚ 𝑚𝑚 _𝑧𝑧 = cos 𝜃𝜃͘

&ŝŐ͘///͘ϭŽŶǀĞŶƚŝŽŶƐƉŽƵƌƌĞƉĠƌĞƌ ůĞǀĞĐƚĞƵƌĂŝŵĂŶƚĂƚŝŽŶ𝑀𝑀 ⃗⃗⃗ ͘

1. Structure et énergie d’une paroi de domaine magnétique.

On suppose un milieu ferromagnétique infini dans lequel l’aimantation est alignée avec la direction +𝑒𝑒⃗ _𝑧𝑧 ĞŶ 𝑦𝑦 = −∞ ĞƚůĂĚŝƌĞĐƚŝŽŶ −𝑒𝑒⃗ 𝑧𝑧 ĞŶ 𝑦𝑦 = +∞ . Entre ces deux limites, l’aimantation tourne. Les questions ƋƵŝƐƵŝǀĞŶƚŽŶƚƉŽƵƌŽďũĞĐƚŝĨůĂĚĠƚĞƌŵŝŶĂƚŝŽŶĚu profil du retournement d’aimantation entre ces deux ůŝŵŝƚĞƐ͘

&ŝŐ͘//I.2 Conventions et conditions limites pour déterminer la structure d’une paroi.

///͘ϭ͘Par des considérations d’invariances, déterminer les ĐŽŽƌĚŽŶŶĠĞƐĐĂƌƚĠƐŝĞŶŶĞƐĚŽŶƚĚĠƉĞŶĚĞŶƚůĞƐ ĂŶŐůĞƐ𝜃𝜃Ğƚ𝜑𝜑͘

ϭϬ

///͘Ϯ͘DŽŶƚƌĞƌƋƵe l’énergie d’échange par unité de volume s’écrit𝑒𝑒 _{𝑒𝑒𝑒𝑒ℎ} = 𝐴𝐴 [(sin 𝜃𝜃 ^{𝑑𝑑𝑑𝑑} _{𝑑𝑑𝑑𝑑} ) ² + ( ^{𝑑𝑑𝑑𝑑} _{𝑑𝑑𝑑𝑑} ) ² ]

///͘ϯ͘ On tient compte de la densité d’énergie d’anisotropie 𝑒𝑒 _{𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎} = −𝐾𝐾𝑚𝑚 _𝑧𝑧 ² ͘ DŽŶƚƌĞƌ ƋƵĞ ůĂ ĚĞŶƐŝƚĠ d’énergie totale en tenant compte de l’anisotropie uniaxiale s’écrităƵŶĞĐŽŶƐƚĂŶƚĞĂĚĚŝƚŝǀĞƉƌğƐ͗

𝑒𝑒 = 𝐴𝐴 [(sin 𝜃𝜃 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑)

2

+ ( 𝑑𝑑𝜃𝜃 𝑑𝑑𝑑𝑑)

2

] + 𝐾𝐾 sin ² 𝜃𝜃

Expliquer pourquoi l’état d’équilibre ne peut pas être obtenu directement en posant ^{𝜕𝜕𝑒𝑒} _𝜕𝜕θ = 0 Ğƚ _𝜕𝜕φ ^{𝜕𝜕𝑒𝑒} = 0 ͘

///͘ϰ͘ ĐƌŝƌĞ ůĂ ĐŽŶĚŝƚŝŽŶ qui fixe le profil d’équilibre de la paroi͘ KŶ ŵŽŶƚƌĞ ƋƵĞ ĐĞƚƚĞ ĐŽŶĚŝƚŝŽŶ ĞƐƚ ĠƋƵŝǀĂůĞŶƚĞĂƵdžĚĞƵdžĠƋƵĂƚŝŽŶƐƐƵŝǀĂŶƚĞƐ͗ ^{𝜕𝜕𝑒𝑒} _𝜕𝜕θ − _𝑑𝑑y ^𝑑𝑑 [ ^{𝜕𝜕𝑒𝑒}

𝜕𝜕( ^𝑑𝑑θ _𝑑𝑑y ) ] = 0 Ğƚ _𝜕𝜕φ ^{𝜕𝜕𝑒𝑒} − _𝑑𝑑y ^𝜕𝜕 [ ^{𝜕𝜕𝑒𝑒}

𝜕𝜕( ^𝑑𝑑φ _𝑑𝑑y ) ] = 0 ͘WƌĠĐŝƐĞƌůĞŶŽŵĚĞ ĐĞƐĠƋƵĂƚŝŽŶƐĞƚĞdžƉůŝƋƵĞƌƉŽƵƌƋƵŽŝĞůůĞƐĂƉƉĂƌĂŝƐƐĞŶƚĚĂŶƐĐĞĐŽŶƚĞdžƚĞ͘

///͘ϱ͘ŶĚĠĚƵŝƌĞůĞƐĠƋƵĂƚŝŽŶƐĚŝĨĨĠƌĞŶƚŝĞůůĞƐĐŽƵƉůĠĞƐǀĠƌŝĨŝĠĞƐƉĂƌ𝜃𝜃ĞƚφƋƵŝĐŽŶƚƌƀůĞŶƚůĞƐĐŽŶĚŝƚŝŽŶƐ d’équilibre d’une paroi.

///͘ϲ͘ sĠƌŝĨŝĞƌ ƋƵĞ ůĞƐ ĠƋƵĂƚŝŽŶƐ 𝑑𝑑(𝑑𝑑) = 𝜓𝜓 = constante Ğƚ 𝜃𝜃(𝑑𝑑) = ±2 arctan [exp ( ^𝑑𝑑 _∆ )] ͕ Žƶ ∆ ĞƐƚ ůĞ paramètre d’épaisseur de paroi͕ƐŽŶƚƐŽůƵƚŝŽŶƐĚĞƐĠƋƵĂƚŝŽŶƐĚŝĨĨĠƌĞŶƚŝĞůůĞƐƉƌĠĐĠĚĞŶƚĞƐ͘KŶĠƚĂďůŝƌĂƉŽƵƌ ĐĞůĂůĂƌĞůĂƚŝŽŶ ^{𝑑𝑑𝑑𝑑} _{𝑑𝑑𝑑𝑑} = ^{sin 𝑑𝑑} _∆ . Retrouver l’expression de ∆ĞŶĨŽŶĐƚŝŽŶĚĞ 𝐴𝐴Ğƚ𝐾𝐾ĞƚƉƌĠĐŝƐĞƌůĂĨŽƌŵĞĚĞůĂ ƐŽůƵƚŝŽŶĐŽŵƉĂƚŝďůĞĂǀĞĐůĞƐĐŽŶĚŝƚŝŽŶƐůŝŵŝƚĞƐĠƚƵĚŝĠĞƐ͘

///͘ϳ͘Montrer que l’énergie surfacique de paroi s’écrit 𝜎𝜎 ₀ = 4√𝐴𝐴𝐾𝐾 ͕Žƶ𝐴𝐴Ğƚ 𝐾𝐾ƐŽŶƚƌĞƐƉĞĐƚŝǀĞŵĞŶƚůĞƐ constantes d’anisotropie et d’échange.

///͘8. Donner l’allure de la variation de l’angle 𝜃𝜃ĞŶĨŽŶĐƚŝŽŶĚĞ ^𝑑𝑑 _∆ . Montrer que l’angle 𝜃𝜃ǀĂƌŝĞĚĞŵĂŶŝğƌĞ significative sur une distance de l’ordre de 𝜋𝜋∆͘

///͘9. Estimer les valeurs du paramètre d’épaisseur de paroi ∆et l’énergie surfacique de paroi 𝜎𝜎 ₀ ƉŽƵƌůĞ ƐLJƐƚğŵĞWƚͬŽͬůKdž͗𝐴𝐴 = 16𝑝𝑝𝑝𝑝/𝑚𝑚Ğƚ𝐾𝐾 = 530𝑘𝑘𝑝𝑝/𝑚𝑚 ³

///͘ϭϬ͘ƐƚͲil possible d’observer la structure magnétique d’une paroi par microscopie optique͍WŽƵƌƋƵŽŝ͍

ϭϭ

Ϯ͘ŽŶƚƌŝďƵƚŝŽŶĚƵĐŚĂŵƉĚĠŵĂŐŶĠƚŝƐĂŶƚ ///͘ϭϭ͘ On s’intéresse maintenant à la ĐŽŶƚƌŝďƵƚŝŽŶ ĚĞƐ ĞĨĨĞƚƐ ĚŝƉŽůĂŝƌĞƐ ĚĂŶƐ ůĂ ƉĂƌŽŝăůĂƐƚƌƵĐƚƵƌĞĚĞůĂƉĂƌŽŝ͘

>Ă &ŝŐ͘ ///͘ ϰ ƉƌĠƐĞŶƚĞ ƵŶ ƐĐŚĠŵĂ ƐŝŵƉůŝĨŝĠ d’une structure de paroi. Déterminer la ĚĞŶƐŝƚĠ 𝜎𝜎 _𝑑𝑑 ĚĞĐŚĂƌŐĞƐŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞƐĨŝĐƚŝǀĞƐ ăůĂƐƵƌĨĂĐĞĚĞůĂƉĂƌŽŝ͕ůĞĐŚĂŵƉĚŝƉŽůĂŝƌĞ

;ŽƵĚĠŵĂŐŶĠƚŝƐĂŶƚͿ𝐻𝐻⃗⃗⃗ _𝑑𝑑 ĂƐƐŽĐŝĠĂŝŶƐŝƋƵĞůĂ densité d’énergie dipolaire.

Ŷ considérant une tranche d’épaisseur 𝑑𝑑𝑑𝑑 d’une paroi, mŽŶƚƌĞƌ ƋƵĞ ůĂ ĚĞŶƐŝƚĠ d’énergie dipolaire a pour expression 𝑒𝑒 _𝑑𝑑 = ¹ ₂ 𝜇𝜇 ₀ 𝑀𝑀 ² sin ² 𝜃𝜃 sin ² 𝜓𝜓͘

&ŝŐ͘//I. 4 Schéma d’une paroi de domaine magnétique montrant la direction de l’aimantation (voir les 3 flèches) ĚĂŶƐƵŶĞƚƌĂŶĐŚĞƐŝƚƵĠĞĂƵĐĞŶƚƌĞĚĞůĂƉĂƌŽŝĂŝŶƐŝƋƵĞůĞƐ directions d’aimantation (suivant 𝑒𝑒⃗ _𝑧𝑧 Ğƚ −𝑒𝑒⃗ _𝑧𝑧 Ϳ ůŽŝŶ ĚĞ ůĂ ƉĂƌŽŝ͘

///͘ϭϮ͘Montrer que la prise en compte de la contribution dipolaire de la densité d’énergie de paroi revient à remplacer la constante d’anisotropie 𝐾𝐾par un constante d’anisotropie effective 𝐾𝐾 _{𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒} ĚŽŶƚŽŶĚŽŶŶĞƌĂ l’expression (KŶƐƵƉƉŽƐĞƋƵĞ𝜑𝜑(𝑑𝑑) = 𝜓𝜓 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡𝑎𝑎𝑐𝑐𝑡𝑡𝑒𝑒ĚĂŶƐůĂƉĂƌŽŝͿ͘ŶǀŽƵƐŝŶƐƉŝƌĂŶƚĚĞůĂƋƵĞƐƚŝŽŶ///͘ϳ͕͘

exprimer l’énergie surfacique de paroi σ ĞŶĨŽŶĐƚŝŽŶĚĞ 𝐾𝐾 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 ͘KŶĚŝƐƚŝŶŐƵĞŚĂďŝƚƵĞůůĞŵĞŶƚůĞƐĚĞƵdžƚLJƉĞƐ ĚĞƉĂƌŽŝƐŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞƐƐĐŚĠŵĂƚŝƐĠĞƐƐƵƌůĂ&ŝŐ͘///͘ϱ͘DŽŶƚƌĞƌque l’énergie d’ƵŶĞƉĂƌŽŝĚĞůŽĐŚ;𝜓𝜓 = 0 ou 𝜋𝜋Ϳest inférieure à celle d’uneƉĂƌŽŝĚĞƚLJƉĞEĠĞů;𝜓𝜓 = ± ^𝜋𝜋 ₂ Ϳ͘

&ŝŐ͘///͘5 Structure magnétique d’une paroi de Bloch ;ăŐĂƵĐŚĞͿĞƚd’une ƉĂƌŽŝĚĞEĠĞů;ăĚƌŽŝƚĞͿ͘

džƚƌĂŝƚĚĞůĂƚŚğƐĞĚĞŽĐƚŽƌĂƚĚĞ&͘ŚĞLJŶŝƐ͕/ŶƐƚŝƚƵƚEĠĞůEZ^Ͳh:&;ϮϬϬϳͿ͘

͘ŽŵĂŝŶĞƐŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞƐ

La compétition entre l’énergie de paroi et les interactions dipolaires produit des structures en domaines.

ϭϮ

hŶĞdžĞŵƉůĞĞƐƚƉƌĠƐĞŶƚĠĚĂŶƐůĂ&ŝŐ͘///͘ϲ ƉŽƵƌ ƵŶ ĠĐŚĂŶƚŝůůŽŶ ă ĨŽƌƚĞ ĂŶŝƐŽƚƌŽƉŝĞ ƉĞƌƉĞŶĚŝĐƵůĂŝƌĞ͘^ƵƌĐĞƚƚĞŝŵĂŐĞ͕ŽŶƉĞƵƚ ŽďƐĞƌǀĞƌƋƵĞůĞƐĚŽŵĂŝŶĞƐŽŶƚƵŶĞůĂƌŐĞƵƌ ĞƚƵŶĞƐƉĂĐĞŵĞŶƚƌĞůĂƚŝǀĞŵĞŶƚĐŽŶƐƚĂŶƚƐ͘

&ŝŐ͘///͘ϲ ^ƚƌƵĐƚƵƌĞ ĞŶ ĚŽŵĂŝŶĞƐ ŽďƐĞƌǀĠĞ ƉĂƌ ŵŝĐƌŽƐĐŽƉŝĞ <Ğƌƌ ŵĂŐŶĠƚŽͲŽƉƚŝƋƵĞ ĚĂŶƐƵŶĞĐŽƵĐŚĞŵŝŶĐĞĚƵƐĞŵŝͲĐŽŶĚƵĐƚĞƵƌ ĨĞƌƌŽŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞ ;'Ă͕DŶͿ;Ɛ͕WͿ ă ĨŽƌƚĞ ĂŶŝƐŽƚƌŽƉŝĞ ƉĞƌƉĞŶĚŝĐƵůĂŝƌĞ͘ >ĞƐ ĚĞƵdž ŶŝǀĞĂƵdž ĚĞ ŐƌŝƐ ĐŽƌƌĞƐƉŽŶĚĞŶƚ ĂƵdž ĚĞƵdž directions de l’aimantation perpendiculaire à l’image. Dimensions de l’image͗ 120 × 95𝜇𝜇𝜇𝜇 ² . L’aimantation à saturation ŵĞƐƵƌĠĞ ƉĂƌ ŵĂŐŶĠƚŽŵĠƚƌŝĞ ĞƐƚ 𝑀𝑀 = 40 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝜇𝜇. L’épaisseur est ℎ = 50 𝑛𝑛𝜇𝜇͘

///͘ϭϯ͘Quelles sont les contributions respectives de l’énergie de paroi et des interactions dipolaires à la ůĂƌŐĞƵƌĚĞƐĚŽŵĂŝŶĞƐ͍

///͘ϭϰ͘Quel est l’effet d’un champ magnétique appliqué perpendiculairement à la coucheƐƵƌůĂƐƚƌƵĐƚƵƌĞ ĚĞƐĚŽŵĂŝŶĞƐ͍

///͘ϭϱ͘Le modèle le plus courant pour décrire l’autoͲŽƌŐĂŶŝƐĂƚŝŽŶĞŶĚŽŵĂŝŶĞƐƐƵƉƉŽƐĞƵŶĞƌĠƉĂƌƚŝƚŝŽŶ périodique de lamelles parallèles d’aimantation opposée. En champ nul, on montre qu’ƵŶĞǀĂƌŝĂƚŝŽŶĚĞůĂ ƉĠƌŝŽĚĞ ĚĞƐ ůĂŵĞůůĞƐ ĞƐƚ ƵŶŝƋƵĞŵĞŶƚ ĐŽŶƚƌƀůĠĞ ƉĂƌ ůĞ ƉĂƌĂŵğƚƌĞ 𝜆𝜆 𝑐𝑐 = ₂ 𝜇𝜇0 ^𝜎𝜎

2 𝑀𝑀 ² ℎ ͕ Žƶ 𝜎𝜎 est l’énergie ƐƵƌĨĂĐŝƋƵĞĚĞƉĂƌŽŝ͕𝑀𝑀 l’aimantation à saturation et ℎl’épaisseur de l’échantillon. Montrer que 𝜆𝜆 _𝑐𝑐 ĞƐƚƵŶ ŶŽŵďƌĞƐĂŶƐĚŝŵĞŶƐŝŽŶ͘ŶǀŽƵƐĂŝĚĂŶƚĚĞƐĚŽĐƵŵĞŶƚƐĚĞůĂ&ŝŐ͘///͘ϳ, déterminer l’énergie de paroi de l’échantillon de (Ga,Mn)(As,P). Estimez la précision de votre mesure.

&ŝŐ͘///͘ϳĂ'ĠŽŵĠƚƌŝĞĞŶůĂŵĞůůĞƐƉĂƌĂůůğůĞƐƵƚŝůŝƐĠĞ pour le modèle d’autoͲŽƌŐĂŶŝƐĂƚŝŽŶĞŶĚŽŵĂŝŶĞƐ͘

ĞƐůĂŵĞůůĞƐĚĞůĂƌŐĞƵƌ 𝑤𝑤 ₁ Ğƚ 𝑤𝑤 ₂ ƉƌĠƐĞŶƚĞŶƚĚĞƐ ĂŝŵĂŶƚĂƚŝŽŶƐ ĚĂŶƐ ĚĞƐ ĚŝƌĞĐƚŝŽŶƐ ŽƉƉŽƐĠĞƐ

;ƐƵŝǀĂŶƚ 𝑒𝑒⃗ 𝑧𝑧 Ğƚ −𝑒𝑒⃗ 𝑧𝑧 Ϳ͘>ĞƵƌƉĠƌŝŽĚĞĞƐƚĚŽŶŶĠĞƉĂƌ 𝑤𝑤 = 𝑤𝑤 1 + 𝑤𝑤 2 ĞƚůĂƉĠƌŝŽĚĞƌĠĚƵŝƚĞĚĠĨŝŶŝĞƉĂƌ 𝑝𝑝 = 𝑤𝑤/ℎ͕Žƶℎest l’épaisseur du film.

&ŝŐ͘///͘ϳďWƌĠĚŝĐƚŝŽŶƐĚƵŵŽĚğůĞĚĞůĂŵĞůůĞƐƉŽƵƌůĂ

ǀĂƌŝĂƚŝŽŶ ĚƵ ƉĂƌĂŵğƚƌĞ ƌĠĚƵŝƚ 𝜆𝜆 _𝑐𝑐 ;ǀŽŝƌ ƚĞdžƚĞͿ ĞŶ

ĨŽŶĐƚŝŽŶĚĞůĂƉĠƌŝŽĚĞƌĠĚƵŝƚĞ𝑝𝑝 = 𝑤𝑤/ℎ.

ϭϯ

. Nucléation du retournement d’aimantation

L’aimantation d’un échantillon ferromagnétique peut être retournée à l’aide d’un champ magnétique ŽƌŝĞŶƚĠĚĂŶƐůĂĚŝƌĞĐƚŝŽŶŽƉƉŽƐĠĞăl’aimantation. Pour un échantillon de taille suffisante et uniformément aimanté, le retournement d’aimantation débute par la nucléation de domaines de direction opposée. La ŶƵĐůĠĂƚŝŽŶĞƐƚƐuivie d’une propagation des parois des domaines qui étend le retournement d’aimantation à l’ensemble de l’échantillon. KŶĂďŽƌĚĞŝĐŝůĞŵŽĚğůĞĚĞďƵůůĞƉŽƵƌůĂŶƵĐůĠĂƚŝŽŶ͘

///͘ϭϲ͘ Expliquer qualitativement dans quelles circonstances des changements d’état s’effectuent par ŶƵĐůĠĂƚŝŽŶ͘ŝƚĞƌĚĞƐĞdžĞŵƉůĞƐ͘

WŽƵƌŵŽĚĠůŝƐĞƌůĞƉŚĠŶŽŵğŶĞĚĞŶƵĐůĠĂƚŝŽŶ͕ŽŶĐŽŶƐŝĚğƌĞun film mince d’épaisseur ℎăĂŶŝƐŽƚƌŽƉŝĞƵŶŝͲ axiale de facile aimantation dirigée perpendiculairement au plan du film. L’aimantation est initialeŵĞŶƚ ŚŽŵŽŐğŶĞĞƚƉŽŝŶƚĞĚĂŶƐůĂĚŝƌĞĐƚŝŽŶн 𝑒𝑒⃗ 𝑧𝑧 ͘KŶĂƉƉůŝƋƵĞƵŶĐŚĂŵƉŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞĚĂŶƐůĂĚŝƌĞĐƚŝŽŶ−𝑒𝑒⃗ _𝑧𝑧 ĐĞƋƵŝ provoque la formation d’un domaine circulaire (une bulle) de rayon 𝑟𝑟 et d’épaisseur ℎ d’aimantation ŚŽŵŽŐğŶĞĚŝƌŝŐĠĞƐƵŝǀĂŶƚ−𝑒𝑒⃗ _𝑧𝑧 ;ǀŽŝƌ&ŝŐ͘///͘ϴͿ

&ŝŐ͘///͘ϴDŽĚğůĞĚĞŐŽƵƚƚĞƉŽƵƌ ůĂŶƵĐůĠĂƚŝŽŶ

///͘ϭϳ͘DŽŶƚƌĞƌƋƵĞl’énergie 𝐸𝐸 d’une bulle ĚĞƌĂLJŽŶ 𝑟𝑟 ƉĞƵƚƐĞŵĞƚƚƌĞƐŽƵƐůĂĨŽƌŵĞ 𝐸𝐸(𝑟𝑟, 𝐻𝐻 𝑎𝑎 ) = 𝐴𝐴 1 𝑟𝑟 − 𝐴𝐴 ₂ (𝐻𝐻 _𝑎𝑎 )𝑟𝑟 ² ͘KŶŶĠŐůŝŐĞƌĂůĞƐĞĨĨĞƚƐĚŝƉŽůĂŝƌĞƐ͘ŝƐĐƵƚĞƌůĞƐĐŽŶƚƌŝďƵƚŝŽŶƐƌĞƐƉĞĐƚŝǀĞƐĚƵĐŚĂŵƉŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞ et de l’énergie de paroi à l’énergie d’une bulle.

///͘ϭϴ͘ DŽŶƚƌĞƌ ƋƵĞ ůĂ ĨŽŶĐƚŝŽŶ 𝐸𝐸 ƉƌĠƐĞŶƚĞ ƵŶ ŵĂdžŝŵƵŵ͘ ĠƚĞƌŵŝŶĞƌ ůĞ ƌĂLJŽŶ ĐŽƌƌĞƐƉŽŶĚĂŶƚ 𝑟𝑟 𝑐𝑐 ƉƵŝƐ retrouver l’expression de l’énergie correspondante 𝐸𝐸(𝑟𝑟 _𝑐𝑐 ) = _2𝜇𝜇 ^{𝜋𝜋𝜎𝜎} _{0 𝑀𝑀𝐻𝐻} ^{2 ℎ} _𝑎𝑎 ͘ džƉůŝƋƵĞƌ ĞŶ ƋƵŽŝ ƵŶ ĠƚĂƚ d’aimantation homogène constitue un état métastable.

///͘ϭϵ͘KŶƚŝĞŶƚĐŽŵƉƚĞŵĂŝŶƚĞŶĂŶƚĚƵĐŚĂŵƉĚŝƉŽůĂŝƌĞŐĠŶĠƌĠƉĂƌůĂďƵůůĞ͘ĂŶƐůĂŐĂŵŵĞĚĞƌĂLJŽŶ0 <

𝑟𝑟 < 5ℎ, le champ dipolaire est bien approximé par l’équation 𝐻𝐻⃗⃗⃗ _𝑑𝑑 = −𝑀𝑀 ⃗⃗⃗ (1 + _2ℎ ^3𝑟𝑟 )͘džƉƌŝŵĞƌl’énergie de

ϭϰ

ůĂďƵůůĞ ĞŶĨŽŶĐƚŝŽŶĚĞƐŽŶƌĂLJŽŶ͘džƉůŝƋƵĞƌƋƵĂůŝƚĂƚŝǀĞŵĞŶƚƉŽƵƌƋƵŽŝůĞ ĐŚĂŵƉĚŝƉŽůĂŝƌĞĞŵƉġĐŚĞůĞ retournement complet de l’aimantation (𝑟𝑟 → ∞Ϳ͘

///͘ϮϬ͘La nucléation du retournement d’aimantation est un phénomène stochastique qui peut être décrit par une loi d’Arrhenius. Dans ce cadre, écrire la probabilité de nucléation ∆𝑡𝑡/𝜏𝜏ƉĞŶĚĂŶƚƵŶŝŶƚĞƌǀĂůůĞ∆𝑡𝑡 ĞŶ fonction de la fréquence d’essai 1/𝜏𝜏 ₀ ͕ůĂĐŽŶƐƚĂŶƚĞĚĞŽůƚnjŵĂŶŶ𝑘𝑘 _𝐵𝐵 ͕ĚĞůĂƚĞŵƉĠƌĂƚƵƌĞ𝑇𝑇ĞƚĚĞůĂŚĂƵƚĞƵƌ ĚĞďĂƌƌŝğƌĞĚĞŶƵĐůĠĂƚŝŽŶ∆𝐸𝐸 = 𝐸𝐸(𝑟𝑟 _𝑐𝑐 )͘

///͘Ϯϭ͘ On néglige la contribution des interactions dipolaires. Exprimer le temps d’attente 𝜏𝜏 ĂǀĂŶƚ l’apparition de la nucléation en fonctiŽŶ ĚƵ ĐŚĂŵƉ ŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞ ĂƉƉůŝƋƵĠ. En déduire l’expression du champ magnétique de nucléation en fonction du temps d’attente.

///͘ϮϮ͘ Pour étudier la nucléation du retournement d’aimantation dans un film mince composé d’un ĞŵƉŝůĞŵĞŶƚĚĞĐŽƵĐŚĞƐWƚͬŽͬůK dž ͕ăƚĞŵƉĠƌĂƚƵƌĞambiante, une équipe d’expérimentateurs observe l’aimantation à sa surface par microcopie Kerr magnétoͲŽƉƚŝƋƵĞ;ĐĨ͘ƉĂƌĞdžĞŵƉůĞ&ŝŐ͘///ϲ). L’épaisseur du ŽďĂůƚĞƐƚĚĞƚƌŽŝƐĐŽƵĐŚĞƐĂƚŽŵŝƋƵĞƐ;ℎ = 0,6 nm). Le retournement d’aimantation est observé pour des impulsions de champ magnétique d’une durée de 100 mset d’amplitude de l’ordre de 20 mT͘ĠƚĞƌŵŝŶĞƌ l’ordre de grandeur de l’amplitude de l’impulsion ŶĠĐĞƐƐĂŝƌĞ͕ ƉƌĠĚŝƚĞ ƉĂƌ ůĞ ŵŽĚğůĞ ĚĞ ďƵůůĞ͘ WŽƵƌ interpréter l’écart entre la mesure et la prédiction, les auteurs supposent que l’énergie de paroi est diminuée par des défauts. Donner l’ordre de grandeur de la réduction d’énergie nécessaire pour accorder ƉƌĠĚŝĐƚŝŽŶĞƚĞdžƉĠƌŝĞŶĐĞ͘>ĞƐƉĂƌĂŵğƚƌĞƐŵŝĐƌŽŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞƐĚƵWƚͬŽͬůK dž ƐŽŶƚůĞƐƐƵŝǀĂŶƚƐ͗ 𝜏𝜏 0 = 1 ns ͕ 𝑀𝑀 = 1,1 MA/m Ğƚ𝜎𝜎 = 10mJ/m ² ͘

WĂƌƚŝĞ/s͘

Dynamique de l’aimantation

͘/ŶƚƌŽĚƵĐƚŝŽŶ

Cette partie porte sur la dynamique de l’aimantation dans les milieux ferromagnétiques. ůůĞĚĠďƵƚĞƉĂƌ une analyse de l’équation de >ĂŶĚĂƵͲ>ŝĨƐŚŝƚnjͲ'ŝůďĞƌƚ ;>>'Ϳ ƋƵŝ ĞƐƚ ă ůĂ ďĂƐĞ ĚĞ ůĂ ĚĞƐĐƌŝƉƚŝŽŶ ŵŝĐƌŽŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞĚƵĚĠƉůĂĐĞŵĞŶƚĚĞƉĂƌŽŝƐĚĞĚŽŵĂŝŶĞƐ͘>ĂĚLJŶĂŵŝƋƵĞĚĞƉĂƌŽŝƐĞƐƚĞŶƐƵŝƚĞĂďŽƌĚĠĞ dans des régimes indépendants de l’ancrage ĚĞƐƉĂƌŽŝƐƉƵŝƐĚĂŶƐĚes régimes dépendants de l’aŶĐƌĂŐĞ͘

L’équationde LLG s’écrit͗

𝑑𝑑𝑀𝑀 ⃗⃗⃗

𝑑𝑑𝑑𝑑 = −𝛾𝛾𝑀𝑀 ⃗⃗⃗ ∧ 𝜇𝜇 ₀ 𝐻𝐻⃗⃗⃗ _{𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒} + 𝛼𝛼𝑀𝑀 ⃗⃗⃗ ∧ ^{𝑑𝑑𝑀𝑀} _{𝑑𝑑𝑑𝑑} ^⃗⃗⃗ ͕

Žƶ 𝛾𝛾 ĞƐƚ ůĞ ƌĂƉƉŽƌƚ ŐLJƌŽŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞ͕ 𝛼𝛼 le coefficient d’amortissement de Gilbert ; 0 < 𝛼𝛼 < 1 ĚĂŶƐ ůĂ

ƉƌĂƚŝƋƵĞͿ. Le module de l’aimantation est supposé constant et égal à l’aimantation à saturation ( ‖𝑀𝑀 ⃗⃗⃗‖ =

ϭϱ

𝑀𝑀Ϳ͘ 𝐻𝐻⃗⃗⃗ _{𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒} ĞƐƚ ůĞ ĐŚĂŵƉ ŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞ ĞĨĨĞĐƚŝĨ ƋƵŝ ƚŝĞŶƚ ĐŽŵƉƚĞ ĚĞƐ ĞĨĨĞƚƐ d’échange, d’anisotropie, de

Ğeman et d’interaction dipolaire, étudiés précédemment.

1. Description classique de la dynamique d’aimantation, origiŶĞ ŵŝĐƌŽƐĐŽƉŝƋƵĞ ĚƵ ƌĂƉƉŽƌƚ ŐLJƌŽŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞ͘

/s͘ϭ͘ŽŶƐŝĚĠƌŽŶƐƵŶĠůĞĐƚƌŽŶĚĞĐŚĂƌŐĞ– 𝑒𝑒͕ĚĞŵĂƐƐĞ𝑚𝑚͕ĚĠĐƌŝǀĂŶƚƵŶĞŽƌďŝƚĞĐŝƌĐƵůĂŝƌĞĚĞƌĂLJŽŶ𝑟𝑟͕ăůĂ ƉƵůƐĂƚŝŽŶ𝜔𝜔autour d’un axe 𝑛𝑛⃗⃗͘ĠĨŝŶŝƌůĞĐŽƵƌĂŶƚĠůĞĐƚƌŝƋƵĞ𝑖𝑖. En assimilant l’orbite de l’électron à une boucle de courant, donner l’expression du courant en fonction de la période 𝑇𝑇ƉƵŝƐĚĞůĂƉƵůƐĂƚŝŽŶ𝜔𝜔͘

ĠƚĞƌŵŝŶĞƌůĞŵŽŵĞŶƚŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞ 𝜇𝜇⃗ ĂƐƐŽĐŝĠăĐĞƚƚĞďŽƵĐůĞĚĞĐŽƵƌĂŶƚ͘

/s͘Ϯ͘^Žŝƚ𝑣𝑣⃗, la vitesse instantanée de l’électron. Définir le moment cinétique 𝐿𝐿⃗⃗ƉƵŝƐĚŽŶŶĞƌƐŽŶĞdžƉƌĞƐƐŝŽŶ ĞŶĨŽŶĐƚŝŽŶĚĞ 𝜔𝜔 ͘DŽŶƚƌĞƌqu’on peut écrire 𝜇𝜇⃗ = −𝛾𝛾 𝑒𝑒 𝐿𝐿⃗⃗ ͕Žƶ 𝛾𝛾 𝑒𝑒 = _2𝑚𝑚 ^𝑒𝑒 ĞƐƚůĞƌĂƉƉŽƌƚŐLJƌŽŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞ͘

Dans le cas plus général, le moment cinétique total d’unĂƚŽŵĞ𝐽𝐽⃗ĞƐƚůĂƐŽŵŵĞĚĞƐŵŽŵĞŶƚƐŽƌďŝƚĂƵdž𝐿𝐿⃗⃗Ğƚ ĚĞ ƐƉŝŶ 𝑆𝑆⃗ ĚĞƐ ĠůĞĐƚƌŽŶƐ͗ 𝐽𝐽⃗ = 𝐿𝐿⃗⃗ + 𝑆𝑆⃗ ͘ >Ă ƉƌŽũĞĐƚŝŽŶ ĚĞ 𝐽𝐽⃗ ƐƵƌ ƵŶ ĂdžĞ ƋƵĞůĐŽŶƋƵĞ͕ ƉĂƌ ĞdžĞŵƉůĞ 𝑒𝑒⃗ 𝑧𝑧 ͕ ĞƐƚ ƋƵĂŶƚŝĨŝĠĞ͗ 𝑗𝑗 _𝑧𝑧 = 𝑚𝑚 _𝑗𝑗 ℏ͕ Žƶ 𝑚𝑚 _𝑗𝑗 ĞƐƚ ƵŶ ŶŽŵďƌĞ ĞŶƚŝĞƌ ƌĞůĂƚŝĨ Ğƚ ℏ ůĞ ƋƵĂŶƚƵŵ ĚĞ ŵŽŵĞŶƚ ĐŝŶĠƚŝƋƵĞ͘ >ĞƐ ĚŝĨĨĠƌĞŶƚĞƐǀĂůĞƵƌƐĚĞůĂƉƌŽũĞĐƚŝŽŶĚƵŵŽŵĞŶƚŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞ𝜇𝜇⃗ = 𝑔𝑔𝜇𝜇 _𝐵𝐵 𝐽𝐽⃗s’écrivent 𝜇𝜇 _𝑧𝑧 = 𝑔𝑔𝜇𝜇 _𝐵𝐵 𝑗𝑗 _𝑧𝑧 ͕Žƶ𝑔𝑔ĞƐƚůĞ ĨĂĐƚĞƵƌĚĞ>ĂŶĚĠƋƵŝƉƌĞŶĚĞŶĐŽŵƉƚĞăůĂĨŽŝƐůĞƐĞĨĨĞƚƐŽƌďŝƚĂƵdžĞƚůĞƐĞĨĨĞƚƐĚĞƐƉŝŶĞƚ𝜇𝜇 _𝐵𝐵 = |𝛾𝛾 _𝑒𝑒 |ℏĞƐƚůĞ ƋƵĂŶƚƵŵĚĞŵŽŵĞŶƚŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞ͘>ĞƌĂƉƉŽƌƚŐLJƌŽŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞ 𝛾𝛾 ĐŽƌƌĞƐƉŽŶĚĂƵƌĂƉƉŽƌƚĞŶƚƌĞůĞŵŽŵĞŶƚ ŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞƚŽƚĂůĞƚůĞŵŽŵĞŶƚĐŝŶĠƚŝƋƵĞƚŽƚĂů͘

/s͘3. Donner l’expression du rapport gyromagnétique 𝛾𝛾͘ƐƚŝŵĞƌƐĂǀĂůĞƵƌƉŽƵƌƵŶĠůĞĐƚƌŽŶƐĂŶƐŵŽŵĞŶƚ ŽƌďŝƚĂů;𝑔𝑔 = 2Ϳ͘

/s͘ϰ͘ƉĂƌƚŝƌĚƵƚŚĠŽƌğŵĞĚƵŵŽŵĞŶƚĐŝŶĠƚŝƋƵĞ͕ŵŽŶƚƌĞƌƋƵĞ 𝑑𝑑𝑀𝑀 ⃗⃗⃗

𝑑𝑑𝑑𝑑 = −𝛾𝛾𝑀𝑀 ⃗⃗⃗ ∧ 𝜇𝜇 0 𝐻𝐻⃗⃗⃗ 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒

/s͘ϱ͘ĠĐƌŝƌĞ ůĂ ŶĂƚƵƌĞ ĚƵŵŽƵǀĞŵĞŶƚ͕ ŵŽŶƚƌĞƌ que l’énergie est conservée͘WƌĠĐŝƐĞƌ ƐĂ ĨƌĠƋƵĞŶĐĞ Ğƚ ĚŽŶŶĞƌƐĂǀĂůĞƵƌŶƵŵĠƌŝƋƵĞƉŽƵƌƵŶĐŚĂŵƉĞĨĨĞĐƚŝĨ 𝜇𝜇 0 𝐻𝐻 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = 1𝑇𝑇 ĞƚƵŶĨĂĐƚĞƵƌŐLJƌŽŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞ 𝛾𝛾 = 1,76 ∙ 10 ¹¹ 𝐻𝐻𝐻𝐻 ∙ 𝑇𝑇 ⁻¹ ͘

/s͘ϲ͘DŽŶƚƌĞƌque le second terme de l’équation de LLG peut être interprété comme la contribution d’un ĐŚĂŵƉŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞĚŝƐƐŝƉĂƚŝĨ 𝜇𝜇 0 𝐻𝐻⃗⃗⃗ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 s’opposant aux variations de l’aimantation au cours du temps. ŽŶŶĞƌ l’expression de 𝜇𝜇 0 𝐻𝐻⃗⃗⃗ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ͘

/s͘ϳ &ĂŝƌĞ ƵŶ ƐĐŚĠŵĂ ŝŶĚŝƋƵĂŶƚ͕ ƉŽƵƌ ƵŶĞ ĚŝƌĞĐƚŝŽŶ ĚŽŶŶĠĞ ĚƵ ĐŚĂŵƉ ŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞ ĞĨĨĞĐƚŝĨ Ğƚ ĚĞ l’aimantation, la direction des deux couples qui contrôlent le mouvement de l’aimantation. Indiquer ůĂ ĐŽŶƚƌŝďƵƚŝŽŶ ĂƵ ŵŽƵǀĞŵĞŶƚ ĚƵ ĐŚĂŵƉ 𝜇𝜇 0 𝐻𝐻⃗⃗⃗ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 en supposant qu’on est dans un régime de faible ĂŵŽƌƚŝƐƐĞŵĞŶƚ͘

ϭϲ

B. Dynamique des parois magnétiques en l’absence de désŽƌĚƌĞ

ϭ͘ƉƉƌŽĐŚĞƋƵĂůŝƚĂƚŝǀĞ

WŽƵƌ ĞdžƉůŝƋƵĞƌ ĚĞ ŵĂŶŝğƌĞ ƋƵĂůŝƚĂƚŝǀĞ ůĞ ŵĠĐĂŶŝƐŵĞ ĚĞ déplacement d’une paroi sous l’action d’un champ ŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞ ĞdžƚĠƌŝĞƵƌ͕ ŽŶ ĐŽŶƐŝĚğƌĞ ƵŶŝƋƵĞŵĞŶƚ l’aimantation au centre de la paroi (voir Fig. Is͘ϭͿ͘ Ŷ l’absence ĚĞĐŚĂŵƉŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞĂƉƉůŝƋƵĠ͕l’aimantation est ĂůŝŐŶĠĞƐƵŝǀĂŶƚůĂĚŝƌĞĐƚŝŽŶ 𝑒𝑒⃗ 𝑥𝑥 ; 𝜓𝜓 = 0) ĐŽŵŵĞůĞŵŽŶƚƌĞůĂ

&ŝŐ͘/s͘ϭ;ƉĂƌŽŝĚĞƚLJƉĞůŽĐŚͿ͘

&ŝŐ͘/s͘ϭ͘^ĐŚĠŵĂƐŝŵƉůŝĨŝĠĚĞůĂƐƚƌƵĐƚƵƌĞ magnétique d’une paroi ne considérant que la direction de l’aimantatiŽŶĞŶƐŽŶ ĐĞŶƚƌĞ͘

/s͘ϴ͘hŶĐŚĂŵƉŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞĞdžƚĠƌŝĞƵƌ𝐻𝐻⃗⃗⃗ _𝑎𝑎 ĞƐƚĂƉƉůŝƋƵĠƐƵŝǀĂŶƚůĂĚŝƌĞĐƚŝŽŶ𝑒𝑒⃗ _𝑧𝑧 ͘&ĂŝƌĞƵŶĚĞƐƐŝŶ;ƐŝŵŝůĂŝƌĞă ĐĞůƵŝĚĞůĂ&ŝŐ͘/s͘ϭͿŝŶĚŝƋƵĂŶƚla nouvelle direction prise par l’aimantation, l’ĂŶŐůĞ 𝜓𝜓ĞƚůĂĚŝƌĞĐƚŝŽŶĚƵ ĐŽƵƉůĞΓ ⃗⃗⃗⃗ _𝑎𝑎 ĞdžĞƌĐĠƉĂƌůĞĐŚĂŵƉ 𝐻𝐻⃗⃗⃗ _𝑎𝑎 sur l’aimantation 𝑀𝑀 ⃗⃗⃗ ĚƵĐĞŶƚƌĞĚĞůĂƉĂƌŽŝĚĞĚŽŵĂŝŶĞ͘^ĐŚĠŵĂƚŝƐĞƌ ĠŐĂůĞŵĞŶƚůĞƐĐŚĂƌŐĞƐŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞƐĚĞƐƵƌĨĂĐĞƐĐƌĠĠĞƐƐƵƌůĞƐďŽƌĚƐĚĞůĂƉĂƌŽŝ͘/ŶĚŝƋƵĞƌůĂĚŝƌĞĐƚŝŽŶĚƵ ĐŚĂŵƉŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞĚŝƉŽůĂŝƌĞ𝐻𝐻⃗⃗⃗ _𝑑𝑑 ƌĠƐƵůƚĂŶƚĞƚĚĠƚĞƌŵŝŶĞƌƐŽŶĞdžƉƌĞƐƐŝŽŶĞŶĨŽŶĐƚŝŽŶĚĞ𝑀𝑀Ğƚ𝜓𝜓͘

/s͘ϵ͘>ĞĐŚĂŵƉŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞ𝐻𝐻⃗⃗⃗ _𝑑𝑑 ĞdžĞƌĐĞăƐŽŶƚŽƵƌƵŶĐŽƵƉůĞΓ ⃗⃗⃗⃗⃗ _𝑑𝑑 sur l’aimantation. Indiquer la direction dans ůĂƋƵĞůůĞƉŽŝŶƚĞůĞĐŽƵƉůĞΓ ⃗⃗⃗⃗⃗ _𝑑𝑑 . En déduire le sens de rotation de l’aimantation aƵĐĞŶƚƌĞĚĞůĂƉĂƌŽŝƉƵŝƐůĂ ĚŝƌĞĐƚŝŽŶĚƵĚĠƉůĂĐĞŵĞŶƚĚĞůĂƉĂƌŽŝĚĞĚŽŵĂŝŶĞ͘

/s͘ϭϬ. Déterminer la variation de densité d’énergie Δ𝑒𝑒 _𝑧𝑧 lorsque que l’aimantation passe de la direction

−𝑒𝑒⃗ _𝑧𝑧 ăůĂĚŝƌĞĐƚŝŽŶ+𝑒𝑒⃗ _𝑧𝑧 ͘DŽŶƚƌĞƌƋƵĞĐĞƚƚĞǀĂƌŝĂƚŝŽŶΔ𝑒𝑒 _𝑧𝑧 ĂůĂĚŝŵension d’une pression exercée sur la paroi.

Ϯ͘ƉƉƌŽĐŚĞƋƵĂŶƚŝƚĂƚŝǀĞ

KŶƐƵƉƉŽƐĞƵŶĞƉĂƌŽŝĚĞĚŽŵĂŝŶĞŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞƌŝŐŝĚĞ͕ĚĞůŽŶŐƵĞƵƌŝŶĨŝŶŝĞĚĂŶƐůĂĚŝƌĞĐƚŝŽŶ𝑒𝑒⃗ _𝑥𝑥 ĞƚĚĞůĂƌŐĞƵƌ

𝜋𝜋∆͕ƐŽƵŵŝƐĞăƵŶĐŚĂŵƉŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞ𝐻𝐻⃗⃗⃗ _𝑎𝑎 ͘KŶŶŽƚĞ𝑞𝑞(𝑡𝑡)ůĂƉŽƐŝƚŝŽŶĚƵĐĞŶƚƌĞĚĞůĂƉĂƌŽŝĞƚ𝑣𝑣⃗(𝑡𝑡) = 𝑞𝑞̇(𝑡𝑡)𝑒𝑒⃗ _𝑦𝑦

ƐĂǀŝƚĞƐƐĞŝŶƐƚĂŶƚĂŶĠĞ͘

ϭϳ

&ŝŐ͘/s͘Ϯ'ĠŽŵĠƚƌŝĞƉŽƵƌůĞŵŽĚğůĞăƵŶĞĚŝŵĞŶƐŝŽŶĚĞĚĠƉůĂĐĞŵĞŶƚĚĞƉĂƌŽŝ͘

KŶƐƵƉƉŽƐĞqu’au cours du mouvement, la paroi conserve sa structure statique (voir partie II/Ϳ͘ůůĞĞƐƚ ĚŽŶĐĚĠĐƌŝƚĞƉĂƌůĞƐĠƋƵĂƚŝŽŶƐ𝜑𝜑(𝑦𝑦, 𝑡𝑡) = 𝜓𝜓(𝑡𝑡)Ğƚ𝜃𝜃(𝑦𝑦, 𝑡𝑡) = ±2 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑡𝑡𝑎𝑎𝑎𝑎 [𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 ( ^{𝑦𝑦−𝑞𝑞(𝑡𝑡)} _∆ )] ͘KŶƌĂƉƉĞůůĞƋƵĞƐŽŶ ĠŶĞƌŐŝĞ ƐƵƌĨĂĐŝƋƵĞ ĞƐƚ ĚŽŶŶĠĞ ƉĂƌůĂ ƌĞůĂƚŝŽŶ 𝜎𝜎 = 𝜎𝜎 ₀ √1 + ^{𝜇𝜇 0} _2𝐾𝐾 ^{𝑀𝑀 2} sin ² 𝜓𝜓͕ Žƶ 𝜎𝜎 ₀ = 4√𝐴𝐴𝐴𝐴 ͘ >Ğ ƉĂƌĂŵğƚƌĞ d’épaisseur de paroi est ∆= ∆ ₀ ⁄ √1 + ^{𝜇𝜇 0} _2𝐾𝐾 ^{𝑀𝑀 2} sin ² 𝜓𝜓 ͘ĂŶƐůĞƐĞdžƉƌĞƐƐŝŽŶƐƉƌĠĐĠĚĞŶƚĞƐ͕ůĞƚĞƌŵĞĞŶsin ² 𝜓𝜓 est associé au champ dipolaire dans la paroi. Connaissant la structure de la paroi, l’équation de LLG ^{𝑑𝑑𝑀𝑀} _{𝑑𝑑𝑡𝑡} ^⃗⃗⃗ =

−𝛾𝛾𝑀𝑀 ⃗⃗⃗ ∧ 𝐻𝐻⃗⃗⃗ _{𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒} + 𝛼𝛼𝑀𝑀 ⃗⃗⃗ ∧ ^{𝑑𝑑𝑀𝑀} _{𝑑𝑑𝑡𝑡} ^⃗⃗⃗ , qui porte sur l’évolution au cours du temps de la direction d’aimantation 𝑀𝑀 ⃗⃗⃗ (𝜃𝜃, 𝜓𝜓)͕ƉĞƵƚƐĞƌĂŵĞŶĞƌăune description de l’évolution de la position de la paroi 𝑞𝑞ĞƚĚĞůĂĚŝƌĞĐƚŝŽŶ de l’aimantation 𝜓𝜓 ĚĂŶƐůĂƉĂƌŽŝ͘hŶĐĂůĐƵůĐŽŵƉůĞdžĞĐŽŶĚƵŝƚĂƵdžĠƋƵĂƚŝŽŶƐĚŝĨĨĠƌĞŶƚŝĞůůĞƐƐƵŝǀĂŶƚĞƐ͗

𝛾𝛾𝜇𝜇 ₀ 𝐻𝐻 _𝑎𝑎 = 𝜓𝜓̇ + _∆ ^𝛼𝛼

0 𝑞𝑞̇

𝑀𝑀𝜓𝜓̇ = 𝛾𝛾𝜇𝜇 ₀

1 + 𝛼𝛼 ² (𝑀𝑀𝐻𝐻 𝑎𝑎 − 1

2 𝑀𝑀 ² sin 2𝜓𝜓)

/s͘ϭϭ. Analyser les couples exercés sur l’aimantation associés aux différents termes de cette équation.

/s͘ϭϮ͘ DŽŶƚƌer qu’il existe une solution telle que 𝜓𝜓̇ = 0 ă ĐĞƚƚĞ ĠƋƵĂƚŝŽŶ ĚŝĨĨĠƌĞŶƚŝĞůůĞ Ğƚ ĞdžƉůŝƋƵĞƌ comment varie l’angle 𝜓𝜓ĞŶĨŽŶĐƚŝŽŶĚĞ𝐻𝐻 _𝑎𝑎 ͘Donner l’expression du champ magnétique critique 𝐻𝐻 _𝑤𝑤 ;Ěŝƚ ĐŚĂŵƉĚĞtĂůŬĞƌͿĂƵͲdelà duquel l’aimantation précesse nécessairement au cours du mouvement.

/s͘ϭϯ͘ŽŶŶer l’expression de la vitesse moyenne 〈𝑞𝑞̇〉ĚĞůĂƉĂƌŽŝƉŽƵƌ𝜓𝜓̇ = 0;ƌĠŐŝŵĞƐƚĂƚŝŽŶŶĂŝƌĞͿ͘

/s͘ϭϰ͘ džƉƌŝŵĞƌ 𝑀𝑀𝑞𝑞̇ ĞŶ ĨŽŶĐƚŝŽŶ ĚĞ 𝜓𝜓 ƉŽƵƌ 𝜓𝜓̇ ≠ 0 ;ƌĠŐŝŵĞ ƉƌĠĐĞƐƐŝŽŶĞůͿ͘ ĠƚĞƌŵŝŶĞƌ ůĂ ŶĂƚƵƌĞ ĚƵ ŵŽƵǀĞŵĞŶƚ͘DŽŶƚƌĞƌƋƵĞůĂǀŝƚĞƐƐĞŝŶƐƚĂŶƚĂŶĠĞƉĞƵƚġƚƌĞŶĠŐĂƚŝǀĞ;ĚĂŶƐůĂƉƌĂƚŝƋƵĞ𝛼𝛼 < 1ͿĞƚĞŶĚĠĚƵŝƌĞ ƋƵĞůĂǀŝƚĞƐƐĞŵŽLJĞŶŶĞ〈𝑞𝑞̇〉ĞƐƚĨŽƌƚĞŵĞŶƚƌĠĚƵŝƚĞ͘

ϭϴ

/s͘ϭϱ. Déterminer l’expression de la vitesse moyenne 〈𝑞𝑞̇〉 ƉŽƵƌ 𝐻𝐻 _𝑎𝑎 ≫ 𝐻𝐻 _𝑤𝑤 ;ƌĠŐŝŵĞ ƉƌĠĐĞƐƐŝŽŶĞů ĂƐLJŵƉƚŽƚŝƋƵĞͿ͘

/s͘ϭϲ͘/ĚĞŶƚŝĨŝĞƌůĞƐĚŝĨĨĠƌĞŶƚƐƌĠŐŝŵĞƐĚĠƉůĂĐĞŵĞŶƚĚĞƉĂƌŽŝ;ƐƚĂƚŝŽŶŶĂŝƌĞƐ͕ƉƌĠĐĞƐƐŝŽŶĞůĞƚƉƌĠĐĞƐƐŝŽŶĞů ĂƐLJŵƉƚŽƚŝƋƵĞͿĚĞůĂĐŽƵƌďĞĚĞǀŝƚĞƐƐĞƌĂƉƉŽƌƚĠĞĚĂŶƐůĂ&ŝŐ͘///͘ϯ͘ƐƚŝŵĞƌůĂǀĂůĞƵƌĚƵĐŚĂŵƉŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞ ĚĞtĂůŬĞƌ;𝐻𝐻 _𝑤𝑤 ) puis la valeur du paramètre d’amortissement 𝛼𝛼͘ŽŶŶĠĞƐ͗ƉŽƵƌ;'Ă͕DŶͿƐ͕ŽŶĂ 𝛾𝛾 = 1,76 ∙ 10 ¹¹ 𝐻𝐻𝐻𝐻 ∙ 𝑇𝑇 ⁻¹ Ğƚ ∆ 0 = 2,5 ± 0,5 𝑛𝑛𝑛𝑛 ͕ă 𝑇𝑇 = 80𝐾𝐾 ͘

&ŝŐ͘/s͘ϯsŝƚĞƐƐĞŵŽLJĞŶŶĞĚĞƉĂƌŽŝĚĞĚŽŵĂŝŶĞŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞĞŶĨŽŶĐƚŝŽŶĚƵĐŚĂŵƉŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞĂƉƉůŝƋƵĠ ŵĞƐƵƌĠĞƉŽƵƌƵŶĨŝůŵŵŝŶĐĞĚĞ;'Ă͕DŶͿƐă 𝑇𝑇 = 80𝐾𝐾 ͘>ĂĨŝŐƵƌĞĚĞĚƌŽŝƚĞĞƐƚƵŶnjŽŽŵĚĞĐĞůůĞĚĞŐĂƵĐŚĞ͘

>ĂĐŽƵƌďĞĞŶƚŝƌĞƚƐĐŽƌƌĞƐƉŽŶĚăůĂƉƌĠĚŝĐƚŝŽŶƚŚĠŽƌŝƋƵĞƋƵŝĂĠƚĠĂũƵƐƚĠĞƐƵƌůĞƐĚŽŶŶĠĞƐĞdžƉĠƌŝŵĞŶƚĂůĞƐ͘

ZĞĨ͗͘Z͘ŽƵƌůĂƚĞƚĂů͕͘WŚLJƐ͘ZĞǀ͘ϳϴ͕ϭϲϭϯϬϯ;ϮϬϬϴͿ͘

/s͘ϭϳ͘ ŽŵŵĞŶƚĞnj ůĂ ĐŽŵƉĂƌĂŝƐŽŶ ĞŶƚƌĞ ůĞƐ ĚŽŶŶĠĞƐ ĞdžƉĠƌŝŵĞŶƚĂůĞƐ Ğƚ ůĞƐ ƉƌĠĚŝĐƚŝŽŶƐ ƚŚĠŽƌŝƋƵĞƐ ƉƌŽƉŽƐĠĞĚĂŶƐůĂ&ŝŐ͘/s͘ϯ͘

͘ŽŶƚƌŝďƵƚŝŽŶĚƵĚĠƐŽƌĚƌĞăůĂĚLJŶĂŵŝƋƵĞĚĞƐƉĂƌŽŝƐ

>ĞƐĚĠĨĂƵƚƐĞƚůĞƐŝŶŚŽŵŽŐĠŶĠŝƚĠƐĚĞƐŵĂƚĠƌŝĂƵdžŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞƐŽŶƚƵŶĞĨŽƌƚĞŝŶĨůƵĞŶĐĞƐƵƌůĂĚLJŶĂŵŝƋƵĞ ĚĞƐƉĂƌŽŝƐĚĞdomaines. En présence d’un désordre aléatoire, les parois peuvent se piéger, deviennent ƌƵŐƵĞƵƐĞƐ Ğƚ ƐĞ ĚĠƉůĂĐĞŶƚ ƉĂƌ ƐĂƵƚƐ ƐƵĐĐĞƐƐŝĨƐ ;ƐĂƵƚƐ ĚŝƚƐ ĚĞ ĂƌŬŚĂƵƐĞŶͿ ĂƵͲĚĞƐƐƵƐ ĚĞ ďĂƌƌŝğƌĞƐ d’ancrages. LeŵŽĚğůĞ ĂďŽƌĚĠ ĐŝͲĚĞƐƐŽƵƐ ĚĠĐƌŝƚ ůĂĐŽŶƚƌŝďƵƚŝŽŶ ĚĞ ĨůƵĐƚƵĂƚŝŽŶƐ ƐƉĂƚŝĂůĞƐ ĂůĠĂƚŽŝƌĞƐ ĚƵ potentiel d’ancrage à la dynamique d’une paroi qui est assimilée à un objet élastique.

KŶƐƵƉƉŽƐĞƵŶĞƉĂƌŽŝĚĞĚŽŵĂŝŶĞƐĞƚƌŽƵǀĂŶƚĚĂŶƐƵŶĨŝůŵĨĞƌƌŽŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞ;ƉĂƌĂůůğůĞĂƵƉůĂŶ𝑒𝑒⃗ _𝑥𝑥 , 𝑒𝑒⃗ 𝑦𝑦 Ϳă forte anisotropie perpendiculaire. L’épaisseur ℎĚƵĨŝůŵ;ĂůŝŐŶĠĞƐĞůŽŶůĂĚŝƌĞĐƚŝŽŶ𝑒𝑒⃗ _𝑧𝑧 ͿĞƐƚƐƵĨĨŝƐĂŵŵĞŶƚ ĨĂŝďůĞƉŽƵƌƋƵĞůĂƉĂƌŽŝƉƵŝƐƐĞġƚƌĞĂƐƐŝŵŝůĠĞăƵŶĞůŝŐŶĞĠůĂƐƚŝƋƵĞƐĞĚĠĨŽƌŵĂŶƚĚĂŶƐůĞƉůĂŶĚƵĨŝůŵƐŽƵƐ l’effet combiné de l’ancrage et d’un chĂŵƉŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞĞdžƚĠƌŝĞƵƌ𝐻𝐻⃗⃗⃗ _𝑎𝑎 ;ǀŽŝƌ&ŝŐ͘/s͘ϰͿ

IV.16. Identifier les différents régimes de déplacement de paroi (stationnaire, précessionel et précessionel

ϭϵ

&ŝŐ͘/s.4 Schéma de la déformation (fortement exagérée) d’une paroi fixée en deux points 𝐴𝐴Ğƚ𝐵𝐵ƉƌŽĚƵŝƚĞ ƉĂƌƵŶĐŚĂŵƉĞdžƚĠƌŝĞƵƌ𝐻𝐻⃗⃗⃗ _𝑎𝑎 ĂƉƉůŝƋƵĠƉĞƌƉĞŶĚŝĐƵůĂŝƌĞŵĞŶƚĂƵƉůĂŶĚƵĨŝůŵ͘>ĞƐĞŐŵĞŶƚĞŶƚŝƌĞƚƐĚĞůŽŶŐƵĞƵƌ 2𝐿𝐿ĐŽƌƌĞƐƉŽŶĚăůĂƉĂƌŽŝŝŶŝƚŝĂůĞŵĞŶƚƉůĂƚĞ͘hŶĠƚŝƌĞŵĞŶƚ 𝑢𝑢ĐŽŶĚƵŝƚăůĂĚĠĨŽƌŵĂƚŝŽŶĚĞƉĂƌŽŝ;ůŝŐŶĞĞŶ ƚƌĂŝƚƉůĞŝŶͿĚŽŶƚůĂůŽŶŐƵĞƵƌĂƚƚĞŝŶƚ 2𝐿𝐿′ ͘

WŽƵƌŵŽĚĠůŝƐĞƌůĞĚĠƉŝĠŐĞage d’une paroi de domaine, on a coutume d’écrire la variation d’énergie libre d’un segment 𝐿𝐿de ligne élastique étiré d’une longueur 𝑢𝑢par l’expression :

𝛿𝛿𝐹𝐹(𝑢𝑢, 𝐿𝐿) =𝜖𝜖 _{𝑒𝑒𝑒𝑒} ^𝑢𝑢 _𝐿𝐿 ² + 𝛿𝛿𝐹𝐹 _{𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝} − 2𝜇𝜇 ₀ 𝑀𝑀𝐻𝐻 _𝑎𝑎 ℎ𝐿𝐿𝑢𝑢͕

Žƶ𝜖𝜖 _{𝑒𝑒𝑒𝑒} = 𝜎𝜎 ₀ ℎest l’énergie de paroi par uniƚĠĚĞůŽŶŐƵĞƵƌ͘

/s͘ϭϴ͘ ŽŶŶĞƌ ůĂ ƐŝŐŶŝĨŝĐĂƚŝŽŶ ƉŚLJƐŝƋƵĞ ĚƵ ƉƌĞŵŝĞƌ Ğƚ ĚƵ ƚƌŽŝƐŝğŵĞ ƚĞƌŵĞ ĚĞ 𝛿𝛿𝐹𝐹(𝑢𝑢, 𝐿𝐿) Ğƚ ũƵƐƚŝĨŝĞƌ ůĞƵƌ ĞdžƉƌĞƐƐŝŽŶ͘

/s͘ϭϵ͘>ĞƚĞƌŵĞ 𝛿𝛿𝐹𝐹 _{𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝} ĐŽƌƌĞƐƉŽŶĚăů’énergie d’ancrage͘/ůs’écrit͗ 𝛿𝛿𝐹𝐹 _{𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝} = −𝑓𝑓 _{𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝} 𝜉𝜉√𝑛𝑛 𝑝𝑝 𝜉𝜉𝐿𝐿͕Žƶ𝑛𝑛 _𝑝𝑝 ĞƐƚůĂ densité surfacique de centres d’ancrage, 𝜉𝜉ĞƐƚůĂůŽŶŐƵĞƵƌĐĂƌĂĐƚĠƌŝƐƚŝƋƵĞƐƵƌůĂƋƵĞůůĞǀĂƌŝĞůĞƉŽƚĞŶƚŝĞů d’ancrage et 𝑓𝑓 _{𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝} le module de la force d’ancrage d’un site d’ancrage typique. Expliquer ce que représente ůĞ ƉƌŽĚƵŝƚ 𝑛𝑛 _𝑝𝑝 𝜉𝜉𝐿𝐿͘ DġŵĞ ƋƵĞƐƚŝŽŶ ƉŽƵƌ ƐĂ ƌĂĐŝŶĞ ĐĂƌƌĠĞ ĚĂŶƐ ůĞ ĐĂƐ Žƶ 𝐿𝐿 ≫ 𝜉𝜉͘ džƉůŝƋƵĞƌ ƉŽƵƌƋƵŽŝ l’expression de 𝛿𝛿𝐹𝐹 _{𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝} ĚĠĐƌŝƚĚĂŶƐĐĞĐĂƐƵŶĂŶĐƌĂŐĞĐŽůůĞĐƚŝĨ͘

Pour modéliser le dépiégeage d’une paroi (à température nulle), on suppose qu’un segment de paroi de ůŽŶŐƵĞƵƌ 𝐿𝐿 = 𝐿𝐿 _𝑐𝑐 ƐĞĚĠĐƌŽĐŚĞůŽƌƐƋƵĞůĞĐŚĂŵƉŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞ𝐻𝐻 _𝑎𝑎 ĂƚƚĞŝŶƚƵŶĞǀĂůĞƵƌĐƌŝƚŝƋƵĞ𝐻𝐻 _𝑐𝑐 ƚĞůůĞƋƵĞ l’allongement 𝑢𝑢 permet de sortir d’un centre d’ancrage (𝑢𝑢 ≈ 𝜉𝜉Ϳ. On suppose d’autre part qu’au décrochage, les trois termes d’énergie libre sont du même ordre de grandeur ce qui s’écrit 𝛿𝛿𝐹𝐹 _{𝑒𝑒𝑒𝑒} (𝜉𝜉, 𝐿𝐿 _𝑐𝑐 ) = 𝛿𝛿𝐹𝐹 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 (𝜉𝜉, 𝐿𝐿 𝑐𝑐 ) = 𝛿𝛿𝐹𝐹 𝑍𝑍 (𝜉𝜉, 𝐿𝐿 𝑐𝑐 )͘

/s͘ϮϬ͘ŚĂŵƉĚĞĚĠƉŝĠŐĞĂŐĞ͘DŽŶƚƌĞƌƋƵĞůĂĐŽŶĚŝƚŝŽŶ 𝛿𝛿𝐹𝐹 _{𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝} (𝜉𝜉, 𝐿𝐿 _𝑐𝑐 ) = 𝛿𝛿𝐹𝐹 _𝑍𝑍 (𝜉𝜉, 𝐿𝐿 _𝑐𝑐 )ƉĞƌŵĞƚĚĞĚĠĨŝŶŝƌůĞ ĐŚĂŵƉ ŵĂŐŶĠƚŝƋƵĞ ĚĞ ĚĠƉŝĠŐĞĂŐĞ 𝐻𝐻 _𝑐𝑐 ͘ KŶ ĞdžƉƌŝŵĞƌĂ 𝐻𝐻 _𝑐𝑐 ĞŶ ĨŽŶĐƚŝŽŶ ĚĞƐ ĂƵƚƌĞƐ ƉĂƌĂŵğƚƌĞƐ͘ WŽƵƌ ƐŝŵƉůŝĨŝĞƌ͕ŽŶƐƵƉƉŽƐĞƋƵĞ𝑛𝑛 _𝑝𝑝 ≈ 𝜉𝜉 ⁻² ͘YƵĞƉĞƵƚͲŽŶĚŝƌĞĚĞůĂǀŝƚĞƐƐĞĚĞƉĂƌŽŝƐƉŽƵƌ𝐻𝐻 _𝑎𝑎 < 𝐻𝐻 _𝑐𝑐 ĞƚƉŽƵƌ𝐻𝐻 _𝑎𝑎 >

𝐻𝐻 _𝑐𝑐 ͍ƐƚŝŵĞƌůĂǀĂůĞƵƌĚĞ𝐻𝐻 _𝑐𝑐 ƉŽƵƌůĞƐƌĠƐƵůƚĂƚƐĞdžƉĠƌŝŵĞŶƚĂƵdžƌĂƉƉŽƌƚĠƐĚĂŶƐůĂ&ŝŐ͘/s͘ϯ͘